RESUME INTEGRAL

15
RESUME INTEGRAL Oleh : Nama : Siti Fatimatul Umaroh NIM : 125100300111038 Kelas : L Jurusan : TIP TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2012

Transcript of RESUME INTEGRAL

Page 1: RESUME INTEGRAL

RESUME INTEGRAL

Oleh :

Nama : Siti Fatimatul Umaroh

NIM : 125100300111038

Kelas : L

Jurusan : TIP

TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2012

Page 2: RESUME INTEGRAL

INTEGRAL

Integral dilambangkan oleh “ ʃ ” yang merupakan lambang untuk menyatakan

kembali F(X )dari F-1 (X). Hitung integral adalah kebalikan dari hitung diferensial.

A. Kaidah integral

Kaidah-kaidah integral ini diperoleh dengan membalikkan kaidah aturan

differensial yang sebanding.Macam-macamnya adalah :

1.Integral dari suatu konstanta k

���� = �� + �

2.Integral dari suatu fungsi pangkat � dmana n ≠ -1 ,dinyatakan dengan kaidah

pangkat

��� = ������ + c n ≠ -1

3.integral dari � � atau �� adalah

� � �� = ��� + � x > 0

Syarat x > 0 ditambahkan karena hanya bilangan positif yang mempunyai

logaritma.Untuk bilangan negatif

� � �� = ����� + � x ≠ 0

4.Integral dari suatu fungsi eksponensial

������ = ���� ln � + �

5.integral dari suatu fungsi eksponensial natural

����� = ���� + � karena ln e = 1

Page 3: RESUME INTEGRAL

6.Integral dari suatu konstanta dikalikan suatu fungsi sama dengan konstanta

dikalikan integral fungsi tersebut.

�������� = ��������

7.Intergal jumlah atau selisih dari dua atau lebih fungsi sama dengan jumlah atau

selisih dari integral-integralnya.

������ + ������� = ����� +�������

������ − ������� = ����� −�������

8.Integral dari negatif suatu fungsi sama dengan negatif dari integral fungsi

tersebut.

�−������ = −�������

B.Integral Tak Tentu

Anti turunan atau integral dari suatu fungsi yang diketahui adalah sebuah

fungsi yang turunannya sama dengan fungsi yang diketahui.Jadi F(x)adalah

integral dari fungsi f(x)

F’(x) = f(x)

Suatu fungsi yang berbeda dari suatu fungsi yang dapat didefferensialkan

sebesar bilangan sembaraung mempunyai turunan yang sama seperti fungsi

terakhir itu.jadi,karena suatu bilangan sembarang c,F(x ) + c merupakan suatu

rumus umum untuk semua anti turunan daripada fungsi f(x) tersebut.akhirnya

rumus umum dari integral taktentu adalah

���� = !��� + �

Page 4: RESUME INTEGRAL

Rumus-rumus utama dalam integral tak tentu

1. ��� = ������ + c n ≠ -1

2. "## = ln $ + � 3. �# �$ = �# + c

4. �#�$ = %&'(% + � 5. cos $�$ = sin $ + � 6. sin $�$ = −cos $ + � 7. "#

-./0# = tan$ + � 8. "#

/30# = −cot $ + � 9. "#

��#0 = arctan $ + � 10. "#

√� #0 = arcsin $ + �

Contoh

1. Tentukan nilai dari ���� = 3�7dx ���� = �3�7dx = 32 + 1�<

=�<

2. Tenukan hasil dari ���� = sin�2� − 3� ��

���� = � sin�2� − 3� ��

= −12 cos�2� − 3� + �

Page 5: RESUME INTEGRAL

C. Integral tertentu

Dalil dasar kalkulus menyatakan bahwa nilai bilangan ntegral tertentu dari

fungsi kontinu f(x) pada interval a sampai b ditunjukkan oleh integral tak tentu F

(x) + c yang ievaluasi pada limit ataspengintegralan b,dikurangi integral tak tentu

yang sama F(x) +c,yang dievaluasi pada limit bawah pengintegrallan ,karena c

adalah sama untuk keduanya ,konstanta pengintegralan ihilangkan dalam

pengurangan .apabila dinyatakan secara matematis ,

� ������ = !���� = !�=� − !���>%

>%

Sifat-sifat integral tertentu

1.pembalikan susunan limit akan merubah tanda dari integral tertentu

� ������ =>%

−� ������%>

2. jika limit ataspengintegralan sama dengan limit bawahnya,nilai dari integral

tertentu adalah nol.

