RESUME INTEGRAL

Oleh :

Nama : Siti Fatimatul Umaroh

NIM : 125100300111038

Kelas : L

Jurusan : TIP

TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2012

INTEGRAL

Integral dilambangkan oleh “ ʃ ” yang merupakan lambang untuk menyatakan

kembali F(X )dari F-1 (X). Hitung integral adalah kebalikan dari hitung diferensial.

A. Kaidah integral

Kaidah-kaidah integral ini diperoleh dengan membalikkan kaidah aturan

differensial yang sebanding.Macam-macamnya adalah :

1.Integral dari suatu konstanta k

���� = �� + �

2.Integral dari suatu fungsi pangkat � dmana n ≠ -1 ,dinyatakan dengan kaidah

pangkat

��� = ������ + c n ≠ -1

3.integral dari � � atau �� adalah

� � �� = ��� + � x > 0

Syarat x > 0 ditambahkan karena hanya bilangan positif yang mempunyai

logaritma.Untuk bilangan negatif

� � �� = ����� + � x ≠ 0

4.Integral dari suatu fungsi eksponensial

������ = ���� ln � + �

5.integral dari suatu fungsi eksponensial natural

����� = ���� + � karena ln e = 1

6.Integral dari suatu konstanta dikalikan suatu fungsi sama dengan konstanta

dikalikan integral fungsi tersebut.

�������� = ��������

7.Intergal jumlah atau selisih dari dua atau lebih fungsi sama dengan jumlah atau

selisih dari integral-integralnya.

������ + ������� = ����� +�������

������ − ������� = ����� −�������

8.Integral dari negatif suatu fungsi sama dengan negatif dari integral fungsi

tersebut.

�−������ = −�������

B.Integral Tak Tentu

Anti turunan atau integral dari suatu fungsi yang diketahui adalah sebuah

fungsi yang turunannya sama dengan fungsi yang diketahui.Jadi F(x)adalah

integral dari fungsi f(x)

F’(x) = f(x)

Suatu fungsi yang berbeda dari suatu fungsi yang dapat didefferensialkan

sebesar bilangan sembaraung mempunyai turunan yang sama seperti fungsi

terakhir itu.jadi,karena suatu bilangan sembarang c,F(x ) + c merupakan suatu

rumus umum untuk semua anti turunan daripada fungsi f(x) tersebut.akhirnya

rumus umum dari integral taktentu adalah

���� = !��� + �

Rumus-rumus utama dalam integral tak tentu

1. ��� = ������ + c n ≠ -1

2. "## = ln $ + � 3. �# �$ = �# + c

4. �#�$ = %&'(% + � 5. cos $�$ = sin $ + � 6. sin $�$ = −cos $ + � 7. "#

-./0# = tan$ + � 8. "#

/30# = −cot $ + � 9. "#

��#0 = arctan $ + � 10. "#

√� #0 = arcsin $ + �

Contoh

1. Tentukan nilai dari ���� = 3�7dx ���� = �3�7dx = 32 + 1�<

=�<

2. Tenukan hasil dari ���� = sin�2� − 3� ��

���� = � sin�2� − 3� ��

= −12 cos�2� − 3� + �

C. Integral tertentu

Dalil dasar kalkulus menyatakan bahwa nilai bilangan ntegral tertentu dari

fungsi kontinu f(x) pada interval a sampai b ditunjukkan oleh integral tak tentu F

(x) + c yang ievaluasi pada limit ataspengintegralan b,dikurangi integral tak tentu

yang sama F(x) +c,yang dievaluasi pada limit bawah pengintegrallan ,karena c

adalah sama untuk keduanya ,konstanta pengintegralan ihilangkan dalam

pengurangan .apabila dinyatakan secara matematis ,

� ������ = !���� = !�=� − !���>%

>%

Sifat-sifat integral tertentu

1.pembalikan susunan limit akan merubah tanda dari integral tertentu

� ������ =>%

−� ������%>

2. jika limit ataspengintegralan sama dengan limit bawahnya,nilai dari integral

tertentu adalah nol.

� ������ = !��� − !��� = 0%%

3. Integral tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa sub-integral

komponen.

������ =-% ������>

% + ����-> �� a ≤ b ≤ c

Contoh

1.���� = 3�@7A �� ,tentukan niali dari –f(x)...........?

