Bahan Ajar Limit Fungsi

LIMIT FUNGSI

A. Arti Limit Fungsi Aljabar di Suatu Titik

Konsep limit merupakan dasar atau landasan utama untuk mempelajari deferensial dan integral dari kalkulus yang merupakan salah satu cabang matematika. Kalkulus suatu alat yang banyak digunakan pada bidang teknik, bisnis dan ekonomi, ilmu pengetahuan alam dan bidang-bidang lain yang permasalahannya melibatkan peubah-peubah kontinu.

Coba kita bayangkan apabila seorang anak melempar sebuah bola karet ke dinding kaca. Perjalanan bola ini terus menerus akan mendekati dinding kaca atau jarak bola dengan dinding kaca semakin dekat atau semakin kecil, seperti terlihat pada gambar berikut :

Gerakan bola tersebut akan membentur diding kaca dan kita diharapkan bisa menentukan ketinggian bola saat membentur dinding kaca.

Dalam kalkulus, jejak bola ini dapat kita ilustrasikan sebagai : grafik fungsi y = f(x) untuk x < c dan dinding kaca sebagai garis tegak x = c

Adapun perkiraan tinggi benturan dikatakan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati c dari arah kiri dan ditulis :

Dalam situasi tertentu karena ada gangguan yang menyebabkan beberapa bola tidak dapat bergerak mendekati dinding kaca mungkin akan menjauh pada ketinggian yang bisa terukur. Dalam hal ini dikatakan tidak ada nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati c dari arah kiri.

Selanjutnya, untuk gerakan bola dari arah sebelah kanan, jika digunakan penalaran yang sama maka perkiraan tinggi bola adalah limit fungsi f(x) untuk x mendekati c dari arah kanan dan ditulis :

Jika tinggi benturan bola dari arah kanan tidak dapat diperkirakan, maka

tidak ada.

Limit selalu berhubungan dengan suatu fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Pada pembahasan berikut kalian akan terlebih dahulu mempelajari limit fungsi aljabar.

Contoh

Diberikan fungsi f(x) = 3x + 2, yang terdefinisi untuk semua nilai x bilangan nyata. Nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai untuk x mendekati 2 adalah sebagai berikut :

Berdasarkan tabel di atas, semakin x dekat dengan 2 dari arah kiri maka nilai f(x) mendekati nilai 8 dan semakin x dekat dengan 2 dari arah kanan maka nilai f(x) mendekati nilai 8. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 8 :

Definisi Limit Fungsi

Jika suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x sekitar c, maka

Contoh

Selidikilah nilai

untuk x mendekati 1

Penyelesaian :

1. Untuk x = 1 maka

2. Untuk x mendekati 1 , nilai dari

dapat diperoleh dengan membuat tabel dari nilai-nilai yang dekat dengan 1 yaitu lebih dari 1 dan kurang dari 1.

Nilai limit

untuk x mendekati 1 dari arah kiri nilai f(x) mendekati –1 dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan nilai f(x) mendekati –1 . Oleh karena itu nilai limit

untuk x mendekati 1 adalah –1 dan dapat ditulis

Latihan

1. Nilai limit f(x) = 3x – 2 untuk x mendekati 3 adalah ....A. 1B. 3

C. 7D. 9E. 11

Petunjuk :

Buatlah tabel nilai f(x) untuk nilai x mendekati 3 dari kanan dan nilai x mendekati 3 dari kiri

Pembahasan :

Dari tabel dapat kita lihat untuk x mendekati 3 dari arah kiri mendekati 7 dan dari arah kanan juga mendekati 7. Jadi nilai limit f(x) = 3x – 2 untuk x mendekati 3 adalah 7

2. Perhatikan grafik berikut:

Nilai

gambar di atas adalah ....

A.B. 0C.D. adaE. tidak ada

Petunjuk :

lihat gambar dan pengertian suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x sekitar c, maka

Pembahasan :

Grafik y = f(x) tidak pernah menyentuh garis x = c sehingga dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati c dari arah kiri tidak ada.

