Bahan Ajar Limit-Matdas

Bab 2

Bab 2Limit dan Kekontinuan Fungsi

=====================2.1 LIMIT FUNGSI :

Fungsi yang terdefinisi pada selang buka I yang memuat a, kecuali di titik a sendiri.

Sebagai contoh:

1. f : I R, I = (0, 2)

f(x) = , x 1 ( f(x) = x+1, x 1 (1 - x2) = (1 x)(1 + x) Perhatikan :

Fungsi f tidak terdefinisi pada x = 1, karena di titik ini f(x) berbentuk , yang tanpa arti.

Tetapi bagaimana yang terjadi, bila kita ambil x yang mendekati 1.

xf(x) =

0,51,5

0,61,6

0,71,7

0,81,8

0,91,9

0,991,99

0,9991,999

1?

1,0022,001

1,012,01

Semua informasi akan menunjukkan bahwa :

f(x) mendekati s bila x mendekati 1.

Selanjutnya ditulis sebagai :

Dibaca Limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2.

Perhatikan : = = 1 + x, x 1

Jarak f(x) ke 2 dapat dibuat kurang dari 0,01 dengan syarat mengambil x yang jaraknya ke 1 kurang 0,01, tetapi x 1.

Atau dengan lambang nilai mutlak.

0 < | x 1 | < 0,01 (|f(x) 2| < 0,01.

0 < | x 1 | < 0,1 (|f(x) 2| < 0,1. dst.

Contoh 2.

h(x) = , x 1.

Perhatikan bahwa fungsi h tidak terdefinisi untuk x = 1 . Karena untuk x = 1, nilai h(x) berbentuk . Tetapi bagaimana nilai h(x) bila x mendekati 1.

Xh(x) =

1,54,75

1,253,813

1,13,310

1,013,030

1,0013,003

1?

0,9992,997

0,992,970

0,92,710

0,752,313

Kalau kita lihat dari tabel di samping, menunjukkan bahwa f(x) akan mendekati 3, bila x mendekati 1.

Jadi :

Atau :

Apakah harus dihitung memakai kalkulator?

Saya kira tidak perlu. Perhatikan penyelesaian berikut :

Perhatikan bahwa :

Kita bisa mengambil jarak f(x) ke 3 kurang dari 0,003 dengan cara mengambil x yang jaraknya ke 1 kurang dari 0,001.

Atau :

0 < | x 1 | < 0,001 |f(x) 3| < 0,003.

0 < | x 1 | < 0,01 |f(x) 3| < 0,03. dst.

Dua contoh di atas, adalah pemahaman konsep limit secara intuisi.

KONSEP LIMIT SECARA FORMAL

Pandang fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a kecuali di titik a sendiri.

Mengatakan nilai f(x) dekat dengan L, atau nilai f(x) berbeda dari L lebih kecil (. Sama saja dengan mengatakan :

|f(x) L | < (

-(< f(x) L < (.

L (< f(x) < L + (.

Ini berarti f(x) terletak dalam selang terbuka (L (, L + ().

Demikian juga untuk x cukup dekat dengan a tetapi berlainan dengan a, sama saja dengan mengatakan bahwa untuk suatu S > 0, x terletak pada selang terbuka (a S, a + S).

Ekuivalen dengan;

0 < |x - a| < S

Perhatikan :

|x a | < S

-S< x a < S.

(a S) < x < (a + S).

Sedangkan

0 < |x a| x = a dikecualikan.

DEFINISI :

Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a, kecuali mungkin di titik a sendiri.

Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L, ditulis .

Contoh 1 :

Diketahui f(x) = 2x + 4.

Buktikan bahwa

Bukti :

Langkah 1 : Ambil ( > 0, sebarang.

Langkah 2 : Pilih S > 0, sehingga |f(x) 10| <

bila 0 < |x 3| < S

Analisis:

0 < |x 3| < S

|f(x) 10| = |2x + 4 10| = |2x 6| = 2 |x 3| < 2.S

= 2 ..

Jadi |f(x) 10| < (, bila 0 < |x 3| < S = .

Sehingga proses pembuktiannya adalah sebagai berikut :

Ambil ( > 0, sebarang

Pilih S = . Jika 0 < |x 3| < S.

