RESUME INTEGRAL
Transcript of RESUME INTEGRAL
![Page 1: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/1.jpg)
RESUME INTEGRAL
Oleh :
Nama : Siti Fatimatul Umaroh
NIM : 125100300111038
Kelas : L
Jurusan : TIP
TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN
TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2012
![Page 2: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/2.jpg)
INTEGRAL
Integral dilambangkan oleh “ ʃ ” yang merupakan lambang untuk menyatakan
kembali F(X )dari F-1 (X). Hitung integral adalah kebalikan dari hitung diferensial.
A. Kaidah integral
Kaidah-kaidah integral ini diperoleh dengan membalikkan kaidah aturan
differensial yang sebanding.Macam-macamnya adalah :
1.Integral dari suatu konstanta k
���� = �� + �
2.Integral dari suatu fungsi pangkat � dmana n ≠ -1 ,dinyatakan dengan kaidah
pangkat
��� = ������ + c n ≠ -1
3.integral dari � � atau �� adalah
� � �� = ��� + � x > 0
Syarat x > 0 ditambahkan karena hanya bilangan positif yang mempunyai
logaritma.Untuk bilangan negatif
� � �� = ����� + � x ≠ 0
4.Integral dari suatu fungsi eksponensial
������ = ���� ln � + �
5.integral dari suatu fungsi eksponensial natural
����� = ���� + � karena ln e = 1
![Page 3: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/3.jpg)
6.Integral dari suatu konstanta dikalikan suatu fungsi sama dengan konstanta
dikalikan integral fungsi tersebut.
�������� = ��������
7.Intergal jumlah atau selisih dari dua atau lebih fungsi sama dengan jumlah atau
selisih dari integral-integralnya.
������ + ������� = ����� +�������
������ − ������� = ����� −�������
8.Integral dari negatif suatu fungsi sama dengan negatif dari integral fungsi
tersebut.
�−������ = −�������
B.Integral Tak Tentu
Anti turunan atau integral dari suatu fungsi yang diketahui adalah sebuah
fungsi yang turunannya sama dengan fungsi yang diketahui.Jadi F(x)adalah
integral dari fungsi f(x)
F’(x) = f(x)
Suatu fungsi yang berbeda dari suatu fungsi yang dapat didefferensialkan
sebesar bilangan sembaraung mempunyai turunan yang sama seperti fungsi
terakhir itu.jadi,karena suatu bilangan sembarang c,F(x ) + c merupakan suatu
rumus umum untuk semua anti turunan daripada fungsi f(x) tersebut.akhirnya
rumus umum dari integral taktentu adalah
���� = !��� + �
![Page 4: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/4.jpg)
Rumus-rumus utama dalam integral tak tentu
1. ��� = ������ + c n ≠ -1
2. "## = ln $ + � 3. �# �$ = �# + c
4. �#�$ = %&'(% + � 5. cos $�$ = sin $ + � 6. sin $�$ = −cos $ + � 7. "#
-./0# = tan$ + � 8. "#
/30# = −cot $ + � 9. "#
��#0 = arctan $ + � 10. "#
√� #0 = arcsin $ + �
Contoh
1. Tentukan nilai dari ���� = 3�7dx ���� = �3�7dx = 32 + 1�<
=�<
2. Tenukan hasil dari ���� = sin�2� − 3� ��
���� = � sin�2� − 3� ��
= −12 cos�2� − 3� + �
![Page 5: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/5.jpg)
C. Integral tertentu
Dalil dasar kalkulus menyatakan bahwa nilai bilangan ntegral tertentu dari
fungsi kontinu f(x) pada interval a sampai b ditunjukkan oleh integral tak tentu F
(x) + c yang ievaluasi pada limit ataspengintegralan b,dikurangi integral tak tentu
yang sama F(x) +c,yang dievaluasi pada limit bawah pengintegrallan ,karena c
adalah sama untuk keduanya ,konstanta pengintegralan ihilangkan dalam
pengurangan .apabila dinyatakan secara matematis ,
� ������ = !���� = !�=� − !���>%
>%
Sifat-sifat integral tertentu
1.pembalikan susunan limit akan merubah tanda dari integral tertentu
� ������ =>%
−� ������%>
2. jika limit ataspengintegralan sama dengan limit bawahnya,nilai dari integral
tertentu adalah nol.
� ������ = !��� − !��� = 0%%
3. Integral tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa sub-integral
komponen.
