Interpolasi, Definisi, dan Macam-macamnya

I PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASI

A Pengertian

Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang

grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan Titik-titik tersebut mungkin merupakan

hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui

B Tujuan

adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah untuk menaksir harga-harga tengah

antara titik data yang sudah tepat Interpolasi mempunyai orde atau derajat

Y

X

(x0y0)

(x1y1)

Y

X

(x0y0)

(x1y1)

II MACAM-MACAM INTERPOLASI

PEMBAHASAN

A Interpolasi Linier

Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan

sebuah garis lurus Misal diberikan dua buah titik (x0y0) dan (x1y1) Polinom yang

menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk

P ( x )=a0+a1 x

Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0y0) dan

(x1y1)

Gambar 11 Interpolasi Linier


Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi Dengan

mensubstitusikan (x0 y0) dan (x1 y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh dua

persamaan linear

y0=a0+a1 x0 (1)

y1=a0+a1 x1 (2)

Dari dua persamaan diatas dengan eliminasi diperoleh

y0minus y1=(a0+a1 x0 )minus(aiquestiquest0+a1 x1)iquest

y0minus y1=a1 x0minusa1 x1 hArr y0minus y1=a1(xiquestiquest0minusx1)iquest

hArr a1=y0minus y1

x0minusx1

Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1) diperoleh

y0=a0+a1 x0

hArr y0=a0+( y0minus y1

x0minusx1) x0

hArr y0=a0+x0 y0minusx0 y1

x0minusx1


x0minusx1

hArr a0= y0minusx0 y0minusx0 y1

x0minusx1

hArra0=y0(x0minusx1)minusx0 y0+ x0 y1

x0minusx1

hArr a0=x0 y0minusx1 y0minusx0 y0+x0 y1

x0minusx1

hArr a0=x0 y1minusx1 y0

x0minusx1

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan sebagai

berikut

p1 (x )=a0+a1 x

p1 (x )=x1 y0minusx0 y1

x1minusx0

+y1 ndash y0

x1minusx0

x

Y

X

P1(x0y0)

P2 (x1y1)

(xy)

p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0

x1minusx0

p1 (x )=x1 y0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+(x0 y0minusx0 y0)

x1minusx0

p1 (x )=x1 y0minusx0 y 0minusx0 y1+xy1 ndash x y0+x0 y0

x1minusx0

p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+ y1iquestiquest

p1 (x )= y0 ( x1minusx0 )+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest

p1 (x )= y0+( yiquestiquest1minus y0)iquestiquestiquest

Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui

cara berikut

Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus


Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0y0) dan P2 (x1y1) dapat dituliskan dengan

yminus y0

y1minus y0

=xminusx0

x1minusx0

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut

y=y1minus y0

x1minusx0( xminusx0 )+ y0

Algoritma Interpolasi Linear

1 Tentukan nilai x0 y0 x1 dan y1

2 Periksa apakah x0=x1 Jika ya maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak

terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3

3 Masukkan nilai x

4 Periksa apakah min x0 x1 le x le max x0 x1 Jika tidak maka masukkan nilai x yang

lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5

5 Hitung P= y0+(xminusx0)y1minus y0

x1minusx0

6 Periksa apakah y0= y1 Karena jika sama maka akan diperoleh P= y0

7 Tulis hasil y=P

Contoh

1 Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan

data tabulasi berikut

Tahun 1990 2000

Jumlah Penduduk 187900 205700

Penyelesaian

Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700

Ditanya Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995

Ingat


Misalkan x=1995

p1 (2005 )=187900+(205700minus187900)iquestiquest

p1 (2005 )=196800

Jadi diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196800 orang

2 Dari data ln(90) = 21972 ln(95) = 22513 tentukan ln(92) dengan interpolasi linier

sampai 4 desimal Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(92)=22192

Penyelesaian

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513

Ditanya tentukan nilai ln(92) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan

nilai sejati ln(92) = 22192

Ingat



p1 (92 )=221884

Galat = nilai sejati ln(92) ndash nilai ln(92) hasil perhitungan dengan metode interpolasi

linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4

B Interpolasi Kuadratik

Misal diberi tiga buah titik data ( x0 y0 ) ( x1 y1 ) dan( x2 y2) Polinom yang

menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk

p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2

Bila digambar kurva polinom kuadrat berbentu parabola seperti ditunjukkan dalam Gambar

24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Gambar 21 Interpolasi Kuadratik

Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain selain yang ditunjukkan pada

Gambar 21 diatas namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh

hanya sebuah nilai y i Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 22 di

bawah ini atau semacamnya

Gambar 21 Bukan Interpolasai Kuadratik

Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut

1 Substitusikan (x i y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0 1 2

Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu

a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2

2 Hitung a0 a1 dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi

Gauss

Selain menggunakan metode eliminasi Gauss menentukan a0 a1 dan a2 dapat

ditentukan dengan cara sebagai berikut

a) Hitung F01=y i+1minus y i

x i+1minusx i

F12=y i+2minus y i+1

y i+2minus y i+1

dan F012=F12minusF01

x i+2minusx i

b) Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+(xminusx i)(xminusx i+1) F012

Algoritma Interpolasi Kuadratik

Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut

1 Tentukan nilai x0 y0 x1 y1 x2 dan y2

2 Periksa apakah x0ltx1ltx2 Jika tidak maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya

tidak terdefinisi dalam kondisi ini Jika tidak maka dilanjutkan ke langkah 3

3 Masukkan nilai x

4 Periksa apakah min x0 x1 x2 le xle max x0 x1 x2 Jika tidak maka masukkan nilai x

yang lain Jika ya maka dilanjutkan langkah 5

5 Hitung F01=y1minus y0

x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0

6 Hitung P= y1+( xminusxi ) F01+( xminusxi ) (xminusx i)F012

7 Periksa apakah F012=0 Jika ya maka persamaan yang dihasilkan linear Jika tidak

maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat

8 Tulis hasil y=P

Contoh

1 Diberikan titik ln(80) = 20794 ln(90) = 21972 dan ln(95) = 22513 Tentukan nilai

ln(92) dengan interpolasi kuadratik

Penyelesaian

Diketahui x0=80 y0=20794

x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513

Ditanya Tentukan nilai ln (92)

Sistem persamaan yang terbentuk adalah

a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

Untuk perhitungan secara manual sistem persamaan diselesaikan dengan metode

eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut

Matriks yang terbentuk dari persamaan

a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]

R 12(minus8)R 32(minus15)[100

010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]

Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan

a0=06762 a1=02266 a2=minus00064

Polinom kuadratnya adalah p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2

p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192

2 Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola

Dengan data sebagai berikut

t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897

Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat

t=7 detik

Penyelesaian

Dipunyai data pergerakan suatu benda padat

t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897

Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat

t=7 detik

Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah

a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897

Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss

[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467

Sehingga Polinom Kuadratnya adalah

p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588

Jadidiprediksi pada t = 7 detik tinggi bola 2588 m

C Interpolasi Spline

Definisi Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika

1 Domain dari S adalah suatu interval [a b]

2 S S0 S(k10485761) kontinu pada [a b]

3 Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 lt x1 lt lt xn = b dan juga S

adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi xi+1]

Dengan kata lain spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunan-

turunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu Ketika k=1 spline dina-

makan spline linear Ketika k=2 spline dinamakan spline kuadratik Ketika k=3

spline dinamakan spline kubik

C1 Spline Linear

akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x ) sedemikian sehingga S ( x i )=( y i)

untuk 0 le ile n Diambil

Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]

⋮ ⋮Snminus1 ( x ) x ϵ [ xnminus1 xn]

Dengan setiap Si ( x ) adalah linier

Diperhatikan fungsi linear Si ( x ) Garis ini melalui titik (x i y i) dan (x i+1 y i+1) se-

hingga kemiringan dari Si ( x ) yaitu

mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i

Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik (x i y i) dan iquest

untuk sembarang xisin[ x i x+1 i] sehingga

mi=S i (x )minus y i

xminusx i

yang memberikan

Si ( x )= y i+mi ( xminusx i )iquest y i+y i+1minus y i

x i+1minusx i( xminusx i )(C 1 1)

Contoh C2

Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut

x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05

( xminus05 )=minus37minus116 x

[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075

( xminus075 )=11minus8 x

Jadi spline adalah potongan linear yaitu linear di antara setiap titik data

Persamaan (C11) dapat dituliskan kembali sebagai

Si ( x )=ai x+bi i=01 hellipnminus1

dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i

dan b i= y iminusai x i

kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu

kemiringannya berubah secara mendadak Secara formal ini berarti bahwa turunan

pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut Kelemahan ini diatasi oleh

penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi

C2 Spline Kuadratik

Tidak seperti spline linear spline kuadratik tidak didenisikan sepenuhnya oleh nilai-

nilai di x i Berikut ini kita perhatikan alasannya Spline kuadratik didefnisikan oleh

