BAB 5

ANALISIS REGRESI LINEAR BERGANDA : PERSOALAN ESTIMASI

Dalam bab 3 dan 4 telah dibahas hubungan atau korelasi antara dua variabel (antara X

dan Y) dengan menggunakan garis Regres linear sederhana (sample linear regression) untuk

meramalkan nilai variabel tidak bebas Y kalau nilai X sudah diketahui, yaitu X=X0.

Dalam praktiknya, hubungan atau korelasi antara dua variabel melalui regresi sederhana

untuk meramalkan nilai Y dengan X yang sudah diketahui nilainya tidak cukup, sebab selain

X, masih da variabel lainnya. Misalnya, kalau Y=konsumsi, variabel yang mempengaruhi,

selain pupuk, juga bibit/benih, luas sawah yang ditanami, curah hujan, petani padi, hama dan

lain sebagainya. Kalau Y=hasil penjualan, variabel yang mempengaruhi, selain biaya

advertensi, juga tingkat pendapatan masyarakat, tingkat harga, selera, dan lain sebagainya.

Apabila dalam persamaan garis regresi tercakup lebih dari dua variabel termasuk

variabel tidak bebas Y), maka regresi ini disebut garis regresi ini disebut garis regresi linear

berganda (multiple linear regression). Dalam regresi linear berganda, variabel tidak bebas Y

tergantung dua atau lebih variabel.

Ada beberapa cara untuk menuliskan persamaan regresi linear berganda yang

mencakup dua atau lebih variabel, yaitu sebagai berikut.

Populasi :Yi= A + B1X1i + B2X2i + ... + BkXki + i (5.1)

Atau : Yi= B1+ B2X2i + B3X3i + ... + BkXki + i (5.2)

Sampel : Yi= a + b1X1i + b2X2i + ... + bkXki + ei (5.3)

atau : Yi= b1 + b2X2i + b3X3i + ... + bkXki + ei (5.4)

Untuk selanjutnya, dalam buku ini akan dipergunakan (5.2) untuk populasi (regresi

sebenarnya) dan (5.4) untuk sampel (regresi pewrkiraan). Baik (5.2) maupun (5.4) masing-

masing terdiri dari 1 variabel tidak bebas Y dan (k – 1) variabel bebas X,l yaitu : X2,X3, ..., Xk.

Jadi, semuanya ada 1 + (k – 1) = k variable. Untuk model dengan 3 variabel, berarti k = 3,

satu variabel tidak bebas Y dan dua variabel bebas X2 dan X3.

Y = B1 + B2X2 + B3X3 + (5.5)

Sedangkan untuk sampel ditulis sebagai berikut.

Yi = b1 + b2X2i + b3X3i + ei (5.6)

Y i = b1 b2X2i + b3X3i, I = 1, 2, …,n

ei = Yi – Y i = perkiraan kesalahan pengganggu.

Selanjutnya, untuk menjelaskan pengertian masing-masing koefisien regresi parsial (partial

coefficient of regression), regresi (5.2) dan (5.40 ditulis sebagai berikut.

Populasi : Yi = B1.23 + B12.3X2i + B13.2X3i + I (5.7)

Sampel : Yi = b1.23 + b12.3X12.3+ b13.2X3i + ei (5.8)

: Y i = b1.23 + b12.3X2i + b13.2X3i

1

Angka-angka yang tercantum pada setiap koefisien disebut indeks atau subscript, angka satu

menunjukan variabel Yi atau X ii (bisa juga Yi ditulis Xii, sebagai variabel pertama), angka dua

dan tiga menunjukan variabel X2 dan X3.

Koefesien b1.23 pemeriksa B1.23 disebut intercept, yaitu titik potong antara garis regresi dengan

sumbu tegak Y. Arti sesungguhnya sebetulnya merupakan rata-rata pengaruh (mean or

average effect) dari berbagai variabel atau faktor yang mempengaruhi Y, tetapi tidak

dimasukan dalam persamaan regresi. Interpretasi yang paling mudah ialah bahwa

b1.23merupakan nilai perkiraan rata-rata Y kalau X2 = X3 = 0, sebab Y i = b1.23 + b12.3X2 + b13.2X3,

Yi = b1.23. jadi, b1.23merupakan nilai perkiraan/ramalan Y kalau X2 = X3 = 0 (b1.23 dibaca b satu,

titik, dua tiga).

b12.3 dan b13.2 pemeriksa B12.3 dan B13.2 disebut koefisien regresi parsial (partial coefficient of

regression). b12.3 dan b13.2 dibaca b satu dua, titik, tiga dan b satu tiga,titik, dua. Didalam

analisis ekonomi, sering kali kita membuat asumsi/anggapan bahwa suatu faktor variabel

tetap, misalnya kita akan melihat pengaruh biaya advertensi (X3) terhadap hasil penjualan (Y2)

kalau pendapatan (X3) tetap, atau pengaruh harga terhadap jumlah permintaan kalau

pendapatan masyarakat konstan/tetap tidak berubah.

b12.3 menunjukan besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3 tetap.

B13.2menunjukan besarnya pengaruh X3 terhadap Y kalau X2 tetap.

Untuk 4 variabel, notasinya menjadi sebagai berikut:

Y i = b1.234 + b12.34X2 + b13.24X3 + b14.23X4

Misalnya:

Y = hasil penjualan (perkiraan atau ramalan)

X2 = biaya advertensi

X3 = pendapatan

X4 = harga, atau

Y = produksi padi (perkiraan atau ramalan)

X2 = pupuk

X3 = bibit

X4 = luas sawah

Notasi ini diciptakan oleh G. U. Yale12), yang kelihatannya secara sepintas terlalu ruwet,

tetapi sangat bermanfaat. Notasi ini sangat jelas menunjukan mana variabel yang tidak bebas

(selalu diberi symbol angka 1, merupakan variabel yang pertama), kemudian mana variabel

bebas yang dimulai dengan angka 2, 3, ..., dan seterusnya. Urutan angka-angka ini tidak

menunjukan pentingnya suatu variabel, fungsinya hanya sekedar untuk membedakan variabel

yang satu dengan yang lainnya.

Apabila kita perhatikan, setiap variabel tercantum dua indeks, yaitu X1i, X2i

,X3i’ dibaca Y

satu 1, X dua I, X tiga I,. indeks pertama menunjukan jenis variabel (hasil penjualan,

konsumsi, pendapatan nasional, produksi padi, dan lain sebagainya), sedangkan indeks yang

2

kedua menunjukan nilai observasi yang keberapa dari suatu variabel tertentu. Indeks i

menunjukan observasi ke i, yaitu data hasil pencatatan/penelitian dari suatu jenis variabel

tertentu. Indeks i bergerak/mempunyai nilai 1 atau satu sampai dengan n (n = banyaknya

elemen sampel, yaitu i = 1, 2, 3,..,n. kalau n = 25, I = 1, 2, 3,..., 25).

Contoh: Y11’ Y12’ Y13’ dibaca Y satu satu, Y satu dua, Y satu tiga, artinya nilai observasi Y

yang pertama, kedua dan ketiga.

X24’ X25’ X29 dibaca X dua empat, X dua lima, X dua Sembilan, artinya nilai

observasi X2 yang keempat, kelima, dan kesembilan.

X33’X37’X38 dibaca X tiga tiga, X tiga tujuh, X tiga delapan, artinya nilai observasi

X3 yang ketiga, ketujuh dan kedelapan.

Untuk regresi dengan tiga variabel (X1, X2,dan X3).

Seiap koefisien tercantum tiga angka sebagai indeks. Angka disebelah kiri tanda titik

disebut indeks utama (primary subscript), sedangkan yang disebelah kanan tanda titik disebut

indeks sekunder (secondary subscript).

Indeks utama yang pertama selalu menunjukan variabel tidak bebas Y, sedangkan

yang kedua menunjukan variabel bebas untuk koefisien regresi terkait, sedangkan indeks

sekunder menunjukan variabel-variabel bebas mana yang tercakup dalam model.

Conoth: b12.3 = besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3 tetap

b13.2 = besarnya pengaruh X3 terhadap Y kalau X2 tetap

b12.345 = besarnya pengaruh X2 terhadap Y kalau X3, X4, dan X5 tetap

b14.235 = besarnya pengaruh X4 terhadap Y,kalau X2,X3, dan X5 tetap

b15.234 = besar pengaruhnya X5 terhadap Y,kalau X2,X3, dan X4 tetap

5.1.1 Asumsi dalam Model Regresi Berganda

Untuk model regresi linear 3 variabel atau lebih, kita pergunakan asumsi-asumsi sebagai

berikut.

(1). E(i) = untuk setiap I, I = 1, 2,…,n. (5.9)

Artinya, rata-rata kesalahan pengganggu nol.

(2). Kov(i,j) = 0, I j (5.10)

Artinya, kovarin (i, j) nol. Dengan perkataan lain, tidak ada korelasi antara

kesalahan pengganggu yang satu dengan yang lainnya.

3

(3). Var(i) = σ 2 setiap i, i = 1, 2,…, n (5.11)

Artinya, setiap kesalahan pengganggu mempunyai varian yang sama.

(4). kov(i, X2i) = kov(i, X3i) = 0 (5.12)

Artinya, kovarian setiap kesalahan pengganggu dengan setiap variabel bebas nol.

Dengan perkataan lain, tidak ada korelasi antara kesalahan pengganggu dengan

setiap variabel bebas yang tercakup dalam persamaan regresi linear berganda.

(5). Tidak ada multicollinearity, yang berarti tidak ada hubungan linear yang ekstra antara

variabel-variabel bebas. Dalam hal 3 variabel, tidak ada korelasi antara X2 dan X3. Dengan

menggunakan bahasa matriks, tidak ada multicollinearity, berarti berlaku hubungan

berikut.

K1X2i + k2X3i = 0 (5.13)

Dimana k1 = k2 = 0. Dalam hal ini X2i dan X3i dikatakan linearly independent13) kalau

hubungan (5.13) berlaku, maka X2i dan X3i merupakan vector yang mencakup seluruh

observasi.

Persoalan kolinearitas ganda atau multicollinearity akan dibahas dalam buku jilid II,

sebab sudah termasuk penyimpangan asumsi statistika yang klasik mengenai regresi

linear. Walaupun demikaian, asumsi tidak adanya multicollinearity sangat mudah

dipahami, Misalkan dalam persamaan (5.7); Y, X2, dan X3 masing-masing menunjukan

konsumsi, pendapatan dan kekayaan. Dengan memasukan variabel pendapatan (X2) dan

kekayaan (X3) kedalam p[ersamaan regresi linear untuk meramalkan konsumsi (Y), teori

ekonomi menganggap bahwa kedua variabel tersebut mempunyai pengaruh yang bebas

(independent influence) terhadap konsumsi, ini berarti tidak ada hubungan atau korelasi

antara pengaruh pendapatan terhadap konsumsi dn pengaruh kekayaan terhadap

konsumsi. Kalau memang jelas X2 dan X3 ada hubungan linear yang eksak, maka cukup

satu variabel saja yang dimasukan dalam persamaan regresi linear berganda, tidak perlu

kedua duannya.

Skali lagi ditegaskan disini, bahwa persoalan multicollinearity akan dibahas secara

mendalam dalam buku jilid II, termasuk jalan keluarnya kalau memang terjadi

multicollinearity.

5.2 Interpretasi Persamaan Regresi Berganda, Arti, dan Cara Estimasi Koefisien

Regresi Parsial serta Variannya.

4

Perhatikan persamaan (5.7) berikut.

Yi = B1.23 + B12.3X2i + B13.2X3i + i

Apabila kita mengambil nilai harapan bersyarat (conaitional expectation) terhadap

Y, maka oleh karena E(i) = 0, kita peroleh hasil berikut.

E(Yi/X2,X3) = B1.23 + B12.3X2 + B13.2X3 (5.14)

Persamaan (5.14) merupakan rata-rata atau nilai harapan bersyarat Y dengan X2 dan

X3 yang nilainya diketahui (given). Jadi, analisis regrasi menghasilkan nilai rata-rata atau

nilai harapan bersyarat Y kalau X2 dan X3 nilainya diketahui. Nilai Y ini sangat

tergantung kepada nilai X2 dan X3 dan disebut rata-rata bersyarat oleh karena nilainya

akan berbeda, tergantung syaratnya. Kalau nilai X2 dan X3 berubah, nilai Y dengan

sendirinya akan bertambah. Bandingkan dengan hubungan dua variabel dalam bab 4,

E(Y0/X0) = A + Bx0, nilai E(Y0/X0) sangat tergantung kepada nilai X = X0.

5.2.1 Arti Koefisien Regresi Parsial

Arti koefisien regresi parsial adalah sebagai berikut. B mengukur perubahan rata-rata

atau nilai harapan Y, yaitu E(Y/X2,X3), kalau X2 berubah sebesar satu satuan (unit),

dimana X2 berubah satu satuan, diman X3 konstan. B13.2 mengukur besarnya perubahan Y

kalau X3 berubah sebesar satu satuan, diman X2 konstan. Dengan menggunakan bahasa

kalkulus B12.3 dan B13.2 merupakan turunan parsial E(Y/X2,X3) terhadap X2 dan X3.

Misalnya, Y = output, X2 = tenaga kerja (labour), X3 = modal (capital). Kita anggap

bahwa X2 dan X3 sangat diperlukan untuk menghasilkan output Y dan proporsinya yang

masing-masing dipergunakan untuk maksud tersebut dapat berubah-ubah (berbeda).

