Latihan Kalkulus Predikat

Definisi hingga Interpretasi&Arti Kalimat

Soal

• Semua Komunis itu tidak bertuhan• Tidak ada gading yang tidak retak • Ada gajah yang jantan dan ada yang

betina• Tidak semua pegawai negeri itu

manusia korup

3

Jawaban

Semua Komunis itu tidak bertuhanx [IF Komunis(x) THEN NOT Bertuhan(x)]

Tidak ada gading yang tidak retak NOT (x) [Gading(x) AND NOT Retak(x)]

Ada gajah yang jantan dan ada yang betina : (x)[ (Gajah(x) AND Jantan(x)) OR (Gajah(x) AND

Betina(x))]

Tidak semua pegawai negeri itu manusia korup(x) [Pegawai_Negeri(x) AND Manusia(x) AND NOT

Korup(x)]

Soal

• Tentukan semua subterm dan subkalimat yang muncul di setiap ekspresi berikut ini :– A : if (for all x) q(x, f(a)) then f(a) else b– B : p(a, x, f(a, x)) and (for some y) q (g(b, x), y)– C : if (for some x) (for all y) p(x, y) then g(a, f(a))

else g(a, x)– D : if (for all x) p(a, b, x) then (for some y) q(x, y)

else r(y)

Jawaban

• Ekspresi A adalah TERM• subTerm : a, b, x, f(a), if (for all x) q(x, f(a)) then f(a)

else b• subKalimat : q(x, f(a)), (for all x) q(x, f(a))

• Ekspresi B adalah KALIMAT• subTerm : a, b, x, y, f(a, x), g(a, f(a))• subKalimat : p(a, x, f(a, x)), q (g(b, x), y), (for some

y) q (g(b, x), y), • p(a, x, f(a, x)) and (for some y) q (g(b, x), y)

Jawaban

• Ekspresi C adalah TERM• subTerm : a, x, y, f(a), g(a, f(a)), g(a, x), • if (for some x) (for all x) p(x, y) then g(a, f(a)) else g(a, x)• subKalimat: p(x, y), (for all x) p(x, y), (for some x) (for all x)

p(x, y)

• Ekspresi D adalah KALIMAT• subTerm : a, b, x, y• subKalimat: p(a, b, x), (for all x) p(a, b, x), q(x, y), (for some y)

q(x, y), r(y), • if (for all x) p(a, b, x) then (for some y) q(x, y) else r(y)

Soal

• Tentukan semua variabel bebas, variabel terikat pada ekspresi berikut ini :– if (for all x) p(x) then q(y)– (for all x) (if p(x) then p(y))– (for some x) (p(x) or (for some y) q(x, y))– (for all x) (q(x) if and only if (for some y) p(x, y))

and p(x)

Jawaban

• Ekspresi point a. adalah KALIMAT TERBUKA• Variabel Bebas : y pada q(y)• Variabel Terikat : x pada p(x) terikat oleh (for all x)

• Ekspresi point b. adalah KALIMAT TERBUKA• Variabel Bebas : y pada p(y)• Variabel Terikat : x pada p(x) terikat oleh (for all x)

Jawaban

• Ekspresi point c. adalah KALIMAT TERTUTUP• Variabel Terikat : x pada p(x) dan x pada q(x,y) terikat

oleh (for some x) y pada q(x, y) terikat oleh (for some y)

• Ekspresi point d. adalah KALIMAT TERBUKA• Variabel Bebas : x pada p(x)• Variabel Terikat : x pada q(x) dan x pada p(x, y) terikat

oleh (for all x) y pada p(x, y) terikat oleh (for some y)

Soal

• Tentukan simbol bebas dari ekspresi berikut ini dan tentukan apakah termasuk kalimat tertutup atau terbuka :– if (for all x) p(a, b, x) then (for some y) q(x, y) else

r(y)– p(a, x, f(a, x)) and (for some y) q (g(b, x), y)– (for all x) (p(x, y) and (for some y) q(y, f(a, z)))

Jawaban

• Ekspresi point a. adalah KALIMAT TERBUKA• Simbol bebas dari ekspresi : a, b, x pada q(x, y), y

pada r(y), p, q, r

• Ekspresi point b. adalah KALIMAT TERBUKA• Simbol bebas dari ekspresi : a, b, x, f, g, p, q.• • Ekspresi point c. adalah KALIMAT TERBUKA• Simbol bebas dari ekspresi : a, z, y pada p(x, y), f, p, q

Soal

• Tentukan jenis setiap variabel (bebas/terikat) pada kalimat berikut, lalu simpulkan jenis kalimatnya (tertutup/tidak) :

