RELASI DAN FUNGSI

MATEMATIKA DASAR

2009/2010

RELASI

FUNGSI

RELASI PENGERTIAN

Relasi adalah suatu Hubungan determinatif yang mempunyai nilai benar atau salah.

Contoh:

relasi Kelipatan, relasi kurang dari, lebih dari, dll.

Jika terdapat suatu hubungan yang tidak dapat ditentukan kebenaranya berarti bukan suatu relasi.

Contoh:

“2 Mencintai 3” ( Kalimat yang tidak mempunyai kebenaran)

Relasi yang menyangkut dua anggota disebut RELASI BINER

Notasi:

aRb atau R(a,b) a dihubungkan dengan b oleh R atau a berelasi

dengan b

aRb atau a tidak dihubungkan dengan b oleh R

Contoh:

relasi Kelipatan R={(2,4),(3,6),(5,10),(2,10)}

RELASI

( , )a b R

Sehingga dalam relasi biner, terdapat istilah Domain (daerah asal), Codomain (Daerah

kawan), dan Range (Daerah Hasil).

RELASI

2

3

4

2

4

8

9

15

2

3

4

8

9

2

3

4

8

9

P Q A B

SIFAT RELASI BINER

RELASI

REFLEKSIF

SIMETRIS

TRANSITIF

EKUIVALEN

DEFINISIRelasi bersifat refleksif jika hanya jika setiap a dari

semesta S, berlaku a R a

Contoh:

Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan

Relasi “Habis membagi”, maka R={(2,2),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6),(6,6),(8,8)}

RELASI REFLEKSIF

Suatu relasi disebut Non-Refleksif JHJ sekurang-kurangnya terdapat satu anggota a yang tidak dalam relasi R.Contoh:

Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan

Relasi “Habis membagi”, dengan didefinisikan R={(2,2),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6),(6,6)}

RELASI REFLEKSIF

Suatu relasi disebut Irrefleksif JHJ setiap anggota a dalam semesta S tidak berelasi R.Contoh:

Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan

Relasi “>”, dengan didefinisikan R={(3,2),(6,2),(6,3),(8,2),(8,3),(8,6)}

RELASI REFLEKSIF

DEFINISI

Relasi bersifat simetris JHJ setiap a , b anggota semesta S berlaku a R b b R a

Contoh:

Relasi Kesejajaran garis. Jika garis a “sejajar” dengan garis b, maka garis b “sejajar”

dengan garis a.

RELASI SIMETRIS

Suatu relasi disebut Non-simetris JHJ sekurang-kurangnya terdapat satu pasang

(a,b) (a berbeda dengan b) dengan a R b dan b R a.

Contoh:

Misalkan A={2,3,6},didefinisikan

Relasi R={(2,2),(2,6),(3,3),(6,2),(6,6)}

RELASI SIMETRIS

Suatu relasi disebut A-simetris JHJ setiap a, b anggota semesta S berlaku a R b b R a.

Contoh:

Misalkan A={2,3,6},didefinisikan

Relasi “>” R={(3,2),(6,3),(6,2)}

RELASI SIMETRIS

Suatu relasi disebut Anti-simetris JHJ setiap a, b anggota semesta S berlaku a R b dan

b R a a=b.Contoh:

Relasi “himpunan bagian”

RELASI SIMETRIS

DEFINISIRelasi bersifat transitif JHJ setiap anggota

himpunan Semesta S berlaku a R b dan b R c, maka a R c.

Contoh:

Relasi “himpunan Bagian”, “habis membagi”

RELASI TRANSITIF

Relasi bersifat non-transitif JHJ terdapat sekurang-kurangnya terdapat anggota himpunan Semesta S

berlaku a R b dan b R c, tapi a R c.

Contoh:

Relasi R={(2,4),(4,8),(2,8),(2,6),(6,12),(2,12),(8,12)}

RELASI TRANSITIF

Relasi bersifat in-transitif JHJ untuk setiap anggota himpunan Semesta S berlaku a R b dan b R c, maka

a R c.

Contoh:

Relasi “ketegaklurusan garis”

RELASI TRANSITIF

DEFINISI

Relasi bersifat ekuivalen JHJ bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh:

Relasi kekongruenan bilangan bulat, a kongruen b modulo m.

didefinisikan

RELASI EKUIVALEN

(mod ) ( 0, 1, 2,...)a b m jhj a b km k

FUNGSI PENGERTIAN

Fungsi merupakan kejadian khusus dari relasi.

Suatu fungsi f dari X ke Y ialah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota dari X dengan

tunggal satu anggota dari Y

f: X Y

f memetakan X ke Y.

X disebut Domain (daerah asal)

Y disebut Codomain (daerah Kawan)

FUNGSI SURJEKTIF, INJEKTIF, DAN BIJEKTIF

Surjektif Fungsi f dikatakan dipetakan pada ( onto) atau surjektif

(surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f.

Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

a 1

A B

2

3

b

c

d

Injektif Fungsi f dikatakan satu-ke-satu ( one-to-one) atau injektif

(injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

a 1

A B

2

3

4

5

b

c

d

Bijektif

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu - -satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu - satu dan juga fungsi pada.

Contoh

Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu -ke-satu, karena f adalah bijektif karena fungsi satu- -

satu maupun fungsi pada.

MENENTUKAN DOMAIN DAN RANGE

Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range)

Contoh:

Tentukan Domain dari fungsi berikut:

Domain

Range

f

f

D

R

21. ( ) 9

32. ( )

5

f x x

xf x

x

Penyelesaian

1.