Maka |f(x) 10| = |2x 6| = 2|x 3| < 2S = 2 = .

Misalkan diberikan = 0,01.

Maka pilih S = = 0,005

TEOREMA :

dan

Maka :

(i)

(ii)

(iii)

(iv) , M 0

Bukti :

(i)

Bukti :

Misalkan diberikan ( > 0, sebarang

Harus kita cari S > 0 (, bila 0 < |x a| < S, maka |f(x) g(x)| (L+M)| < .

Maka, (S1 > 0 (Bila 0 < |x a| < S1, maka |f(x) L| <

(*)

(S2 > 0 (Bila 0 < |x a| < S2, maka |g(x) M| <

(**)

Pilih S = min {S1, S2}.

|(f(x) + g(x)) (L + M)| = |(f(x) L) + (g(x) M)|

|f(x) L| + (g(x) M| < + = ((

(iii)

Bukti :

f(x) . g(x) = (f(x) L) g(x) + L (g(x) M) + L . M

=

=L . M

(iv) , M 0

Bukti:

=

= L .

=

Contoh contoh : (Dengan menggunakan sifat/teorema)

1. Cari

Jawab :

=

=

=

= 3 . 16 18 = 40

2.

Jawab :

= = = =

3. Jika = 4 dan = 8, hitung

Jawab :

=

=

= 42 . = 32

PRINSIP APIT

Misalkan f, g, dan h adalah fungsi-fungsi terdefinisi pada selang buka I yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri dan memenuhi f(x) g(x) h(x), (x ( I.

Jika =

Maka

Bukti :

Yang harus dibuktikan ,

(( > 0, (S > 0 ( 0 < |x a| < S ( |g(x) L| < (.

Diketahui :

((> 0, (S1 > 0 ( bila 0 < |x a| < S1 ( |f(x) L| < (Ekuivalen dengan

bila 0 < |x a| < S1 ( L ( < f(x) < L + (

(*)

(( > 0, (S2 > 0 ( bila 0 < |x a| < S2 ( |h(x) L| < (Ekuivalen dengan

0 < |x a| < S2 ( L ( < h(x) < L + (

(**)

Pilih : S = min {S1, S2} ( S S1 dan S S2Dari (*) diperoleh :

L ( < f(x) bila 0 < |x a| < S

(***)

Dan dari (**) diperoleh :

h(x) < L + ( , bila 0 < |x a| < S

(****)

Diketahui ; f(x) g(x) h(x) , (x ( I

Sehingga diperoleh

L ( < f(x) g(x) h(x) < L + (. Bila 0 < |x a| < S

Ekuivalen dengan

|g(x) L| < (, bila 0 < |x a| < S.

Jadi

Contoh :

Jika diketahui |g(x) 2| 3(x 1)2, (x.

Gunakan teorema apit untuk menghitung

Jawab :

|g(x) 2| 3(x 1)2 ( -3(x 1)2 g(x) 2 3(x 1)2( -3(x 1)2 + 2 g(x) 2 + 3(x 1)2Tulis : f(x) = 2 3(x 1)2 dan h(x) = 2 + 3(x 1)2

= (2 3(x 1)2) = 2

= (2 + 3(x 1)2) = 2

Menurut teorema apit, g(x) = 2

Contoh 2 :

Gunakan teorema apit untuk menghitung/membuktikan |x sin | = 0

Jawab :

-1 sin t 1, (t

0 |sin | 1, x 0

Jika x 0, maka 0 |x sin | |x|

Terbukti, menurut teorema apit, |x sin | = 0

Contoh 3 :

Buktikan

EMBED Equation.3 = 1

Bukti :

Karena 1 - 1, maka menurut theorema apit,


TEOREMA :


Bukti :

Pada teorema ini ukuran sudut x dalam Radian, sehingga untuk x yang cukup kecil, sin x x.

Q (1, 0)

x2 + y2 = 1

Perhatikan : 0 < x < .

