Bentuk Umum Interpolasi Polinomial

download Bentuk Umum Interpolasi Polinomial

of 14

Transcript of Bentuk Umum Interpolasi Polinomial

Bentuk Umum Interpolasi PolinomialOLEH:

Bentuk Umum Interpolasi Polinomial

Prosedur seperti dijelaskan diatas dapat digunakan untuk membentuk polinomial order n dari (n + 1) titik data. Bentuk umum polinomial order n adalah:

(x) = bo + b1(x x0) + + bn(x x0)(x x1) ... (x xn 1)

(6.7)

Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dapat dilakukan dengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. Untuk polinomial order n, diperlukan (n + 1) titik data x0, x1, x2, ..., xn. Dengan definisi fungsi berkurung ([.]) adalah pembagian beda hingga.

Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ..., bn.b0 = f (x0) b1 = f [x1, x0] b2 = f [x2, x1, x0] bn = f [xn, xn 1, ..., x2, x1, x0] Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah: f [xi, xj] =f ( xi ) f ( x j ) xi x j

(6.8) (6.9) (6.10) (6.11)

(6.12)

Pembagian beda hingga kedua adalah: f [xi, xj, xk] =f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] xi xk

(6.13)

Pembagian beda hingga ke n adalah: f [xn, xn 1, ..., x2, x1, x0] =f [ xn , xn 1 , ..., x1 ] f [ xn 1 , xn 2 , ..., x0 ) xn x0

(6.14)

Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (6.8) sampai persamaan (6.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (6.7) untuk mendapatkan interpolasi polinomial order n. fn(x) = f (x0) + f [x1, x0](x x0) + f [x2, x1, x0](x x0)(x x1) + + f [xn, xn 1, ..., x2, x1, x0](x x0)(x x1) (x xn 1)

(6.15)

Persamaan (6.12) sampai persamaan (6.14) adalah berurutan, artinya pembagian beda yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, secara skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan dalam Tabel 6.1.Tabel 6.1. Langkah skematis pembagian beda hingga

Contoh soal: Dalam contoh sebelumnya, titik data x0 = 1, x1 = 4 dan x2 = 6 digunakan untuk memperkirakan ln 2 dengan fungsi parabola. Sekarang dengan menambah titik ke empat yaitu x3 = 5 dengan nilai f (x3 = 5) = 1,6094379, hitung ln 2 dengan interpolasi polinomial order tiga. Penyelesaian: x0 = 1 x1 = 4 x2 = 6 x3 = 5

p p p p

f (x0) = 0 f (x1) = 1,3862944 f (x2) = 1,7917595 f (x3) = 1,6094379

Persamaan polinomial order tiga didapat dengan memasukkan nilai n = 3 ke dalam persamaan (6.7): f3(x) = bo + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1) + b3(x x0)(x x1)(x x2) (c.1)

Pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan (6.12) f [xi, xj] = f [x1, x0] = f [x2, x1] = f [x3, x2] =f ( xi ) f ( x j ) xi x j

(c.2) = 0,46209813. = 0,20273255. = 0,1823216.

1,3862944 0 4 11,7917595 1,3862944 6 4 1,6094379 1,7917595 56

Pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan (6.13): f [xi, xj, xk] = f [x2, x1, x0] = f [x3, x2, x1] =f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] xi xk 0,20273255 0,46209813 6 1 0,18232160 0,20273255 54

(c.3) = 0,051873116. = 0,020410950. (c.4)

Pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan (6.14): f [xn, xn 1, ..., x2, x1, x0] = f [x3, x2, x1, x0] =f [ xn , xn 1 , ..., x1 ] f [ xn 1 , xn 2 , ..., x0 ) xn x0

( 0,020410950) ( 0,051873116) 5 1

= 0,007865541.