Si(x )=ai x2+bi x+ci

Jadi terdapat 3 n parameter untuk mendenisikan S(x )

Diperhatikan titik-titik data

x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn

Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini

1 Setiap subinterval [ x i x i+1 ] untuk i=012 hellip nminus1 memberikan dua persmaan

berkaitan dengan Si(x ) yaitu

Si ( x i )= y i dan S i ( x i+1)= y i+1

jadi disini didapatkan 2 n persamaan

2 Syarat pada kontinuitas dari S (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk setiap

titik dalamx i i=012 hellipnminus1 yaitu

Siminus1 ( x i )=S

i(x i)

Jadi dari sini dipunyai nminus1 persamaan Sekarang totalnya terdapat 3 nminus1 persamaan

tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem

mempunyai kekurangan ketentuan

3 Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu

S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=

Sekarang dimisalkan z i=Si ( xi ) karena Si ( x i )= y i S

i ( x i )=z i dan

Si ( x i+1 )=z i+1 maka kita dapat mendefinisikan

Si ( x )=zi+1minuszi

2 ( x i+1minusxi )( xminusx i )

2+ zi ( xminusx i )+ y i C 21

Selanjutnya dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh

y i+1=S i ( x )=zi+1minuszi

2 ( x i+1minusx i )( xminusxi )

2+zi ( xminusx i )+ y i y i+1minus y i=zi+1minuszi

2( xminusx i )+z i ( xminusxi )

y i+1minus y i=zi+1minuszi

2( xminusx i )

Jadi kita dapat menentukan z i+1 dari zi

z i+1=2y i+1minus y i

x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2

Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini

x 00 01 04 05

y 13 45 20 21

dengan ketetapan zo=0

Penyelesaian

pertama-tama hitung nilai z i

z1=2y1minus y0

x1minusx0

minusz0=245minus1301minus0

minus0=64z2=2y2minus y1

x2minus x1

minusz1=22minus45

04minus01minus64=minus242

3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3

jadi fungsi spline kuadratik S(x )

S0 ( x )=z1minusz0

2 ( x1minusx0 ) ( xminusx0 )2+ z0 ( xminusx0 )+ y0iquest320 x2+13 untuk 0le x le01

S1 ( x )=z2minusz1

2 ( x2minusx1 ) ( xminusx1 )2+z1 ( xminus x1 )+ y1iquestminus2170

9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445

untuk 01le xle 04S2 ( x )=z3minusz2

2 ( x3minusx2 ) ( xminusx2 )2+z2 ( xminusx2)+ y2

iquest 24503

( xminus04 )2minus2423

( xminus04 )+2iquest 24503

x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05

persamaan C21 dapat ditulis kembali sebagai

Si(x )=ai x2+bi x+ci i=012 hellip nminus1

dengan

a i=zi+1minusz i

2 ( x i+1minusxi ) bi=ziminus2a i x i c i=ai x i

2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik

Diketahui suatu fungsi f (x) yang dibatasi oleh interval a dan b dan memiliki sejumlah

titik data a=x0ltx1lthellipltxn=b Interpolasi spline kubik S(x ) adalah

suatu potongan fungsi polinomial berderajat tiga (kubik) yang menghubungkan dua titik yang

bersebelahan dengan ketentuan untuk i=012 hellip nminus1

(S0) Potongan fungsi pada subinterval [ x i x i+1 ] i=012 hellipnminus1

Si ( x )=ai ( xminusx i )3+bi ( xminusx i )

2+c i ( xminusxi )+d i

(S1) Pada setiap titik data x=x i i=01 hellip n

S ( x i )=f (x i)

(S2) Nilai-nilai fungsi harus sama pada titik-titik dalam

Si ( x i+1 )=S i+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2

(S3) Turunan-turunan pertama pada titik dalam harus sama

S i ( x i+1 )=S i+1 ( xi+1 ) i=012 hellip nminus2

(S4) Turunan-turunan kedua pada titik dalam harus sama

S rsub i left (x rsub i+1 right ) = Si+1 ( x i+1 ) i=012 hellip nminus2

(S5) Salah satu syarat batas di antara dua syarat batas x0 dan xn berikut ini harus

dipenuhi

S ( x0 )=S left (x rsub n right ) = (disebut batas alamiah natural boundary)