������ =-% ������>
% + ����-> �� a ≤ b ≤ c
![Page 6: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh
1.���� = 3�@7A �� ,tentukan niali dari –f(x)...........?
���� = � 3�@7A
��
−���� = −� 3�@A7
��
= −3�36 �0�C −36 �2�C]
= −3�0 −642 ]
=1922
= 96
2. cos � − sin 3� = ⋯HIA
= sin � + �< cos 3�]
= �sin JK6L�+13 cos 3 J
K6L] − �sin�0��+
13 cos 3�0�]
= M12 + 0N − M0 +13N
= 16
D.Integral fungsi majemuk
a. Integral Subtitusi
Konsep dasar metode ini adalah melakukan penyederhanaan fungsi dengan
bantuan permisalan variabel lain,sehingga bentuk fungsinya menjadi
sederhana dan memenuhi kaidah teorema dasar integral.
![Page 7: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh
Tentukan nilai dari 6�7��< + 4�O ��,
Penyelesaian:
= �6�7��< + 4�O ���< + 4�3�7
= 2���< + 4�O���< + 4�O
= 7O�� ��< + 4�O�� = 7P ��< + 4�P
b. Integral Parsial
Telah dipelajari jika u dan v masing –masing fungsi x yang deferensiabel,
maka sudah anda ketahui bahwa : jika y = u, v maka
QR = "S"� = $RT + $T′. Dalam bentuk lain �
"S"� = "#
"� . T + $. "W"��"�#.W�"� = "#"� . T + $. "W"�.atau d(u.v) = v. du ± u.dv
Kemudian jika keduaa ruas diintegralkan,maka ,diperoleh
$. T = �T. �$ +�$. �T
Pengintegralan parsial integral tak tentu
�$. �T = $. T −� T. �$
Pengintegralan parsial integral tertentu
� $. �T = �$. T] =� − � T. �$>%
>%
![Page 8: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
Tentukan hasil dari 16�� + 3�cos�2� − K� �� = ⋯
Misalkan u = (x +3) � du = dx
dv = cos (2x - K)dx � T = �7 sin�2� − K� Sehingga,
16��� + 3�cos�2� − K� ��= 16 M�� + 3�. 12 sin�2� − K�N − �
12 sin�2� − K� ��
= 16 M12 �� + 3�. sin�2� − K� −12 X−
12 cos�2� − KYN + �
= 16 Z�7 �� + 3�[\��2� − K� + �] cos�2� − K�^+ c
= 8�� + 3�[\��2� − K� + 4 cos�2� − K� + �
E.Menghitung luas dan volume suatu bidang
1.Menghitung luas terhadap sumbu x
Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0
` = � ������ = � Q�� = a� Q��>%
a>%
>%
![Page 9: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/9.jpg)
Untuk mencari luas daerah yang diarsir dapat menggunakan rumus sebagai
berikut
� ������ +� ������>%
->
Khusus untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu parabola dan
garis dapat digunakan rumus
b =c√cC%0 � D : determinan
Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > g(x)
Luas daerah yang diarsir : ` = ����>% − ������
2.Menghitung luas terhadap sumbu y
Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0
` = � ��Q��Q = � ��Q = a� ��Q>%
a>%
>%
![Page 10: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/10.jpg)
Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > g(y)
` = � ��Q�>%
− ��Q���
Contoh
Luas daerah yang dibatasi parabola y = x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1
pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah.........
` = � ��� + 1� − �<A
�7– x– 2��dx
=� �2� − �7 + 3���<A
= �7 − 13�< + 3�]30
= ��3�7 − 13 �3�< + 3�3�] − ��0�7 −13 �0�< + 3�0�]
= 9 satuan luas
3.Menghitung volume benda putar
Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0
e = K ������7>% �� = K Q7>
% �� ( terhadap sumbu x)
![Page 11: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/11.jpg)
Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0
e = K ���Q��7>% �Q = K �7>
% �Q (terhadap sumbu y)
Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, y1 > y2
e = K� �Q�7 −Q77]>%
��
Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, x1 > x2
e = K� ���7 −�77]>%
�Q
Contoh
Daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi parabola y = x2,parabola
y = 4x2 dan garis y = 4.Volume benda putar yang terjadi bila D diputar
terhadap sumbu Y adalah.......