3. Perhatikan gambar berikut:

Nilai

dari grafik di atas adalah ....


Petunjuk :

Perhatikan gambar dan gunakan pengertian suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x sekitar c, maka

Pembahasan :

Limit fungsi y = f(x) untuk x mendekati c dari arah kanan ada karena


Nilai



Petunjuk :

Lihat gambar dan gunakan pengertian suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x sekitar c, maka

Pembahasan :

ada dan

ada dan bernilai sama. Jadi

ada.


Nilai


A. 0B. adaC. tidak adaD. bilangan realE. sembarang bilangan

Petunjuk :


Pembahasan :

(ada limit kiri) dan

(ada limit kanan) tetapi nilai


Nilai



Petunjuk :


Pembahasan :

(ada limit kiri) tetapi

tidak ada, jadi

tidak ada.


Nilai



Petunjuk :


Pembahasan :

tidak ada dan

(ada limit kanan), jadi

tidak ada.


Nilai


A. 2,5B. 4C. 5D. 7,5E. 10

Petunjuk :

Lihat gambar gunakan pengertian suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x sekitar c, maka

Pembahasan :

limit kiri yaitu

dan limit kanan yaitu

karena nilai limit kiri sama dengan limit kanan sama yaitu 2,5 jadi nilai

adalah 2,5 .


Nilai


A.B. 0C.D. semua bilangan realE. sembarang bilangan

Petunjuk :


Pembahasan :

karena limit kiri sama dengan limit kanan yaitu 0 maka nilai

adalah 0.

10. Perhatikan gambar

berikut:

Nilai

adalah ....

A. -1B. 0C. 1D. adaE. tidak ada

Petunjuk :


Pembahasan :

maka nilai limit kiri dan nilai limit kanan tidak sama , jadi

tidak ada.

B. Teorema Dasar Limit

Setelah mempelajari tentang pengertian limit, selanjutnya kalian akan mempelajari sifat-sifat dan teorema dasar limit.

Mari kita perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Hitung nilai

Cara 1 : Menggunakan Tabel

Berdasarkan tabel di atas, apabila nilai x semakin dekat dengan 2 dari arah kiri maka nilai f(x) hampir mendekati nilai 8 dari arah kiri dan apabila nilai x semakin dekat dengan 2 dari arah kanan maka nilai f(x) hampir mendekati nilai 8 dari arah kanan.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa limit f(x) mendekati 2 sama dengan 8 dan dapat ditulis sebagai berikut :

Cara 2 :

Contoh 2

Hitung nilai

Cara 1 : Menggunakan Tabel

Untuk x mendekati 1, nilai limit dari

dapat diperoleh dengan cara membuat tabel dari nilai-nilai yang dekat dengan 1 yaitu lebih atau kurang dari 1.

Nilai limit

untuk x mendekati 1 dari arah kiri mendekati 3 dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan nilai f(x) mendekati 3. Oleh karena itu nilai limit

untuk x mendekati 1 adalah 3 dan dapat ditulis

Cara 2 :

Dengan melalui contoh di atas, berikut ini adalah teorema dasar limit.

Contoh :

Hitunglah limit berikut :

Penyelesaian :

Dengan menggunakan teorema di atas, maka langkah penyelesaiannya sebagai berikut :

1. Dengan cara seperti di atas maka diperoleh

Kemudian dengan menggunakan teorema 2c diperoleh :

Latihan

1. Nilai

adalah ....

A. -4B. 0C. 4D. 6E. 10

Petunjuk :

Gunakan teorema 2b dan 2a

Pembahasan :

2. Nilai

adalah ....

A. -4B. -2C. 4/3D. 2E. 4

Petunjuk :

Gunakan teorema 2c.

Pembahasan :

3. Nilai

adalah ....

A. -2B. -3/2C. -1

D. 1E. 3/2

Petunjuk :

Gunakan teorema 2c.

Pembahasan :

4. Nilai

adalah....

