RESUME INTEGRAL
Transcript of RESUME INTEGRAL
RESUME INTEGRAL
Oleh :
Nama : Siti Fatimatul Umaroh
NIM : 125100300111038
Kelas : L
Jurusan : TIP
TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN
TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2012
INTEGRAL
Integral dilambangkan oleh “ ʃ ” yang merupakan lambang untuk menyatakan
kembali F(X )dari F-1 (X). Hitung integral adalah kebalikan dari hitung diferensial.
A. Kaidah integral
Kaidah-kaidah integral ini diperoleh dengan membalikkan kaidah aturan
differensial yang sebanding.Macam-macamnya adalah :
1.Integral dari suatu konstanta k
���� = �� + �
2.Integral dari suatu fungsi pangkat � dmana n ≠ -1 ,dinyatakan dengan kaidah
pangkat
��� = ������ + c n ≠ -1
3.integral dari � � atau �� adalah
� � �� = ��� + � x > 0
Syarat x > 0 ditambahkan karena hanya bilangan positif yang mempunyai
logaritma.Untuk bilangan negatif
� � �� = ����� + � x ≠ 0
4.Integral dari suatu fungsi eksponensial
������ = ���� ln � + �
5.integral dari suatu fungsi eksponensial natural
����� = ���� + � karena ln e = 1
6.Integral dari suatu konstanta dikalikan suatu fungsi sama dengan konstanta
dikalikan integral fungsi tersebut.
�������� = ��������
7.Intergal jumlah atau selisih dari dua atau lebih fungsi sama dengan jumlah atau
selisih dari integral-integralnya.
������ + ������� = ����� +�������
������ − ������� = ����� −�������
8.Integral dari negatif suatu fungsi sama dengan negatif dari integral fungsi
tersebut.
�−������ = −�������
B.Integral Tak Tentu
Anti turunan atau integral dari suatu fungsi yang diketahui adalah sebuah
fungsi yang turunannya sama dengan fungsi yang diketahui.Jadi F(x)adalah
integral dari fungsi f(x)
F’(x) = f(x)
Suatu fungsi yang berbeda dari suatu fungsi yang dapat didefferensialkan
sebesar bilangan sembaraung mempunyai turunan yang sama seperti fungsi
terakhir itu.jadi,karena suatu bilangan sembarang c,F(x ) + c merupakan suatu
rumus umum untuk semua anti turunan daripada fungsi f(x) tersebut.akhirnya
rumus umum dari integral taktentu adalah
���� = !��� + �
Rumus-rumus utama dalam integral tak tentu
1. ��� = ������ + c n ≠ -1
2. "## = ln $ + � 3. �# �$ = �# + c
4. �#�$ = %&'(% + � 5. cos $�$ = sin $ + � 6. sin $�$ = −cos $ + � 7. "#
-./0# = tan$ + � 8. "#
/30# = −cot $ + � 9. "#
��#0 = arctan $ + � 10. "#
√� #0 = arcsin $ + �
Contoh
1. Tentukan nilai dari ���� = 3�7dx ���� = �3�7dx = 32 + 1�<
=�<
2. Tenukan hasil dari ���� = sin�2� − 3� ��
���� = � sin�2� − 3� ��
= −12 cos�2� − 3� + �
C. Integral tertentu
Dalil dasar kalkulus menyatakan bahwa nilai bilangan ntegral tertentu dari
fungsi kontinu f(x) pada interval a sampai b ditunjukkan oleh integral tak tentu F
(x) + c yang ievaluasi pada limit ataspengintegralan b,dikurangi integral tak tentu
yang sama F(x) +c,yang dievaluasi pada limit bawah pengintegrallan ,karena c
adalah sama untuk keduanya ,konstanta pengintegralan ihilangkan dalam
pengurangan .apabila dinyatakan secara matematis ,
� ������ = !���� = !�=� − !���>%
>%
Sifat-sifat integral tertentu
1.pembalikan susunan limit akan merubah tanda dari integral tertentu
� ������ =>%
−� ������%>
2. jika limit ataspengintegralan sama dengan limit bawahnya,nilai dari integral
tertentu adalah nol.
� ������ = !��� − !��� = 0%%
3. Integral tertentu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa sub-integral
komponen.
������ =-% ������>
% + ����-> �� a ≤ b ≤ c
Contoh
1.���� = 3�@7A �� ,tentukan niali dari –f(x)...........?