Misalkan, sekarang kita menaikan tenaga kerja satu satuan, maka akan terjadi

kenaikan pada Y (disebut the gross marginal product of labouri). Dapatkah kita

memisahkan pengaruh tenaga kerja (X2) terhadap output (Y) dari pengaruh faktor lain?

Kalau tidak, seolah-olah kenaikan Y hanya dimonopoli oleh X2, padahal X3 terhadap Y,

kita harus mengontrol pengaruh X3. Juga untuk menghitung andil tenaga kerja (X2)

terhadap Y, kita harus mengontrol pengaruh X2.

Bagaimana cara mengontrol pengaruh suatu variabel kalau akan dihitung andil suatu

variabel terhadap kenaikan Y? seperti contoh, kita akan mengontrol pengaruh linear

modal (X3) didalam mengukur pengaruh (X2) terhadap Y kalau X2 berubah (naik) satu

satuan. Caranya sebagai berikut.

Tahap 1 : Buat regresi Y terhadap X3 saja, sebagai berikut.

Yi = b1.3 + b13X3i + wi (5.15)

5

Persamaan (5.15) regresi linear sederhana, wi = kesalahan pengganggu.

Tahap 2 : Buat regresi X2 terhadap X3 saja, sebagai berikut.

X2i = b2.3 – b23X3i + vi (5.16)

Dimana vi = kesalahan pengganggu.

Sekarang wi = Yi – b1.3 – b13X3i

wi = Yi – Y I’ Y i = b1.3 + b13X3i

Dan

V1 = X2i - b2.3 – b23 X3i

V1 = X2i - X 2i’ X 2i = b2.3 + b23 X3i

Dimana Y i dan X 2i merupakan nilai perkiraan / ramalan dari regresi (5.15 dan 5.16).

Nilai Wi mewakili nilai Yi setelah dibebaskan dari pengaruh linier dari X3i’ artinya Wi

adalah nilai Yi yang sudah bebas dari pengaruh X3i . demikian pula dengan Vi’ yang

merupakan nilai X2i yang sudah bebas dari pengaruh X3i . Kemudian kita terus lanjutkan

ke tahap 3 sebagai berikut.

Tahap 3 : Buat regresi wi terhadap vi sebagai berikut.

Wi = a0 + a1 vi + zi

Dimana zi = kesalahan pengganggu.

Di sini a1 merupakan perkiraan besarnya pengaruh X2 terhadap Y (the net

marginal product of labor ) atau koefisien regresi ( koefesien arah ) dari Y

terhadap X2’ yaitu merupakan perkiraan dari B12.3.

Di dalam praktiknya, kita langsung menghitungnya berdasarkan rumus, tahapan-

tahapan tersebut hanya sekedar ilustrasi untuk dasar berpikir logis. Untuk menghitung

pengaruh X2’ masing-masing harus dubebaskan dari pengaruh X3. Rumus yang dipergunakan

untuk menghitung koefesien regresi parsial sudah memperhitungkan semua pertimbangan

diatas tersebut.

5.2.2. Cara Estimasi Koefisien Regresi Parsial

Ada dua cara untuk memperkirakan koefisien regresi parsial, yaitu dengan metode

kuadrat terkecil biasa (ordinary least squere=OSL) dan maximum likelihood method (ML).

Perhatikan persamaan berikut.

6

Y = b1.23+ b12.3X2 + b13.2X3 + ei

Metode kuadrat terkecil biasa terdiri dari pemilihan nilai parameter yang tidak

diketahui, sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat kesalahan pengganggu minimum

(terkecil). Atau dikemnkakanb secara sederhana cara menghitung b1.23’ b12.3’ dan b13.2 sebagai

perkiraan parameter B1.23’ B12.3’ dan B13.2 sedemikian rupa sehingga ∑ ei2= minimum.

Caranya ialah dengan jalan menurunkan parsial dari ∑ ei2 berturut-turut terhadap b1.23’

b12.3’ dan b13.2’ kemudian menyamakan dengan nol sebagai berikut.

∂∑ e i2

∂ b1.23

=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−1 )=0

∂∑ e i2

∂ b12.3

=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−X2 i )=0

∂∑ e i2

∂ b13.2

=2∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i ) (−X3 i )=0

Setelah disederhanakan, dapat diperoleh persamaan normal sebagai berikut.

nb1.23+b12.3∑ X2 i+¿b13.2∑ X3 i=∑Y i ¿

b1.23∑ X 2i+b12.3∑ X2i2 +b13.2∑ X2 i X3 i=¿∑ X2 iY i ¿

b1.23∑ X 3i+b12.3∑ X3 i X 2i+b13.2∑ X 3i2 =¿∑ X3 i Y i¿

Dari (5.19), kalau kita bagi n, kita peroleh rumus b1.23 sebagai berikut.

b1.23+b12.3 X2+b13.2 X3=Y

b1.23=Y−b12.3 X2−b13.2 X3

b12.3 dan b13.2 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut14).

b12.3=(∑ x2i y i ) (∑ x3 i

2 )−(∑ x3 i y i ) (∑ x2 i x3 i )(∑ x2 i

2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )

2

b13.2=(∑ x3 i y i ) (∑ x2 i

2 )−(∑ x2i y i ) (∑ x2 i x3 i )(∑ x2 i

2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )

2

Di mana x2i = X2i - X2 , X 3 i=X3 i−X3 , y i=Y i−Y

7

∑ x2 i

2=∑ X

2 i

2−

(∑ X2 i )2

n, ∑ x

2 iy i=∑ X

2 iY i−∑ X

2i∑ Yi/n

∑ x3 i

2=∑ X

3 i

2−

(∑ X 3i )2

n, ∑ x

3 iy i=∑ X

3 iY i−∑ X

3i∑Yi/n

∑ yi

2=∑ Y

i

2−

(∑Y i )2

n ∑ x

2 ix3 i=∑ X

2 iX 3i−∑ X

2 i∑ X3 i/n

Uraian lebih lanjut mengapa a1 = b12.3

a1=∑ (W i−W ) (V i−V )

∑ (V i−V )2

¿∑W 1V 1

∑ V 1

, sebab ∑W 1 = ∑V 1 = 0, jadi W = V = 0

Perhatikan persamaan (5,15) dan (5,16)!

Karena W = V = 0, maka

y1 = b13 X3 i+W i dan X2 i = b23 X3 i+V i

Dimana y i=Y i+Y , x2 i=X2 i+X2 i , dan x3 i=X3 i+X3

w i= y i−b13 x3 i dan V i=x2 i−b23 x3 i,

Dimasukan dalam a1

a1 = ∑ ( y i−b13 x3 i )(x2i−b23 x3 i)

∑ (x¿¿2 i−b23 x3 i)2¿

= ∑ x2i y i−b23∑ x3 i y i−¿b13∑ x2 i+b13 b23∑ x3 i

2

∑ x3 i2 +b23

2 ∑ x3 i2 −2b23∑ x2 i x3 i

¿

= Pembilangpenyebut

Ingat !

b23 = ∑ x2i x3i

∑ x3 i2

b13 = ∑ x3i y i

∑ x3 i2 , sekarang perhatikan!

b13∑ x2 i x3 i = ∑ x3i y i

∑ x3 i2 ∑ x2 i x3 i

b13b23∑ x3i2 =

∑ x3i y i

∑ x3 i2

∑ x2i x3i

∑ x3 i2 ∑ x3 i

2

Bagian pembilang dari a1

8

∑ x2 i y i−∑ x2 i x3 i∑ x3i y i

∑ x3 i2 −¿

∑ x3i y i∑ x2 i x3 i

∑ x3 i2 +

∑ x3 i y i∑ x2 i x3 i

∑ x3 i2

= ¿¿

Bagian penyebut dari a1

∑ x2 i2 +¿¿¿

= (∑ x2 i2 ) (∑ x3 i

2 )−¿¿¿

a1 = Pembilangpenyebut

= (∑ x2 i y i ) (∑ x3 i

2 )−(∑ x3 i yi ) (∑ x2i x3i )(∑ x2i

2 ) (∑ x3 i2 )−(∑ x2 i x3 i )

2

Jadi, memang benar a1= b1.23

5.2.3 Varian don Standard Error Koefisien Regresi Persial

Begitu varian koefisien regresi parsial dihitung, standard error-nya segera dapat

diketahui. yaitu dengan jalan mengambil akamya. Standard errorini sangat penting,

karena dapat dipergunakan untuk menguji hipotesis dan membuat perkiraan interval

koefisien regresi parsial. Rumus tentang varian dan standard error lebih mudah

diterangkan dengan menggunakan marriks, yang akan dijelaskan dalam bab terakhir

dalam buku jilid I ini. Untuk sementara, pernbaca dianjurkan untuk menggunakan

rumus berikut.

var (b12.3)=σ2 ∑ x3 i2

(∑ x2 i2 ) (∑ x3 i

2 )−(∑ x2 i x3 i )2 (5.25)

σ b12.3=√var (b12.3 )= standar error b12.3 (5.26)

var (b13.2 )=σ2 ∑ x2 i2

(∑ x2 i2 ) (∑ x3 i

2 )−(∑ x2 i x3 i )2 (5.27)

σ b13.2=√var (b13.2)= standar error b13.2 (5.28)

Karena σ 2 = varian kesalahan pengganggu, dan dalarn praktiknya tidak pernah diketahui,

maka diperkirakan dengan Se2sebagai berikut.

(5.29)

Pada umumnya, kalau persamaan garis regresi memuat 3 variabel (terrnasuk variabel

tidak bebas Y), maka:

(5.30)

Untuk selanjutnya, lebih baik kalau ∑ ei2 dihitung berdasarkan rumus berikut.

(5.31)

Uraian lebih lanjut tentan persamaan (5.31): \

Se2=∑ e i

2

n−3

∑ ei2=∑ y i

2−b12.3∑ x2 i y i−¿b13.2∑ x3 i yi ¿

Se2=∑ e i

2

n−k

9

Y i=b1.23+b12.3 X2 i+b13.2 X3. i+e i¿¿

e i=Y i−b1.23−b12.3 X 2i+b13.2 X 3iatau

e i=Y i−(Y−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i

=(Y i−Y )−b12.3 ( X2 i−X2 )−b13.2 (X3 i−X 3 )e i=Y i−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i

∑ ei2=∑ ei . ei

=∑ ei ( y i−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )

=∑ ei y i−b12.3∑ e iX2 i−b13.2∑ e iX

3 i

=∑ ei Y i , seb ab∑ e iX2i=∑ e iX

3 i=0

Sekarang,∑ ei Y i=∑ y i e i=∑ y i ( y i−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i)

Jadi,∑ ei2=∑ y i

2−b12.3∑ x2 i y i−¿b13.2∑ x3 i yi ¿ (terbukti)

Sifat-Sifat yang Dimiliki Pemerkira Berdasarkan Kuadrat Terkecil.

Beberapa sifat yang dimiliki oleh pemeriksa berdasarkan metode kuadrat terkecil adalah

sebagai berikut:

(1) Seperti halnya dengan garis regresi linear sederhana yang melalui koordinat (X , Y )

berdasarkan persamaan Y=a+b Xdalam dua dimensi, maka garis regresi linear

berganda juga melalui titik koordinat dalam tiga dimensi (X 2 , X3 , Y )berdasarkan

persamaan Y=b1.23+b12.3 X2−b13.2 X3

(2 ) Rata-rata perkiraan Y, yaitu Y sarna dengan rata-rata Y, yaitu Y , maksudnya Y=Y

.

Coba perhatikan hal berikut!

Y=b1.23+b12.3 X2 i−b13.2 X 3i

¿ (Y −b12.3 X2−−b13.2 X 3 )+b12.3 X2 i−b13.2 X3 i

¿Y +b12.3 ( X2i−X2 )+b13.2 (X 3i−X3 )

Y=Y +b12.3 X2 i+b13.2 X3 i, jumlahkan

∑ Y i=n Y +¿b12.3 X2 i−b13.2 X 3i ¿, bagi n

Y=Y , sebab ∑ X2 i=¿∑ X3 i=¿0¿¿ , jadi Y=Y

10

y i=Y +b12.3 X2 i+b13.2 X3 i, y i=Y i−Y

Dalam bentuk deviasi terhadap rata-rata, Y i dapat ditulis:

y i= y i+ei=b12.3 x2 i+b13.2 x3 i+e i

(3) ∑ ei=0, jadie=1n∑ ei=0

∑ ei=∑ (Y i−Y i )=∑ (Y i−b1.23−b12.3 X2 i−b13.2 X3 i )

= ∑ (Y i−Y +b12.3 X2−b13.2 X3−b12.3 X 2i−b13.2 X3 i )

= ∑ yi+b12.3∑ X2 i+b13.2 X3 i

∑ ei=0

(4) Kesalahan pengganggu e i tidak berkorelasi dengan perkiraan Y i yaitu Y i, artinya :

∑ ei Y i=0

(5) Kesalahan pengganggu e i tidak berkorelasi dengan variabel bebas X2 i dan X3 i, yaitu

∑ ei X2 i=∑ ei X3 i=0

(6) Seperti halnya dalam bab 4, untuk keperluan pengujian hipotesis, kita membuat asumsi

bahwa ε i mengikuti distribusi normal dengan rata-rata nol dan varian σ 2. Dengan

asumsi ini maka pemerkira b12.3 ,b13.2, b1.23 juga mengikuti distribusi normal dengan rata-

rata B12.3 ,B13.2, B1.23, dan varian masing-masing.

Coba perhatikan b12.3=Y−b12.3 X−b13.2 X3 sebagai fungsi Y, padahal Y fungsi e i. Oleh

karena e i mengikuti distribusi normal, maka dengan sendirinya b1.23 juga mengikuti

distribusi normal.