A. -8B. -2C. 4D. 2E. 6

Petunjuk :

gunakan teorema 2c kemudian subtitusikan

Pembahasan :

5. Nilai

adalah ....

A. -12B. -4C. 2D. 4E. 12

Petunjuk :

dikalikan dahulu kemudian gunakan 2b dan 2a

Pembahasan :

6. Nilai

adalah ....

A.

B.

C.

D.

E. 4

Petunjuk :

Gunakan teorema 2d

Pembahasan :

7. Nilai

adalah ....

A. 1

B.C. 2D. 4

E.

Petunjuk :

Gunakan teorema 2d dan 2c

Pembahasan :

8. Nilai

adalah ....

A. 9B. 4C. 3D. 3/2E. 1

Petunjuk :

gunakan teorema 2c dan 2d

Pembahasan :

9. Nilai

adalah....

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

gunakan teorema 2c kemudian subtitusi langsung

Pembahasan :

10. Nilai

A. 4B. 8C. 16D. 32E. 64

Petunjuk :

Gunakan teorema 2d, kemudian subtitusikan x = -1

Pembahasan :

C. Menghitung Limit Fungsi Aljabar Berbentuk limit f(x) x -> 0 dengan f(x) Berbentuk Fungsi Rasional

Setelah kita mempelajari teorema dasar limit nantinya akan kita pergunakan untuk

menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan menghitung limit fungsi aljabar berbentuk :

limx→ ∞

f (x )g (x)

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita cermati beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1

Hitung nilai

Penyelesaian :

Dengan cara mensubtitusikan x = 0 maka diperoleh :

Contoh 2

Hitung nilai

Penyelesaian :

Jika x = 0 kita subtitusi langsung, maka diperoleh bentuk tak tentu nol per nol. Oleh karena itu, kita perlu memfaktorkan pembilang kemudian menyederhanakannya.

Contoh 3

Hitung nilai

Penyelesaian :

Jika x = 0 kita subtitusi langsung, maka diperoleh bentuk tak tentu nol per nol. Oleh karena itu, kita perlu mengalikan penyebut dengan sekawannya terlebih dahulu, kemudian menyederhanakannya.

Contoh 4

Hitung nilai

Penyelesaian :

Jika x = 0 kita subtitusi langsung, maka diperoleh bentuk ∞ - ∞ Oleh karena itu, kita perlu mengalikan penyebut dengan sekawannya terlebih dahulu, kemudian menyederhanakannya.

Pada prinsipnya, dalam menentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 0 dengan berbentuk fungsi rasional dapat diselesaikan dengan cara subtitusi x = 0 pada f(x).

1. Jika substitusi nilai x = 0 pada f(x) menghasilkan bentuk tak tentu nol per nol, maka fungsi f(x) harus diuraikan atau difaktorkan

2. Jika substitusi nilai x = 0 pada f(x) menghasilkan ∞ - ∞ atau ∞ + ∞ maka fungsi f(x) harus disederhanakan terlebih dahulu.

Dengan kata lain, limit fungsi aljabar dapat dihitung dengan cara subtitusi langsung, pemfaktoran, dikalikan sekawannya, atau disederhanakan.

Latihan

1

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

Pembahasan :

2

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

Pembahasan :

3

A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2

Petunjuk :

Pembahasan :

4

A.B. -1C. 0D. 1E.

Petunjuk :

Lakukan pemfaktoran, kemudian sederhanakan.

Pembahasan :

5

A. -4B. -3C. 0D. 3E.

Petunjuk :

Faktorkan terlebih dahulu, kemudian sederhanakan.

Pembahasan :

6

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

Pembahasan :

7

A. -24B. -12C. 6D. 12E. 24

Petunjuk :

Pembahasan :

8

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

Pembahasan :

9

A.

B.

C.

D.

E.

Petunjuk :

Pembahasan :

10

A. -4B. -2C. 1D. 2E. 4

Petunjuk :

Samakan penyebutnya kemudian sederhanakan.