2.Karena Fungsi tidak terdefinisi oleh penyebut 0, maka

29 0

(3 )(3 ) 0

3 3

{ | 3 3, }f

x

x x

x

D x x x R

{ | 5, }fD x x x R

Contoh

Tentukan Range fungsi berikut:

21. ( ) 2

22. ( )

1

f x x

f xx

Penyelesaian

1.Carilah Invers dari fungsi tersebut terlebih dahulu

2 2 inversnya adalah 2y x x y

2 0

2

{ | 2, }f

y

y

R y y y R

Penyelesaian

2.Carilah Invers dari fungsi tersebut terlebih dahulu

Karena Penyebutnya tidak boleh 0, maka

2 2inversnya adalah

1

yy x

x y

{ | 0, }fR y y y R

Latihan

Carilah Domain Fungsi berikut:

2

1. ( ) 2 5

62. ( )

9

53. ( )

13

4. ( )2

f x x

xf x

x

xf x

xx

f x x

Latihan

Carilah Range Fungsi berikut:

2

2

1. ( ) 2 5

1 22. ( )

1

53. ( )

1

f x x

xf x

x

xf x

x

FUNGSI KHUSUS

Fungsi Genap Fungsi Ganjil Fungsi Harga mutlak Fungsi Floor dan Ceiling

FUNGSI GENAP

DEFINISI

f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x)

Ciri : Grafik Simetris terhadap sumbu y

Contoh:21. ( )

2. ( ) cos

3. ( ) , n genap

4. ( )

n

f x x

f x x

f x x

f x k

FUNGSI GANJIL

DEFINISI

f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = - f(x)

Ciri : Grafik simetris terhadap titik asal.

Contoh:

1. ( )

2. ( ) sin

3. ( ) , n ganjiln

f x x

f x x

f x x

FUNGSI HARGA MUTLAK

Definisi

Ciri: Grafik selalu diatas sumbu-x

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

FUNGSI FLOOR DAN CEILING

Fungsi floor dari x:

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x

x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.

LatihanApakah fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya.2

2

2

4

3

1. ( ) 3 2 1

2. ( )1

3. ( ) 4

cos4. ( )

1

5. ( ) 2 3

6. ( ) 2 1

f x x x

xf x

x

f x x

xf x

x

f x x x

f x x

OPERASI PADA FUNGSI

.

1. ( )( ) ( ) ( )

Domain

2. ( . )( ) ( ). ( )

Domain

( )3. ( )

( )

Domain ( ) 0

f g f g

f g f g

f f gg

f g x f x g x

D D D

f g x f x g x

D D D

f f xx

g g x

D D D dan g x

contoh

2 2Jika ( ) 1 dan ( ) , tentukan masing-masing

rumus berikut beserta daerah asalnya.

1.

2.

3. .

f x x g xx

f g

f g

f g

Penyelesaian2 2

.

( ) 1, terdefinisi jika 1 0

{ | 1 atau 1 , }

2( ) , terdefinisi jika 0

{ | 0, }

Maka,

fg

f

g

f g f g

f g

f g f g

f x x f x

D x x x x R

g x g xx

D x x x R

D D D

D D D

D D D

Fungsi Komposisi

))(())(( xgfxgf

Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

Domain fungsi komposisi

Contoh Carilah Domain dari fog, dengan fungsi f dan g adalah

sebagai berikut

1

2)(

2)( 3

xxg

xxf

Penyelesaian Cari fog

3

3

( ) ( ( ))

2( )

1

22

1

82

( 1)

fog x f g x

fx

x

x

{ | 1, }fogD x x x R

Operasi Fungsi secara Grafis

( )y f x k

( )y f x k

( )y f x

No Fungsi Baru Perubahan

1 Fungsi bergeser ke atas atau ke bawah sejauh k

2 Fungsi Bergeser ke kiri atau ke kanan sejauh k

3Bagian grafik yang berada di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x

Contoh

Gambarlah Grafik

xyc

xyb

xya

xy

.

4.

4.

Fungsi Trigonometri

P(x,y)

αα’

(1,0)

:

cos

sin

sintan

cos1

cosec =sin

1sec =

cos1

cotan =tan

Definisi

x

y

y

x

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

1 tan sec

cos sin cos 2

Koordinat Polar

Dalam Setiap bidang datar titik P dapat dinyatakan dalam pasangan terurut (r,α)

P

α

r

Hubungan Koordinat kartesius dengan Polar

2 2 2cos

sin

tan

x rr x y

y r

y

x

Contoh

Ubahlah ke bentuk Polar

Ubahlah ke bentuk Cartesian

4

1 cosr

2 2 2 2 2( )a y x a x

Penyelesaian

Cartesian Polar2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 4

4 4 2 2 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

2 2 2 24

2 2 4

( )

sin cos cos

cos cos sin

cos (cos sin )

1(cos sin )

cos

cos 2 sec

a y x a x

a r a r r

r a r a r

r a r

r a

r a

Polar Cartesian

Penyelesaian

2 2

22 2

2

4

1 cos( cos ) 4

( ) 4

4

4

8 16

r

r r

xr r

r

x y x

x y x

y x

Latihan

Ubah Ke bentuk Polar

2 2

4 4

3 2 2

1. 16

2. 2

3. 9 0

x y

x y xy

x xy y

Latihan

Ubah Ke bentuk Cartesian

1. 9sin tan

2. cos 2

3. (1 2cos 2 )

r

r a

r a