���� = � 3�@7A

��

−���� = −� 3�@A7

��

= −3�36 �0�C −36 �2�C]

= −3�0 −642 ]

=1922

= 96

2. cos � − sin 3� = ⋯HIA

= sin � + �< cos 3�]

= �sin JK6L�+13 cos 3 J

K6L] − �sin�0��+

13 cos 3�0�]

= M12 + 0N − M0 +13N

= 16

D.Integral fungsi majemuk

a. Integral Subtitusi

Konsep dasar metode ini adalah melakukan penyederhanaan fungsi dengan

bantuan permisalan variabel lain,sehingga bentuk fungsinya menjadi

sederhana dan memenuhi kaidah teorema dasar integral.

Contoh

Tentukan nilai dari 6�7��< + 4�O ��,

Penyelesaian:

= �6�7��< + 4�O ���< + 4�3�7

= 2���< + 4�O���< + 4�O

= 7O�� ��< + 4�O�� = 7P ��< + 4�P

b. Integral Parsial

Telah dipelajari jika u dan v masing –masing fungsi x yang deferensiabel,

maka sudah anda ketahui bahwa : jika y = u, v maka

QR = "S"� = $RT + $T′. Dalam bentuk lain �

"S"� = "#

"� . T + $. "W"��"�#.W�"� = "#"� . T + $. "W"�.atau d(u.v) = v. du ± u.dv

Kemudian jika keduaa ruas diintegralkan,maka ,diperoleh

$. T = �T. �$ +�$. �T

Pengintegralan parsial integral tak tentu

�$. �T = $. T −� T. �$

Pengintegralan parsial integral tertentu

� $. �T = �$. T] =� − � T. �$>%

>%

Contoh

Tentukan hasil dari 16�� + 3�cos�2� − K� �� = ⋯

Misalkan u = (x +3) � du = dx

dv = cos (2x - K)dx � T = �7 sin�2� − K� Sehingga,

16��� + 3�cos�2� − K� ��= 16 M�� + 3�. 12 sin�2� − K�N − �

12 sin�2� − K� ��

= 16 M12 �� + 3�. sin�2� − K� −12 X−

12 cos�2� − KYN + �

= 16 Z�7 �� + 3�[\��2� − K� + �] cos�2� − K�^+ c

= 8�� + 3�[\��2� − K� + 4 cos�2� − K� + �

E.Menghitung luas dan volume suatu bidang

1.Menghitung luas terhadap sumbu x

Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0

` = � ������ = � Q�� = a� Q��>%

a>%

>%

Untuk mencari luas daerah yang diarsir dapat menggunakan rumus sebagai

berikut

� ������ +� ������>%

->

Khusus untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu parabola dan

garis dapat digunakan rumus

b =c√cC%0 � D : determinan

Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > g(x)

Luas daerah yang diarsir : ` = ����>% − ������

2.Menghitung luas terhadap sumbu y

Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0

` = � ��Q��Q = � ��Q = a� ��Q>%

a>%

>%

Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > g(y)

` = � ��Q�>%

− ��Q���

Contoh

Luas daerah yang dibatasi parabola y = x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1

pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah.........

` = � ��� + 1� − �<A

�7– x– 2��dx

=� �2� − �7 + 3���<A

= �7 − 13�< + 3�]30

= ��3�7 − 13 �3�< + 3�3�] − ��0�7 −13 �0�< + 3�0�]

= 9 satuan luas

3.Menghitung volume benda putar

Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0

e = K ������7>% �� = K Q7>

% �� ( terhadap sumbu x)

Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0

e = K ���Q��7>% �Q = K �7>

% �Q (terhadap sumbu y)

Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, y1 > y2

e = K� �Q�7 −Q77]>%

��

Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, x1 > x2

e = K� ���7 −�77]>%

�Q

Contoh

Daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi parabola y = x2,parabola

y = 4x2 dan garis y = 4.Volume benda putar yang terjadi bila D diputar

terhadap sumbu Y adalah.......