Pembahasan :

D. Menghitung Limit Fungsi Aljabar Berbentuk limit f(x) x -> a, dengan a ≠ 0

Pada topik-topik sebelumnya, kalian telah belajar mengenai teorema dasar limit. Apakah kalian masih ingat? Dalam topik ini kalian akan belajar tentang bagaimana menghitung limit fungsi aljabar berbentuk

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita langsung belajar dari contoh.

Hitung nilai

Penyelesaian:

Dengan cara subtitusi langsung x = 1 pada

maka akan kita peroleh

Jadi nilai

Hitung nilai

Penyelesaian:

Jika kita selesaikan dengan cara subtitusi langsung x = 2 pada

maka akan kita peroleh

(tak didefinisikan), maka harus diselesaikan dengan cara lain yaitu dengan difaktorkan atau diuraikan terlebih dahulu, seperti kita lihat dan cermati berikut:

Hitung nilai

Penyelesaian:

Jika kita selesaikan dengan cara subtitusi langsung x = 2 pada

akan kita peroleh

(tak didefinisikan), maka harus kita selesaikan dengan cara lain yaitu dikalikan dengan sekawan dari

kemudian kita faktorkan terlebih dahulu, seperti kita lihat berikut:

Jadi nilai

Contoh yang lain, hitung nilai

Penyelesaian:

Jika pada

ini kita subtitusi langsung dengan x = 3 maka akan diperoleh 3/0 – 1/0 yang ini akan sama dengan ∞ - ∞. Oleh karena itu maka harus disederhanakan terlebih dahulu dengan menyamakan penyebutnya, seperti yang berikut:

Dari contoh-contoh tersebut bisa kita lihat bahwa cara menyelesaikan limit fungsi aljabar berbentuk

bisa dilakukan dengan beberapa cara antara lain dengan cara subtitusi langsung. Apabila dengan cara subtitusi langsung kita dapatkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞ - ∞ atau ∞ + ∞: apa yang harus kita lakukan? Jika kita peroleh 0/0, maka f(x) / g(x) harus difaktorkan terlebih dahulu atau diuraikan, dan jika diperoleh ∞ - ∞ dan ∞ + ∞ maka f(x) / g(x) harus disederhanakan terlebih dahulu dengan cara mengalikan bentuk sekawannya agar sifat-sifat limit fungsi dapat dipergunakan.

Latihan

1. Nilai

A. -5B. -8/3C. 0D. 8/3E. 5

Petunjuk :

Subtitusi = 2 pada

Pembahasan :

2. Nilai

A. -1B. -1/3C. 1/3D. 1E. 3

Petunjuk :

Subtitusi langsung x = -2 pada

Pembahasan :

3. Nilai

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 5/4E. 5/2

Petunjuk :

difaktorkan terlebih dahulu, karena jika disubtitusi x = 3 diperoleh 0/0

Pembahasan :

4. Nilai

A. -4B. -4/5C. 0D. 4/5E. 4

Petunjuk :

difaktorkan terlebih dahulu karena dengan subtitusi x = 2 diperoleh 0/0

Pembahasan :

5. Diketahui f(x) = x2 – 2x, maka nilai

adalah ....

A. -2B. -1/2C. 0D. 1/2E. 2

Petunjuk :

Subtitusi pada f(x) – f(1) kemudian difaktorkan dan sederhanakan

Pembahasan :

6. Nilai

A. 3B. 6C. 9D. 18E. 27

Petunjuk :

Faktorkan bentuk

karena dengan subtitusi x = 3 akan diperoleh 0/0

Pembahasan :

7. Nilai

A. -1B. 0C. 1

D.E. 2

Petunjuk :

Faktorkan atau kalikan dengan sekawan pada

karena jika disubtitusikan dengan x = 1diperoleh 0/0

Pembahasan :

Dengan cara pemfaktoran:

Dengan cara mengalikan bilang sekawan pembilang dan penyebut

8. Nilai

A. -3/4B. -1/2C. 1/2 D. 3/4E. 1

Petunjuk :

Kalikanlah dengan bentuk sekawan dari

terlebih dahulu baru disederhanakan.