Luas DPR < Luas sektor OQR < Luas OQT

. |OQ| . |PR| < . |OQ|2 < . |OQ| . |QT|

. |PR| < < . |QT|

. Sin x < < tang x

1 < <

(

Sin x < x

Diperoleh : sin <

sin2 <

2 sin2 <

Cos x = 1 2 sin2

1 cos x <

2 sin2 = 1 cos x

Cos x > 1

Jadi,

Untuk - < x < 0 ( 0 < -x <

Sehingga dari (*) diperoleh/dipenuhi :

1 - < cos (-x) < < 1

1 < cos x < < 1, untuk - < x < 0

(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh :

1 < cos x < < 1, - < x < .

Ok, 1 = 1 dan 1 = 1,

Maka, berdasarkan teorema apit, = 1

AKIBAT :

cos x = 1

Sebab : (1 - ) < cos x < 1

Menurut teorema Apit, cos x = 1

Contoh :

1.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = .

2.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 . =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 .


3.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = = = 0

2.2 KEKONTINUAN FUNGSI

Pada pengertian limit fungsi di titik a, fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di titik a sendiri.

Sekarang pada pengertian kekontinuan suatu fungsi, suatu fungsi yang terdefinisi pada selang I yang memuat a.

*) Jika limit fungsi f di a ada dan sama dengan nilai fungsi f(a), maka dikatakan fungsi f kontinu di titik a.

Definisi :

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a.

Fungsi f dikatakan kontinu di a jika dan hanya jika :

f(x) = f(a).

Dari definisi di atas, suatu fungsi f kontinu di titik a mensyaratkan (harus memenuhi syarat):

(i) f(x)

ada

(ii) f(a)

ada

(iii) f(x) = f(a).

Jika tidak memenuhi salah satu syarat, fungsi f dikatakan Diskontinu (tak kontinu).

Situasi suatu fungsi yang diskontinu.

f(x) tidak ada

f(x)ada,

Tetapi f(x) f(a).

Diskontinu loncat

Diskontinu yang dapat dihapus

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI :

TEOREMA :

= 1

BUKTI :

Pandang lingkaran satuan, x2 + y2 = 1.

Ukuran x dalam Radian.

Jika x cukup kecil, maka sin x x.

I. Untuk 0 < x < , berlaku :

ORQ sektor ORQ OTQ

. |OQ| . |PR| . . |OQ|2 . |OQ| . |QT|

. |PR| . 1 . |QT|

. sin x . tg x.

Sin x x

1

dikalikan

Cos x < < 1 (i) dibalik.

Dari ruas kanan pertidaksamaan (i) diperoleh :

sin x < x

Bila di ganti x dengan , diperoleh :

sin <

sin2 <

2 sin2 < .

1 cos x <

cos x > 1 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

1 - < cos x < < 1, untuk 0 < x < . . . . . . . . . . . . . . (iii)

II. Untuk -< x < 0 ( 0 < -x < ().

Sehingga dari (iii) diperoleh :

1 - < cos (-x) < < 1,

1 - < cos x < < 1,

-< x < 0

Jadi

, -< x <

Ok, (1 ) = 1

Maka, menurut teorema apit,

EMBED Equation.3 = 1.

AKIBAT :

cos x = 1

i. tan x =

EMBED Equation.3 = = 0.

ii.


Bukti :

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 .

=

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 = 1 . 1 = 1

iii.


Bukti :

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 . cos x

=

EMBED Equation.3 . cos x = 1 . 1 = 1

iv.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = =

= =

= =

v.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = . 1 . 1 . 1 =

vi.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 =

vii. Buktikan


Bukti :

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 .

= 1 . = 1 . 0 = 0

viii.

EMBED Equation.3 Jawab :

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = = 0

Contoh 1 :

Misalkan fungsi f diberikan oleh f(x) = |x|. Apakah f kontinu di x = 0 ?

Jawab :

Untuk x < 0 ( f(x) = x

Untuk x 0 ( f(x) = x

x, untuk x 0

f(x) =

-x , untuk x < 0

f(x) = (-x) = 0

f(x) = x = 0

Jadi, f(x) = |x| = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)

f(0) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)

oleh karena, f(x) = |x| = f(0) = 0 . . . . . . . .(3)

Jadi, f(x) = |x|, kontinu di x = 0

Contoh 2 :

,untuk x -2

Misalkan g(x) =

-3,

untuk x = -2

Apakah g kontinu di x = -2 ? Bila g diskontinu di x = -2, diskontinu jenis mana? Jelaskan.

