Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

16
Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga

Transcript of Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Page 1: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga

Page 2: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Limit di Tak Hingga

Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?

5–5 0

0,5

–0,5

x

y𝑔𝑔 π‘₯π‘₯ =

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2 + 1

Page 3: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Tabel Nilai-Nilai Fungsi

Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.

limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2 + 1

= 0

Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa

limπ‘₯π‘₯β†’βˆ’βˆž

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2 + 1

= 0

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2

π‘₯π‘₯2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001

↓ β†“βˆž ?

Page 4: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Definisi Formal Limit Ketika π‘₯π‘₯ β†’ ±∞

Limit Ketika π‘₯π‘₯ β†’ ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

π‘₯π‘₯β†’βˆžπ‘“π‘“ π‘₯π‘₯ = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika π‘₯π‘₯ > 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ βˆ’ 𝐿𝐿 < πœ€πœ€

Limit Ketika π‘₯π‘₯ β†’ βˆ’βˆž Misalkan f terdefinisi pada (β€“βˆž, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

π‘₯π‘₯β†’βˆ’βˆžπ‘“π‘“ π‘₯π‘₯ = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika π‘₯π‘₯ < 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ βˆ’ 𝐿𝐿 < πœ€πœ€

Page 5: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Contoh 1

Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka

limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜

= 0

Analisis Pendahuluan Diberikan Ξ΅ > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga

jika π‘₯π‘₯ > 𝑀𝑀 maka 1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜βˆ’ 0 < πœ€πœ€

Page 6: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Pembahasan

Perhatikan bahwa1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜βˆ’ 0 < πœ€πœ€

1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜

< πœ€πœ€

Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga

1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜

< πœ€πœ€

π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜ > 1πœ€πœ€

π‘₯π‘₯ > π‘˜π‘˜ ⁄1 πœ€πœ€Sehingga, kita akan memilih

𝑀𝑀 = π‘˜π‘˜ ⁄1 πœ€πœ€

Page 7: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Pembahasan

Bukti Formal Misalkan diberikan πœ€πœ€ > 0. Pilih 𝑀𝑀 = π‘˜π‘˜ ⁄1 πœ€πœ€, sedemikian sehingga jika π‘₯π‘₯ > 𝑀𝑀, maka

1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜βˆ’ 0 = 1

π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜< 1

π‘€π‘€π‘˜π‘˜ = πœ€πœ€

Page 8: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Latihan 1

Buktikan bahwa

limπ‘₯π‘₯β†’βˆ’βˆž

1π‘₯π‘₯π‘˜π‘˜

= 0

Page 9: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Contoh 2

Buktikan bahwa

limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2 + 1

= 0

PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan π‘₯π‘₯berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu π‘₯π‘₯2.

limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯2 + 1

= limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

1π‘₯π‘₯

1 + 1π‘₯π‘₯2

=limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

1π‘₯π‘₯

limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

1 + limπ‘₯π‘₯β†’βˆž

1π‘₯π‘₯2

=0

1 + 0= 0

Page 10: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Latihan 2

Tentukan limπ‘₯π‘₯β†’βˆ’βˆž

3π‘₯π‘₯3

1βˆ’π‘₯π‘₯3.

Page 11: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Definisi

Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim

π‘›π‘›β†’βˆžπ‘ π‘ π‘›π‘› = 𝐿𝐿 jika untuk setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan

asli M sedemikian sehinggajika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀 maka 𝑠𝑠𝑛𝑛 βˆ’ 𝐿𝐿 < πœ€πœ€

Page 12: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Latihan 3

Tentukan limit barisan berikut.

limπ‘›π‘›β†’βˆž

2𝑛𝑛 + 1𝑛𝑛 βˆ’ 2

Page 13: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Limit Tak Hingga

Definisi Kita mengatakan bahwa limπ‘₯π‘₯β†’π‘Žπ‘Ž+

𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ = ∞ jika untuk setiap bilangan positif M, ada Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga

jika 0 < π‘₯π‘₯ βˆ’ π‘Žπ‘Ž < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ > 𝑀𝑀

Page 14: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Contoh 3

Tentukan limπ‘₯π‘₯β†’3+

1π‘₯π‘₯βˆ’3 2 dan lim

π‘₯π‘₯β†’3βˆ’1

π‘₯π‘₯βˆ’3 2.

PEMBAHASAN Ketika π‘₯π‘₯ β†’ 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga ⁄1 π‘₯π‘₯ βˆ’ 3 2

dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,

limπ‘₯π‘₯β†’3+

1π‘₯π‘₯βˆ’3 2 = ∞

Dengan alasan yang serupa

limπ‘₯π‘₯β†’3βˆ’

1π‘₯π‘₯βˆ’3 2 = ∞

0 2 4 6

2

x

y𝑦𝑦 =

1π‘₯π‘₯ βˆ’ 3 2

Page 15: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

Limit Tak Hingga & Asimtot

Garis π‘₯π‘₯ = π‘Žπ‘Ž merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim

π‘₯π‘₯→𝑐𝑐+𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ = ∞ 2. lim

π‘₯π‘₯→𝑐𝑐+𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ = βˆ’βˆž

3. limπ‘₯π‘₯β†’π‘π‘βˆ’

𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ = ∞ 4. limπ‘₯π‘₯β†’π‘π‘βˆ’

𝑓𝑓 π‘₯π‘₯ = βˆ’βˆž

Page 16: Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD

#HaveANiceDay