���� = � 3�@7A
��
−���� = −� 3�@A7
��
= −3�36 �0�C −36 �2�C]
= −3�0 −642 ]
=1922
= 96
2. cos � − sin 3� = ⋯HIA
= sin � + �< cos 3�]
= �sin JK6L�+13 cos 3 J
K6L] − �sin�0��+
13 cos 3�0�]
= M12 + 0N − M0 +13N
= 16
D.Integral fungsi majemuk
a. Integral Subtitusi
Konsep dasar metode ini adalah melakukan penyederhanaan fungsi dengan
bantuan permisalan variabel lain,sehingga bentuk fungsinya menjadi
sederhana dan memenuhi kaidah teorema dasar integral.
Contoh
Tentukan nilai dari 6�7��< + 4�O ��,
Penyelesaian:
= �6�7��< + 4�O ���< + 4�3�7
= 2���< + 4�O���< + 4�O
= 7O�� ��< + 4�O�� = 7P ��< + 4�P
b. Integral Parsial
Telah dipelajari jika u dan v masing –masing fungsi x yang deferensiabel,
maka sudah anda ketahui bahwa : jika y = u, v maka
QR = "S"� = $RT + $T′. Dalam bentuk lain �
"S"� = "#
"� . T + $. "W"��"�#.W�"� = "#"� . T + $. "W"�.atau d(u.v) = v. du ± u.dv
Kemudian jika keduaa ruas diintegralkan,maka ,diperoleh
$. T = �T. �$ +�$. �T
Pengintegralan parsial integral tak tentu
�$. �T = $. T −� T. �$
Pengintegralan parsial integral tertentu
� $. �T = �$. T] =� − � T. �$>%
>%
Contoh
Tentukan hasil dari 16�� + 3�cos�2� − K� �� = ⋯
Misalkan u = (x +3) � du = dx
dv = cos (2x - K)dx � T = �7 sin�2� − K� Sehingga,
16��� + 3�cos�2� − K� ��= 16 M�� + 3�. 12 sin�2� − K�N − �
12 sin�2� − K� ��
= 16 M12 �� + 3�. sin�2� − K� −12 X−
12 cos�2� − KYN + �
= 16 Z�7 �� + 3�[\��2� − K� + �] cos�2� − K�^+ c
= 8�� + 3�[\��2� − K� + 4 cos�2� − K� + �
E.Menghitung luas dan volume suatu bidang
1.Menghitung luas terhadap sumbu x
Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0
` = � ������ = � Q�� = a� Q��>%
a>%
>%
Untuk mencari luas daerah yang diarsir dapat menggunakan rumus sebagai
berikut
� ������ +� ������>%
->
Khusus untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh suatu parabola dan
garis dapat digunakan rumus
b =c√cC%0 � D : determinan
Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > g(x)
Luas daerah yang diarsir : ` = ����>% − ������
2.Menghitung luas terhadap sumbu y
Dibatasi satu kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0
` = � ��Q��Q = � ��Q = a� ��Q>%
a>%
>%
Dibatasi dua kurva,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > g(y)
` = � ��Q�>%
− ��Q���
Contoh
Luas daerah yang dibatasi parabola y = x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1
pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah.........
` = � ��� + 1� − �<A
�7– x– 2��dx
=� �2� − �7 + 3���<A
= �7 − 13�< + 3�]30
= ��3�7 − 13 �3�< + 3�3�] − ��0�7 −13 �0�< + 3�0�]
= 9 satuan luas
3.Menghitung volume benda putar
Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ x ≤ b, f(x) > 0
e = K ������7>% �� = K Q7>
% �� ( terhadap sumbu x)
Dibatasi satu kurva ,untuk a ≤ y ≤ b, f(y) > 0
e = K ���Q��7>% �Q = K �7>
% �Q (terhadap sumbu y)
Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, y1 > y2
e = K� �Q�7 −Q77]>%
��
Dibatasi dua kurva, untuk a ≤ x ≤ b, x1 > x2
e = K� ���7 −�77]>%
�Q
Contoh
Daerah D terletak dikuadran pertama yang dibatasi parabola y = x2,parabola
y = 4x2 dan garis y = 4.Volume benda putar yang terjadi bila D diputar
terhadap sumbu Y adalah.......