Jawab :

(i) g(-2) = -3

(ii) g(x) =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = x-1 = -3

Jadi, g(x) = g(-2) = -3

Jadi, g(x) =

kontinu di x = -2

Apakah fungsi-fungsi di bawah ini kontinu atau diskontinu?

Jika diskontinu, diskontinu jenis manakah?

Jika diskontinu tersebut dapat dihapus, definisikan nilai fungsinya sehingga diskontinu tersebut dapat dihapus.

Contoh 3 :

f(x) =

, jika x 4

1

, jika x = 4

Jawab :

(i) f(4) = 1(ii) f(x) =

EMBED Equation.3 = -

f(x) =

EMBED Equation.3 = +

( f(x) tak terdefinisi

Jadi f(x) diskontinu di x = 4 dan diskontinu esensial (sesungguhnya).

Contoh 4 :

h(x) =

Jawab :

(i) h(3) = . Jadi, h(-3) tak terdefinisi

(ii) h(x) =

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = (x 2)

= -5

Jadi, h(x) diskontinu di x = -3.

Diskontinu yang dapat dihapus. Supaya h(x) menjadi kontinu di x = -3, definiskan h(-3) = -5

Contoh 5:

f(x) = [x]. bil. Bulat terbesar x.

Jawab :

Ambil x = n, n : bilangan bulat.

f(x) = [x] = n 1 = n 1

f(x) = [x] = n = n

Jadi, f(x) tak ada.

Jadi f(x) = [x] diskontinu untuk setiap x bilangan bulat.

DEFINISI : ((, S)

Fungsi f kontinu di a bhb

((> 0, (S > 0 ( bila |x a| < S maka |f(x) f(a)| < (.

TEOREMA : (Limit Komposit)

Jika fungsi f kontinu di titik a, dan fungsi g kontinu di titik f(a) , maka fungsi (g o f) kontinu di titik a.

Bukti

Misalkan diberikan ( > 0, sebarang.

Pilih S1 > 0, sehingga |g(f(x)) g(f(a))| < (bila |f(x) f(a)| < S1 . . . . . . . . . . . . . . . . (i)

Sebab g kontinu di f(a).

Sekarang diketahui f kontinu di a.

Maka terdapat S2 > 0( |f(x) f(a)| < S1 bila |x a| < S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

|g(f(x)) f(f(a))| < (bila |x a| < S2.

(((> 0, (S2 > 0 (bila |x a| < S2 maka |g(f(x)) g(f(a))| < (.

Jadi (g o f) kontinu di titik a.

TEOREMA :

f(x) = b dan g kontinu di titik b.

Maka (g o f)(x) = g [f(x)]

Contoh :

Hitung


Tulis : f(x) = 5x2 + 4 dan g(x) = .

Jadi, (g o f)(x) = .

Fungsi g kontinu pada [0, ] dan f kontinu pada R.

Oleh karena 1 ( [0, ], maka,

(g o f)(x) = g (f(x))

= = = 3

TEOREMA :

Setiap fungsi berikut kontinu pada daerah definisinya.

i. Suku banyak Pn (x) Polinom

Pn (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn.

ii. Fungsi rasional, f(x) = , P & Q merupakan suku banyak.

iii. Fungsi trigonometri, sin, cos, tan, dll.

2.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI :

DEFINISI 1 :

Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat x = a, kecuali mungkin di titik a sendiri.

Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L, ditulis dengan :

Jika untuk ((> 0, (S > 0 (bila 0 < |x a| < S maka berlaku |f(x) L| < (.

Secara grafis :

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L, dengan cara membuat x cukup dekat dengan a dan x a.

Dengan bahasa matematika,

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L, ((> 0, |f(x) L| < (.

Hal ini dapat tercapai bila x cukup dekat dengan a, dan x a, yaitu 0 < |x a| < S dengan S bergantung pada (. Sehingga,

bila 0 < |x a| < S, maka |f(x) L| < (.

LIMIT SEPIHAK :

Definisi : (Limit Kanan)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang buka (a, b). Maka limit fungsi f untuk x mendekati a dari kanan adalah L, ditulis :

Jika ((> 0, (S > 0 ( 0 < x a < S maka |f(x) L| < (Definisi : (limit kiri).