Parabola y = 4x2

� �7 = �]Q

Parabola y = x2

Volume benda putar yang terjadi adalah

e = K� �Q − 14]A

Q��Q = K� 34

]A

Q�Q

= K M38 Q7N40

= K X38 �4�7 −38 �0�7Y

= 6K

Jadi,volume benda putar yang terjadi adalah 6π satuan volume

F.Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari - hari

1. Penerapan dalam ekonomi

Investasi bersih I didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham

modal(Capital Stock Formation) K selama t.Jika proses formasi berlansung terus

sepanjang waktu ,��f� = "g�h�"h = iR�f�. Dari tingkat investasi ,tingkat satuan

modal dapat diprakirakan.Pembentukan modal merupakann integral berkenaan

dengan waktu investasi bersih.

ih =� ��f��f = i�f� + � = i�f� +iA

Dimana c = saham modal awal iA.

Demikian pula,integral digunakan untuk memprakirakan biaya total dari biaya

marginal.Karena biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat

perubahan inkremental dalam outpt,jk = "lm"n ,dan hanya biaya-biaya variabel

yang berubah bersamaann dengan tingkat output.

ok = �jk�p = ek + � = ek + !k

Karena c = biaya tetap atau biaya awal FC . analisa ekonomi yang menelusuri

variabel-variabel lintasan waktu atau berusaha untuk menentukan apakah

variabel-variabel akan bertemu menuju keseimbangan sepanjang waktu,disebut

dinamika.

Contoh (1)

Tingkat investasi bersih adalah � = 40fqr dan saham modal pada t = 0 adalah

75.Carilah fungsi modal K.

ih =� ��f��f = �40f<@ �f = 40 X58 fO@Y + � = 25fO@ + �

Dengan subtitusi t = 0 dan K = 75

75 = 0 + c

c = 75

jadi, K = 25ftr + 75

Contoh (2)

Diketahui jk = 16�A,]n dan FC = 100.Tentukan nilai dari TC.

ok = �16�A,]n�p = 16 X 10,4Y �A,]n + � = 40�A,]n + � Pada Q = 0,TC = 100

100 = 40�A + � c = 60

Jadi, ok = 40�A,]n + 60

2. Penerapan dalam teknik

Kapasitet panas dari 1 kg air berubah dengan temperatur t sesuai dengan aturan

f(t) = 0,0000009t2 + 0,00004t + 1.Tentukan jumlah panas yang diperlukan untuk

menaikkan 1 m3 air dari 10

0 C menjadi 60

0 C .

pemecahan ,untuk 1 m3 air,kapasitet panas itu

f(t) = 0,0009t2 + 0,04t + 1000

kapasitet panas itu adalah turunan dari jumlah panas terhadap temperatur

"n"h =0,0009t

2 + 0,04t + 1000

karena fungsi f(t) yang diberikan ,maka jumlah panas Q merpakan anti-

turunan.adalah perlu untuk mencari berapa banyak anti-turunan itu berubah akibat

terubah dari 100 C menjadi 60

0 C,yakni untuk menyelidiki integral tertentu

� �0,0009f7 + 0,04f + 1000��fCA�A

Pertama pecahkan integral tak tentu

��0,0009f7 + 0,04f + 1000��f = 0,0003f< + 0,02f7 + 1000f + �

Dan kemudian harga ini disubtitusi dari 10 sampai 60

� 0,0003CA�A

f< + 0,02f7 + 1000f = �64,8 + 72 + 60000� − �0,3 + 2 + 10000�= 50134,5

Jadi,50134,5 kkal dibutuhkan untuk menaikkan temperatur 1 m3 air dari 10

0 C

menjadi 600 C .

Daftar Pustaka

Sugiarto,Bambang.1994. Matematika untuk Ekonomi.Jakarta:Erlangga

Suvorov,I.1997. Higher Mathematics.Jakarta:Pradnya Paramita

Cunayah,Cucun.2011.1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan : Matematika

untuk SMA / MA.Bandung:Yrama Widya

Tim MGMP Matematika.2011.Kumpulan Lembar Kerja Peserta Didik

Matematika SMA.Jombang

Tim Penyusun.2012.Strategi Khusus Menghadapi Ujian Nasional

SMA/MA.Klaten:Viva Pakarindo

Winarno.2008.Bimbingan Pemantapan : Matematika Dasar untuk SMA IPA-

IPS.Bandung:Yrama Widya