Baik b12.3 danb13.2 juga fungsi Y yang mengikuti dsitribusi normal, maka dengan

sendirinya juga normal, karena setiap fungsi linear distribusi normal akan normal juga.

Hal ini sangat berguna untuk pengujian hipotesis.

(7) Mengikuti logika dalam bab 4, dengan menggunakan asumsi normal, bisa ditunjukkan

bahwa (n-3) Se2/σ 2 akan mengikuti distribusi khai-kuadrat dengan derajat kebebasan (n-3).

. Hal ini sangat berguna untuk pengujian hipotesis.

(8) Baik dengan menggunakan metode kuadrat terkecil maupun maximum likelihood method,

kita akan mendapat pemerkira koefisien regresi yang sama, berapa pun jumlah variabel

yang dicakupnya. Akan tetapi, tidak akan berlaku bagi pemerkira Se2=∑ e1

2/ n, tanpa

memperhatikan banyaknya variabel yang dicakup dalam garis regresi. Sedangkan dengan

metode kuadrat terkecil, hal ini diperhitungkan, misalnya untuk hubungan 2 variabel, 3

variabel, dan k variabel, pemerkiraσ 2 masing-masing menjadi ∑ e12/(n-2), ∑ e1

2/ (n-3),

∑ e12/(n-k). Metode kuadrat terkecil memperhatikan derajat kebebasan (degrees of

freedom), sedangkan metode ML tidak.

11

5.3 Koefisien Determinasi dan Korelasi Berganda

Dalam hal dua variabel, Y dan X, koefisien (r2) mengukur tingkat

ketepatan/kecocokan (goodness of fit) dari regresi linear sederhana, yaitu merupakan

proporsi/ presentase sumbangan X variasi (terhadap naik turunnya) Y. Pengertian

tentang koefisien determinasi (r¿¿2)¿ dapat diperluas untuk regresi linear berganda

yang mencakup lebih dari dua variabel. Jadi, dalam hubungan 3 variabel, regresi Y

terhadap X2 danX3 , ingin diketahui berapa besarnya proporsi (persentase) sumbangan

X2 danX3 terhadap variasi (terhadap naik turunnya) Y secara bersama-sama.

Besarnya proporsi persentase sumbangan ini disebut koefisien determinasi berganda,

dengan simbol R2.

Uraian tentang R2 sama saja seperti uraian r2. Perhatikan persamaan berikut!

(5.32)

Dimana Yi = b1.23 + b12.3X2i + b13.2X3i merupakan perkiraan yang dihitung dari regresi linear

berganda dan juga merupakan pemerkira rata-rata Y, dengan syarat X2, dan X3, yaitu

E(Y/X2,X3). Selanjutnya, perhatikan perubahan yang terjadi kalau masing-masing variabel

dinyatakan dalam deviasi (diukur dari rata-ratanya, dengan simbol huruf latin kecil y i,x2i, dan

x3i, dimana yi = Yi - Y , x2i = X2i – X 2, x3i = X3i - X 3).

(1) Yi = b1.23 + b12.3 X2i+ b13.2X3i + e, jumlahkan

∑Yi = nb1.23 = b12.3∑X2i + b13.2∑X3i + ∑ei, bagi n

(2) Y = b1.23 + b12.3 X 2 + b13.2X 3 + e, (1) – (2)

Yi - Y = b12.3 (X2i - X 2) + b13.2 (X3i - X 3) + ei - e

yi = b12,3x2i + b13.2x3i + ei

Jadi, yi = y i + ei (5.33)

di mana y b12.3x2i + b13.2 x3i

sekarang persamaan (5.33) dkuadratkan kemudian dijumlahkan :

∑y i2 = ∑( y i + ei)2

= ∑( y i2 + 2 y iei + e i

2)

∑ y i2 = ∑ y i

2 + ∑e i2, sebab 2 y iei = 0 (5.34)

Dengan perkataan lain, persamaan (5.34) berarti bahwa total jumlah kuadrat (TSS) sama

dengan jumlah kuadrat dari regresi (ESS) ditambah dengan jumlah kuadrat kesalahan

pengganggu (RSS). Dengan jalan mengganti ∑e i2 seperti dalam persamaan (5.31), maka kita

peroleh persamaan berikut.

∑y i2 = ∑ y i

2 + ∑y i2 - b12.3 ∑X2iyi – b13.2 ∑x3iyi

setelah diadakan pengaturan kembali, ∑ y i2 akan hilang, maka diperoleh persamaan berikut.

Y1 = b1.23 + b12.3X21 + b13.2X3i + ei

= Yi + ei

12

ESS = ∑ y i2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi (5.35)

Sekarang rumus R2 diperoleh dengan menggunakan definisi :

R2 = ESS/ TS = ∑ y i2 / ∑y i

2

R2 = b12.3 ∑ x2 i y i+b13.2 ∑ x3 i y i

∑ y i2 (3.36)

Seperti halnya r2, R2 nilainya antara nol dan satu :

0 ≤ R2 ≤ 1

Kalau R2 berarti proporsi / persentase sumbanan X2 dan X3 terhadap variasi atau naik

turunnya Y sebesar 100%. Jadi, variasi yang terjadi seluruhnya disebabkan oleh X2, dan X3,

tidak ada faktor / variabel lain yang mempengaruhi Y. Dalam praktiknya, hal ini jarang

terjadi, sebab bagaimanapun juga, walaupun secara teoritis kita bisa memasukkan semua

variabel yang mempengaruhi Y di dalam persamaan regresi linear berganda, di dalam

praktiknya hal ini tidak mungkin. Sebagai contoh, kita ingin meramalkan hasil penjualan

suatu jenis barang tertentu (Y), kita masukkan variabel lain yang mempengaruhi hasil

penjualan, misalnya biaya advertensi (X3), harga (X3), pendapatan masyarakat (X4), selera

masyarakat (sulit diukur), adanya barang substitusi /Imitasi (sulit diukur), banyaknya suami

istri yang bercekcok dalam memutuskan jadi membeli barang atau tidak (mula-mula suami

tidak mau membelikan, tetapi setelah terjadi percekcokan/perselisihan, suami mengalah,

diputuskan untuk membeli barang dipersilakan), juga susah diukur, karena cuaca (pasangan

suami/istri lebih senang tinggal di rumah daripada pergi berbelanja), karena demonstrasi, dan

faktor-faktor lainnya lagi yang susah diukur, biasanya dimasukkan dalam kesalahan

pengganggu (disturbance’s error).

Kesalahan pengganggu ini, yang sumbangannya terhadap variasi Y diukur dengan ∑e i2,

sebagai penyebab nilai R2 tidak dapat mencapai nilai satu. Inilah sebabnya ramalan suatu nilai

variabel jarang tepat, karena walaupun secara teoretis kita bisa memasukkan semua nilai

variabel yang mempengaruhi Y, di dalam praktiknya sukar diukur atau data tidak tersedia.

Contoh lainnya, kita ingin meramalkan produksi padi (Y) dengan mema sukkan

variabel-variabel yang mempengaruhi, misalnya jumlah bibit yang tersedia untuk ditanam

(X), jumlah pupuk (X3), luas sawah yang ditanami padi (X4), curah hujan (X5) jumlah petani

panenan padi (X6), harga padi/beras (X), dan banyaknya hama (tikus, wereng, walang sangit),

Yang terakhir ini susah diukur, sampai sekarang tidak ada statistik yang menunjukkan jumlah

tikus, wereng, dan walang sangit.

Hal-hal yang sukar diukur atau dapat diukur tetapi datanya tidak tersedia, biasanya

dimasukkan dalam kesalahan pengganggu, sehingga bisa mengganggu ramalan, yang

menyebabkan ramalan tidak tepat.

Contoh untuk meramalkan produksi padi ini kalau dituliskan persamaan regresinya

menjadi:

Y = B1 + B2 + B3X3 + B4X4 + B5X5 + B6X6 + B7X7 + ε

13

atau perkiraannya berdasarkan data sampel:

Y = bi +b2X2 + b3X3 + b4X4 + b5X5 + b6X6 + b7X7 + e

atau pada umumnya:

Y = B1 + B2X2 + B3X3 + ... + B1X1 + ... + BkXk + ε

atau perkiraannya berdasarkan data sampel:

Y = b1 + b2X2 + b3X3 + ... + b1X1 + ... + bkXk + e

Kembali lagi ke nilai R2, nilainya paling besar 1 dan paling kecil nol. Kalau R2= 0, garis

regresi tidak dapat dipergunakan untuk membuat ramalan Y, sebab variabelvariabel bebas

yang dimasukkan dalam persamaan regresi tidak mempunyai pengaruh terhadap Y,

sumbangan/kontribusinya terhadap variasi Y nol. Makin dekat R2 dengan satu, makin tepat

/cocok garis regresi untuk meramalkan Y, itulah sebabnya, baik r2 maupun R2 dipergunakan

sebagai suatu kriteria untuk rnengukur cocok tidaknya suatu garis regresi untuk

rnernperkirakan/rneramalkan variabel tidak bebas Y (goodness of fit criteria).

Kalau r disebut koefisien korelasi dalam-hubungan dua variabel X dan Y yang

rnengukur kuatnya hubungan antara X dan Y, maka R disebut koefisien korelasi berganda

untuk mengukur kuatnya hubungan antara X2, X3, ... , Xk secara bersamasama dan Y. Dalam

praktiknya, R2 lebih penting daripada R, sebab langsung dapat mengetahui besarnya

proporsi/persentasi sumbangan dari X2, X3, … , Xk secara bersama-sama terhadap variasi atau

naik turunnya Y. Dihitung dahulu r2 (R2), kemudian untuk memperoleh r (R), tinggal

mengambil akar dari masing-masing.

Berikut ini contoh penggunaan fungsi produksi cobb-douglas.

Y – B1.23 X2 iB 12.3 X2 i

B 13.2

setelah diambil lognya dengan bilangan pokok e,

In Yi = B0 + B12.3 In X2i+ B13.2 In X3i

dimana:

Y = output, X2 = tenaga kerja dalam satuan,

X3= modal, B0 = In B1.23

Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas sangat dikenal oleh para ahli ekonomi yang

menggunakan metode analisis kuantitatif dan banyak manfaatnya. Sebagai contoh, B12.3 dan

B13.2 mengukur elastisitas tenaga dan modal terhadap output. Jumlah B12.3 + B13.2 memberikan

informasi mengenai returns to scale, yaitu besarnya reaksi output terhadap perubahan input

secara proporsional. Kalau B12.3 + B13.2 = 1, maka akan ada returns to scale yang konstan,

artinya kalau input menjadi dua kali, maka secara proporsional output juga menjadi dua kali.

Kalau B12.3 + B13.2 < 1 (kurang dari 1), akan terjadi penurunan returns to scale, artinya kalau

input menjadi dua kali, maka secara proporsional output akan menjadi kurang dari dua kali.

Akhirnya, kalau B12.3 + B13.2 > 1 (lebih besar dari 1), akan terjadi peningkatan/kenaikan returns

14

to scale, artinya kalau input menjadi dua kali, maka secara proporsional, output akan menjadi

lebih dari dua kali.

Contoh soal 5.1

Y X2X3

In Y In X2In X3

16607,699

17511,301

20171,199

20932,898

20406,000

20831,602

24806,301

26465,801

27403,000

28628,699

29904,500

27508,199

29035,500

29281,500

31535,500

275,500

274,400

269,700

267,000

267,800

275,000

283,000

300,700

307,500

303,700

304,700

298,600

295,500

299,000

288,100

17803,699

18096,801

18271,801

19167,301

19647,602

20803,500

22076,602

23445,199

24939,000

26713,699

29957,801

31585,898

33474,500

34821,801

41794,301

9,718

9,771

9,912

9,949

9,924

9,944

10,119

10,184

10,218

10,262

10,306

10,222

10,276

10,285

10,359

5,619

5,615

5,597

5,587

5,590

5,617

5,645

5,706

5,728

5,716

5,719

5,699

5,689

5,700

5,663

9,787

9,803

9,813

9,861

9,886

9,943

10,002

10,062

10,124

10,193

10,308

10,360

10,419

10,458

10,641

X2 = tenaga kerja (jutaan tenaga kerja)

X3 = modal (jutaan satuan mata uang)

Y = output (jutaan satuan mata uang)

Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas dengan metode kuadrat terkecil, kemudian carilah

persamaan regresi berganda!

In Yi = b0 + b12..3 In X2i + b13.2 In X3i (dilengkapi dengan standard error, R2

, S

e ).

Pemecahan

Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)!