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang buka (a,b), maka limit fungsi f untuk x mendekati b dari kiri adalah L, ditulis :

((> 0, (S > 0 ( 0 < b - x < S maka |f(x) L| < (

((> 0, (S > 0 ( 0 < x a < S

((> 0, (S > 0 ( 0 < b - x < S

berlaku |f(x) L| < (

berlaku |f(x) L| < (Contoh :

f(x) = , terdefinisi pada selang buka I yang memuat 0, kecuali 0 sendiri.

f(x) tidak ada,

Sebab,

f(x) = = 1, jika x 0

-1, jika x < 0

f(x) = 1 = 1

f(x) = -1 = -1

Oleh karena f(x) f(x), maka f(x) tidak ada.

SIFAT :

f(x) = L ( f(x) = f(x) = L

Contoh :

Diketahui : f(x) = |x| + .

Hitunglah : a. f(x)

b. f(x), bila ada.

Jawab :

Kasus I : x < 0

f(x) = -x +

= = =

= (x + 1)

Kasus II : 0 x < 1

f(x) = |x| +

= x + =

= =

=

= x 1

Kasus III : x 1

f(x) = |x| +

= x + =

=

= x + 1.

-x 1 , x < 0

f(x) = x 1 , 0 x < 1

x + 1 , x 1

a. f(x) = (-x 1) = -1

f(x) = (x 1) = -1

Ok, f(x) = f(x) = -1.

Jadi, f(x) = -1.

b. f(x) = x 1 = 0

f(x) = x + 1 = 2

Ok, f(x) f(x) maka f(x) tidak ada.

TEOREMA

Jika f(x) = L dan f(x) = M, maka L = M.

Bukti :

f(x) = L

((> 0, pilih S > 0 (bila 0 < |x a| < S ( |f(x) L| <

bila 0 < |x a| < S ( |f(x) M| <

|L M| = |L f(x) + f(x) M| |f(x) L| + |f(x) M| < += (.

( (> 0, |L M| < ( maka L = M.

TEOREMA

(i) k = k, k = konstanta

(ii) x = a

(iii) (px + q) = pa + q, p & q konstanta

(iv)

EMBED Equation.3 = , a 0

(v)


Bukti :

(px + q) = pa + q

Misalkan diberikan ( > 0, sebarang.

Pilih S > 0 ( bila 0 < |x a| < S maka |(px + q) (pa + q)| < (.

Analisis : 0 < |x a| < S

Kasus I : p 0.

Pilih S(() = , sehingga bukti formalnya :

Ambil (> 0, sebarang.

Pilih S(() = > 0

Maka, bila 0 < |x a| < S berlaku.

|(px + q) (pa + q)| = |p| |x a| < . |p| = (.

((px + q) = pa + q.

Kasus II : p = 0

Ok, untuk p = 0 ( |(px + q) (pa + q)| = 0.

Sehingga, untuk sebarang S > 0 yang dipilih senantiasa berlaku |(px + q) (pa + q)| < (.

Jadi, (px + q) = pa + q


Analisis pendahuluan, kita harus mencari S > 0 ( bila 0 < |x a| < S maka | - | < (.

Perhatikan :

| - | = || = . . |x a|.

Perhatikan bahwa akan menyulitkan. Untuk x cukup dekat dengan 0. Sehingga perlu pembatasan.

|a| = |a x + x| |a x| + |x|.

( |x| |a| - |x a|.

Misalkan |x a| < S = , maka |x| .

Sehingga : | - | = . . |x a|

. . < (.

Bukti Formal :

Diberikan ( > 0, pilih S = min {,} > 0, maka

0 < |x a| < S ( | - | < (


Analisis pendahuluan :

Kita harus mencari S > 0 ( bila 0 < |x a| < S maka | - | < (.

Perhatikan :

| - | = | =

.

Supaya :

| - | < (, maka harus kita buat |x a| < ( = S.

Bukti Formal :

Diberikan ( > 0, sebarang. Pilih S = (> 0, maka

0 < |x a| < S ( | - | < (.

2.4 LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGAPengertian Limit ;

( (( > 0, (S > 0 (berlaku |f(x) L| < ( bila 0 < |x a| < S.

Semakin dekat x dengan a, maka semakin dekat nilai f(x) dengan L.

Definisi 1 :

f(x) = + ( untuk setiap M > 0, terdapat bilangan S > 0 sehingga f(x) > M bila 0 < |x a| < S

( (M > 0, ( S > 0 (berlaku f(x) > M bila 0 < |x a| < S

f(x) = , x 0

Contoh 1 :

f(x) = , x > 0

f(x) =


Bukti :

1. Ambil M > 0, sebarang

2. Pilih S > 0 ( bila 0 < |x a| < S, maka f(x) > M.

Analisis :

Kita punya 0 < |x 0| < S ( 0 < |x| < S.

Karena 0 < |x| < S ( > , maka :

f(x) = = >

Jadi pilih M = ( S =

Bukti Formal.

Ambil M > 0, sebarang

Pilih S = > 0.

Akan ditunjukkan : f(x) > M bila 0 < |x| < S.

Bukti :

f(x) = = > = M

Jadi, f(x) =

EMBED Equation.3 = + .

Contoh 2 :

f(x) = , x 0.

Tunjukkan : f(x) = +

Bukti :

1. Ambil M > 0, sebarang

2. Pilih S > 0 ( f(x) > M bila 0 < |x 0| < S.

Analisis :

Kita punya 0 < |x| < S.

Karena 0 < |x| < S ( > , maka

f(x) = = > .

Pilih M = ( S = .

Bukti formal :

Ambil M > 0, sebarang

Pilih S = .

Akan ditunjukkan f(x) > M, bila 0 < |x| < S.

Bukti :

f(x) = = > = = M.

Jadi, f(x) =


Definisi 2 :

f(x) = - ( untuk setiap N < 0, terdapat S > 0 sehingga f(x) < N bila 0 < |x a| < S.

Contoh 1 :

f(x) = , x < 0, hitung f(x)

Jawab :

f(x) =

EMBED Equation.3 = - .(x < 0)

Bukti :

1. Ambil N < 0, sebarang

2. Pilih S > 0 sehingga f(x) < N bila 0 < |x| < S.

Analisis :

Kita punya 0 < |x| < S.

Karena 0 < |x| < S maka 0 < -x < S ( -S < x < 0.

Jadi < -

Jadi f(x) = < -

Pilih N = - ( S = -.

Bukti formal :

Ambil N < 0, sebarang

Pilih S = -.

Akan ditunjukkan : f(x) = < N bila 0 < |x| < S.

Bukti :

Dipunyai 0 < |x| < S.

Jadi f(x) = < - = N.

( f(x) = - .

Contoh 2 :

Hitung

EMBED Equation.3 dan

EMBED Equation.3 Contoh 3 :

Hitung

EMBED Equation.3 dan


2.

EMBED Equation.3 = = = = -

EMBED Equation.3 = = = = +

3.

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 =


EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3 = -

4.

EMBED Equation.3 ?

Jawab :

EMBED Equation.3 = = + .

EMBED Equation.3 = + .

Jadi,


LIMIT SEPIHAK UNTUK LIMIT TAK HINGGA

(i) f(x) = + ( (M > 0 ( S > 0 ( 0 < x a < S ( f(x) > M

(ii) f(x) = ( (N < 0 ( S > 0 ( 0 < x a < S ( f(x) < N

Contoh :

1.


2.


(i) f(x) = + ( (M > 0 ( S > 0 ( f(x) > M bila 0 < a x < S

(ii) f(x) = ( (N < 0 ( S > 0 ( f(x) < N bila 0 < a x < S

Buktikan!1.

2.

3.

4.

