INTERPOLASI: METODE POLINOMIAL NDD · kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode...

INTERPOLASI: METODE

POLINOMIAL NDD

(NEWTON’S DIVIDED

DIFFERENCE)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Dr.Eng. Agus S. Muntohar 1

Pertemuan ke-11: 13 Desember 2012

Apa Interpolasi?


2

Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), nilai “y” diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.

Gambar 1 Interpolasi data diskrit.

Interpolan


3

Bentuk polinomial merupakan interpolan yang

paling sering dipilih karena mudah untuk

melakukan:

Evaluasi

Turunan, dan

Integral

Interpolasi Linier Metode NDD


4

Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan bentuk

interpolan linier yang melalui data tersebut adalah

dengan

)()( 0101 xxbbxf

)( 00 xfb

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

Contoh 1


5

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Table 1 Data kecepatan dan waktu

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1

s ,t m/s ,tv

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan

kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Linier

Metode NDD.



6

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x de sire d

x s1

10x s0

10 x s range x de sire d

)()( 010 ttbbtv

0 0

1 1

15; ( ) 362.78

20; ( ) 517.35

t v t

t v t

0 0( ) 362.78b v t

1 01

1 0

( ) ( )30.914

v t v tb

t t



7

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x de sire d

x s1

10x s0


)()( 010 ttbbtv

),15(914.3078.362 t 2015 t

At 16t

)1516(914.3078.362)16( v

69.393 m/s

Interpolasi Quadratic Metode NDD


8

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

)( 00 xfb

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), dan (x2,y2), bentuk interpolan kuadrat yang melalui data tersebut adalah

Contoh 2


9

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67



s ,t m/s ,tv


kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kuadrat

Metode NDD.

Interpolasi KuadratMetode NDD


10

10 12 14 16 18 20200

250

300

350

400

450

500

550517.35

227.04

y s

f range( )

f x de sire d


,100 t 04.227)( 0 tv

,151 t 78.362)( 1 tv

,202 t 35.517)( 2 tv

Interpolasi KuadratMetode NDD


11

)( 00 tvb

04.227

01

01

1

)()(

tt

tvtvb

1015

04.22778.362

148.27

02

01

01

12

12

2

)()()()(

tt

tt

tvtv

tt

tvtv

b

1020

1015

04.22778.362

1520

78.36235.517

10

148.27914.30

37660.0

Quadratic Interpolation (contd)


12

))(()()( 102010 ttttbttbbtv

),15)(10(37660.0)10(148.2704.227 ttt 2010 t

At ,16t

)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16( v 19.392 m/s

Nilai kesalahan perkiraan dari hasil interpoasi linier dan kuadrat yaitu :

a 100 x

19 . 392

69 . 393 19 . 392

= 0.38502 %

Bentuk Umum: Interpolasi Kuadrat

Metode NDD


13

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

dimana

Ditulis kembali menjadi

))(](,,[)](,[][)( 1001200102 xxxxxxxfxxxxfxfxf

)(][ 000 xfxfb

01

01

011

)()(],[

xx

xfxfxxfb

02

01

01

12

12

02

0112

0122

)()()()(

],[],[],,[

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xxfxxfxxxfb

Bentuk Umum


14

Untuk )1( n titik data, nnnn yxyxyxyx ,,,,......,,,, 111100

yang dituliskan sebagai

))...()((....)()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf

dimana

][ 00 xfb

],[ 011 xxfb

],,[ 0122 xxxfb

],....,,[ 0211 xxxfb nnn

],....,,[ 01 xxxfb nnn

Bentuk Umum


15

Bentuk polinomial derjat tiga dari ),,( 00 yx ),,( 11 yx ),,( 22 yx dan ),,( 33 yx adalah

))()(](,,,[

))(](,,[)](,[][)(

2100123

1001200103

xxxxxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfxf

0b

0x )( 0xf 1b

],[ 01 xxf 2b

1x )( 1xf ],,[ 012 xxxf 3b

],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf

2x )( 2xf ],,[ 123 xxxf

],[ 23 xxf

3x )( 3xf

Contoh 3


16

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67



s ,t m/s ,tv


kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Kubik

Metode NDD.

Contoh 3


17

Profil kecepatan untuk polinomial derajat tiga

))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv

Diperlukan 4 titik data yang terdekat dengan t = 16

,100 t 04.227)( 0 tv ,151 t 78.362)( 1 tv ,202 t 35.517)( 2 tv ,5.223 t 97.602)( 3 tv Diperoleh nilai dari konstanta yaitu:

b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3

Contoh 3


18

b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347×10−3

0b

100 t 04.227 1b

148.27 2b

,151 t 78.362 37660.0 3b

914.30 3104347.5

,202 t 35.517 44453.0

248.34

,5.223 t 97.602

Contoh 3


19

The absolute relative approximate error a obtained is

a 100x06.392

19.39206.392

= 0.033427 %

Maka

) )( )( ( ) )( ( ) ( ) ( 2 1 0 3 1 0 2 0 1 0 t t t t t t b t t t t b t t b b t v

) 20 )( 15 )( 10 ( 10 * 4347 . 5

) 15 )( 10 ( 37660 . 0 ) 10 ( 148 . 27 04 . 227 3

t t t

t t t

Pada t = 16

) 20 16 )( 15 16 )( 10 16 ( 10 * 4347 . 5

) 15 16 )( 10 16 ( 37660 . 0 ) 10 16 ( 148 . 27 04 . 227 ) 16 ( 3

v

06 . 392 m/s

Perbandingan Hasil


20

Pangkat

Polinomial:

1 2 3

v (t=16) m/s 393.69 392.19 392.06

Kesalahan relatif ---------- 0.38502 % 0.033427 %

Distance from Velocity Profile


21

Find the distance covered by the rocket from t=11s to

t=16s ?

)20)(15)(10(10*4347.5

)15)(10(37660.0)10(148.2704.227)(

3

ttt

ttttv 5.2210 t

32 0054347.013204.0265.212541.4 ttt 5.2210 t

So

16

11

1116 dttvss

dtttt )0054347.013204.0265.212541.4( 32

16

11

16

11

432

40054347.0

313204.0

2265.212541.4

tttt

m 1605

Acceleration from Velocity Profile


22

Find the acceleration of the rocket at t=16s given that

32 0054347.013204.0265.212541.4)( ttttv

32 0054347.013204.0265.212541.4)()( tttdt

dtv

dt

dta

2016304.026408.0265.21 tt

2)16(016304.0)16(26408.0265.21)16( a

2/ 664.29 sm

INTERPOLASI: METODE POLINOMIAL NDD · kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode...

Documents

Transcript of INTERPOLASI: METODE POLINOMIAL NDD · kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode...