Interpolasi/Ekstrapolasi dan Aproksimasi Fungsi

Salah satu cara mengolah data yang didapat dari pengukuran atau ekperimen adalah penentuan apakah

data tersebut merupakan hasil dari suatu fungsi. Manfaatnya adalah memprediksi data yang akan datang

atau data yang lebih detail dari yang ada. Apabila data diyakini merupakan data deterministik, penentuan

jenis fungsi ini dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu Aproksimasi Fungsi (atau disebut juga curve fitting)

dan interpolasi/ekstrapolasi. Apabila data diyakini merupakan data stokastik, kita hanya dapat

menentukan distribusi dari data tersebut. Sekarang yang dibahas adalah penentuan jenis fungsi dari data

deterministik. Perbedaan antara curve fitting dan interpolasi/ekstrapolasi dapat dilihat pada contoh-

contoh berikut.

Contoh 1:

Dilakukan curve fitting: Pada tabel berikut merupakan proses menggunakan transformasi logaritma

seperti yang terlihat pada kolom 2, untuk mencari aproksimasi fungsi linier, yang hasilnya pada kolom 3.

Galat antara nilai dari fungsi (kolom 3) dengan nilai logaritma dari data sebenarnya (kolom 2) diberikan

kolom 4. Sedangkan galat antara nilai eksponensial dari fungsi (kolom 6) dengan nilai data sebenarnya

(kolom 5) dituliskan pada kolom 7. Besar galat terakhir lebih baik daripada yang sebelumnya.

Dari contoh di atas, curve fitting dilakukan untuk mendapatkan fungsi yang mendekati nilai-nilai data yang

ada. Fungsi tersebut tidak perlu melalui semua data yang ada karena diyakini data yang terkumpul

memuat galat dari pengukuran dan lainnya.

Beberapa contoh transformasi yang lain akan dijelaskan pada akhir bab ini.

Contoh 2:

Dilakukan interpolasi:

Dari contoh di atas, interpolasi dilakukan untuk mendapatkan fungsi yang secara tepat melewati semua

data yang ada karena diyakini data tersebut akurat.

Interpolasi Polinom, Lagrange dan Beda Terbagi/Newton

Interpolasi Polinom

Interpolasi linier: menggunakan 2 titik ),(),,( 1100 fxfx diperoleh SPL dengan variabel a, b.

0 0

1 1

a bx f

a bx f

)()( 001

0101 xx

xx

fffbxaxp

Interpolasi kuadratik: menggunakan 3 titik ),(),,(),,( 221100 fxfxfx diperoleh SPL dengan

variabel a, b, c.

2

0 0 0

2

1 1 1

2

2 2 2

a bx cx f

a bx cx f

a bx cx f

Jadi:

200001

01

01

01

01

02

02

12

2

2

),(,1

,)(

cxbxfaxxcxx

ffb

xx

ff

xx

ff

xxc

cxbxaxp

Interpolasi polinom dapat digambarkan sebagai berikut:

Diberikan n+1 titik yang berbeda nxxx ,,, 10 dan nilai fungsi yang berkaitan

nfff ,,, 10 . Suatu polinom )(xpn dicari yang memenuhi:

1. derajat polinom nxpn )(

2. Nilai polinom di titik nxxx ,,, 10 sama dengan nfff ,,, 10 , atau nifxp iin ,...,1,0,)(

Interpolasi Lagrange:

11001

01

00

10

11 )()()( fxLfxLf

xx

xxf

xx

xxxp

Dapat ditunjukkan bahwa:

11

01

01011

010

10

1001

.0)(

.0)(

ffxx

xxfxp

fffxx

xxxp

jadi dapat disimpulkan

ki

kixL ik

,1

,0)(

))((

))(()(,

))((

))(()(,

))((

))(()(

)()()()(

1202

102

2101

201

2010

210

2211002

xxxx

xxxxxL

xxxx

xxxxxL

xxxx

xxxxxL

fxLfxLfxLxp

Untuk membuat polinom Lagrange )(xpn yaitu

0 0( ) ( ) ( )n n np x L x f L x f

dimana

nk

xx

xxxL

xxxxxxxx

xxxxxxxxxL

ik

in

kii

k

nkkkkkk

nkkk

,...,1,0,)(

))...()()...((

))...()()...(()(

0

110

110

Latihan:

Diketahui data di bawah ini

x 1 -1 2 0

f(x) 0 -2 3 1

Konstruksi interpolasi kubik dan kuadratik dengan metode interpolasi polinom dan Lagrange. Cari nilai

di x= 2,3.