5. Jika maka berapa .a

f

I

I

a

f

a

I

(i)

(ii)

(iii)

1

2

3

2

1

3

0

1

2

3

2

1

3

0

1

2

3

2

1

7

6

5

4

y

x

(

a

L + (

(

0 < |x a| < S

L - (

L

I

S

S

a

0

x

y

7ii

B.IIa

9a

7 iv

a

L

f

h

g

Y

X

0

T

Q

P

R

X

Y

x

O

cos x < EMBED Equation.3 < 1

1 EMBED Equation.3 < cos x < EMBED Equation.3 < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(*)

a

f

Y

x

O

a

f

O

x

T

T

Q

P

R

X

Y

x

O

1 - EMBED Equation.3 < cos x < EMBED Equation.3 < 1

Y

x

O

o

X

Y

x = 4

EMBED Equation.3

a - s

L + (

L - (

L

I

a

X

Y

a + s

S

S

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

b - s

a

x

b

L

O

X

L -

Y

a + s

a

x

b

L

O

X

L +

Y

-1

X

Y

1

O

a

f

Y

L

x

0

X

O

X

Y

o

EMBED Equation.3

1

3

2

1

2

_1352987188.unknown

_1353301905.unknown

_1353327830.unknown

_1367478624.unknown

_1367480241.unknown

_1367480383.unknown

_1367480569.unknown

_1367480605.unknown

_1367480489.unknown

_1367480304.unknown

_1367480132.unknown

_1353334170.unknown

_1353339900.unknown

_1353342197.unknown

_1353328018.unknown

_1353325531.unknown

_1353326089.unknown

_1353327726.unknown

_1353326081.unknown

_1353303093.unknown

_1353303355.unknown

_1353302415.unknown

_1353301322.unknown

_1353301427.unknown

_1353301437.unknown

_1353301326.unknown

_1353261516.unknown

_1353263951.unknown

_1352993849.unknown

_1352994729.unknown

_1353046038.unknown

_1353047883.unknown

_1353052645.unknown

_1353055964.unknown

_1353064700.unknown

_1353070709.unknown

_1353072170.unknown

_1353074855.unknown

_1353152642.unknown

_1353153408.unknown

_1353153612.unknown

_1353153823.unknown

_1353153890.unknown

_1353154212.unknown

_1353261459.unknown

_1353154153.unknown

_1353153834.unknown

_1353153658.unknown

_1353153729.unknown

_1353153744.unknown

_1353153692.unknown

_1353153655.unknown

_1353153464.unknown

_1353153514.unknown

_1353153445.unknown

_1353153047.unknown

_1353153091.unknown

_1353153260.unknown

_1353152971.unknown

_1353152986.unknown

_1353152916.unknown

_1353152934.unknown

_1353152883.unknown

_1353152880.unknown

_1353152785.unknown

_1353152850.unknown

_1353152654.unknown

_1353089540.unknown

_1353146657.unknown

_1353152359.unknown

_1353152363.unknown

_1353146872.unknown

_1353146335.unknown

_1353146359.unknown

_1353146301.unknown

_1353146316.unknown

_1353145837.unknown

_1353146076.unknown

_1353089353.unknown

_1353089522.unknown

_1353089113.unknown

_1353089124.unknown

_1353074899.unknown

_1353073329.unknown

_1353074779.unknown

_1353074780.unknown

_1353074787.unknown

_1353074220.unknown

_1353074713.unknown

_1353074733.unknown

_1353074476.unknown

_1353074393.unknown

_1353074472.unknown

_1353074353.unknown

_1353074176.unknown

_1353074186.unknown

_1353074129.unknown

_1353072727.unknown

_1353073028.unknown

_1353073061.unknown

_1353073082.unknown

_1353072958.unknown

_1353073012.unknown

_1353072936.unknown

_1353072681.unknown

_1353071856.unknown

_1353072048.unknown

_1353072118.unknown

_1353072147.unknown

_1353072072.unknown

_1353072010.unknown

_1353072016.unknown

_1353070942.unknown

_1353071228.unknown

_1353071291.unknown

_1353071849.unknown

_1353071024.unknown

_1353070879.unknown

_1353070913.unknown

_1353070726.unknown

_1353065240.unknown

_1353070256.unknown

_1353070379.unknown

_1353070667.unknown

_1353070501.unknown

_1353070639.unknown

_1353070398.unknown

_1353070443.unknown

_1353070273.unknown

_1353070372.unknown

_1353070210.unknown

_1353070234.unknown

_1353070224.unknown

_1353070037.unknown

_1353070096.unknown

