Post on 05-Feb-2018
1
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
2
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi
1
1)(
2
x
xxf
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
3
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut
21
1lim
2
1
x
xx
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
x
x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berartibahwa
Lxfcx
)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
4
853lim1
xx
Contoh
1.
2. 2
)2)(12(lim
2
232lim
2
2
2
x
xx
x
xxxx
512lim2
xx
3
3
3
9lim
3
9lim
99
x
x
x
x
x
xxx
9
)3)(9(lim
9
x
xxx
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x)/1sin( x
/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
5
Lxfcx
)(lim |)(|||00,0 Lxfcx
Definisi limit
jika
c
º
Untuk setiap 0
L
c
ºL
L
L
Terdapat sedemikian sehingga0
c
ºL
||0 cx |)(| Lxf
c c c
ºL
6
)(lim xfcx
Limit Kiri dan Limit Kanan
cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,
c x
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
maka tidak ada)(lim xfcx
7
1,3
10,
0,
)(
2
x
xx
xx
xf
)(lim0
xfx
)(lim1
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
)(lim2
xfx
d. Gambarkan grafik f(x)Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung Jika ada
1.
8
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
x
x
0)(lim0
xfx
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1
)(lim1
xfx
1lim1
x
x
)(lim1
xfx
33lim1
x
)(lim)(lim11
xfxfxx )(lim
1xf
x
)(lim2
xfx
33lim2
x
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2
Kalkulus 1 9
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1x
3)( xf
Grafik: garis lurus
1
3
º
di x=1 limit tidakada
10
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,
1,3)( 2 xcx
xcxxf
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3+ c=1-c
c=-1
1 1lim ( ) lim ( )
x xf x f x
11
)(lim3
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.
f(-3)f(-1)
f(1)
1.
2.
3.
4.
5.
6.7.
8.
Soal Latihan
12
Soal Latihan
1,2
1,1)(
2
2
xxx
xxxf
)(lim1
xfx x
f x 1lim ( )
x
f x
1lim ( )
xxxg 32)(
x
g x 2lim ( )
x
g x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
2
2)(
x
xxf
x
f x 2lim ( )
x
f x 2lim ( )
xf x
2lim ( )
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila ada )
a. b. c.
a. b. c.
B.
13
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsiMisal
(limit dari f , g ada dan berhingga)maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)(
)(lim
Gbila
G
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
2.
3.
4. n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif
1.
14
Limit Fungsi Trigonometri
1sin
lim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tan
lim.30
x
xx
Contoh: ...2tan
4sinlim
0
x
xx
22.
22tan
lim
4.4
4sinlim
02
04
xx
x
xx
x
x
x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
Jawab: x
x
x
xxx 2tan
4sinlim
2tan
4sinlim
00
=1
15
Soal Latihan
t
tt 2
3tanlim
2
0
Hitung
1.
2.x
xx 2sin
tanlim
0
16
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xg
xfax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.
17
Contoh: Hitung
1
1lim
1 xxa.
1
2lim
21
x
xx x
xx sinlim
b. c.
Jawab
a. 011lim1
x
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
1
1lim
1 xx
b. 012lim1
x
xakan menuju 0 dari arah atas, karena
x -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapibilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadratkan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
1
2lim
21 x
xx
18
c.
0lim
xx
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)
x
xx sinlim
sehingga
Karena
19
Limit di Tak Hingga
Lxfx
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL
x
Contoh: Hitung
42
52lim
2
2
x
xxx
Jawab:
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
42
52lim
2
2
x
xxx
2
2
42
521
lim
x
xxx
= 1/2
20
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh: Hitung
42
52lim
2
x
xx
42
52lim
2
x
xx
Jawab:
)2(
)(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
Kalkulus 1 21
Soal Latihan
limx
x
x
3
3
3
limx x 2
23
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
1
1lim
2
x
xx
limx
x x
x
2
1
.
Hitung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
22
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
(ii)
(iii) )()(lim afxfax
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a
a
(i)
º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
23
a
(ii)
1L2L
Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada
)(lim xfax
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
24
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan yang terhapuskanKetakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia
º
25
Contoh:Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
2
4)(
2
x
xxf
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfa. b.
2,1
2,1)( 2 xx
xxxfc.
Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu
di x=2b. - f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxx
)2()(lim2
fxfx
-
- f(x) tidak kontinu di x=2
26
c. 312)2( 2 f-
- 31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
-
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
27
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
28
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2)2()(lim
2fxf
x
aaxxfxx
2lim)(lim22
1412)2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1-3a = -3
a = 1f kontinu kanan di x=2
)2()(lim2
fxfx
1412)2( 2 aaf
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selaludipenuhi
Jadi agar f(x) kontinu di x = 2, maka a = 1.
29
1. Diketahui
1,22
1,1)(
2
xx
xxxf
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi
2,3
21,
1,1
)(
xx
xbax
xx
xf
kontinu pada R, tentukan nilai a dan b!
30
Kekontinuan pada interval
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).
31
Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan , maka
f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil
f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
32
f xx x
x( )
2 3
3
f xx
x( )
2
34
8
Carilah titik diskontinu dari fungsi
Soal Latihan
1.
2.
33
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi:Jika dan f(x) kontinu di L, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsikontinu di a.Bukti
karena f kontinu di g(a)= f(g(a)) karena g kontinu di a= (fog)(a)
Lxgax
)(lim
)())(lim())((lim Lfxgfxgfaxax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
34
43
13cos)(
2
4
xx
xxxf
))(()( xhgxf
43
13)(
2
4
xx
xxxh dan g(x) = cos x
Contoh: Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}