S ( x0 )=f ( x0) dan S ( xn)=f (xn) (disebut batas apitan clamped boundary)

d i= yi c i=d i+1minusd i

hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi

( bi+1minusbi ) C 3 1

Contoh C3

Buatlah interpolasi spline kubik untuk data berikut ini

x 0 1 2 3

y 0 1 4 5

terhadap syarat batas S ( x0 )=S (0 )=c0=2dan S ( xn )=S (3 )=cn=2

Penyelesaian

Lebar subinterval pada sumbu x

h1=h2=h3=h4=1

dan beda terbagi pertama dengan mengingat bahwa d i=f ( x i )= y i yaitu

d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1

Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai

[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]

yang mempunyai penyelesaian

b0=minus3 b1=6 b2=minus6 b3=minus3

Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan C31 untuk memperoleh koefisien-

koefisien lain dari spline kubik

d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33

=minus2 a2=3minus(minus3)

3=2

Terakhir kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti

S0=2x3+3 x2+2 x untuk xisin [01 ]S1=minus2 ( xminus1 )3+3iquestS2=2 ( xminus2 )3+3iquest

D Interpolasi Newton

Persamaan Polinom Linier

p1 (x )= y0+( y1minus y0 )( x1minusx0 )

(xminusx0)

Bentuk pers ini dapat ditulis

p1 (x )=a0+a1(xminusx0)

Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1

a1=( y1minus y0 )( x1minusx0 )

=f iquestiquest

Persamaan ini merupakan bentuk selish terbagi (divided-difference)

a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik

p2 ( x )=a0+a1 ( xminusx0 )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )

atau

p2 ( x )=p1 ( x )+a2 ( xminusx0 ) ( xminusx1 )

Dari persamaan ini menunjukkan bahwa p2 ( x ) dapat dibentuk dari persamaan sebelumnya

p1 (x ) Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2untuk mendapatkan

a2=f ( x2 )minusa0minusa1 ( x2minusx0 )

( x2minus x0 ) ( x2minusx1 )D 1 3

jika nilai a0 dan a1 pada persamaan D11 dan D12 dimasukkan ke persamaan D13 maka

akan didapatkan

a2=f iquestiquestiquest

jadi tahapan pembentukan polinom newton

p1 (x )=p0(x)+a1(xminusx0)

p1 (x )=a0+a1 ( xminusx0 )


p3 ( x )=p2 ( x )+a3 ( xminusx0 ) ( xminusx1 ) ( xminusx2 )

Nilai konstantaa0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi dengan nilai

a0=f ( x0 )a1=f [x1 x0]⋮=⋮an=f [xn xnminus1 hellip x1 x0]

yang dalam hal ini

f [ x i x j ]=f iquestiquest f [ x i x j xk ]=f [ x i x j ]minusf [ x j xk ]

x iminusxk

f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]=f [ xn xnminus1 hellip x1 x0 ]minusf [xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0]

xnminusx0

Karena a0 a1 hellipan merupakan nilai selisih terbagi maka polinom Newton dinamakan

polinom interpolasi selisih terbagi Newton Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan

menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi

Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai

Rekurens pn ( x )=pnminus1 ( x )+( xminusx0 ) ( xminusx1 ) hellip ( xminusxnminus1 ) f [ xnminus1 xnminus2 hellip x1 x0 ]

Basisp0 ( x )=f ( x0 )

Contoh Bentuklah polinom Newton derajat satu dua tiga dan empat yang menghampiri

f ( x )=cos x dalam range [00 4] dan jarak antar titik adalah 10 Lalu taksirlah f (x) dengan

x=25 dengan Polinom Newton derajat 3

x i y i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik

Misal diberikan empat buah titik data iquest)(x1y1)iquesty2) dan (x3y3)Polinom yang

mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk

p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3

Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut

1Sulihkan ( x iy i) kedalam persamaan (p59) i=0123 Sehingga diperoleh empat buah

persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 a1 a2 dan a3

a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan data

percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang

dibutuhkan untuk menghentikan kecepatan

Perkiraan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan

kecepatan 45 miljam

Y

X

(x0y0)

(x1y1)

Y

X

(x0y0)

(x1y1)