Pembahasan :

9. Nilai

A. -8B. -4C. 0D. 4E. 8

Petunjuk :

Kalikan dengan bilangan sekawan dari

Pembahasan :

10. Nilai

A. -2B. -1/2C. 1/2D. 2E.

Petunjuk :

Samakan penyebutnya, sederhanakan dan subtitusikan x = 1

Pembahasan :

E. Menghitung Limit Fungsi Aljabar Berbentuk limit f(x), dengan x -> ∞

Pada materi sebelumnya, kalian telah mempelajari konsep limit nilai fungsi f(x) disekitar titik tertentu.

Jika f(x) terdefinisi untuk semua bilangan nyata maka bagaimana nilainya untuk x yang menjadi sangat besar tanpa batas atau menjadi sangat kecil tanpa batas, dengan masing- masing x → ∞ dan x → -∞ ?

Mari kita perhatikan tabel berikut untuk nilai fungsi f(x) = 1/x untuk nilai-nilai x yang besar dan nilai-nilai x yang kecil.

Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa untuk nilai x positif sangat besar sekali atau nilai x negatif sangat kecil maka nilai fungsi f(x) mendekati nol atau menuju nol.

Dengan demikian,

Untuk selanjutnya, jika untuk x → ∞ diperoleh nilai bentuk tak tentu maka limit tersebut dicari dengan membagi pembilang dan penyebut dari fungsi x pangkat tertinggi.

Mari kita cermati contoh-contoh berikut :

Contoh 1

Hitung nilai

Pembahasan :

Karena pangkat tertinggi dari peubah x adalah 3, maka

Contoh 2

Hitung nilai

Penyelesaian :

Karena pangkat tertinggi peubah x adalah 5, maka

Contoh 3

Hitung nilai

Penyelesaian :

Karena pangkat tertinggi peubah x adalah 6, maka

Dari contoh di atas , jika

maka

dimana terpenuhi kondisi berikut :

1. untuk m = n maka L = a/p 2. untuk m > n maka L = 0 3. untuk m < n maka L = ∞

Contoh 4

Hitung nilai

Penyelesaian :

Latihan :

1. Nilai

A. -4B. -3C. -1D. 6E. 8

Petunjuk :

Pembilang dan penyebut dibagi dengan x3

Pembahasan :

2. Nilai

A. -1B. 0C. 1D. 2E. ∞

Petunjuk :


Pembahasan :

3. Nilai

A. -2B. -1C. 1D. 2E. ∞

Petunjuk :


Pembahasan :

4. Nilai

A. 0B. 1/2C. 3/4D. 3E. ∞

Petunjuk :


Pembahasan :

5. Nilai

A. -1B. 0C. 1/2D. 1E. 2

Petunjuk :

Kalikan dengan sekawan dari

Pembahasan :

6. Nilai

A. -6B. -4C. -3D. 1E. 8

Petunjuk :


Pembahasan :

7. Nilai

A. 0B. 1/2C. 1/4D. 1E. 2

Petunjuk :


Pembahasan :

8. Nilai

A. -5B. -3C. -5/2D. 1/2E. 3/2

Petunjuk :

Perhatikan -3x + 2 kita ubah dahulu dalam - (3x - 2) kemudian kalikan dengan sekawan dari

Pembahasan :

9. Nilai

A. -2B. -3/2C. -1/2D. 2E. 5/2

Petunjuk :

Perhatikan - x - 2 kita ubah dahulu dalam - ( x + 2 ) kemudian kalikan dengan sekawan dari

Pembahasan :

10. Nilai dari

A. -5/4B. -1/2C. -1/8D. 1/4E. 5/4

Petunjuk :

kalikan dengan sekawan dari

Pembahasan :

Bahan Ajar Limit Fungsi

Documents

Transcript of Bahan Ajar Limit Fungsi