_1353070197.unknown

_1353066478.unknown

_1353068260.unknown

_1353065457.unknown

_1353064774.unknown

_1353065113.unknown

_1353065201.unknown

_1353064845.unknown

_1353064760.unknown

_1353062719.unknown

_1353063144.unknown

_1353063502.unknown

_1353063568.unknown

_1353064660.unknown

_1353063545.unknown

_1353063215.unknown

_1353063479.unknown

_1353063168.unknown

_1353063002.unknown

_1353063063.unknown

_1353063137.unknown

_1353062797.unknown

_1353062744.unknown

_1353056894.unknown

_1353056925.unknown

_1353062635.unknown

_1353062654.unknown

_1353056953.unknown

_1353062536.unknown

_1353056426.unknown

_1353056668.unknown

_1353056380.unknown

_1353054837.unknown

_1353055533.unknown

_1353055737.unknown

_1353055923.unknown

_1353055930.unknown

_1353055766.unknown

_1353055627.unknown

_1353055707.unknown

_1353055603.unknown

_1353055156.unknown

_1353055293.unknown

_1353055321.unknown

_1353055179.unknown

_1353055023.unknown

_1353055047.unknown

_1353055143.unknown

_1353054973.unknown

_1353054055.unknown

_1353054450.unknown

_1353054581.unknown

_1353054715.unknown

_1353054483.unknown

_1353054254.unknown

_1353054383.unknown

_1353054156.unknown

_1353053596.unknown

_1353053942.unknown

_1353053964.unknown

_1353053851.unknown

_1353053148.unknown

_1353053239.unknown

_1353053280.unknown

_1353053332.unknown

_1353053182.unknown

_1353053118.unknown

_1353052695.unknown

_1353052748.unknown

_1353048934.unknown

_1353049646.unknown

_1353051954.unknown

_1353052236.unknown

_1353052307.unknown

_1353052613.unknown

_1353052280.unknown

_1353052110.unknown

_1353051646.unknown

_1353051845.unknown

_1353051906.unknown

_1353051949.unknown

_1353051864.unknown

_1353051754.unknown

_1353051785.unknown

_1353049066.unknown

_1353049107.unknown

_1353049262.unknown

_1353049059.unknown

_1353048256.unknown

_1353048594.unknown

_1353048752.unknown

_1353048279.unknown

_1353048162.unknown

_1353048192.unknown

_1353047908.unknown

_1353047954.unknown

_1353046532.unknown

_1353047653.unknown

_1353047684.unknown

_1353046833.unknown

_1353046883.unknown

_1353046795.unknown

_1353046806.unknown

_1353046612.unknown

_1353046741.unknown

_1353046090.unknown

_1353046386.unknown

_1353046499.unknown

_1353046357.unknown

_1353046230.unknown

_1353046051.unknown

_1353034909.unknown

_1353045787.unknown

_1353045855.unknown

_1353045985.unknown

_1353037271.unknown

_1353045763.unknown

_1353036691.unknown

_1353036716.unknown

_1353034904.unknown

_1352993892.unknown

_1352993938.unknown

_1352987450.unknown

_1352987633.unknown

_1352987707.unknown

_1352993832.unknown

_1352987471.unknown

_1352987263.unknown

_1352987382.unknown

_1352987225.unknown

_1352978957.unknown

_1352985484.unknown

_1352986656.unknown

_1352986985.unknown

_1352987066.unknown

_1352987164.unknown

_1352986992.unknown

_1352986757.unknown

_1352986911.unknown

_1352986742.unknown

_1352986392.unknown

_1352986516.unknown

_1352986625.unknown

_1352986412.unknown

_1352986255.unknown

_1352986325.unknown

_1352986033.unknown

_1352979819.unknown

_1352980078.unknown

_1352983059.unknown

_1352985380.unknown

_1352982581.unknown

_1352980102.unknown

_1352980025.unknown

_1352979543.unknown

_1352979788.unknown

_1352979315.unknown

_1352974970.unknown

_1352976558.unknown

_1352978544.unknown

_1352978684.unknown

_1352977364.unknown

_1352977667.unknown

_1352976142.unknown

_1352976459.unknown

_1352975587.unknown

_1352975619.unknown

_1352975121.unknown

_1352974377.unknown

Bahan Ajar Limit-Matdas

Documents

Transcript of Bahan Ajar Limit-Matdas