� ������ = !��� − !��� = 0%%

3. Integral tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa sub-integral

komponen.

������ =-% ������>

% + ����-> �� a ≤ b ≤ c

Page 6: RESUME INTEGRAL

Contoh

1.���� = 3�@7A �� ,tentukan niali dari –f(x)...........?

���� = � 3�@7A

��

−���� = −� 3�@A7

��

= −3�36 �0�C −36 �2�C]

= −3�0 −642 ]

=1922

= 96

2. cos � − sin 3� = ⋯HIA

= sin � + �< cos 3�]

= �sin JK6L�+13 cos 3 J

K6L] − �sin�0��+

13 cos 3�0�]

= M12 + 0N − M0 +13N

= 16

D.Integral fungsi majemuk

a. Integral Subtitusi

Konsep dasar metode ini adalah melakukan penyederhanaan fungsi dengan

bantuan permisalan variabel lain,sehingga bentuk fungsinya menjadi

sederhana dan memenuhi kaidah teorema dasar integral.

Page 7: RESUME INTEGRAL

Contoh

Tentukan nilai dari 6�7��< + 4�O ��,

Penyelesaian:

= �6�7��< + 4�O ���< + 4�3�7

= 2���< + 4�O���< + 4�O

= 7O�� ��< + 4�O�� = 7P ��< + 4�P

b. Integral Parsial

Telah dipelajari jika u dan v masing –masing fungsi x yang deferensiabel,

maka sudah anda ketahui bahwa : jika y = u, v maka

QR = "S"� = $RT + $T′. Dalam bentuk lain �

"S"� = "#

"� . T + $. "W"��"�#.W�"� = "#"� . T + $. "W"�.atau d(u.v) = v. du ± u.dv

Kemudian jika keduaa ruas diintegralkan,maka ,diperoleh

$. T = �T. �$ +�$. �T

Pengintegralan parsial integral tak tentu

�$. �T = $. T −� T. �$

Pengintegralan parsial integral tertentu

� $. �T = �$. T] =� − � T. �$>%

>%

Page 8: RESUME INTEGRAL

Contoh

Tentukan hasil dari 16�� + 3�cos�2� − K� �� = ⋯

Misalkan u = (x +3) � du = dx

dv = cos (2x - K)dx � T = �7 sin�2� − K� Sehingga,

16��� + 3�cos�2� − K� ��= 16 M�� + 3�. 12 sin�2� − K�N − �

12 sin�2� − K� ��

= 16 M12 �� + 3�. sin�2� − K� −12 X−

12 cos�2� − KYN + �

= 16 Z�7 �� + 3�[\��2� − K� + �] cos�2� − K�^+ c

= 8�� + 3�[\��2� − K� + 4 cos�2� − K� + �

E.Menghitung luas dan volume suatu bidang

1.Menghitung luas terhadap sumbu x

Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0

` = � ������ = � Q�� = a� Q��>%

a>%

>%

Page 9: RESUME INTEGRAL

Untuk mencari luas daerah yang diarsir dapat menggunakan rumus sebagai

berikut

� ������ +� ������>%

->

Khusus untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu parabola dan

garis dapat digunakan rumus

b =c√cC%0 � D : determinan

Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > g(x)

Luas daerah yang diarsir : ` = ����>% − ������

2.Menghitung luas terhadap sumbu y

Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0

` = � ��Q��Q = � ��Q = a� ��Q>%

a>%

>%

Page 10: RESUME INTEGRAL

Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > g(y)

` = � ��Q�>%

− ��Q���

Contoh

Luas daerah yang dibatasi parabola y = x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1

pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah.........

` = � ��� + 1� − �<A

�7– x– 2��dx

=� �2� − �7 + 3���<A

= �7 − 13�< + 3�]30

= ��3�7 − 13 �3�< + 3�3�] − ��0�7 −13 �0�< + 3�0�]

= 9 satuan luas

3.Menghitung volume benda putar

Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0

e = K ������7>% �� = K Q7>

% �� ( terhadap sumbu x)

Page 11: RESUME INTEGRAL

Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0

e = K ���Q��7>% �Q = K �7>

% �Q (terhadap sumbu y)

Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, y1 > y2

e = K� �Q�7 −Q77]>%

��

Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, x1 > x2

e = K� ���7 −�77]>%

�Q

Contoh

Daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi parabola y = x2,parabola

y = 4x2 dan garis y = 4.Volume benda putar yang terjadi bila D diputar

terhadap sumbu Y adalah.......