Y* = b0 + b12.3 X*2i + b13.2 X*3

Dimana:

Y* = In Yi

15

X*2i = In X2i

X*3i = In X3i

Rumus:

b12.3 = ( x*2i y*i) ( x*2 3i) – ( x* 3i y*i) ( x*2i x* 3i )

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

b13.2 = ( x*3i y*i) ( x*2 2i) - ( x* 2i y*i) ( x*2i x* 3i )

(x2 i¿ 2

) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

b0 = Y * - b12.3 X 2* - b13.2 X 3*

S2b12.3 = Se2 x*2 3i

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

Sb12.3 = √ S2 b12..3 = standard error (b12.3)

S2 b13.2 = S2e x*2 2i

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

ei2 = y*i 2- b12..3 x* 2i yi - b13..2 x* 3i yi

Se2 = ei2 / n - 3

X*2

In X2

X*3

In X3

Y*

In Y

x*2

(X*2 – X*2)

x*3

(X*3 – X*3)

y*

(Y* - Y*)

5,619

5,615

5,597

5,587

5,590

5,617

5,645

5,706

5,728

5,716

5,719

5,699

5,689

5,700

5,663

9,787

9,803

9,813

9,861

9,886

9,943

10,002

10,062

10,124

10,193

10,308

10,360

10,419

10,458

10,641

9,718

9,771

9,912

9,949

9,924

9,944

10,119

10,184

10,218

10,262

10,306

10,222

10,276

10,285

10,359

-0,040

-0,044

-0,062

-0,072

-0,069

-0,042

-0,014

0,047

0,069

0,057

0,060

0,040

0,030

0,041

0,004

-0,324

-0,308

-0,298

-0,250

-0,225

-0,168

-0,109

-0,049

0,013

0,082

0,197

0,249

0,308

0,347

0,530

-0,379

-0,326

-0,185

-0,148

-0,173

-0,153

0,022

0,087

0,121

0,165

0,209

0,125

0,179

0,188

0,262

X*2 = 84,89 X*3 = 151,66 Y* = 151,449

16

X*2 = 5,659 X*3 = 10,111 Y* =10,097

x*2 x*3 y* x*2 2 x*2 3 x*2x*3 x*2 y* x*3 y*

-0,040

-0,044

-0,062

-0,072

-0,069

-0,042

-0,014

0,047

0,069

0,057

0,060

0,040

0,030

0,041

0,004

-0,324

-0,308

-0,298

-0,250

-0,225

-0,168

-0,109

-0,049

0,013

0,082

0,197

0,249

0,308

0,347

0,530

-0,379

-0,326

-0,185

-0,148

-0,173

-0,153

0,022

0,087

0,121

0,165

0,209

0,125

0,179

0,188

0,262

0,0016

0,0019

0,0038

0,0052

0,0048

0,0018

0,0002

0,0022

0,0048

0,0032

0,0036

0,0016

0,0009

0,0017

0,00002

0,1050

0,0949

0,0888

0,0625

0,0506

0,0282

0,0119

0,0024

0,0002

0,0067

0,0388

0,0620

0,0949

0,1204

0,2809

0,0130

0,0136

0,0185

0,0180

0,0155

0,0071

0,0015

-0,0023

0,0009

0,0047

0,0118

0,0100

0,0092

0,0142

0,0021

0,0152

0,0143

0,0115

0,0107

0,0119

0,0064

-0,0003

0,0041

0,0083

0,0094

0,0125

0,0050

0,0054

0,0077

0,0010

0,1228

0,1004

0,0551

0,0370

0,0389

0,0257

-0,0024

-0,0043

0,0016

0,0135

0,0412

0,0311

0,0551

0,0652

0,1389

x*2 2

0,0373

x*2 3

1,0482

x*2x*3

0,1378

x*2 y*

0,1231

x*3 y*

0,7198

b12.3 = ( x*2i y*i) ( x* 2 3i) – ( x* 3i y*i) ( x*2i x* 3i )

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

Pembilang : (∑x*2iy*3i2) (∑x*3i

2) – (∑x*3iy*i) (∑x*2ix*3i)

= (0,1231) (1,0482) – (0,7198) (0,1378)

= 0,0299

Penyebut : (x*2i 2) (x*3i 2) - (x*2i x* 3i )2

= (0,0373) (1,0482) – (0,1378)2

= 0,0201

b12.3 = 0,0299

0,0201

= 1,4876

b13.2 = ( x*3i y*i) ( x* 2 2i) - ( x* 2i y*i) ( x*2i x*3i )

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

Pembilang = (0,7198) (0,0373) - (0,1231) (0,1378)

17

= 0,0268 – 0,0170 = 0,0099

Penyebut sama dengan diatas

b13.2 = 0,0099

0,0201

= 0,4925

b0 = Y* - b12.3 X*2 - b13.2 X*3

= 10,097 - 1,4876 (5,659) – 0,4925 (10,111)

= 10,097 – 8,4183 – 4,9797

= -3,3010

y*2i = (-0,379)2 + (0,326)2 + … + (0,262)2

= 0,6046

e2i = y*2i - b12.3x*2i y*i – b13.2x*3i y*i

= 0,6046 – (1,4876) (0,1231) – (0,4925) (0,7198)

= 0,6046 – 0,1831 – 0,3545

= 0,067

S2e = e2i / n – 3

= 0,067 / 12

= 0,00558

R2 = Ŷ*2i / y*2i

= b12.3 x*2i y*i + b13.2 x*3i y*i

y*2i

= 0,1831 + 0,3545

0,6046

= 0,5376

0,6046

= 0,8892

18

S2b12.3 = S2e x*2 3i

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

1,0482

= 0,005583

0,0201

= 0,00585

0,0201

= 0,2910

Sb12.3 = √ S2 b12.3

= √0,2910

= 0,5394

S2 b13.2 = S2e x*2 2i

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

= 0,005583 0,0373

0,0201

= 0,00028 = 0,0103

0,0201

S b13.2 = 0,1015

Persamaan regresi linear berganda:

Ŷ = -3,3010 + 1,4876X*2 + 0,4925X*3 R2 = 0,8892

Standard error : (0,5394) (0,1015) Se = 0,0747

Perhatian!

Apabila dihitung dengan komputer, hasilnya pasti akan lain (berbeda), oleh karena adanya

kesalahan pembulatan (rounding error). Tentu saja perhitungan dengan komputer memberikan

hasil yang lebih teliti. Standard error untuk b0 = log b1.23 , yang disebut intercept, tidak

dihitung. Dalam praktik, biasanya hanya standard error dari koefisien regresi yang dihitung.

19

b1.23 = 1,4876, artinya kalau X2 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 1,5 kali, kalau X3

tetap.

b13.2 = 0,4925, artinya kalau X3 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 0,49 kali, kalau

X2 tetap.

X2 = X2 , X3 = log X3 , Y* = log Y, Ŷ* = perkiraan/ramalan Y*, merupakan nilai regresi.

R2 = 0,8892, artinya besarnya sumbangan (andil) X2 dan X3 terhadap variasi (naik turunnya)

Y* sebesar 89%, sedangkan sisanya sebanyak 11%, merupakan sumbangan faktor lainnya

dengan persamaan regresi Y* = -3,3010 + 1,4876X2 + 0,4925X3 sudah diketahui lainnya.

Contoh soal 5.1 Berdasarkan Data dari BPS dan BI

Y X2X3

In Y In X2In X3

3943876745758025514601755982115668234880

1,5981,6701,7051,7431,824

336113,72651606,1981598,6118246,58783141,04

17,49017,63917,75617,90718,038

0,4690,5130,5330,5560,601

12,72513,38711,3099,81113,571

X2 = tenaga kerja (jutaan tenaga kerja)

X3 = modal (jutaan satuan mata uang)

Y = output (jutaan satuan mata uang)

Penggunaan fungsi produksi cobb-douglas dengan metode kuadrat terkecil, kemudian carilah

persamaan regresi berganda!

In Yi = b0 + b12..3 In X2i + b13.2 In X3i (dilengkapi dengan standard error, R2

, Se ).

Pemecahan

Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)!

Y* = b0 + b12.3 X*2i + b13.2 X*3

Dimana:

Y* = In Yi

X*2i = In X2i

X*3i = In X3i

Rumus:

b12.3 = ( x* 2i y* i ) ( x*2 3i ) – ( x* 3i y* i ) ( x* 2i x* 3i )

(x*2 2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

b13.2 = ( x* 3i y* i ) ( x*2 2i ) - ( x* 2i y* i ) ( x* 2i x* 3i )

(x2 i¿ 2

) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

20

b0 = Y * - b12.3 X 2* - b13.2 X 3*

S2b12.3 = Se2 x*2 3i

(x*2 2i) (x*2

3i) - (x*2i x*3i)2

Sb12.3 = √ S2 b12..3 = standard error (b12.3)

S2 b13.2 = S2e x*2

2i

(x*2 2i) (x*2

3i) - (x*2i x*3i)2

ei2 = y*i 2- b12..3 x* 2i yi - b13..2 x* 3i yi`

Se2 = ei2 / n - 3

X*2

In X2

X*3

In X3

Y*In Y

x*2

(X*2 – X*2)x*3

(X*3 – X*3)y*

(Y* - Y*)0,4690,5130,5330,5560,601

12,72513,38711,3099,81113,571

17,49017,63917,75617,90718,038

-0,065-0,021-0,0010,0220,067

0,5641,226-0,852-2,351,41

-0,276-0,127-0,010,1410,272

X*2 = 2,672 X*3 = 60,803 Y* = 88,83

X*2 = 0,534 X*3 = 12,161 Y* =17,766

x*2 x*3 y* x*2 2 x*2 3 x*2x*3 x*2 y* x*3 y*

-0,065-0,021-0,0010,0220,067

0,5641,226-0,852-2,351,41

-0,276-0,127-0,010,1410,272

0,0042250,0004410,0000010,0004840,004489

0,3180961,5030760,7259045,52251,9881

-0,03666-0,0257460,000852-0,05170,09447

0,017940,0026670,000010,0031020,004489

-0,155664-0,1557020,00852-0,331350,38352

x*2 20,00964

x*2 3

10,057676x*2x*3

0,018784x*2 y*0,028208

x*3 y*0141364

b12.3 = ( x* 2i y* i ) ( x* 2 3i ) – ( x* 3i y* i ) ( x* 2i x* 3i )

(x*2 2i) (x*2

3i) - (x*2i x*3i)2

Pembilang : (∑x*2iy*3i2) (∑x*3i

2) – (∑x*3iy*i) (∑x*2ix*3i)

= (0,028208) (10,057676) – (0,141364) (0,018784) = 0,283706924 – 0,002655381

= 0,281051543= 0,2811

Penyebut : (x*2i 2) (x*3i

2) - (x*2i x* 3i )2

= (0,00964) (10,057676) – (0,018784)2

= 0,096955996 – 0,000352838

= 0,096603158 = 0,0966

b12.3 = 0, 2811

21

0,0966

= 2,9099

b13.2 = ( x* 3i y* i ) ( x* 2 2i ) - ( x* 2i y* i ) ( x* 2i x* 3i ) (x*2

2i) (x*2 3i) - (x*2i x*3i)2

Pembilang = (0,141364) (0,00964) - (0,028208) (0,018784) = 0,001362748 – 0,000529859

= 0,000832889= 0,0008

Penyebut sama dengan diatas

b13.2 = 0,00 08

0,0966

= 0,0083

b0 = Y* - b12.3 X*2 - b13.2 X*3

= 17,766 – 2,9099 (0,534) – 0,0083 (12,161)

= 17,766 – 1,5539 – 0,1009

= 16,1112

y*2i = (-0,276)2 + (-0,127)2 +(-0,01)2 + (0,141)2 + (0,272)2

= 0,1863

e2i = y*2i - b12.3x*2i y*i – b13.2x*3i y*i

= 0,1863 – (2,9099) (0,028208) – (0,0083) (0,141364)

= 0,1863 – 0,0821 – 0,0012

= 0,103

S2e = e2i / n – 3

= 0,103 / 2

= 0,0515

R2 = Ŷ*2i / y*2i

= b 12.3 x* 2i y* i + b 13.2 x* 3i y* i y*2i

= 0, 0821 + 0, 0012 0,1863

= 0, 0833 0,1863

22

= 0,4471

S2b12.3 = S2e x*2

3i

(x*2 2i) (x*2

3i) - (x*2i x*3i)2

10,057676= 0,0515

0,096603158= 5,361836246

= 5,3618

Sb12.3 = √ S2 b12.3

= √5,3618

= 2,3156

S2 b13.2 = S2e x*2 2i

(x*2 2i) (x*2

3i) - (x*2i x*3i)2

= 0,0515 0,00964

0,096603158

= 0,005139169

= 0,0051

S b13.2 = 0,0717

Persamaan regresi linear berganda:

Ŷ = 16,1112 + 2,9099X*2 + 0,0083X*3 R2 = 0,4471

Standard error : (2,3156) (0,0717) Se = 0,2269

b1.23 = 2,9099, artinya kalau X2 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 2,9 kali, kalau X3

tetap.

b13.2 = 0,0083, artinya kalau X3 naik satu satuan (1 unit), Y* diharapkan naik 0,0083 kali,

kalau X2 tetap.

X2 = X2 , X3 = log X3 , Y* = log Y, Ŷ* = perkiraan/ramalan Y*, merupakan nilai regresi.

23

R2 = 0,4471, artinya besarnya sumbangan (andil) X2 dan X3 terhadap variasi (naik turunnya)

Y* sebesar 44%, sedangkan sisanya sebanyak 56%, merupakan sumbangan faktor lainnya

dengan persamaan regresi Y* = 16,1112+ 2,9099X2 + 0,0083X3 sudah diketahui lainnya.

Contoh Soal 5.2

X2 = indeks pendapatan nasional suatu Negara

X3 = indeks harga impor suatu komoditi

Y = indeks impor suatu komoditi

Ada anggapan bahwa impor dari suatu Negara (Y) dipengaruhi oleh pendapatan

nasional

Negara tersebut (X2 ) dan harga impor komoditi tersebut (X3 ).

