REGRESI LINEAR SEDERHANADAN KORELASIDAN KORELASI

1. Model Regresi Linear 2. Penaksir Kuadrat Terkecil3 Prediksi Nilai Respons3. Prediksi Nilai Respons4. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi5. Kecocokan Model Regresi6. Korelasi

Utriweni MukhaiyarMA 2181 Analisis Data

Tujuanj2

2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai variabelyang lain , misalkan X, dengan menggunakan

i l iy g g ggmodel regresi linier (interpolasi).

f(X)f(X)

Suhu (X) Gula yang Dihasilkan (Y)

X menentukan Y

prediktorrespons

b k b h

peubah acak

Memiliki distribusi

3

bukan peubahacak

Observasi 1 2 3 … n

X X X X XX X1 X2 X3 … Xn

Y Y1 Y2 Y3 … Yn

Variabel yang nilainya mempengaruhivariabel yang lainnya.

1

Variabel yang kejadiannya lebih dahuluterjadi.

2

Variabel yang variansinya terkecil

terjadi.

3

4

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANAMODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA

0 1i i iY X e

- 1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksir

- ei adalah galat pada observasi ke-i (acak)

5

Sumber Galat6

1. Ketidakmampuan model regresi dalammemodelkan hubungan prediktor dan responsmemodelkan hubungan prediktor dan responsdengan tepat

2. Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat

3. Ketidakmampuan model untuk melibatkanb l d ksemua variabel prediktor

Penaksir Kuadrat TerkecilPenaksir Kuadrat Terkecil

- 1 dan 0 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least 1 0 g (square)

- Asumsi-asumsi :

1. Ada pengaruh X terhadap Y

2. untuk i = 1 2 n Y X e 2.

3. Nilai harapan dari ei adalah 0, atau E[ ei ] = 0

4 V i i d i t k i 1 2

0 1 , untuk i 1, 2, ..., n i i iY X e

4. Variansi dari ei, sama untuk semua i = 1, 2,…, n

5. ei berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n

7

6. e1,e2,...,en saling bebas (independen)

Misalkan b adalah taksiran bagi dan b adalahMisalkan b1 adalah taksiran bagi 1 dan b0 adalahtaksiran bagi 0. Maka taksiran bagi model regresiadalah

0 1ˆ i iY b b X

Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalahmeminimumkan

n

2

1 ii

e

ˆterhadap b0 dan b1, dengan 0 1ˆ . i i i i ie Y Y Y b b X

88

Diperolehp

1

1

n

i iiXY

X X Y YJKb

1

2

1

nXX

ii

bJK X X

0 1 b Y b X

Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalahg g

2

2 1

ˆˆ

n

i iG i

Y YJK

2 2

n n

9

Suhu (X) 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2Suhu (X) 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Gula yg dihasilkan (Y) 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5Sumber: Walpole and Myers, 1989

ei

10

1 nn = 11

1 n

1

1x x 1.5

n

iin 1

1y y 9.13

n

iin

1

x x y y1 8091

n

i iib

1

2

1

1.8091x x

n

ii

b

0 1 6.4136 b Y b X

ˆ 6.4136 1.8091 Y X 1111

Model persamaan regresi1111

Prediksi Nilai Responsp12

Prediksi model Suhu (xi) Gula yg dihasilkan (yi) iˆ(y ) i i iˆe y y 1 8.1 8.22 -0.12

1.1 7.8 8.40 -0.60

1.2 8.5 8.58 -0.08

22 1ˆ ˆy y 0.49

i i

1.3 9.8 8.77 1.03

1.4 9.5 8.95 0.55

1.5 8.9 9.13 -0.23 y y

9 i i

1.6 8.6 9.31 -0.71

1.7 10.2 9.49 0.71

1.8 9.3 9.67 -0.37

1.9 9.2 9.85 -0.65

2 10.5 10.03 0.47

T k i i i l kTaksiran variansi galat acak

Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu.

Maka prediksi banyaknya gula yang dihasilkan padah t b t d l hsuhu tersebut adalah

y 6.4136 1.8091x = 6.4136 + 1.8091(1.55)

=9.217705

13

ASUMSI KENORMALAN

11• Asumsi ei berdistribusi normal

untuk semua i = 1, 2,…, n

• Yi beristribusi normal untuk i 1 2 2 semua i = 1, 2,…, n

• b dan b berdistribusi33

• b0 dan b1 berdistribusinormal

14

INFERENSI UNTUK PARAMETER 0

0 00

2XX

bT =ˆ / JK

n

ix n

XX1 ii

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 :

n n2 2

0 / 2 XX 0 0 / 2 XX1 1

ˆ ˆb / JK b / JK

i ii i

t x n t x n

15t/2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2

INFERENSI UNTUK PARAMETER 1

1 11

XX

bT =ˆ/ JK

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 :