Parabola y = 4x2

� �7 = �]Q

Parabola y = x2

Volume benda putar yang terjadi adalah

e = K� �Q − 14]A

Q��Q = K� 34

]A

Q�Q

= K M38 Q7N40

Page 12: RESUME INTEGRAL

= K X38 �4�7 −38 �0�7Y

= 6K

Jadi,volume benda putar yang terjadi adalah 6π satuan volume

F.Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari - hari

1. Penerapan dalam ekonomi

Investasi bersih I didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham

modal(Capital Stock Formation) K selama t.Jika proses formasi berlansung terus

sepanjang waktu ,��f� = "g�h�"h = iR�f�. Dari tingkat investasi ,tingkat satuan

modal dapat diprakirakan.Pembentukan modal merupakann integral berkenaan

dengan waktu investasi bersih.

ih =� ��f��f = i�f� + � = i�f� +iA

Dimana c = saham modal awal iA.

Demikian pula,integral digunakan untuk memprakirakan biaya total dari biaya

marginal.Karena biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat

perubahan inkremental dalam outpt,jk = "lm"n ,dan hanya biaya-biaya variabel

yang berubah bersamaann dengan tingkat output.

ok = �jk�p = ek + � = ek + !k

Karena c = biaya tetap atau biaya awal FC . analisa ekonomi yang menelusuri

variabel-variabel lintasan waktu atau berusaha untuk menentukan apakah

variabel-variabel akan bertemu menuju keseimbangan sepanjang waktu,disebut

dinamika.

Page 13: RESUME INTEGRAL

Contoh (1)

Tingkat investasi bersih adalah � = 40fqr dan saham modal pada t = 0 adalah

75.Carilah fungsi modal K.

ih =� ��f��f = �40f<@ �f = 40 X58 fO@Y + � = 25fO@ + �

Dengan subtitusi t = 0 dan K = 75

75 = 0 + c

c = 75

jadi, K = 25ftr + 75

Contoh (2)

Diketahui jk = 16�A,]n dan FC = 100.Tentukan nilai dari TC.

ok = �16�A,]n�p = 16 X 10,4Y �A,]n + � = 40�A,]n + � Pada Q = 0,TC = 100

100 = 40�A + � c = 60

Jadi, ok = 40�A,]n + 60

Page 14: RESUME INTEGRAL

2. Penerapan dalam teknik

Kapasitet panas dari 1 kg air berubah dengan temperatur t sesuai dengan aturan

f(t) = 0,0000009t2 + 0,00004t + 1.Tentukan jumlah panas yang diperlukan untuk

menaikkan 1 m3 air dari 10

0 C menjadi 60

0 C .

pemecahan ,untuk 1 m3 air,kapasitet panas itu

f(t) = 0,0009t2 + 0,04t + 1000

kapasitet panas itu adalah turunan dari jumlah panas terhadap temperatur

"n"h =0,0009t

2 + 0,04t + 1000

karena fungsi f(t) yang diberikan ,maka jumlah panas Q merpakan anti-

turunan.adalah perlu untuk mencari berapa banyak anti-turunan itu berubah akibat

terubah dari 100 C menjadi 60

0 C,yakni untuk menyelidiki integral tertentu

� �0,0009f7 + 0,04f + 1000��fCA�A

Pertama pecahkan integral tak tentu

��0,0009f7 + 0,04f + 1000��f = 0,0003f< + 0,02f7 + 1000f + �

Dan kemudian harga ini disubtitusi dari 10 sampai 60

� 0,0003CA�A

f< + 0,02f7 + 1000f = �64,8 + 72 + 60000� − �0,3 + 2 + 10000�= 50134,5

Jadi,50134,5 kkal dibutuhkan untuk menaikkan temperatur 1 m3 air dari 10

0 C

menjadi 600 C .

Page 15: RESUME INTEGRAL

Daftar Pustaka

Sugiarto,Bambang.1994. Matematika untuk Ekonomi.Jakarta:Erlangga

Suvorov,I.1997. Higher Mathematics.Jakarta:Pradnya Paramita

Cunayah,Cucun.2011.1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan : Matematika

untuk SMA / MA.Bandung:Yrama Widya

Tim MGMP Matematika.2011.Kumpulan Lembar Kerja Peserta Didik

Matematika SMA.Jombang

Tim Penyusun.2012.Strategi Khusus Menghadapi Ujian Nasional

SMA/MA.Klaten:Viva Pakarindo

Winarno.2008.Bimbingan Pemantapan : Matematika Dasar untuk SMA IPA-

IPS.Bandung:Yrama Widya