II MACAM-MACAM INTERPOLASI

PEMBAHASAN

A Interpolasi Linier

Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan

sebuah garis lurus Misal diberikan dua buah titik (x0y0) dan (x1y1) Polinom yang

menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk

P ( x )=a0+a1 x

Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0y0) dan

(x1y1)





persamaan linear

y0=a0+a1 x0 (1)

y1=a0+a1 x1 (2)




hArr a1=y0minus y1

x0minusx1


y0=a0+a1 x0


x0minusx1) x0


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


berikut

p1 (x )=a0+a1 x


x1minusx0

+y1 ndash y0

x1minusx0

x

Y

X

P1(x0y0)

P2 (x1y1)

(xy)


x1minusx0


x1minusx0


x1minusx0





cara berikut




yminus y0

y1minus y0

=xminusx0

x1minusx0


y=y1minus y0






3 Masukkan nilai x




x1minusx0


7 Tulis hasil y=P

Contoh



Tahun 1990 2000


Penyelesaian

Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700


Ingat


Misalkan x=1995


p1 (2005 )=196800




Penyelesaian

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513



Ingat



p1 (92 )=221884


linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4




p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2


24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam



persamaan linear

y0=a0+a1 x0 (1)

y1=a0+a1 x1 (2)




hArr a1=y0minus y1

x0minusx1


y0=a0+a1 x0


x0minusx1) x0


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


x0minusx1


berikut

p1 (x )=a0+a1 x


x1minusx0

+y1 ndash y0

x1minusx0

x

Y

X

P1(x0y0)

P2 (x1y1)

(xy)


x1minusx0


x1minusx0


x1minusx0





cara berikut




yminus y0

y1minus y0

=xminusx0

x1minusx0


y=y1minus y0






3 Masukkan nilai x




x1minusx0


7 Tulis hasil y=P

Contoh



Tahun 1990 2000


Penyelesaian

Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700


Ingat


Misalkan x=1995


p1 (2005 )=196800




Penyelesaian

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513



Ingat



p1 (92 )=221884


linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4




p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2


24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

Y

X

P1(x0y0)

P2 (x1y1)

(xy)


x1minusx0


x1minusx0


x1minusx0





cara berikut




yminus y0

y1minus y0

=xminusx0

x1minusx0


y=y1minus y0






3 Masukkan nilai x




x1minusx0


7 Tulis hasil y=P

Contoh



Tahun 1990 2000


Penyelesaian

Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700


Ingat


Misalkan x=1995


p1 (2005 )=196800




Penyelesaian

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513



Ingat



p1 (92 )=221884


linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4




p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2


24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

y=y1minus y0






3 Masukkan nilai x




x1minusx0


7 Tulis hasil y=P

Contoh



Tahun 1990 2000


Penyelesaian

Dipunyai x0 = 1990 x1 = 2000 y0 = 187900 y1 = 205700


Ingat


Misalkan x=1995


p1 (2005 )=196800




Penyelesaian

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513



Ingat



p1 (92 )=221884


linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4




p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2


24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Dipunyai

x0=90 y0=21972

x1=95 y1=22513



Ingat



p1 (92 )=221884


linear

Galat = 22192 ndash 221884 = 36 x 10-4




p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2


24 dan Gambar 25

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

Y

X

x0y0

x1y1

x2y2

x2x1x0

y0

y1

y2










a0 a1 dan a2

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2


Gauss




x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam


x i+1minusx i


y i+2minus y i+1


x i+2minusx i







3 Masukkan nilai x




x1minusx0

F12=y2minus y1

x2minusx1


x2minusx0




8 Tulis hasil y=P

Contoh



Penyelesaian


x1=90 y1=21972

x2=95 y2=22513



a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam




a0+80 a1+6400 a2=20794

a0+90 a1+8100 a2=21972

a0+95 a1+9025 a2=22513

adalah

[11189

95

6481

9025

207942197222513] R 21(minus1)

R 31(minus1)[10081

15

6417

2625

207940117801719]


010

minus7217

075

113701178

minus00048] R 31( 1075

)[100010

minus72171

113701178

minus00064 ]R 13(72)

R 23(minus17)[100010

001

0676202266

minus00064 ]


a0=06762 a1=02266 a2=minus00064


p2 (92 )=06762+02266 (92 )+minus00064 (92)2

p2 (92 )=22192



t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam


t=7 detik

Penyelesaian


t (detik) Y (m)

