KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131)...

Limit & Kontinuitas

ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana

Bagian 3

Monday, July 1, 2013

Topik yang dibahas

A. Limit Fungsi

B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)

C. Kontinuitas

A. Limit Fungsi

1. Pengertian Limit

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.

Contoh 1Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x2 – x + 2 untuk x mendekati 2.

Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.

Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan “limit fungsi f(x) = x2 – x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4”,

Notasinya:

Defenisi 1 (Limit fungsi)

Diberikan

merupakan “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L”

Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan),

dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.

2. Hal penting dalam Limit

Perhatikan kalimat “tetapi x ≠ a” pada defenisi limit.

Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a.

Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a

Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:

Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titikBagian (b) nilai f(a) ≠ LBagian (c), f(a) tidak terdefenisi

Dari ketiga grafik di atas

Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,

Contoh 2

Carilah nilai

Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1.Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.

Pembahasan:

Gambar f(x) dan tabel nilai,

Sehingga

Contoh 3

Diberikan sebuah fungsi

Hitunglah

Pembahasan Contoh 3

Gambar dari g(x) adalah

Sehingga diperoleh:

3. Limit Satu Sisi

Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.

Defenisi 2

maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri

dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan

Diberikan sebuah fungsi f(x)

Defenisi 3

Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya

jika dan hanya jika

Contoh 4Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)

Pembahasan Contoh 4

tidak ada

Limit Takhingga

Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contoh-contoh berikut.

Contoh 5

Carilah

jika ada

Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga

jika ada

Dibuat tabel

tidak ada

Contoh 6Diberikan fungsi f(x),

jika ada

maka tentukanlah

Dari grafik f(x)

diperoleh

tidak ada

2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)

1. Hukum Limit

Andaikan bahwa c adalah konstanta dan

ada, maka

Hukum Limit (tambahan)

dengan n bilangan bulat positif

(Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0)

(Jika n genap, diasumsikan bahwa )

Hukum Limit (tambahan)

Contoh 7Hitunglah

jika ada

Pembahasan

Contoh 8

Hitunglah

jika ada

Pembahasan

Defenisi 3

Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka

Catatan:

Apabila hasil limit berbentuk,

maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.atau yang lainnya

Contoh 9

Hitunglah

jika adaPembahasan

Contoh 10

Hitunglah jika ada

Pembahasan

2. Limit menuju ∞ dan −∞

Pada fungsi polinomial:

Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.

Pada fungsi rasional:

Contoh 11

Hitunglah

jika adaPembahasan:

Contoh 12

Hitunglah

jika ada

Pembahasan:

3. Kontinuitas

Defenisi 4 (kontinuitas)

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.

Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan:

1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)

2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang terbuka yang memuat a)3. f(a).

Contoh 13

Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?

jika ada

Pembahasan (contoh 13)

a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2.

b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi

tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131)...

Documents

Transcript of KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131)...

TUGAS KALKULUS

KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi ... Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan

bahan kalkulus

Robet Kalkulus

KALKULUS I

Materi kalkulus

Kalkulus 1

Kalkulus - wgmworldgenerationofmath.weebly.comwgmworldgenerationofmath.weebly.com/uploads/1/0/5/3/10537527/... · Kalkulus 1 Kalkulus Topik dalam kalkulus Teorema dasar Limit fungsi

Praktikum 9(131-057-131-072)

kalkulus bab3

Diklat kalkulus

Kalkulus 2

Kalkulus II

Mf113 kalkulus

Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika IT Telkom · ALJABAR BOOLEAN BAB 2. KALKULUS PROPOSISI BAB 3. KALKULUS PREDIKAT ... Sifat-sifat tersebut berlaku pula pada aljabar himpunan

KALKULUS (IT 131) - thedigital.files.wordpress.com · Kalkulus sudah dipelajari sejak zaman Yunani kuno (2500 tahun lalu) ... dibawah kurva seperti pada Gambar 3. Gambar3 Monday,

KALKULUS (IT 131) - thedigital.files.wordpress.com mendasar Kalkulus berbeda dengan matematika. Kalkulus tidak begitu statis dan lebih dinamis. Kalulus terkait dengan perubahan dan

Maquinas 131

kalkulus 3

Kalkulus ppt