Diketahui terdapat n data untuk membuat interpolant berupa polinom berderajat (n-1). Misalkan ada

satu tambahan data 1 1( , )n nx f untuk digunakan dalam mengkonstruksi polinom interpolasi,

- Interpolasi biasa memberikan SPL baru dan perlu OBE

- Interpolasi Lagrange memerlukan penghitungan kembali koefisien Lagrange:

( ), 0,1,2, ,iL x i n .

Galat dalam Interpolasi Lagrange:

Jika turunan ke-(n+1) dari f(x) adalah kontinu di [a,b], dan semua titik 0n

i ix

berada dalam interval

[a,b], maka untuk setiap [ , ]x a b terdapat sehingga

1) a < < b

2)

( 1)( ) ( )( ) ( ) ( )

( 1)!

n

n n

x fx f x P x

n

Beberapa kelemahan polinom Lagrange:

1. Semakin besar derajatnya tidak berarti semakin kecil galatnya, karena semakin banyak perhitungan dalam komputer, sehingga galat pembulatan bisa menjadi signifikan.

2. Adanya nilai yang ekstrim pada data.

Interpolasi Newton (Beda Bagi):

Interpolasi ini dapat mudah dimodifikasi dengan tambahan data. Jika terdapat n pasang data

0

( , )n

i i ix f

, bentuk umum interpolasinya adalah sebagai berikut:

0 1 0 2 0 1 0 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )n n np x a a x x a x x x x a x x x x x x

Jelas bahwa ( ) ( ), 0,1, ,n i ip x f x i n

dengan demikian dicari koefesien 0 1 2{ , , , , }na a a a .

Contoh:

0 0 0( ) ( )np x f x f

maka 0 0a f

1 1 1( ) ( )np x f x f maka 0 1 1 0 1( )a a x x f , jadi 1 0

1

1 0

f fa

x x

2 2 2

0 1 0 2 2 1 2 0 2

1 02 1

2 1 1 02

2 0

( ) ( ) ,

( ) ( )( ) ,

np x f x f

a a x x x x x x x f

f ff f

x x x xa

x x

Beda Terbagi didefinisikan sebagai berikut: ][ 00 xff ,

01

0110 ],[

xx

ffxxf

,

1 2 0 10 1 2

2 0

[ , ] [ , ][ , , ]

f x x f x xf x x x

x x

dan seterusnya.

Ingat deret Taylor: ...)(2

)("))((')()( 20

0000 xx

xfxxxfxfxf

hxfhxfxf

dx

xdf

h

)()()('

)(lim

0

h

xfhxf )()( merupakan aproksimasi dari kemiringan garis singgung dari f di x.

Diberikan koleksi data ),(,),,(),,( 1100 nn fxfxfx dimana )( ii xff maka

ii

iiiii

xx

xfxfxxfxf

1

11

)()(],[)('

],[ 1ii xxf merupakan aproksimasi dari kemiringan garis singgung dari f di x= ix .

],[ 1ii xxf disebut beda terbagi orde pertama.

1 2 0 10 1 2

2 0

[ , ] [ , ][ , , ]

f x x f x xf x x x

x x

disebut beda terbagi orde kedua.

Misalkan sudah dibangun interpolasi orde 2. Apabila ada satu data tambahan maka interpolasi orde 3

dibangun dari interpolasi orde 2.

3 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0 1 3

2 0 1 2 3 0 1 3

( ) [ ] [ , ]( ) [ , , ]( )( ) [ , , , ]( )( )( )

( ) [ , , , ]( )( )( )

p x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x

p x f x x x x x x x x x x

Jadi

)())(](,,,,[)()( 1102101 nnnn xxxxxxxxxxfxpxp

Cara penulisan beda terbagi:

ix if ],[ 1ii xxf ],,[ 21 iii xxxf

0x 0f

],[ 10 xxf

1x 1f ],,[ 210 xxxf

],[ 21 xxf

2x 2f ],,[ 321 xxxf

1nx 1nf 2 1[ , ]n nf x x

],[ 1 nn xxf ],,[ 12 nnn xxxf

nx nf

Menghitung suku polinom dengan efisien:

0 0 0 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3

1 0 1 2

( ) [ ] ( ){ [ , ] ( ){ [ , , ] ( ){ [ , , , ]

( ){ [ , , , , ]}}...}

n

n n

p x f x x x f x x x x f x x x x x f x x x x

x x f x x x x

Latihan:

Diketahui data di bawah ini

x 1 -1 2 3 0

f(x) 0 -2 3 2 1

Carilah nilai f(2.5) dengan konstruksi interpolasi kubik dengan metode interpolasi Newton dengan

mengisi tabel berikut ini:

ix if ],[ 1ii xxf ],,[ 21 iii xxxf

-1 -2

0 1

1 0

2 3

3 2

Tiga contoh kasus interpolasi mengalami ketidakstabilan nilai

Polinom didefinisikan parsial (Rumus komposit polinom)

Untuk menghindari ketidakstabilan didefinisikan polinom pada sub-sub interval dari daerah domainnya.

