3. Sistem Persamaan Linear

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1) Bentuk umum :

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.

3) Metode determinan:

D = 22

11

ba

ba= a1b2 – a2b2;

Dx = 22

11

bc

bc; Dy =

22

11

ca

ca;

x = D

Dx ; y = D

Dy

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1) Bentuk umum :

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

2) Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.

3) Metode determinan:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

=

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –

(a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

; Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

; Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

;

x = D

Dx ; y = D

Dy; z =

D

Dz

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

20

SOAL PENYELESAIAN 1. Penyelesaian dari sistem persamaan

=−−=−+

=++

1446

19524

8273

zy

zyx

zyx

adalah …

a. x = 5, y = 3, dan z = 1 b. x = 4, y = –5, dan z = 1 c. x = –3, y = 4, dan z = 1 d. x = –5, y = 3, dan z = 2 e. x = –5, y = 3, dan z = 1

(ii) gunakan pers. 1 untuk memeriksa

kebenaran jawaban a a. x = 5, y = 3 dan z = 1

3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah

karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah yang benar adalah ……………………….(e)

Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x, y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap jawaban yang di sediakan. (i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti

kebenarannya, Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang

paling sederhana 6y – 4z = 14 ⇔ 3y – 2z = 7

a. y = 3 dan z = 1 3y – 2z = 7 3(3) – 2(1) = 7

7 = 7 …..(OK)

Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama, maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e

2. HP dari

−=−

=+

21512

7916

yx

yxadalah {(xo, yo)}.

Nilai 2xo – yo = … a. –1

b. 6

1−

c. 12

1−

d. 1 e. 5

(ii) 16a + 9b = 7

16a + 931 = 7

16a + 3 = 7 16a = 4

a = 4

1

16

4 = = x

1 ⇒ x = 4

∴2xo – yo = 2(4) – 3 = 5 …………………(e)

Gunakan permisalan

Misal ax

=1 dan b

y=1

, maka persamaan awal

menjadi:

−=⋅−⋅

=⋅+⋅

21

151

12

71

91

16

yx

yx =

−=−=+

21512

7916

ba

ba

gunakan metode eliminasi

(i) eliminasi (hilangkan) a

4

3

21512

7916

××

−=−=+

ba

ba

⇔ −

=

=−=−

=+

3

1

2987

86048

212748

b

b

ba

ba

b = 3

1 =

y

1 ⇒ y = 3



21

SOAL PENYELESAIAN 3. Diketahui sistem persamaan linear

=−

−=−

=+

211

312

211

zx

zy

yx

. Nilai x + y + z = …

a. 3 b. 2 c. 1

d. 21

e. 31

(iii) substitusi c = 1 ke (4)

b = – c

= – 1 = y

1 ⇒ y = – 1

(iv) substitusi b = – 1 ke (1) a + b = 2 a – 1 = 2

a = 3 = x

1 ⇒ x =

31

∴ Nilai x + y + z = 31 – 1 + 1 =

31 ………(e)

Gunakan permisalan

Misal ax

=1, b

y=1

, cz

=1 maka persamaan

awal menjadi:

=−−=−

=+

)3.....(..........2

)2.(..........32

)1...(..........2

ca

cb

ba

gunakan metode eliminasi

(i) eliminasi (hilangkan) a

−=+

=−=+

0

2

2

cb

ca

ba

b = – c ……………………..(4)

(ii) substitusi (4) ke (2)

2b – c = – 3 2(– c) – c = – 3

3c = 3

c = 1 = z

1 ⇒ z = 1

4. Jika suatu sistem persamaan linear

=+=−

232

6

byax

byax mempunyai penyelesaian

x = 2 dan y = 1, maka a2 + b2 = … a. 2 b. 4 c. 5 d. 8 e. 11

∴ a2 + b2 = (2)2 + (– 2)2

= 4 + 4 = 8 ……………………(d)

(i) Substitusikan nilai x dan y ke pers. Semula

=+=−

2)1(3)2(2

6)1()2(

ba

ba

⇔

=+=−

)2...(..........234

)1...(..........62

ba

ba

(ii) gunakan metode eliminasi berulang

+=−

−=−−

=+=−

105442

234

62

bba

ba

ba

………….(1)

………….(2) ……….…(3)

…….(1) dan (3)

b = – 2 (iii) Substitusikan nilai b = – 2 ke pers. (1)

2a – b = 6 2a – (– 2) = 6 2a + 2 = 6 2a = 4

a = 2



22

SOAL PENYELESAIAN 5. Jika {(xo, yo, zo)}memenuhi sistem

persamaan

−=+−=−+

=−−

4

32

5323

zyx

zyx

zyx, maka

nilai zo adalah … a. –3 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5

(iii) dengan (4) dan (5) eliminasi x,

−=−

−−=+

=−−=−

279144

135

12

zzx

zx

zx

………….(4)

………….(5) ……….…(6)

…..(5) dan (6)

z = – 3 ……………….(a)

Gunakan metode eliminasi (i) dengan (2) dan (3) eliminasi (hilangkan) y

+−=−−=+−

=−+

12

4

32

zx

zyx

zyx

………….(2)

………….(3)

……….…(4)

(ii) dengan (1) dan (3) eliminasi (hilangkan) y

2

1

4

5323

××

−=+−=−−

zyx

zyx

⇔ −=−

−=+−=−−

135

8222

5323

zx

zyx

zyx

………….(1)

………….(3)

……….…(5)

6. Jika xo, yo, dan zo penyelesaian dari sistem persamaan linear

−=−=+=+

1

832

523

zx

zx

yx,

maka nilai dari 2xo + yo + 3zo = … a. –2 b. 3 c. 6 d. 7 e. 9 ∴ 2xo + yo + 3zo = (2xo + 3zo) + yo

= 8 + 1 = 9 ………….(e)

Gunakan metode eliminasi (i) dengan (2) dan (3) eliminasi (hilangkan) x

−−=−

−=+

−=−=+

10594

1

832

zzx

zx

zx

z = 2

………….(2)

………….(3) ……….…(4)

…..(3) dan (4)

(ii) substitusi nilai z = 2 ke pers. 3

x – z = – 1 x – 2 = – 1

x = 1 (iii) substitusi nilai x = 1 ke pers. 1

3x + 2y = 5 3(1) + 2y = 5

2y = 2 y = 1



23

SOAL PENYELESAIAN

7. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar? a. Rp 6.000,00 b. Rp 7.000,00 c. Rp 8.000,00 d. Rp 9.000,00 e. Rp 10.000,00 (v) substitusi z = 1.000 ke pers (5)

y + 5z = 8.000 y + 5(1.000) = 8.000

y = 3.000

(vi) substitusi y = 3.000 dan z = 1.000 ke pers. (2) 2x + 3y + z = 14.000 2x + 3(3.000) + 1.000 = 14.000 2x = 14.000 – 10.000 = 4.000

∴2x + y + z = 4.000 + 3.000 + 1.000

= 8.000 …………..(c)

Masalah tersebut jika disajikan dalam tabel adalah: Buku (x) Pena (y) Pensil (z) Bayar

Ali 3 1 2 11.000

Budi 2 3 1 14.000

Cici 1 2 3 11.000

Dedi 2 1 1 ?

Sistem persamaannya adalah:

=++=++=++=++

?..................................2

)3(....................000.1132

)2(....................000.1432

)1(....................000.1123

zyx

zyx

zyx

zyx

Untuk menyelesaikan permasalah di atas gunakan metode eliminasi berantai (i) (2) dan (3)

−=+

−=−+=++=++

000.85

000.32

000.1132

000.1432

zy

zyx

zyx

zyx

………….(2)

………….(3) ……….…(4)

………….(5)

(ii) (1) dan (2)

−−=+−

=++=++

000.32

000.1432

000.1123

zyx

zyx

zyx

………….(1)

………….(2)

……….…(6)

(iii) (4) dan (6)

−

=−=−

−=+−=−+

000.2

000.633

000.32

000.32

zy

zy

zyx

zyx

………….(4)

………….(6)

…………(7)

(iv) (5) dan (7)

−

===−=+

000.1

000.66

000.2

000.85

z

z

zy

zy

………….(5)

………….(7)



24

SOAL PENYELESAIAN 8. Harga 2 buah pisang, 2 buah apel,

dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah … a. Rp 700,00 b. Rp 800,00 c. Rp 850,00 d. Rp 900,00 e. Rp 1.200,00

Masalah di samping jika disajikan dalam tabel adalah: Pisang (x) Apel (y) Mangga (z) Harga

A 2 2 1 1.400

B 1 1 2 1.300

C 1 3 1 1.500

D 1 1 1 ….?

Dari tabel tersebut diperoleh sistem persamaan sbb:

=++=++=++

=++

?...........................

)3......(..........500.13

)2......(..........300.12

)1....(..........400.122

zyx

zyx

zyx

zyx

Gunakan metode eliminasi berantai untuk menyelesaikan permasalahan di atas.

(i) (1) dan (2)

−=

−=−+=++=++

200.13

100

300.12

400.122

z

zyx

zyx

zyx ………….(1)

………….(2) ……….…(4)

………(2)&(3)

z = 400

(ii) substitusikan nilai z = 400 ke pers. (4) x + y – z = 100 x + y = 100 + 400 = 500

∴ x + y + z = 500 + 400 = 900…................................(d)

This document has been edited with Infix PDF Editor - free for non-commercial use.

To remove this notice, visit: www.iceni.com/unlock.htm

http://www.iceni.com/unlock.htm



25

SOAL PENYELESAIAN 9. Ani membeli 2 buku dan 1 pensil

dengan harga Rp 7.000,00, Budi membeli 1 penghapus dan 2 pensil dengan harga Rp 2.500,00, sedangkan Citra membeli 1 buku dan 1 penghapus dengan harga Rp 3.500,00. Dani membeli 3 buku, 2 pensil dan 1 penghapus dengan harga … a. Rp 11.500,00 b. Rp 11.400,00 c. Rp 11.300,00 d. Rp 11.000,00 e. Rp 11.500,00

Masalah di samping jika disajikan dalam tabel adalah: Buku (x) Pensil (y) Penghapus (z) Harga

Ani 2 1 0 7.000

Budi 0 2 1 2.500

Citra 1 0 1 3.500

Dani 3 2 1 ….?

Dari tabel tersebut diperoleh system persamaan sbb:

=++=++=++=++

?...........................23

)3......(..........500.30

)2......(..........500.220

)1......(..........000.702

zyx

zx

zy

yx

Gunakan metode eliminasi berantai untuk menyelesaikan permasalahan di atas. (i) (3) dan (2)

−=−=++=++

000.12

500.220

500.30

yx

zy

zx ………….(3)

………….(2) ……….…(4)

(ii) (1) dan (4)

−−=−

−=+=−=+

000.55

000.63

000.12

000.72

y

yx

yx

yx

y = 1.000

………….(1)

………….(4) ……….…(5)

……...(4) &(5)

(iii) substitusi y = 5.000 ke pers. (4) x – 2y = 1.000 x – 2(1.000) = 1.000

x = 1.000 + 2.000 = 3.000

(iv) susbtitusi x = 3.000 ke pers. (3) x + z = 3.500 3.000 + z = 3.500

z = 3.500 – 3.000 z = 500

∴3x + 2y + z = 3(3.000) + 2(1.000) + 500 = 11.500 ……...........................…(e)

This document has been edited with Infix PDF Editor - free for non-commercial use.

To remove this notice, visit: www.iceni.com/unlock.htm

http://www.iceni.com/unlock.htm

3. Sistem Persamaan Linear

Documents

Transcript of 3. Sistem Persamaan Linear