ˆ ˆt t / 2 / 21 1 1

XX XX

b bJK JK

t t

16t/2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2

PENGUJIAN PARAMETER REGRESIPENGUJIAN PARAMETER REGRESI

Rumusan HipotesisRumusan Hipotesis

H0 : β0 = 0

H β ≠ 0

H0 : β1 = 0

H β ≠ 0 bH1 : β0 ≠ 0 H1 : β1 ≠ 0 00 n

2i

i 1

btx

ˆ nJK

11

XX

bt ˆJK

XXnJK XX

17

SELANG PREDIKSISELANG PREDIKSI

Misalkan nilai respons Y untuk X = X0 adalah Y0, dan

ˆ

p 0 0,misalkan adalah prediksi model regresi bagi Y0. Maka

0 02

0 XX

Y -YTˆ 1+(1/n)+[(x x) / JK ]

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.

Selang prediksi (1 – α) bagi y0 adalah

2 20 0

0 / 2 0 0 / 2XX XX

(x x) (x x)1 1ˆ ˆ ˆ ˆy t 1+ + y y t 1+ +n JK n JK

XX XX

18

CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1 CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1-

1(2.26)(0.4) (2.26)(0.4)1.8091 1.8091

1.1 1.1 TINJAU CONTOH SEBELUMNYA

Selang kepercayaan95% untuk β1 :

b1=1,8091 b0=6,4136 Selang kepercayaan95% untuk β0 :

19 025.85 25.856.4136 (2.26)(0.4) 6.4136 (2.26)(0.4)

(11)(1.1) (11)(1.1)

CONTOH 2 UJI HIPOTESIS

t > t &t0 > t0.025 &

t1 > t0.025

maka masing-masingH ditolakH0 ditolak

Kesimpulan

β0 dan β1 tidak dapatdiabaikan

20

Kecocokan Model RegresiKecocokan Model Regresi

Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalahkoefisien determinasi yaitu

n2

iˆ(y y)JK

2 2R i=1

n2T

ii=1

JKR = = , dengan 0 R 1JK (y y)

Besaran R2 menunjukkan proporsi variasi total dalamrespons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh

21

diperoleh

UJI KEBAIKAN MODEL

H0 : Model regresi yang diperoleh tidak memadai

H1 : Model memadai

Statistik uji2ˆ

n

i(y y)JK 1

ˆ ˆ

ii=R

(y y)JKf

Tolak H0 pada tingkat keberartian α jika f > f,(1,n-2), dimanaf,(1,n-2) adalah nilai distribusi F dengan derajat kebebasan 1 dan n – 2. dan n 2.

22

CONTOH 3

Untuk contoh sebelumnya diperoleh R2 = 0,499.

Artinya proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh adalah49.9%

Uji kebaikan model

2ˆ n

i(y y)JK 1 8.99

ˆ ˆ

ii=RJKf

Untuk α = 5%, titik kritis f0 05 (1 9) = 5,12, 0.05,(1,9) ,

f > f0.05,(1,9), model memadai.23

KorelasiKorelasi

Mengukur hubungan linear dua peubah acak Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak,

maka korelasi antara X dan Y dinyatakanmaka korelasi antara X dan Y dinyatakandengan

X YXY

E (X )(Y )

X Y

24

25

Gambar 1 Korelasi positif Gambar 2 Korelasi negatif

Gambar 3 Korelasi nol Gambar 4 Korelasi nol

26

Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi

KORELASI SAMPEL

Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasisampel, yaitu

XYXY

XX YY

JKrJK JK

n

i ii=1

(X X)(Y Y) i=1

n n2 2

i i

(X X) (Y Y)

27

i=1 i=1

CONTOH 4Data dua peubah acak berat badan bayi (kg) dan ukurandada bayi (cm)

CONTOH 4

beratberat (kg)(kg) ukuranukuran dada (cm)dada (cm)

2.752.75 29.529.5

2.152.15 26.326.3

4.414.41 32.232.2

5 525 52 36 536 55.525.52 36.536.5

3.213.21 27.227.2

4.324.32 27.727.7

2.312.31 28.328.3

4.34.3 30.330.3

3 713 71 28 728 73.713.71 28.728.7

Rata-rata berat = 3.63 , Rata-rata ukuran dada = 29.6328

38

30

32

34

36

(cm)

24

26

28

30ukuran

 

20

22

1 2 3 4 5 6

berat (kg)

9

i ii=1

9 92 2

(X X)(Y Y)r 0.78

(X X) (Y Y)

i ii=1 i=1

(X X) (Y Y)

29

Referensi30

Referensi

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan

Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi 4 Bandung Penerbit ITB Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.