Approximation and Error

Diki Rustian

Muhammad Dimaz

Muhammad Harry

Rismananda

Nadya Zulfani

Naufal Eka

Sofia Marta

ANALISA NUMERIK DAN PERMODELAN

Pendekatan dan Kesalahan

Pendekatan Numerik

Pendekatan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam sains yang digambarkan dalam persamaan matematika

Kesalahan Mutlak

Kesalahan yang terjadi karena adanya pendekatan numerik

True Value = Approximation + Error

Pendekatan dan Kesalahan

Kesalahan RelatifMerupakan cara untuk menormalisasi kesalahan terhadap nilai sebenarnya

εt = ((True Value – Approximation)/True Value) x 100%

Pendekatan dan Kesalahan

Kesalahan dalam metode numerik dibagi menjadi 2:Kesalahan Pembulatan (round of error)Kesalahan Pemotongan (truncation

error)

Pendekatan dan Kesalahan

PresisiTingkat pengulangan pengukuran dalam kondisi yang tidak berubah untuk mendapatkan hasil yang sama

AkurasiTingkat kedekatan ukuran kuantitas dengan harga sebenarnya

Pendekatan dan Kesalahan

Kesalahan aproksimasi relatif

εa = ((Aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya)/Aproksimasi sekarang) x 100%

Pada pendekatan iterasi, iterasi akan dihentikan jika kondisi dibawah terpenuhi

|εa|< εsDimana εs adalah tingkat kesalahan yang masih dapat diterima

Aproksimasi nilai faktorial dengan Formula Stirling

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah perkalian dari bilangan bulat positif mulai dari n(n-1) (n-2) dimana:

n! = n (n-1) n (n-2)..............1

Aproksimasi Stirling untuk n!n! ≈

n! ≈

Dimana e = 2,271828... (adalah logaritma basis natural)

Untuk n yang besar, evaluasi langsung terhadap n! Tidak praktis. Maka, digunakan rumus pendekatan atau aproksimasi yang dibangun oleh James Stirling

Penggunaan Approximation & Error dalam MATLAB

1. Menampilkan bilangan dalam format pendek dan

mendapatkan nilai 8 ! Secara eksak.

2. Menghitung nilai aproksimasi/ pendekatannya mengunakan rumus Stirling.

3. Mengetahui besarnya true error dan relative error, setelah mengetahui hasil aproksimasi =

3.9902e+04.

Maka, dapat disimpulkan bahwa Kesalahan relatif ( Relative Error) dengan nilai 0.0104 atau 1.04 % adalah lebih kecil dibandingkan dengan kesalahan mutlak (true error) dengan nilai 417.6045

Perhitungan Secara Manual

Nilai eksak dari n! untuk n = 8

n! = n (n-1) x (n-2) x (n-3)x ...x 3 x 2 x 1

atau

n! = n ( n-1)!

Jadi, 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x4 x3 x 2 x 1

= 40.320

Mencari nilai dari n! Dengan aproksimasi stirling dengan n = 8

n! =

n! =

= (5628,159254)

= 7,088018059 (5628,159254)

= 39892.49443

Kesalahan Mutlak dan Relatif

Kesalahan mutlak =|nilai eksak – aproksimasi|

= 40.320 – 3,9902.

= 418 (atau pembulatan dari 417,6045)

Kesalahan relatif = x 100%

=

= 0,01036 X 100%

= 0,0104 X 100%

Thanks For Your Attention