• A = x ( IF p(x) THEN q(x) )• B = IF y p(y) THEN q(y)• C = y [IF x p(x) THEN q(x, y)]

Jawaban

• A = Kalimat Tertutup, karena tidak ada variabel bebas atau x = variabel terikat

• B = Kalimat tidak Tertutup, karena ada variabel bebas atau y pada q(y) = variabel bebas

• C = Kalimat tidak Tertutup, karena ada variabel bebas, yaitu

• x pada p(x) = variabel terikat, x pada q(x, y) variabel bebas, dan y variabel terikat

•

Soal

• A = Not P(y, f(y)) or P(a, f(a))• I adalah Interpretasi untuk A dengan domain

bil. Bulat.• a = 0• y = 2• f = fungsi suksesor f1 (d) = d + 1• p = relasi “kurang dari” pI(dI, d2) = dI < d2Tentukan arti dan A!

Jawaban

• P(y, f(y)) = 2 < (2+1) = 2 < 3• P(a, f(a)) = 0 < (0+1) = 0 < 1• • Not 2<3 OR 0<1

Soal

• Misal I adalah interpretasi dengan Domain Bilangan Integer

• a = 1; b = 2; c = 3; x = 2; y = 1• f = fungsi fI(d) = d – 1

• p = relasi pI(d1, d2) = dI < d2

• Tentukan arti untuk setiap subkalimat berikut!a) p(x,a) b) p(IF p(b, x) then f(a) else f(c), x)

Jawaban

a. p(x,a) = 2 < 1 b. p(b,x) = 2 < 2 =• f(a) = 1 – 1 = 0 • f(c) = 3 – 1 = 2• p(IF p(b,x) then f(a) else f(c), x)• Arti : (if (2<2) then 0 else 2) < 2

Soal

• Tuliskan interpretasi dan representasi kalimat predikat untuk :

• a.

• b.

22 zxy

)3/()( xcbax

Jawaban

a. f = fungsi “kuadrat” fI(d) = d2

• g = fungsi “tambah” gI(d1, d2) = d1 + d2

• p = relasi “sama dengan” pI(d1, d2) = (d1 = d2)• Kalimat predikat: p(y,g(f(x), f(z))

• a1 = 3п• f = fungsi “akar” f(d) = d• g = fungsi “negatif” g(d) = -d• h = fungsi “kurang” h(d1, d2, d3) = d1 - d2 - d3

• g1 = fungsi “kali” g1(d1, d2) = d1 * d2

• h1 = fungsi “bagi” h1(d1, d2) = d1 / d2

• p = relasi “sama dengan” p(d1, d2) = (d1 = d2)• Kalimat predikat :• p( x, f( h1(h( g(a),b,c)), g1(a1,x) ) ) ) )

Soal

• Tuliskan interpretasi I dan representasi kalimat predikat untuk

a. Ibu Mira terpandaib. Setiap Mahasiswa IK pasti cerdasc. Tidak ada penyanyi terkenal yang miskin

Jawaban

• Ibu Mira terpandai• Domain : Manusia• a = Mira• f = fungsi Ibu yaitu f(d) = ibu d• p = relasi “terpandai dari”, p(d1, d2) = d1 terpandai

dari d2

• Ibu Mira terpandai = x P(f(a), x)• Untuk semua x sedemikian sehingga Ibu Mira

terpandai dari x

• Domain : • a = IK• p = relasi “adalah Mahasiswa yaitu p(d1, d2) = d1

adalah mahasiwa d2• q = relasi “cerdas” q(d1) = d1 adalah seorang yang

cerdas• x [IF p(x,a) Then q(x)]• Untuk semua x sedemikian sehingga (Jika x adalah

mahasiswa IK maka x seorang yang cerdas)• ATAU

• Domain : manusia• a = IK• f = fungsi Mahasiswa yaitu f(d) = d seorang mahasiwa • p = relasi “kuliah di jurusan” yaitu p(d1, d2) = d1 kuliah di

jurusan d2

• q = relasi “yang cerdas” q(d1) = d1 yang cerdas• x [IF p(f(x),a) Then q(f(x)]• Untuk semua x sedemikian sehingga (Jika x seorang

mahasiswa kuliah di jurusan IK maka x seorang mahasiwa yang cerdas)

• Domain : manusia• p = relasi “penyanyi terkenal” p(d) = d adalah penyanyi

terkenal• q = relasi “kaya” q(d) = d kaya

• x [IF p(x) Then q(x)] = Not(x) [p(x) AND Not q(x)]• Untuk semua x jika x adalah penyanyi terkenal maka x

kaya• Tidak ada x dimana x adalah penyanyi terkenal dan x

tidak kaya (miskin)