Interval [ ] dengan {

.

Polinom Lagrange diterapkan pada tiap sub-interval dengan data ( ) ( ) ( ) ( ) yaitu

( ) ( )

( ) ( )

Syarat tambahan untuk keterdiferensialan di titik ujung:

( )

( ) adalah titik ujung tiap interpolasi

Aproksimasi Fungsi (Curve Fitting)

Pertama tentukan dahulu jenis aproksimasi fungsi yang akan dipakai. Misal polinom least squared, yaitu

linier least squared atau kuadrat least squared, lalu buat fungsinya menggunakan seluruh jumlah data

yang ada.Misal pilih linier least quared: ( ) , sedangkan misal data yang ada adalah

( ) ( ) ( ) ( ). Jadi cari koefesien a dan b sehingga galat akar kuadratnya terkecil.

Galat = [ ( ) )] [ ( ) )] [ ( ) )]

Galat ini menghitung merupakan beda/jarak antara fungsi aproksimasi dan datanya yang dikuadratkan,

agar

- Beda positif tidak menghilangkan beda negatif

- Turunannya tidak sulit (derajat 2)

- Beda yang kecil akan diperkecil sedangkan beda yang besar akan diperbesar

Karena ( ) , misal [ ] [ ]

[ ] [ ]

yang akan diminimumkan terhadap a dan b dengan cara mencari turunan pertama masing-masing

terhadap a dan b harus berharga nol. Akan didapat:

Dua persamaan di atas merupakan SPL dengan variabel yang dicari adalah a dan b, sehingga solusinya

dapat mudah dicari menggunakan eliminasi atau OBE. Misal

SPL yang didapat adalah sistem persamaan yang disebut Persamaan Normal di bawah ini:

Koefesien b pada persamaan kedua merupakan jumlah dari data yang tersedia.

Untuk metode Kuadratik Least Squared, fungsi aproksimasinya adalah ( ) , sehingga

persamaan galatnya dari data yang sama dengan contoh sebelumnya adalah

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Dengan mencari turunan pertama dari fungsi galat di atas masing-masing terhadap a, b dan c, Persamaan

Normal yang akan terbentuk adalah

(

)( ) (

)

Latihan:

Diketahui data sebagai berikut:

x 0 0,5 1 1,5 2

y 0 0,19 0,25 0,29 0,31

Buatlah aproksimasi fungsi berupa kuadratik least squared.

Petunjuk: lengkapi tabel berikut

0 0

0,5 0,19

1 0,25

1,5 0,29

2 0,31

Terapan Least Squared

Selain polinom least squared, terdapat regresi lain yang melakukan transformasi dari data aslinya yang

memiliki kecenderungan tertentu dalam hubungan antara x dan y, namun kecenderungan tersebut

ditransformasi menjadi linier least squared: , di mana x ditransformasi menjadi w dan y

ditarnsformasi menjadi z. Konstanta a dan b dicari melalui metode least squared.

Contoh: diketahui data berikut, carilah y untuk x = 2500

1000 2000 3000 4000 25000 30000 15000 25000

Dengan menggunakan transformasi logaritma pada x dan y didapat

( ) 6,9078 7,6009 8,0064 8,2941 ( ) 10,1266 10,3089 9,6158 10,1266

Untuk mendapatkan nilai a dan b dicari penyelesaian dari SPL berikut:

Lalu kembalikan ke data asli menggunakan hubungan sebagai berikut

( ) ( )

( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( )

Jadi cari y sehingga ( )

Beberapa tranformasinya adalah sebagai berikut:

Diketahui data ( ) .

1. Transformasi pangkat ( ) ( ( ) ( ))

2. Transformasi eksponensial ( ) ( ( ))

( ( )) ( )

3. Transformasi laju pertumbuhan ( ) (

)

Persamaan laju pertumbuhan :