Parabola y = 4x2
� �7 = �]Q
Parabola y = x2
Volume benda putar yang terjadi adalah
e = K� �Q − 14]A
Q��Q = K� 34
]A
Q�Q
= K M38 Q7N40
![Page 12: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/12.jpg)
= K X38 �4�7 −38 �0�7Y
= 6K
Jadi,volume benda putar yang terjadi adalah 6π satuan volume
F.Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari - hari
1. Penerapan dalam ekonomi
Investasi bersih I didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham
modal(Capital Stock Formation) K selama t.Jika proses formasi berlansung terus
sepanjang waktu ,��f� = "g�h�"h = iR�f�. Dari tingkat investasi ,tingkat satuan
modal dapat diprakirakan.Pembentukan modal merupakann integral berkenaan
dengan waktu investasi bersih.
ih =� ��f��f = i�f� + � = i�f� +iA
Dimana c = saham modal awal iA.
Demikian pula,integral digunakan untuk memprakirakan biaya total dari biaya
marginal.Karena biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat
perubahan inkremental dalam outpt,jk = "lm"n ,dan hanya biaya-biaya variabel
yang berubah bersamaann dengan tingkat output.
ok = �jk�p = ek + � = ek + !k
Karena c = biaya tetap atau biaya awal FC . analisa ekonomi yang menelusuri
variabel-variabel lintasan waktu atau berusaha untuk menentukan apakah
variabel-variabel akan bertemu menuju keseimbangan sepanjang waktu,disebut
dinamika.
![Page 13: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh (1)
Tingkat investasi bersih adalah � = 40fqr dan saham modal pada t = 0 adalah
75.Carilah fungsi modal K.
ih =� ��f��f = �40f<@ �f = 40 X58 fO@Y + � = 25fO@ + �
Dengan subtitusi t = 0 dan K = 75
75 = 0 + c
c = 75
jadi, K = 25ftr + 75
Contoh (2)
Diketahui jk = 16�A,]n dan FC = 100.Tentukan nilai dari TC.
ok = �16�A,]n�p = 16 X 10,4Y �A,]n + � = 40�A,]n + � Pada Q = 0,TC = 100
100 = 40�A + � c = 60
Jadi, ok = 40�A,]n + 60
![Page 14: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Penerapan dalam teknik
Kapasitet panas dari 1 kg air berubah dengan temperatur t sesuai dengan aturan
f(t) = 0,0000009t2 + 0,00004t + 1.Tentukan jumlah panas yang diperlukan untuk
menaikkan 1 m3 air dari 10
0 C menjadi 60
0 C .
pemecahan ,untuk 1 m3 air,kapasitet panas itu
f(t) = 0,0009t2 + 0,04t + 1000
kapasitet panas itu adalah turunan dari jumlah panas terhadap temperatur
"n"h =0,0009t
2 + 0,04t + 1000
karena fungsi f(t) yang diberikan ,maka jumlah panas Q merpakan anti-
turunan.adalah perlu untuk mencari berapa banyak anti-turunan itu berubah akibat
terubah dari 100 C menjadi 60
0 C,yakni untuk menyelidiki integral tertentu
� �0,0009f7 + 0,04f + 1000��fCA�A
Pertama pecahkan integral tak tentu
��0,0009f7 + 0,04f + 1000��f = 0,0003f< + 0,02f7 + 1000f + �
Dan kemudian harga ini disubtitusi dari 10 sampai 60
� 0,0003CA�A
f< + 0,02f7 + 1000f = �64,8 + 72 + 60000� − �0,3 + 2 + 10000�= 50134,5
Jadi,50134,5 kkal dibutuhkan untuk menaikkan temperatur 1 m3 air dari 10
0 C
menjadi 600 C .
![Page 15: RESUME INTEGRAL](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012516/61904e983c25df57b7724915/html5/thumbnails/15.jpg)
Daftar Pustaka
Sugiarto,Bambang.1994. Matematika untuk Ekonomi.Jakarta:Erlangga
Suvorov,I.1997. Higher Mathematics.Jakarta:Pradnya Paramita
Cunayah,Cucun.2011.1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan : Matematika
untuk SMA / MA.Bandung:Yrama Widya
Tim MGMP Matematika.2011.Kumpulan Lembar Kerja Peserta Didik
Matematika SMA.Jombang
Tim Penyusun.2012.Strategi Khusus Menghadapi Ujian Nasional
SMA/MA.Klaten:Viva Pakarindo
Winarno.2008.Bimbingan Pemantapan : Matematika Dasar untuk SMA IPA-
IPS.Bandung:Yrama Widya