1

6. INTEGRAL

2

6. 1 Integral Tak Tentu F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh

dan adalah anti turunan dari

karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan.

Proses mencari anti turunan disebut juga proses pengintegralan. Hasilnya

disebut integral tak tentu(anti turunan) dari f

Notasi :

IxxfxF )()('

3

3

1)( xxF

2)( xxf

CxxF 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )

3

6.2 Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

Cr

xdxx

rr

1.1

1

Cxdxx cossin.2

, r -1

Cxdxx sincos.3

Cxdxx tansec.4 2

Cxdxx cotcsc.5 2

4

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f, maka

Contoh : Hitung

Misal u = 2x + 1 sehingga

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

sin 2 1x dx

dxxgdu )('

dxxdu 2 dudx 21

duudxx sin2

112sin

CxCu 12cos2

1cos

2

1

5

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u

Contoh : Hitung

13 xu 23xdx

du

23x

dudx Jawab : Misal

Maka

dxxx 5103 )1(

dxxx 5103 )1(

3x

duxux

duxu 310

2510

3

1

3

Integranfungsi dru dan x

3x

Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

substitusi dengan menggunakan hubungan 13 xu 13 uxsehingga

duuuduuudxxx 1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu 1133112

361

Cxx 113331123

361 )1()1(

6

6.3 Notasi Sigma ( )Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...211

n

n

ii aaaa

k k k k nkn sukui

n

...

1

n

i

n

i

n

iiiii blaklbak

1 1 1

.1

n

i

nni

1 2

)1(.2

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

n

i

nni

1

23

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika

7

6.4 Integral TentuIntegral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada

selang tutup [ a,b ].

bxxxa n ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,||||| kkkk

nkxxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1kx kx

kx

kc

8

a b2x 1kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah reiman

n

kkk xcf

1

)(

0|||| P

n

P kkk xcf

10||||

)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

n

k kxkcfn

b

a

n

k kxkcfPdxxf

1)(lim

1)(

0|||lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg

)( kcf

9

Contoh Hitung 2

0

2 dxx

Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjangn

x 2

0 2x xxx

1x 2x 1ix ix 1nx

sehingga

00 x

nxx 2

1 0

n.xx 22

2 20

ni

i xix 20

………………………………………………

10

(ii) Pilih ii xc

(iii) Bentuk jumlah reiman

n

i

n

inn

iii xcf

1 1

22 2

n

inn

i

1

442

n

i

n

i ni

n 112

144

nnn

)n(n

n

22

4

2

142

(iv) Jika n

2

0

2 222nn

limdxx

11

Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garis x = a dan x = b

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dxa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dxa

c

a

b

b

c( ) ( ) ( )

12

f x dxa

a( ) 0 f x dx f x dx

a

b

b

a

( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dxa

a

a( ) ( )

2

0

Contoh Hitung

3

3

24 7 dxxxx

Jawab

7)()()( 24 xxxxf )(724 xfxxx f(x) ganjil

073

3

24

dxxxx

13

6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.6.1 TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).

Maka

Contoh Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx. Maka

Sehingga

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )

sin 2

2

x dx

1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

xdxx

xdxx 2cos2

12sin

14

Contoh hitung

5

1

|2| dxx

Jawab :

15

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka

Bukti: Misalkan F anti turunan dari f. Dengan TDK I, didapat

Sehingga,

)()( xfdttfDx

a

x

)()()( aFxFdttfx

a

).(0)(')()()( xfxFaFxFDdttfD x

x

a

x

16

Dari teorema (TDK I ) dan (TDK II) diatas dapat diturunkan rumus:

1.

2.

Contoh : 1.

2.

)('))(()()(

xuxufdttfDxu

a

x

)('))(()('))(()()(

)(

xuxufxvxvfdttfDxv

xu

x

2

42 1

1)(

x

dtt

xG

x

dttxG1

2)(

2

1

2)(' xdttDxGx

x

.

1

2)(

1)(

1

1

1)('

42

224

2

2

x

xxD

xdt

tDxG x

x

x