APROKSIMASI DAN ERROR

KELOMPOK 3

EGGY PUTRA PRATAMA 3334141184

FANNI BAYTA 3334140381

IRVAN FAUZI 3334141150

LUKMAN NULHAKIM 3334091280

M. NURUL IZZUDIN 3334140393

SUBHAN MARTADINATA 3334141861

OUTLINE

KESALAHAN/ERROR

PERHITUNGAN MANUAL

PERHITUNGAN MATHLAB

METODE NUMERIK

APROKSIMASI

METODE NUMERIK

Adapun dua aspek yang harus diperhatikan dalam metoda numerik:

• Nilai aproksimasi

• Kemungkinan error yang dapat terjadi

Metode Numerik adalah metode menggunakan komputer untuk mengaproksimasi solusi masalah matematika melalui kinerja dari sejumlah operasi dasar pada angka.

Ruang Lingkup Metode NumerikMenyelesaikan persamaan non linier

Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variable

Menyelesaikan differensial dan integral

Interpolasi dan regresi

Menyelesaikan persamaan differensial

Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

APROKSIMASI

Pembulatan ke satuan terdekat

Pembulatan ke banyaknya angka atau

tempat decimal

Pembulatan ke

banyaknya angka penting

(signifikan)

Aproksimasi adalah

pendekatan atau pembulatan nilai terhadap hasil

pengukuran dan tidak berlaku

untuk hal yang sifatnya eksak

(seperti hasilnya membilang atau

menghitung)

Tiga cara Aproksimasi

Pembulatan ke satuan terdekat Pembulatan ke banyaknya angka atau tempat desimal Pembulatan ke

banyaknya angka penting (signifikan)

Jika :-Angka berikutnya maka angka didepannya ditambah satu. -Angka berikutnya <5, maka angka ini dihilangkan dan angka didepannya tetap.Contoh:3,17cm cm

Memudahkan dalam menyederhanakan perhitungan, sesuai dengan ketelitian yang diinginkan.Contoh:Pembulatan hasil pengukuran 58,67549 cm sampai dengan empat tempat decimal dan sampai dua tempat decimal58,67549 cm 58,67549 cm 58,68

“Semua angka bukan nol adalah penting, dan angka nol adalah penting, kecuali angka nol yang berada didepan angka bukan nol pada bilangan decimal kurang dari satu”. Contoh:5,2356 km (5 angka penting)0,0023452 km (5 angka penting)

1. Aproksimasi nilai faktorial dengan formula Stirling Dalam menghitung nilai 𝑛! untuk 𝑛 cukup besar adalah dengan menggunakan pendekatan rumus Stirling, yaitu

2. Aproksimasi nilai 𝒆 melalui formula limit nilai 𝑒 didefinisikan sebagai limit berikut

n

METODE APROKSIMASI

3. Aproksimasi nilai 𝒆 melalui deret Taylor Selain bentuk limit di atas, nilai 𝑒 mempunyai representasi dalam bentuk deret takhingga berikut :

METODE APROKSIMASI

GALAT (ERROR)Timbul dari penggunaan aproksimasi. Meliputi 2 hal, yaitu:

Kesalahan pembulatan (round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

Kesalahan pemotongan (truncation error), saat aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak

Ea = 1

Kesalahan Mutlak

ER =

Kesalahan Relative

PE = 100ER

Persentase kesalahan

Kesalahan Aproksimasi

AKURASI PRESISIKesalahan Mutlak dan

Relatif

kedekatan nilai terukur atau

terhitung terhadap nilai

eksak

Kedekatan nilai-nilai terukur

terhadap satu sama lainnya.

Study Case

Menentukan n! dimana n=8 dengan menggunakan pendekatan rumus stirling untuk mengetahui seberapa akurat pendekatan aproksimasi.

Rumus Stirling :n

Dengan cara manual :

Nilai n! untuk n=8

Mencari nilai n! menggunakan pendekatan rumus Stirling, untuk n = 8

n = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x (n-4) x … x 3 x 2 x 1atau n = n x (n-1) 8 = 8 x (8-1) x (8-2) x (8-3) x (8-4) x (8-5) x (8-6) x (8-7) x (8-8)8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 = 40,320 

n 8

7.089815404 39,902.39545 39,902.3955

Kesalahan mutlak = |nilai eksak – aproksimasi|

= 40,320 - 39,902.39545

= 417.6045

Kesalahan relative = . 100%

= . 100%

= 1.035 %

DENGAN CARA MATHLAB

Mencari n! dengan Rumus Stirling

Kesalahan Mutlak dan Kesalahan Relatif

KESIMPULAN

Metode Numerik digunakan jika menyelesaikan suatu permasalan yang tidak dapat dipecahkan oleh metode analitik(eksak). Permasalahan matematika yang berasal dari masalah dunia nyata pada umumnya tidak mempunyai solusi eksak, sehingga harus diaproksimasi. Nilai kesalahan(error) muncul karena adanya aproksimasi. Pada kasus ini didapatkan kesalahan mutlak 417.6045 dan kesalahan relatif 1,035%.