Nilai f [x1, x0], f [x2, x1, x0] dan f [x3, x2, x1, x0] adalah koefisien b1, b2, dan b3 dari persamaan (6.7). Dengan nilai-nilai tersebut dan b0 = f (x0) = 0, maka persamaan (6.7) menjadi: fn(x) = bo + b1(x x0) + + bn(x x0)(x x1) ... (x xn 1) f3(x) = 0 + 0,46209813(x 1) + (0,051873116)(x 1)(x 4) + 0,007865541 (x 1)(x 4)(x 6) (c.5)

Hasil interpolasi polinomial order 3 di titik x = 2, akan didapat dengan memasukkan nilai dari x = 2 ke dalam persamaan (c.5) sehingga akhirnya didapat: f3(2) = 0 + 0,46209813(2 1) + (0,051873116)(2 1)(2 4) + 0,007865541(2 1)(2 4)(2 6) = 0,62876869. Besar kesalahan adalah: Et = 0,69314718 0,62876869 v 100 % = 9,3 %.0,69314718

Interpolasi Polinomial Lagrange

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Bentuk polinomial Newton order satu: f1(x) = f (x0) + (x x0) f [x1, x0] (6.16)

Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk: f [x1, x0] = f ( x1 ) f ( x 0 )

x1 x 0 f ( x0 ) f ( x1 ) f [x1, x0] = x1 x 0 x 0 x1

(6.17)

Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan: f1(x) = f (x0) +x x0 x1 x0

f (x1) +

x x0 x0 x1

f (x0)

Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi: Ataux x0 x0 x1 x x0 f1(x) = f (x1) f (x0) + x1 x0 x0 x1 x0 x1 x x1 f1(x) = x0 x1

x x0 f (x0) + f (x1) x1 x0

(6.18)

Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu. Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat: f1(x) =x x0 x x 2 x x0 x x1 x x1 x x2 f (x0) + f (x1) + f (x2) x1 x0 x1 x2 x0 x1 x0 x2 x2 x0 x2 x1

(6.19)

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:n

fn(x) = Li ( x) f (xi)i!0n

(6.20) (6.21)

dengan Li (x) =

x xj xi x j

j!0 j!i

Simbol 4 merupakan perkalian. Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:3

f3(x) = Li ( x ) f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2) + L3(x) f (x3)i!0

L0(x) = ( x x )( x x )( x x ) 0 1 0 2 0 3 L1(x) = ( L2(x) = (x x0 x x2 x x3 )( )( ) x1 x0 x1 x2 x1 x3

x x1

x x2

x x3

x x0 x x1 x x3 )( )( ) x2 x0 x2 x1 x2 x3 x x0 x x1 x x2 )( )( ) L3(x) = ( x3 x0 x3 x1 x3 x2

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah: f3(x) = (x x1 x x2 x x3 x x0 x x2 x x3 )( )( ) f (x0) +( )( )( ) f (x1) x0 x1 x0 x2 x0 x3 x1 x0 x1 x2 x1 x3 x x0 x x1 x x3 x x0 x x1 x x2 )( )( ) f (x2) + ( )( )( ) f (x3) +( x2 x0 x2 x1 x2 x3 x3 x0 x3 x1 x3 x2

(6.22)

Contoh soal: Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua berdasar data ln 1 = 0 dan data ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan data ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718). Penyelesaian: x0 = 1 x1 = 4 x2 = 6

p p p

f (x0) = 0 f (x1) = 1,3862944 f (x2) = 1,7917595

Penyelesaian order satu menggunakan persamaan (6.18): f1(x) = x x1 f (x0) + x x0x0 x1x1 x0

f (x1)

Untuk x = 2 dan dengan data yang diketahui maka: f1(2) =2 4 2 1 (0) + (1,3862944) = 0,462098133. 1 4 4 1

Untuk interpolasi polinomial Lagrange order dua digunakan persamaan (6.19): f1(x) = f1(2) =

x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 f (x0) + f (x1) + f (x2) x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x12 4 2 6 2 1 2 6 2 1 2 4 (0) + (1,3862944) + (1,7917595) 1 4 1 6 4 1 4 6 6 1 6 4

= 0,56584437. Terlihat bahwa kedua hasil diatas memberikan hasil yang hampir sama dengan contoh sebelumnya.