Buat persamaan garis regresi linear berganda, lengkapi dengan standard error, R2

, dan

Se

berdasarkan data berikut:

X2 X3 Y

100 100 100

104 99 106

106 110 107

111 126 120

111 113 110

115 103 116

130 102 123

134 103 133

136 98 137

Pergunakan rumus (5.23) dan (5.24)

Ŷ= b12.3 + b12.3 X2 +b13.2 X3

Dimana :

b12.3 = (∑x2iyi)(∑x23i)- (∑x2ix3i) (∑x2ix3i)

(∑ x22i) (∑ x2

3i) – (∑ x2ix3i)2

24

b13.2 = (∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)

(∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

b1.23 = Y – b12.3 X

2 – b13.2 X 3

Berdasarkan pengolahan data diatas :

∑X2i = 1047 ∑X3i =954 ∑Yi = 1052 ∑X22i = 123.271

∑X23i = 101.772 ∑Y2

i = 124.228 ∑X2i Yi= 123.680 ∑X3iYi = 111.433

∑X2i X3i= 110.720 X2 = 116,33 ∑X

3 = 106 Y = 116,89

∑x22i = ∑X2

2i – ( ∑X2i )2/n = 123.271 – (1.047)2/9

= 123.271 – 121,801 = 1.047

∑x23i = ∑X2

3i – (∑X3i)2/n = 101.772 – (954)2/9

= 101.772 – 101.124 = 648

∑y2i = ∑Y2

i – (∑i)2/n = 124.228 – (1.052)2/9

= 124.228 – 122.967,11 = 1.260,89

∑x2ix3i = ∑X2iX3i - ∑X2i∑X3i = 110.720 – ( 1.047) (954)

n 9

= 110.720 – 110.982 = -262

∑x2iyi = ∑X2iYi - ∑X2i∑2i∑Yi/n = 123.680 – (1.047) (1.052)

9

= 123.680 – 122.382,67 = 1.297,33

∑x3iyi =∑X3iYi - ∑X3i∑Yi/n = 111.433 – (954) (1.052)

9

= 111.433 – 111.512 = -79

Menghitung b12.3:

Pembilang : = (∑x2iyi) (∑x23i)- (∑x3iyi) (∑x2ix3i)

= (1.297,33) (648) – (-79) (-262)

= 819.971,84

Penyebut : = (∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

= (1.407) (648) – (-262)2

= 883.916

b12.3 = 819.971,84 = 0,9277

25

883.916

Menghitung b13.2 :

Pembilang :

(∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)

= (-79)(1.470) – (1.297,33)(-262)

= 223.770,46

Penyebut : sama

b13.2 =

223 .770,46833 . 916 = 0,2532

b1.23 = Y – b12.3X

2 – b13.2X

3

= 116,89 – ( 0,9277) (116,33) – (0,2532) (106)

= -17,8685

∑e2i = ∑y2

i – b12.3 ∑x2iyi – b13.2 ∑x3iyi

= 1.260,889 – 1.203,533 + 20,0028

= 77,3588

S2e =

77,35886 = 12,8931

S2e = 3,5907

R2 = ∑y2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi

∑y2i ∑y2

i

= 1.203,533 + 20,0028 = 0,9387

1.260,889

S2b12.3 = S2

e ∑x23i

(∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

=12 , 8931

648883 . 916 = 0,0095

Sb12.3 = 0,0972

26

S2b13.2 = S2

e ∑x22i

(∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

= 12 , 8931

1 . 470883 . 916 = 0,0214

Sb13.2 = 0,1464

Persamaan garis regresi linear berganda :

Ŷ = b1.23 + b12.3 + b13.2X3

Ŷ = -17,8685 + 0,9277X2 + 0,2532X3 R2 = 0,9387

Standard error : (0,0972) (0,1464) Se = 3,5907

b12.3 = 0,93. Artinya, kalau X2 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,93 kali,

kalau X3 tetap.

b13.2 = 0,25. Artinya, kalau X3 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,25 kali,

kalau X2 tetap.

R2 = 0,9387. Artinya, besarnya sumbangan X2dan X3 terhadap variasi ( naik turunnya ) Y

sebesar 94%, sedangkan sisanya sebesar 6% disebabjan oleh faktor-faktor lainnya, dengan

persamaan regresi Ŷ = -17,8685 = 0,9277X2 + 0,2532X3

Contoh soal 5.2

Tahun X2 X3 Y2006 100 100 100

2007113.75

3 93.321 93.972

2008131.97

9134.61

5139.93

5

2009148.42

6104.18

1817.46

2

2010 196.81126.92

3872.02

9

X2 = Indeks Pendapatan Domestik Regional BrotoX3 = Indeks Harga Impor Bahan baku untuk industri (olahan)Y = Indeks Impor Bahan baku untuk industri (olahan)

Tahun X2 X3 Y X22 X32 Y2 X2Y X3Y X2X3

2006 100 100 100 10000 10000 10000 10000 10000 10000

2007 113.753 93.321 93.97212939.7

58708.80

98830.73

7 10689.68769.56

110615.5

4

2008 131.979 134.615 139.93517418.4

6 18121.2 19581.818468.4

818837.3

517766.3

5

2009 148.426 104.181 817.46222030.2

810853.6

8668244.

1121332.

685164.0

115463.1

7

2010 196.81 126.923 872.029 38734.1 16109.4 760434. 171624 110680. 24979.7

27

8 5 6 5 2

∑❑ 690.968 559.042023.39

8101122.

763793.1

4 1467091332114.

7233451.

578824.7

8

Belanja statistic

∑ x22=5.635,344596 ∑ x2 x3=1.569,029856

∑ x32=1.287,99568 ∑ x2 y=52.494,04615

∑ y2=648.263,1067 ∑ x3 y=7.219,416416

Menghitung b12.3:Pembilang : = (∑x2iyi) (∑x2

3i)- (∑x3iyi) (∑x2ix3i)= (52.494,04615) (1.287,99568) – (7.219,416416) (1.569,029856)= 56.284.624,77

Penyebut : = (∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

= (5.635,344596) (1.287,99568) – (1.569,029856)2

= 4.796.444,806

b12.3 = 56.284 .624,774.796 .444,806

= 11,73465495= 11,7347

Menghitung b13.2 :Pembilang :

(∑x3iyi) (∑x22i) – (∑x2iyi) (∑x2ix3i)

= (7.219,416416)(5.635,344596) – (52.494,04615)(1.569,029856) = -41.680.826,38

Penyebut : sama

b13.2 =−41.680 .826,384.796 .444,806

= -0,008689941 = -0,0087

b1.23 = Y – b12.3X

2 – b13.2X

3

= 404.679,6 – ( 11,7347) (138.193,6) – (-0,0087) (11180,8) = 404.679,6 – 1.621.660,438 – ( -97,27296)

= -1.216.883,565

∑e2i = ∑y2

i – b12.3 ∑x2iyi – b13.2 ∑x3iyi

= 648.263,1067 – 616.001,8834 – (- 62,8089)= 32.324,0322

S2e =

32.324,03222

S2e = 16.162,0161

Se = 127,1299182= 127,1299

R2 = ∑y2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi

∑y2i ∑y2

i

= 616.001,8834−62,8089

648.263,1067= 0,950137479= 0,9501

S2b12.3 = S2

e ∑x23i

28

(∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

= 16.162,0161 1.287,99568

4.796 .444,806= 4,340007601

Sb12.3 = 2,08326849 = 2,0833

S2b13.2 = S2

e ∑x22i

(∑x22i) (∑x2

3i) – (∑x2ix3i)2

= 16.162,0161 5.635,3445964.796 .444,806

= 18,98875809

Sb13.2 = 4,357609217 = 4,3576

Persamaan garis regresi linear berganda :Ŷ = b1.23 + b12.3 + b13.2X3

Ŷ = -1.216.883,565 + 11,7347X2 + (-0,0087X3 R2 = 0,9501Standard error : (2,0833) (4,3576) Se = 127,1299

b12.3 = 11,7. Artinya, kalau X2 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0\11,7 kali, kalau X3 tetap.b13.2 = -0,0087. Artinya, kalau X3 naik satu satuan ( 1 unit ), diharapkan Ŷ akan naik 0,0087 kali, kalau X2 tetap.R2 = 0,9501. Artinya, besarnya sumbangan X2dan X3 terhadap variasi ( naik turunnya ) Y sebesar 95%, sedangkan sisanya sebesar 5% disebabjan oleh faktor-faktor lainnya, dengan Ŷ = -1.216.883,565 + 11,7347X2 + (-0,0087X3.

5.3.1 Perbandingan Dua R2 atau lebih dan R2 yang disesuaikan

Yang menarik dari sifat-sifat atau ciri-ciri dari R2 ialah bahwa R2 merupakan fungsi

yang selalu menarik (nondecreasing function) dan variabel-variabel bebas yang tercakup

dalam persamaan regresi linear berganda. Makin banyak variabel yang tercakup dalam suatu

model garis regresi, makin menaik fungsi tersebut, artinya makin besar nilai R2 tersebut.

Dengan perkataan lain, setiap pertambahan variabel bebsa dalam model regresi selalu akan

memperbesar nilai R2.

Ingat definisi tentang R2, sebagai berikut.

R2 = jumlah kuadrat regresitotal jumlahkuadrat

= ESSTSS

= ESS−RSS

TSS = 1 -

RSSTSS

, RSS = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu

(residual sum of squares)

R2 = 1 - ∑ei

2

∑ y i2

29

5.4 Koefisien Korelasi Parsial dan Hubungan Berbagai Koefisien Korelasi dan

Regresi.

Dalam bab 4 telah dibahas mengenai koefisien korelasi antara dua variabel X dan Y ,

yang dimaksudkan untuk mengukur kuat tidaknya hubungan antara dua variabel

tersebut. Makin besar r, makin kuat hubungan dan makin kecil r, berarti makin lemah

hubungan. Untuk hubungan tiga variabel X2,X3, dan Y, dapatdihitung tiga koefisien

korelasi, yaitu:

r12 = koefisien korelasi antara Y dan X2 (antara X2 dan Y)

r13 = koefisien korelasi antara Y dan X3 (antara X3 dan Y)

r23 = koefisien korelasi antara X2 dan X3( antara X3 dan X2)

Koefisien korelasi tersebut, masing-masing dinamakan koefisien korelasi sederhana

(simple coefficient of correlation) atau koefisien korelasi order nol (correlation

coefficient of zero order), hitung berdasarkan rumus berikut.

Antara X dan Y, r=∑ xi y i

√∑ x i

2√∑ y i2

Antara X2 dan Y, r=∑ x2 i y i

√∑ x2 i

2 √∑ y i2

Antara X3 dan Y, r=∑ x3 i y i

√∑ x3 i

2 √∑ y i2

Antara X2 dan X3, r=∑ x2 i y3 i

√∑ x2 i

2 √∑ y3 i2

Sekarang perhatikan pertanyaan berikut!

Apakah kenyataannya r12 mengykur kuat tidaknya hubungan antara Y dan X2 (antara

X2 dan Y) , apabila variabel ketiga (X3) mungkin berhubungan / berkorelasi dengan

X2 dan Y (kedua-duanya)?

Pertanyaan diatas juga analog dengan pertanyaan berikut ini.

Apakah koefisien regresi B12 mengukur X2 terhadap Y kalau X3 juga tercakup dalam

model regresi? Sekarang jelaskan kalau X2 berada dalam model regresi, r12tidak

mengukur kuat tidaknya hubungan antara X2dan Y. Maka dari itu, kita memerlukan

suatu koefisien korelasi yang bebas dari pengaruh X3, kalau ada, baik terhadap X2

maupun terhadap Y. Yang kita cari adalah koefisien korelasi antara X2 dan Y yang

bersih atau bebas dari pengaruh X3. Koefisien korelasi yang demikian itu disebut

koefisien korelasi parsial (parsial correlation coefficient). Secara, konseptual, sama

pengertiannya dengan koefisien regresi parsial (partial regression coefficient).

Kita definisikan sebagai berikut:

r12.3 = koefisien korelasi antara X2 dan Y, kalau X3 konstan

30

r13.2 = koefisien korelasi antara X3 dan Y, kalau X2 konstan

r23.1 = koefisien korelasi antara X2 dan X3, kalau Y konstan

Cara menghitung koefisien korelasi parsial diatas sama seperti menghitung koefisien

regresi parsial yang sudah diterangkan dalam bab 5 ini, juga mengikuti 3 fase, dimana

fase yang ketiga kita buat regresi w1 terhadap v1, dimana Y i dan X2 i sudah dibebaskan

dari pengaruh linear X3. Kalau kita menghitung koefisien korelasi antara w i dan v i,

sama halnya kita menghitung r12.3, sebab X3 sekarang konstan.

Secara simbol:

rwv = r12.3

¿∑ (w¿¿ i−w)(v i−v)

√∑ ¿¿¿¿¿

rwv ¿∑ wi v i

√∑ wi2∑ v i

2

(5.43)

Sebab w = v = 0

Y i=b1.3+b13 X 3i+wi

w i = Y i - b13 -b13 X3 i

= y i - b13 x3i (deviasi)

X2 i = b1.3+b23 X3 i+vi

= X2 i - b2.3 -b23 X3 i

= x - b23 x3 i (deviasi)

Ingat! Untuk hubungan dua variabel X danY, huruf kecil menunjukan deviasi.

∑ yi2=∑ y i

2 + ∑ ei2 bagi dengan ∑ yi

2

1 =∑ yi2/¿ ∑ yi

2 - ∑ ei2/¿ ∑ yi

2 padahal ∑ yi2/¿ ∑ yi

2 = r2

Jadi, 1 = r2 + ∑ ei2/¿ ∑ yi

2 , ∑ ei2 = ∑ yi

2 (1 - r2)

Dengan alasan yang sama,

∑ wi2 = ∑ yi

2 (1 - ∑ r132 )

∑ v i2 = ∑ x21

2 (1 - ∑ r132 )

Perhatikan hal-hal berikut! Y= bx + e

Sy =√∑ y i2/n

Sx = √∑ x i2/n

b = ∑ x i y i

∑ x i2

31

= ∑ x i y i

∑ x i2

√∑ y i2√n

√∑ y i2√n

= ∑ xi y i

√∑ y i2√∑ y i

2

= √∑ y i

2/n

√∑ y i2/n

b = r S y

Sx . dengan jalan yang sama, b13 = r13

S1

S3 , b23 = r23

S2

S3

dimana S1 = √∑ y i2/n S2 = √∑ y2 i

2 /n S3 = √∑ y3 i2 /n

r13= = ∑ x3i y i

√∑ y3i2 ∑ y1

2 r12 = ∑ x2i y i

√∑ y2i2 ∑ y1

2 r23 = ∑ x2 i y3 i

√∑ y2i2 ∑ y31

2

Dari (5.43);

1. Pembilang : ∑ wi v i =∑ ¿¿) (x2 i−b23 x3i)

= ∑ x i y i - b13∑ x2 i x3 i - b23∑ x3 i y i + b13b23∑ x3i2

= ∑ x2 i y i - r13

S1

S3 ∑ x2 i x3 i - r23

S2

S3 ∑ x3 i y i + r13 r23

S1 S2

S32 ∑ x3 i

2

= r12√∑ x2 i2 √∑ y i

2 - r13

S1

S3 r23√∑ x2 i

2 √∑ x3 i2 - r23

S2

S3 r13 √∑ x3 i

2 √∑ y i2 + r13 r23

S1 S2

S32 ∑ x3 i

2

= r12n S1 S2 - r13

S1

S3 r23n S2 S3 - r23

S2

S3 r13n S1 S3 + r13 r23 nS1 S2

= n S1 S2r12 - r13 S1r23 n S2 - r23 S2r13 n S1 + r13 r23n S1 S2

= n S1 S2 (r12- r13 r23)

2. Penyebut : √∑ w i2∑ v i

2 = √∑ y i2(1−r 13

2 ) √∑ x2i2 (1−r23

2 )

= √∑ y i2√∑ x2 i

2 √(1−r132 ) √¿¿)

= n S1 S2 √(1−r132 ) √¿¿)

Jadi, r12.3 = r12−r13r 23

√¿¿¿

(5.44)

32

Dengan jalan yang sama:

r13.2 = r13−r12r 23

√¿¿¿(5.45)

r23.2 = r23−r12r 13

√¿¿¿(5.46)

Koefisien parsial dari (5.44(. (5.45), dan (5.46) disebut koefisien korelasi satu (first

order correlation coefficient). Kata order disini dimaksudkan banyaknya angka indeks

dibelakang titik.

r13 = order nol, tidak ada angka dibelakang titik

r13.24 = order dua, ada dua angka dibelakang titik

r13.245 = order tiga, ada tiga angka dibelakang titik

r13.24 = koefisien korelasi antara X3 dan Y kalau X2 dan X 4 tetap

r13.245 = koefisien korelasi antara X3 dan Y kalau X2 , X 4, dan X5 tetap

5.4.1 Interpretasi Koefisien Korelasi Sederhana dan Parsial

Dalam hal hubungan dua variabel X dan Y, koefisien korelasi r mempunyai

arti mengukur kuatnya hubungan linear antara variabel tidak bebas Y dan variabel

bebas X.

Kalau hubungan sudah mencakup lebih dari dua variabel, maka interprestasinya tidak

semudah itu. Sekarang perhatikan hal-hal berikut.

(1) Dari (5.44) walaupun r12= 0, r12.3 belum tentu akan n ol, kecuali kalau r13 atau r23

mempunyai nilai nol, atau kedua-duanya nol.

(2) Kalau r12= 0.r13= 0, r23= 0 dan mempunyai tanda yang sama, r12.3 akan negative,

padahal kalau tandanya berlawanan (yang satu plus dan yang satu minus), akan

menjadi positif. Sebagai contoh:

Y= produksi padi, X2 = curah hujan, X3 = suhu/ temperature. Kita anggap r12= 0 ,

yaitu tidak ada hubungan antara produksi padi dan curah hujan. Selanjutnya, kita

anggap bahwa r13 positif dan r23 negatif. Kemudian menurut (5.44), r12.3 akan

positif, yaitu dengan menganggap X3konstan (temperature tidak berubah), aka

nada hubungan yang positif antara produksi padi dan curah hujan.

Hal ini kelihatannya suatu hal yang bertentangan, tetapi sebetulnya tidak

mengherankan. Sebabnya ialah temperature (X3 ¿ mempengaruhi kedua-duanya,

yaitu mempengaruhi produksi padi (Y) dan curah hujan (X2 ¿, sehingga untuk

mencari hubungan yang bersih (net relationship) antara produksi padi (Y) dan

curah hujan (X2 ¿, kita harus menghilangkan pengaruh temperature (X3 ¿terhadap

keduanya. Contoh ini dimasukkan untuk menunjukan bahwa seseorang bias

tersesat didalam menginterprestasikan kosfisien korelasi sederhana r tanpa

memperhitungkan pengaruh variabel lainnya.

33

(3). r12.3 dan r12 tidak perlu mempunyai tanda yang sama.

(4). Dalam hubungan dua variabel, kita telah melihat bahwa nilai r2 terletak antara 0 dan 1.

Setiap kosfisien korelasi parsial kalau dikuadratkan juga mempunyai nilai antara 0 dan 1. Bisa

ditunjukan bahwa dari (5.44) dapat diperoleh hubungan berikut.

0 ≤ r122 + r13

2 + r232 - 2r12 r13r23 ≤ 1

(5.47)

(5). Misalkan, r13= r23 = 0. Apakah ini berarti bahwa r12 juga nol? Jawabannya bias dilihat

dari (5.47). kenyataannya ialah bahwa walaupun Y dan X3 serta X2 dan X3 tidak berkolerasi,

tidak berarti bahwa Y dan X2 tidak berkolerasi.

Selanjutnya, r12.32 disebut kosfisien determinasi parsial dan dapat diartikan sebagai

proporsi/ persentase sumbangan X2 terhadap variasi Y kalau X3 tetap. (X3 tidak memberikan

sumbangan terhadap variasi Y).

Contoh soal 5.3

Berdasarkan data berikut :

X2 X3 Y

100 100 100

104 99 106

106 110 107

111 126 120

111 113 110

115 103 116

120 102 123

124 103 133

126 98 137

Hitung :

a) S1,S2,S3

b) r12,r13,r23

c) r12.3,r13.2 dan r212.3,r2

13.2, apa artinya ?

Pemecahan

∑x2i2 = 650 ∑x3i

2 = 648 ∑yi2 = 1260,89

∑x2ix3i= -112 ∑x2iyi= 874 ∑x3iyi= -79

a). S1 = √∑yi2/n = √1260,89/9 = 11,8363

34

S2 = √∑x2i2/n = √650/9 = 8,4984

S3 = √∑x3i2/n = √648/9 = 8,4853

b). r12 = ∑x2i yi = 874 = 0,9654

√∑x2i2√∑yi

2 √650 √1260,89

r13 = ∑x3i yi = -79 = -0,0874

√∑x3i2√∑yi

2 √648 √1260,89

r23 = ∑x2i x3i = -112 = -0,1726

√∑x2i2√∑x3i

2 √650 √648

c). r12.3 = r12 – r12r23

√(1-r132) √(1-r23

2)

= 0.9654 – ( -0.0874)(-0.1726) = 0,9685

√1 – (-0,0874)2 √1 – (-0,1726)2

\

r212.3 = (0,9685)2 = 0,9830. Artinya, kalau X3 konstan (tetap) , maka sumbangan X2

terhadap variasi ( naik turunnya ) Y sebesar 93,80%.

r13.2 = r13 – r12 r23

√(1 – r212) √(1 – r2

23)

= (-0,0874) – ( 0,9654) (-0,1726) = 0,3085

√1 – (0,9654)2 √1 – ( -0,1726)2

r213.2 = (0,3085)2 = 0,0951 = 0,10. Artinya, kalau X2 konstan (tetap), maka sumbangan X3

terhadap variasi Y sebesar 10%.

Hitungan berdasarkan data dari contoh soal 5.2

a) S1 = √∑ y2

n

= √ 648.263,10675

= √129.652,6213

= 360,0730777

S2 = √∑ x22

n

35

= √ 5.635,3445965

= √1.127,068919

= 33,57184712

S3 = √∑ x32

n

= √ 1.287,995685

= √257,599136

= 16,0498952

b) r12=∑ x2 y

√∑ x22√∑ y2

=52.494,0461

√5.635,344596 √648.263,1067

¿52.494,0461

(75,0689323 )(805,1478788)

¿52.494,046160.441,5916

¿0,8685087

r13=∑ x3 y

√∑ x32√∑ y2

=7.219,416416

√1.287,99568√648.263,1067

¿7.219,416416

(35,8886567 )(805,1478788)

¿7.219,41641628.895,67581

¿0,24984427

r23=∑ x2 x3

√∑ x22√∑ x3

2

=1.569,029856

√5.635,344596 √1.287,99568

¿1.569,029856

(75,0689323 )(35,8886567)

¿1.569,0298562.694,12314

¿0,5823898

c) r12.3=r12−r13 r23

√ (1−r132 ) √(1−r23

2 )

36

¿0,8685087− (1,2498442 . 0,5823898 )

√1− (0,2498442 )2√1−(0,5823898 )2

¿ 0,8685087−0,1455067

√1−0,0624221√1−0,3391779

¿ 0,723002

√0,9375779 √0,6608221

¿ 0,7230020,9682861.0,8129096

¿ 0,7230020,7871281

¿0,9185304

r12.32 =0,8436981, Artinya, kalau X3 Konstan (tetap), maka sumbangan X2 terhadap

Variasi ( naik turunya) Y sebesar 84,37 %

r13.2=r13−r12r 23

√ (1−r122 )√ (1−r23

2 )

¿0,24984427− (0,8685087 . 0,5823898 )

√1−(0,8685087 )2√1−(0,5823898 )2

¿ 0,24984427−0,5058106

√1−0,7543074√1−0,3391779

¿ −0,25596633

√0,2456926 √0,6608221

¿ −0,255966330,4956739 .0,8129096

¿−0,255966330,4029381

¿0,6352498

r13.22 =0,4035423=0,4035, Artinya, kalau X2 Konstan (tetap), maka sumbangan X3

terhadap Variasi ( naik turunya) Y sebesar 40,35 %.

5.5 Hubungan Berbagai Koefisien Korelasi dan Regresi, yang Sederhana, Parsial, dan

Berganda.

Dalam sub bab 5.5 ini akan ditunjukan berbagai hubungan antara koefisien regresi dan

sederhana , antara koefisien regresi parsial dengan koefisien korelasi parsial, antara koefisien

determinasi berganda, sederhan, dan parsial.

Berbagai hubungan ini bias dibuktikan berdasarkan definisi dasrnya, dalam subbab 5.5 ini

tidak semua akan dibuktikan, namun sebagian akan dibuat latihan soal dalam akhir bab 5 ini

untuk dipecahkan oleh pembaca.

37

5.5.1 Hubungan Antara Koefisien Regresi Parsial, Sederhana, dan Koefisien Korelasi

Sederhana.

b12.3 = b12−b23b32

1−b23b32 =

r12−r13r 23

1−r232

S1

S2

b13.2 = b13−b12b23

1−b32b23 =

r13−r12r 23

1−r232

S1

S3

Dimana b12 = koefisien regresi Y terhadap X2, b12 = ∑ x2i y i

∑ x2 i2

(5.48)

b13 = koefisien regresi Y terhadap X3, b13 = ∑ x3i y i

∑ x3 i2

(5.49)

b32 = koefisien regresi X3 terhadap X2 ' b32 =∑ x3i x2i

∑ x2 i2

b23 = koefisien regresi X2 terhadap X3 ' b23 =∑ x2i x3i

∑ x3 i2

S1 = √∑ y i2/n, S2 = √∑ y2 i

2 /n, S3 = √∑ y3 i2 /n

Bukti :

b12.3 = ¿¿ x ¿¿

= ¿¿¿

= ¿¿

Jadi, b12.3 = b12−b13b32

1−b23b32 terbukti!

b12 = r12

S1

S2 , b13 = r13

S1

S3 , b23 = r23

S2

S3 , b32 = r13

S3

S2

b12.3 = b12−b13b32

1−b23b32

= r12(S1¿ S2)−r13(S1 ¿S3)r32(S3 ¿S2)

1−r23(S2 ¿S3)r32(S3 ¿S2)

= r12(S1¿ S2)−r13(S1 ¿S3)r32(S3 ¿S2)

1−r 23r32

= r12−r13r 32

1−r 23r32

S1

S2 , sebab r23 = r32

Jadi, terbukti bahwa :

38

b12.3 = b12−b13b32

1−b23b32 =

r12−r13r 32

1−r 23r32

S1

S2

Dengan jalan yang sama, (5.49) dapat dibuktikan.