Parabola y = 4x2
� �7 = �]Q
Parabola y = x2
Volume benda putar yang terjadi adalah
e = K� �Q − 14]A
Q��Q = K� 34
]A
Q�Q
= K M38 Q7N40
= K X38 �4�7 −38 �0�7Y
= 6K
Jadi,volume benda putar yang terjadi adalah 6π satuan volume
F.Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari - hari
1. Penerapan dalam ekonomi
Investasi bersih I didefinisikan sebagai tingkat perubahan dalam formasi saham
modal(Capital Stock Formation) K selama t.Jika proses formasi berlansung terus
sepanjang waktu ,��f� = "g�h�"h = iR�f�. Dari tingkat investasi ,tingkat satuan
modal dapat diprakirakan.Pembentukan modal merupakann integral berkenaan
dengan waktu investasi bersih.
ih =� ��f��f = i�f� + � = i�f� +iA
Dimana c = saham modal awal iA.
Demikian pula,integral digunakan untuk memprakirakan biaya total dari biaya
marginal.Karena biaya marginal adalah perubahan dalam biaya total akibat
perubahan inkremental dalam outpt,jk = "lm"n ,dan hanya biaya-biaya variabel
yang berubah bersamaann dengan tingkat output.
ok = �jk�p = ek + � = ek + !k
Karena c = biaya tetap atau biaya awal FC . analisa ekonomi yang menelusuri
variabel-variabel lintasan waktu atau berusaha untuk menentukan apakah
variabel-variabel akan bertemu menuju keseimbangan sepanjang waktu,disebut
dinamika.
Contoh (1)
Tingkat investasi bersih adalah � = 40fqr dan saham modal pada t = 0 adalah
75.Carilah fungsi modal K.
ih =� ��f��f = �40f<@ �f = 40 X58 fO@Y + � = 25fO@ + �
Dengan subtitusi t = 0 dan K = 75
75 = 0 + c
c = 75
jadi, K = 25ftr + 75
Contoh (2)
Diketahui jk = 16�A,]n dan FC = 100.Tentukan nilai dari TC.
ok = �16�A,]n�p = 16 X 10,4Y �A,]n + � = 40�A,]n + � Pada Q = 0,TC = 100
100 = 40�A + � c = 60
Jadi, ok = 40�A,]n + 60
2. Penerapan dalam teknik
Kapasitet panas dari 1 kg air berubah dengan temperatur t sesuai dengan aturan
f(t) = 0,0000009t2 + 0,00004t + 1.Tentukan jumlah panas yang diperlukan untuk
menaikkan 1 m3 air dari 10
0 C menjadi 60
0 C .
pemecahan ,untuk 1 m3 air,kapasitet panas itu
f(t) = 0,0009t2 + 0,04t + 1000
kapasitet panas itu adalah turunan dari jumlah panas terhadap temperatur
"n"h =0,0009t
2 + 0,04t + 1000
karena fungsi f(t) yang diberikan ,maka jumlah panas Q merpakan anti-
turunan.adalah perlu untuk mencari berapa banyak anti-turunan itu berubah akibat
terubah dari 100 C menjadi 60
0 C,yakni untuk menyelidiki integral tertentu
� �0,0009f7 + 0,04f + 1000��fCA�A
Pertama pecahkan integral tak tentu
��0,0009f7 + 0,04f + 1000��f = 0,0003f< + 0,02f7 + 1000f + �
Dan kemudian harga ini disubtitusi dari 10 sampai 60
� 0,0003CA�A
f< + 0,02f7 + 1000f = �64,8 + 72 + 60000� − �0,3 + 2 + 10000�= 50134,5
Jadi,50134,5 kkal dibutuhkan untuk menaikkan temperatur 1 m3 air dari 10
0 C
menjadi 600 C .
Daftar Pustaka
Sugiarto,Bambang.1994. Matematika untuk Ekonomi.Jakarta:Erlangga
Suvorov,I.1997. Higher Mathematics.Jakarta:Pradnya Paramita
Cunayah,Cucun.2011.1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan : Matematika
untuk SMA / MA.Bandung:Yrama Widya
Tim MGMP Matematika.2011.Kumpulan Lembar Kerja Peserta Didik
Matematika SMA.Jombang
Tim Penyusun.2012.Strategi Khusus Menghadapi Ujian Nasional
SMA/MA.Klaten:Viva Pakarindo
Winarno.2008.Bimbingan Pemantapan : Matematika Dasar untuk SMA IPA-
IPS.Bandung:Yrama Widya