5 201

65 2443

8 2897


t=7 detik


a0+50 a1+2500 a2=201

a0+65 a1+4225 a2=2443

a0+80 a1+6400 a2=2897


[1 5 251 65 42251 8 64

20124432897]R 2 R1 (minus1 )

R 3 R 1 (minus1 ) [1 5 250 15 17250 3 39

20104430887 ]R 2( 1

15 )iquest

[1 5 250 1 1150 3 39

2010288670887 ]R 1 R 2 (minus5 )

R 3 R 2 (minus3 )[1 0 minus3250 1 1151 0 45

056667028867

0021 ]iquestR 3 ( 145 )

[1 0 minus3250 1 1151 0 1

056667028867000467 ]R 1 R 3(325)

R 2 R 3(115)[1 0 00 1 01 0 1

0717330235

000467 ]Diperoleh a0=071733 a1=0235 a2=000467


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam


p2 ( x )=071733+0235 x+000467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2588












C1 Spline Linear



Sx= S0 ( x ) x ϵ [ x1 x2]S1 ( x ) x ϵ [ x1 x2 ]





mi=y i+1minus yi

x i+1minusx i




xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam



xminusx i

yang memberikan



Contoh C2


x 00 01 04 05 075 10

y 13 45 20 21 50 30

Penyelesaian

[ 00 01 ] S0 ( x )=13+ 45minus1301minus0

( xminus0 )=13+32 x

[ 01 04 ] S1 ( x )=45+ 20minus4504minus01

( xminus01 )=163

minus253

x

[ 04 05 ] S2 ( x )=2+ 21minus2005minus04

( xminus04 )=16+x

[ 05 075 ] S3 ( x )=21+ 50minus21075minus05


[ 075 1 ] S4 ( x )=5+ 3minus51minus075





dengan

a i=yi+1minus y i

xi+1minusx i






C2 Spline Kuadratik






x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam





x0 x1 x2 ⋯ xn

y y y1 y2 ⋯ yn








Siminus1 ( x i )=S

i(x i)





S ( x0 )=0 atau S ( x rsub 0 )=


i ( x i )=z i dan











2( xminusx i )



x i+1minusx i

minuszi

Contoh C2


x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

x 00 01 04 05

y 13 45 20 21


Penyelesaian


z1=2y1minus y0

x1minusx0



x2minus x1

minusz1=22minus45


3

z3=2y3minus y2

x3minusx2

minusz2=221minus2

05minus04+ 242

3=248

3


S0 ( x )=z1minusz0


S1 ( x )=z2minusz1


9( xminus01 )2+64 ( xminus01 )+45

iquestminus21709

x2+ 10109

x+ 19445



iquest 24503



x2minus22023

x+ 494830

untuk 04 le x le05



dengan

a i=zi+1minusz i


2minuszi xi+ y i

C3 Spline Kubik









S ( x i )=f (x i)








dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam






dipenuhi




hi

minushi

3( 2b i+bi ) ai=

13hi


Contoh C3


x 0 1 2 3

y 0 1 4 5


Penyelesaian


h1=h2=h3=h4=1


d1minusd0

h0

=1 d2minusd1

h1

=3 d3minusd2

h2

=1


[2 11 4

0 01 0

0 10 0

4 11 2

][b0

b1

b2

b3]=3 [131 minus2

minus1minus3

2 minus1] [minus3

6minus6

3]





d0=0 d1=1 d2=4

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

c0=1minus13

(3+2 (minus3 ) )=2 c1=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2 c2=3minus13

(minus3+2 (3 ) )=2

a0=3minus(minus3)

3=2 a1=

minus3minus33


3=2






(xminusx0)



Yang dalam hal ini

a0= y0=f ( x0 ) D 1 1


=f iquestiquest


a1=f [x1 x0]

Polinom kuadratik


atau







akan didapatkan









yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam





yang dalam hal ini


x iminusxk


xnminusx0











0 1 -04597 -02484 01466 -0147

1 05403 -09654 01913 0088

2 -04161 -05739 04551

3 -099 03363

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

4 -06536

Penyelesaian

E Interpolasi Kubik



p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x3




a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam



a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1 x1 a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3= y2

a0+a1 x3+a2 x32+a3 x3

3= y3





kecepatan 45 miljam

Interpolasi, Definisi, dan Macam-macamnya

Documents

Transcript of Interpolasi, Definisi, dan Macam-macamnya