5.5.2 Hubungan Antara Koefisien Regresi Parsial dan Koefisien Korelasi Parsial

b12.3 = r12.3 (∑ e1.3 i2

∑ e2.3 i2 )

1/2

(5.50)

b12.3 = r13.2 (∑ e1.2 i2

∑ e3.2 i2 )

1/2

(5.51)

dimana

∑ e1.3 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi Y terhadap x3’

∑ e1.2 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi Y terhadap x2’

∑ e2.3 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi X2 terhadap x3’

∑ e3.2 i2 = jumlah kuadrat kesalahan pengganggu dalam regresi X3 terhadap x2’

Telah ditunjukkan sebelumnya, bahwa untuk hubungan dua variabel X dan Y1 ∑ ei2

Jadi, dalam hal ini :

∑ e1.2 i2 = ∑ y1

2(1-r122 ¿

∑ e1.3 i2 = ∑ y1

2(1-r132 ¿

∑ e2.3 i2 = ∑ x2 i

2 (1-r232 ¿

∑ e3.2 i2 = ∑ x3 i

2 (1-r322 ¿

r12.3 = r12−r13r 23

√1−r132 √1−r 23

2 , r23 = r32

Bukti :

b12.3 = r12−r13r 23

1−r232

S1

S2

= r12−r13r 23

1−r232

(√∑ y i2/n )1 /2√1−r13

2

(√∑ x2 i2 /n)1 /2√1−r13

2

= r12−r13r23

√1−r232 √1−r23

2 √1−r132

(√∑ y i2/n)1/2√1−r 13

2

(√∑ x2 i2 /n)1/2

= r12−r13r 23

√1−r132 √1−r 23

2 {∑ yi

2(1−r132 )}1/2

{∑ x2 i2 (1−r23

2 )}1/2

Jadi, b12.3 = r12.3 (∑ e1.3 i2

∑ e2.3 i2 ) terbukti

39

5.5.3 Hubungan Antara R2 dengan Koefisien Korelasi Sederhana dan Parsial

R2 = r12

2 +r132 −2r 12r13r 23

1−r232 (5.52)

R2 = r122 +(1−r12

2 )r13.22 (5.53)

R2 = r132 +(1−r13

2 )r12.32 (5.54)

Bukti (5.52) :

R2 = R1.232 =

b12.3∑ x2i

y i+b13.2∑ x3 i

y i

∑ y i2

Telah ditunjukkan bahwa :

b12.3 = r12−r13r 23

1−r32

S1

S2

b13.2 = r13−r12r 23

1−r232

S1

S3

R1.232 =

r13−r12r 23

1−r232

∑ x2i y i

∑ y i2

(√∑ y i2/n)1 /2

(√∑ x2 i2 /n)1 /2

+ r13−r12r 23

1−r232

∑ x3i y i

∑ y i2

(√∑ y i2/n )1 /2

(√∑ x3 i2 /n)1 /2

=r12−r13r 23

1−r232

∑ x2i y i

√∑ y i2√∑ y i

2 √∑ y i

2

√∑ x2 i2

+ r13−r12r 23

1−r232

∑ x3i y i

√∑ y i2√∑ y i

2 √∑ y i

2

√∑ x3 i2

= (r12−r13 r23) r12+(r13−r12r23 ) r13

1−r232

= r12

2 −r12r13 r23+r132 −r12r 13r23

1−r232

Jadi, R2 = r12

2 +r132 −2r 12r13r 23

1−r232 , terbukti

Perhatikan! Pangkat 1/2 berarti akar pangkat 2 ()

Bukti (5.54) :

R2 = r132 +(1−r13

2 )r12.32

r12.32 =

(r¿¿12−r13r23)(1−r23

2 )(1−r232 )

2

¿

= r12

2 2 r12r13 r23+r132 r23

2

(1−r132 ) (1−r 23

2 )

R2 = r12

2 +r132 −2r 12r13r 23

1−r232 , sudah dibuktikan.

R2 = r12

2 +r132 −2r 12r13r 23

1−r232

= r13

2 −r132 r23

2 +r 132 r23

2 +r122 −2 r12r13 r23

1−r 232

40

= r132 −r 13

2 r232 +r12

2 −2 r12r13

r23+¿r132 r23

2

1−r 232 ¿

= r132 (1−r 13

2 )−¿¿

= r132 +

(1−r132 )

(1−r132 )

¿¿

= r13+¿2 (1−r132 )¿¿¿

Jadi, R2 = r132 +(1−r13

2 )r12.32 , terbukti.

Contoh soal 5.4

Berdasarkan data contoh soal 5.3

a) Hitung

b12.3 = b12 – b13 b32

1 – b 23 b 32

b12.3 = r12 – r13 r23 S1

1 – r232 S2

b). b13.2 = b13 – b12 b23

1 – b 32 b 23

b13.2 = r13 – r12 r23 S1

1 – r232 S3

Pemecahan

b12 = ∑x2iyi / ∑x2i2 = 874/650 = 1,3446

b13 = ∑x3iyi / ∑x3i2 = -79/648 = -0,1219

b32 = ∑x2iy3i / ∑x2i2 = -112/650 = -0,1723

b 23 = ∑x2iy3i / ∑x3i2 = -112/648 = 0,1728

b12.3 = b12 – b13 b32 = 1,346 – (-0.1219) (-0,1723)

1 – b 23 b 32 1 – (-0,1728) (-0,1723)

= 1,3642

r12 = ∑x2i yi = 874 = 0,9654

√∑x2i2√∑yi

2 √650 √1260,89

r13 = ∑x3i yi = -79 = 0,0874

√∑x3i2√∑yi

2 √648 √1260,89

r23 = ∑x2i x3i = -112 = -0,1726

41

√∑x2i2√∑x3i

2 √650 √648

S1 = 11,8363, S2 = 8,4984 S3 = 8,4853

b12.3 = r12 – r13 r23 S1

1 – r232 S2

= (0,9654) – (-0.0874) (-0,1726) 11,8363

1 – (-0,1726)2 8,4984

= 1,3643

b13.2 = b13 – b12 b23

1 – b 32 b 23

= -0,1219 – (1,3446)(-0,1728)

1 – (-0,1723)(-0,1728)

= 0,1138

b13.2 = r13 – r12 r23 S1

1 – r232 S3

= -0,0874 – (0,9654)(-0,1726) 11,8363

1 – (-0,1726)2 8,4853

= 0,1139

Contoh Soal 5.4 Berdasarkan data contoh soal 5.3,

1) Hitunglah

b12.3 = b12−b23b32

1−b23b32

b12.3 = r12−r13r 23

1−r232

S1

S2

2) b13.2 = b13−b12b23

1−b32b23

b13.2 = r13−r12r 23

1−r232

S1

S3

Pemecahan

b12 = ∑ x2i y i

∑ x2 i2 b32 =

∑ x3i x2i

∑ x2 i2

=52494,046155635,344596

= 1569,0298565635,344596

=9,3151439 = 1,2181949

42

b13 = ∑ x3i y i

∑ x3 i2 b23 =

∑ x2i x3i

∑ x3 i2

= 7219,4164161287,99568

= 1569,0298561287,99568

=5,6051557 = 1,2181949

1) b12.3 = b12−b23b32

1−b23b32

= 9,3151439− (5,6051557 )(0,2784266)

1−(1,2181949)(0,2784266)

= 7,754551940,6608221

= 11,73465506

r12= 0,8685087 r13= 0,2498442 r23= 0,5823898

S1= 360,0730777 S2= 33,57184712 S3=16,0498952

b12.3 = r12−r13r 23

1−r232

S1

S2

= 0,8685087− (0,2498442 )(0,5823898)

1−(0,339177)2

360,073077733,57184712

= 0,8685087− (0,2498442 )(0,5823898)

1−0,03391779

=0,8685087−0,1455067

0,6608221 10,7254473

= 0,723002

0.660822110,72544473

=7,54519850,6608221

= 11,4178967

2) b13.2 = b13−b12b23

1−b32b23

=5,6051557−( 9,3151439 )(1,2181949)

1−(0,2784266 )(1,2181949)

= 5,6051557−11,34766079

1−0,3391778

=−5,7425050,6608222

= -8,6899395

b13.2=r13−r12r23

1−r 232

S1

S3

43

= 0,2498442−(0,8685087 )(0,5823898)

1−(0,5823898)2

360,073077716,0498952

=0,2498442−0,5058106

1−0,339177922,4346062

=−5,74250530,6608221

= - 8,6899414

5.6 Soal-soal Latihan

1. Data time series selama 15 tahun meliputi tiga variabel, yaitu X2 = tenaga kerja

(ribuan orang), X3 = modal (dalam satuan mata uang), dan Y = output nasional (dalam

satuan mata uang).

X2 X3 Y

281,5

284,4

289,0

375,8

375,2

402,5

478,0

553,4

616,7

695,7

790,3

816,0

848,4

873,1

999,2

120.753

122.242

125.263

128.539

131.427

134.267

139.038

146.450

153.714

164.783

176.864

188.146

205.841

221.748

239.715

2.911,4

10.873,2

11.132,5

12.086,5

12.767,5

16.347,1

19.542,7

21.075,9

23.052,0

26.128,2

29.563,7

33.376,6

38.354,3

46.868,3

54.308,0

a) Terapkan dua model berikut untuk data diatas!

44

Yi = B0 + B12.3X2i + B13.2X3i + i (populasi)

(1) Yi = b0 + B12.3X2i + B13.2X3i + ei (sampel)

dan

In Yi = A0 + A12.3 InX2i + A13.2 InX3i + i (populasi)

(2) In Yi =a0 + a12.3InX2i + a13.2InX3i + ei (sampel)

b) Diantara model tersebut, mana yang lebih baik?

c) Hitung R2 dari dua model tersebut!

d) Hitung elastisitas output terhadap tenaga kerja dan model dengan menggunakan

model pertama!

2. Tunjukkan bahwa :

r13.2 = r13−r12r 23

√(1−r 122 )√(1−r23

2 )

r23.1 = r23−r12 r13

√(1−r 122 )√(1−r13

2 )

3. a) Tunjukkan bahwa r12.3 = (R2 – r12.3) / (1 – r13)

b) Tunjukkan bahwa b12.3 b23.1 b31.2 = r12.3 r23.1 r31.2

Pada umumnya, b31.2 b13.2, tetapi r31.2 = r13.2

4. Dapatkah dari suatu kelompok data kita peroleh hasil seperti berikut ini?

(a) r23 = 0,9 r13 = -0,2 r12 = 0,8

(b) r12 = 0,6 r23 = -0,9 r31 = -0,5

(c) r23 = 0,01 r13 = 0,66 r31 = -0,7

5. Kalau Z = aX + bY dan W = cX – dY, dan kalau koefisien korelasi antara X dan Y = r,

tetapi Z dan W tidak berkorelasi, tunjukkan bahwa :

2w = (a2+b2) xy = (1-r2)1/2, dimana 2,,w,x,y merupakan standard deviasi Z, W,

X, Y dan a,b,c,d = konstan.

6. Kalau X3 = a1X1 + a2X2’ dimana a1 dan a2 konstan, tunjukkan bahwa ketiga koefisien

korelasi parsial masing-masing mempunyai nilai satu 91), r13.2 mempunyai tanda

seperti tanda dari a1, r23.1 mempunyai tanda seperti tanda dari a2’ dan a12.3 mempunyai

tanda yang berlawanan dengan tanda dari a1/a2.

7. Dalam keadaan yang bagaimana b12.3 = b12 dan b13.2 = b13?

8. Hitung koefisien regresi parsial, standard error masing-masing, R2 dan R2

berdasarkan data berikut :

n = 15

∑ x2 i = 848555,096

∑ x2 i y i = 74778,346

X2 = 402,70

∑ x3 i = 280

∑ x3 i y i = 4250,900

X3 = 8

∑ yi =66042,269

∑ x2 i x3 i = 4796

Y = 367693

9. Jelaskan bahwa pada umumnya R2 r122 +r13

2 , tetapi akan sama halnya kalau r23 = 0.

10. a) Dalam hubungan tiga variabel X2’, X3’ dan Y, ada tiga koefisien korelasi

45

order nol : r12’, r13’, dan r23’ dan ada tiga koefisien korelasi order satu r12.3’, r13.2’, dan

r23.1’.

Ada berapa banyak koefisien korelasi nol dan order satu, kalau hubungan

mencakup 4 variabel dan n variabel?

b) Buktikan bahwa r12.3 = b12.3 b21.3 ; r13.2 = b13.2 b31.2; r23.1 = b23.1 b32.1.

11. Tunjukkan bahwa varian b12.3 dan b13.2 seperti dalam rumus (5.25) dan (5.27) dapat

juga dinyatakan sebagai berikut :

var (b12.3) = σ2

∑ x2i2 (1−r23

2 )

var (b3.2) = σ2

∑ x3i2 (1−r23

2 )

dimana r23 = koefisien korelasi antara X2 dan X3

r232 =(∑ x2 i x3 i)

2 / (∑ x2 i

2 x3 i2 ¿

12. Y = a + bX + ct, koefisien a,b,c diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat

berdasarkan data sebanyak n observasi serta X dan Y, sedangkan t adalah variabel

waktu yang dinyatakan dalam tahun (ada n tahun), sebagai berikut :

X X1 X2 …. Xi … Xn

Y Y1 Y2 …. Yi … Yn

t t1 t2 …. ti … tn

Tunjukkan bahwa perkiraan b akan sama apabila diperoleh dengan menggunakan

regresi linear sederhana dari Y terhadap X setelah pengaruh linear dari variabel waktu

t dihilangkan dari X.

13. X1’ X2’ dan X3 merupakan 3 variabel yang saling berkorelasi. S1=1, S2 =1,3, S3 = 1,9,

dan r12 = 0,370, r13 = 0,641, dan r23 = -0,736. Hitung r13.2! Kalau X4 = X1 + X2’, hitung

r42’ r43’ dan r43.2. Apakah r13.2 dan r43.2? Dapatkah Saudara menjelaskan!

14.

X 0 1,8 3,6 5,4 7,2 9,0 10,8 12,6 14,4 16,2 18,0

Y 250 276 298 335 374 414 454 503 558 604 671

Dua bentuk fungsi berikut supaya diterapkan pada data diatas :

a) Y = A + BX + CX2 =

(anggap sebagai regresi linear berganda Y = B123 + B123X2 + B123X3’ dimana X2 = X

dan X3 = X2)

b) Y = AeBX (ingat In e = 1)

Menurut saudara, mana yang lebih bagus untuk meramalkan nilai Y?

15. Dalam persamaan yi = Bx1i + i (I = 1, 2, …, n), semua variabel dinyatakan dalam

deviasi.

46

Berbagai prosedur berikut dipergunakan untuk memperkirakan B, dimana b dan c

merupakan perkiraan B dan C.

a) Hitung b dan c dengan menggunakan regresi y terhadap x1 dan x2!

b) Buat regresi y terhadap x2 dan hitung residual y* (y* = y – Px2i). Buat regresi xi

terhadap x2’ dan hitung residual x1 (x1 = x1 – Qx2). Sekarang buat regresi y

terhadap x1 untuk memperoleh b sebagai perkiraan B.

Tunjukkan bahwa hasil a) = b), artinya b= b.

c) Tunjukkan bahwa residual regresi dari setiap prosedur yaitu : y i = bx1i – cx2i dari a)

dan y i∙ - b ∙ x1 i

∙ dari b) sama.

Jawaban Soal-Soal Latihan Bab 5

Jawaban

1.

X2 X3 Y X2*

In X2

X3*

In X3

Y*

In Y

281,5

284,4

289,0

375,8

375,2

402,5

478,0

553,4

616,7

695,7

790,3

816,0

848,4

873,1

999,2

120.753

122.242

125.263

128.539

131.427

134.267

139.038

146.450

153.714

164.783

176.864

188.146

205.841

221.748

239.715

8.911,4

10.873,2

11.132,5

12.086,5

12.767,5

16.347,1

19.542,7

21.075,9

23.052,0

26.128,2

29.563,7

33.376,6

38.354,3

46.868,3

54.308,0

5,640

5,650

5,667

5,930

5,927

5,997

6,169

6,316

6,424

6,544

6,672

6,704

6,743

6,772

6,906

11,701

11,713

11,738

11,763

11,786

11,807

11,842

11,894

11,942

12,012

12,083

12,144

12,234

12,309

12,387

9,095

9,294

9,317

9,399

9,454

9,701

9,880

9,955

10,045

10,170

10,294

10,415

10,554

10,755

10,902

X2* = 94,061 X3

* = 179,355 Y* = 149,23

X2* = 6,270 X3

* = 11,957 Y* = 9,948

X2*

(X2* - X2

*)

X3*

(X3* - X3

*)

Y*

(Y* - Y*)

47

-0,630

-0,620

-0,603

-0,340

-0,343

-0,273

-0,101

0,046

0,154

0,274

0,402

0,434

0,473

0,502

0,636

-0,256

-0,244

-0,219

-0,194

-0,171

-0,150

-0,115

-0,063

-0,015

0,055

0,126

0,187

0,277

0,352

0,430

-0,853

-0,654

-0,631

-0,549

-0,494

-0,247

-0,068

0,007

0,097

0,222

0,346

0,467

0,606

0,807

0,954

X2*2 X3

*2 X2* X3

* X2* Y* X3

* Y*

0,3969

0,3844

0,3636

0,1156

0,1176

0,0745

0,0102

0,0021

0,0237

0,0750

0,1616

0,1883

0,2237

0, 2520

0,4044

0,0655

0,0595

0,0479

0,0376

0,0292

0,0225

0,0132

0,0039

0,0002

0,0030

0,0158

0,0349

0,0767

0,1239

0,1849

0,1612

0,1512

0,1320

0,0660

0,0590

0,0409

0,0016

-0,0029

-0,0024

0,0150

0,0506

0,0812

0,1310

0,1768

0,2735

0,5374

0,4055

0,3805

0,1867

0,1694

0,0675

0,0070

0,0003

0,0150

0,0608

0,1390

0,2026

0,2867

0,4051

0,6067

0,2184

0,1596

0,1382

0,1065

0,0844

0,0370

0,0080

-0,0004

-0,0014

0,0122

0,0435

0,0874

0,1680

0,2840

0,4102

X2*2

2,7936

X3*2

0,7187

X2*X3

*

1,3447

X2*Y*

3,4702

X3*Y*

1,7556

b12.3 = (X2i* Yi

*) (X3i*2) – (X3i

*Yi*) (X2i

*X3i*)

(X2i*2) (X3i

*2) – (X2i*X3i

*)2

= (3,4702) (0,7187) – (1,7556) (1,3447)

48

(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2

= 2,4940 – 2,3607

2,0078 – 1,8082

= 0,1334

0,1996

b12.3 = 0,6683

b13.2 = (X3i*Yi

*) (X2i*2) - (X2i

* Yi*) (X2i

*X3i*)

(X2i*2) (X3i

*2) – (X2i*X3i

*)2

= (1,7556) (2,7936) – (3,4702) (1,3447)

(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2

= 4,9045 – 4,6664

2,0078 – 1,8082

= 0,2381

0,1996

b13.2 = 1,1930

b0 = Y* - b12.3 X2* - b13.2X3

*

= 9,948 - 0,6683 (6,270) - 1,1930 (11,957)

= 9,948 – 4,1902 – 14,2650

= -8,5072

Yi*2 = (-0,853)2 + (-0,654)2 + (-0,631) 2 + (-0,549) 2 + (-0,494) 2 + (-0,247) 2 +

(0,068) 2 + (0,007) 2 + (0,097) 2 + (0,222) 2 + (0,346) 2 + (0,467) 2 + (0,606)2 +

(0,807)2 + (0,954) 2 = 3,7682

ei2 = Yi

*2 - b12.3X2i* Yi

* - b13.2X3i*Yi

*

= 3,7682 - 0,6683 (3,4702) - 1,1930 (1,7556)

= 3,7682 – 2,3191 – 2,0945

= -0,6454

Se2 = ei

2/ n – 3

= -0,6454 / 12

= -0,0540

Se = √-0,0540

= Tak terhingga / angka hayal

R2 = Ŷi*2 / y i

*2 atau b12.3X2i* Yi

* + b13.2X3i*Yi

*

y i*2

49

= 0,6683 (3,4702) + 1,1930 (1,7556)

3,7682

= 2,3191 + 2,0945 = 4,4136

3,7682 3,7682

= 1,1712

Sb12.32 = Se

2 X3i*2

(X2i*2) (X3i

*2) – (X2i*X3i

*)2

= -0,0540 0,7187

(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2

= -0,0540 0,7187

2,0078 – 1,8082

= -0,0540 0,7187

0,1996

= -0,0540 (3,6007)

= -0,1945

Sb12.3 = √-0,1945

= Tak terhingga / angka hayal

Sb13.22 = Se

2 X2i*2

(X2i*2) (X3i

*2) – (X2i*X3i

*)2

= -0,0540 2,7936

(2,7936) (0,7187) – (1,3447)2

= -0,0540 2,7936

2,0078 – 1,8082

= -0,0540 2,7936

0,1996

= -0,0540 (14,0000)

= -0,756

Sb13.2 = √-0,756

= Tak terhingga / angka hayal

Persamaan regresi linear berganda:

Ŷ = -8,5072 + 0,6683X2* + 1,1930X3

*

R2 = 1,1712

Standard error: √-0,1945 = (Tak terhingga / angka hayal)

√-0,756 = (Tak terhingga / angka hayal)

Se = √-0,0540 = Tak terhingga / angka hayal

2. Tunjukkan bahwa :

50

r13.2 = r13−r 12r

23

√(1−r122 )√ (1−r23

2 )

r23.1 = r 23−r 12r

13

√(1−r122 )√ (1−r13

2 )

Jawabannya :

Pembilang : ∑aici = ∑ (y2i – b13x3i) (x2i – b23x3i)

= ∑x2iyi – b13 ∑x2ix3i – b23 ∑x3iyi + b13 b23 ∑x23i

= ∑x2i yi – r13 S1

S3 ∑x2ix3i – r23

S2

S3 ∑x3iyi + r13 r23

S1 S2

S32 ∑x2

3i

= r12 √∑ x2i2 √∑ y i

2 - r13 S1

S3 r23 √∑ x2i

2 √∑ x3i2 - r23

S2

S3 r13√∑ x3i

2 √∑ y i2 + r13

r23 S1 S2

S32 ∑x2

3i

= r12 nS1S2 – r13 S1

S3r23 nS2S3 – r23

S2

S3 r13 nS1S3 + r13 r23 nS1S3 + r13 r23

nS1S2

= nS1S2r12 – r13S1r23nS2 – r23 S2r13nS1 + r13r23 nS1S2

= nS1S2 (r12 – r13r23)

Penyebut : √∑ai2∑c i

2 = √∑ y i ¿¿¿ √∑ x2i ¿ ¿¿

= √∑ y i2 √∑ x2i

2 √(1−r132 ¿)¿ √(1−r23

2 ¿)¿

= nS1S2 √(1−r132 ¿)¿ √(1−r23

2 ¿)¿

Jadi, r12.3 = r12−r 13r

23

√(1−r132 )√ (1−r23

2 )

Dengan jalan yang sama :

r13.2 = r13−r 12r

23

√(1−r122 )√ (1−r23

2 )

r23.1 = r 23−r 12r

13

√(1−r122 )√ (1−r13

2 )3. a). Bukti : r1.23 = (R2 – r13) / (1-r13)

Telah ditunjukkan bahwa:

R2 = r122 + r13

2 - 2r12 r13 r23 _ x3i yi

1 - r232 √x3i

2 √ yi2

1 - r13

= r122 + r13

2 - 2r12 r13 r23 _ r13

51

1 - r232

1 - r13

= R2 - r13

1 - r13

Jadi, r1.23 = (R2 – r13) / (1-r13) , terbukti

4. r23 = 0,9 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 9%

r12 = 0,6 artinya sumbangan X2 terhadap Y sebesar 6%

r23 = 0,01 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 10%

r13 = -0,2 artinya sumbangan X3 terhadap Y sebesar 2%

r23 = -0,9 artinya sumbangan X3 terhadap X2 sebesar 9%

r13 = 0,66 artinya sumbangan X3 terhadap Y sebesar 6,6%

r12 = 0,8 artinya sumbangan X2 terhadap Y sebesar 8%

r31 = -0,5 artinya sumbangan Y terhadap X3 sebesar 5%

r31 = -0,7 artinya sumbangan Y terhadap X3 sebesar 7%

7. Dalam keadaan yang bagaimana b12.3 = b12 dan b13.2 = b13 ?

b12.3 = (∑x2iyi)( ∑x3i2) – (∑x3iyi)(∑x2ix3i) = b12 = (∑x2iyi)– (∑yi)(∑x2i)

(∑x2i2) ( ∑x3i

2) - (∑x2ix3i)2 (∑x2i2) - (∑x2i)2

b13.2 = (∑3iyi)( ∑x2i2) – (∑x2iyi)(∑x2ix3i) = b13 = (∑x3iyi)– (∑yi)(∑x3i)

(∑x2i2) ( ∑x3i

2) - (∑x2ix3i)2 (∑x3i2) - (∑x3i)2

8. b12.3 = (∑x2iyi)(∑x3i2) - (∑x3iyi)(∑x2ix3i)

(∑x2i2)(∑x3i

2) - (∑x2ix3i)2

= (74.778,346)(280) - (4.250,900)(4.796)

(84.855,096)(280) - (23.001.616)

= 20.937.936,88 - 20.387.316,4

23.759.426,88 – 23.001.616

= 550.620,48

757.810,88

= 0,726593526

52

b13.2 = (∑x3iyi)(∑x2i2) - (∑x2iyi)(∑x2ix3i)

(∑x2i2)(∑x3i

2) - (∑x2ix3i)2

= (4.250,900)( 84.855,096) – (74.778,346)( 4.796)

(84.855,096)(280) - (23.001.616)

= 360.710.527,6 – 358.636.947,4

23.759.426,88 – 23.001.616

= 2.073.580,2

757.810,88

= 2,736278629

b1.23 = Y - b12.3 X

2 – b13.2X

3

= 367.693 – (0,726593526)(402,70) – (2,736278629)(8)

= 367.693 – 292,5992129 – 21,89022903

= 367.378,5106

∑ei2 = ∑yi2 – b12.3∑x2iyi – b13.2

∑x3iyi

= 66.042,269 – (0,726593526)( 74.778,346) – (2,736278629)( 4.250,900)

= 66.042,269 – 54.333,46209 – 11.631,64682

= 77,16009

Se2 = ( ∑ei

2 )

n-3

= 77,16009

12

= 6,4300075

Se = 2,535745945

R2 = ∑ŷi2 = b12.3∑x2iyi + b13.2∑x3iyi

∑yi2 ∑yi

2

53

= (0,726593526)( 74.778,346) + ((2,736278629)( 4.250,900)

66.042,269

= 54.333,46209 + 11.631,64682

66.042,269

= 65.965,10891

66.042,269

= 0,998831656

∑ei2/ (n-k)

R2= 1-

∑yi2/(n-1)

77,16009/(15-3)

= 1-

66.042,269/(15-1)

6,4300075

= 1-

4.717,304929

= 1 - 0,001363068

= 0,998636932

54

Daftar Pustaka

Supranto, J. 2005. Ekonometri. Bogor : Ghalia Indonesiawww.bps.go.idwww.bappeda.go.idBadan Pusat StatistikBank Indonesia

55