KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan...

Derivatif

ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131)

Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 4

Monday, July 1, 2013

Cakupan Materi

A. Defenisi Derivatif

B. Rumus-rumus Derivatif

C. Aplikasi Derivatif


A. Defenisi Derivatif


Pendahuluan

Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral

Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.


1. Defenisi derivatif dari konsep limit

Diberikan grafik berikut

Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f’(a) adalah

f '(x) = limh→0

f (a + h) − f (a)h

jika limitnya ada


Carlah turunan dari f(x) = x2 − 8x + 9 pada bilangan a.

Contoh 1

Penyelesaian:


2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung

Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a.

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)):

y − f (a) = ′f (a)(x − a)


Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x2 − 8x + 9 di titik (3, −6).

Contoh 2


Penyelesaian Contoh 2

Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah

y − (−6) = (−2)(x − 3)

atau y = −2x

Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f’(a) = 2a − 8.

Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) − 8 = −2


3. Derivatif dari fungsi

Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan

Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh


Jika f(x) = x3 − x, carilah rumus untuk fʼ(x)

Contoh 3

Penyelesaian


Contoh 4

Jika f(x) = x1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ.

Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ∞), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ∞).

Penyelesaian


B. Rumus-rumus Derivatif


1. Derivatif Fungsi Konstanta

Diambil fungsi konstanta f(x) = c,

Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.


Bila dibuktikan dengan defenisi turunan

Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz

ddx(c) = 0


2. Turunan Fungsi Pangkat

Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah


Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1.

Sehinggaddx(x) = 1


Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh

ddx(x2 ) = 2x d

dx(x3) = 3x2

Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka

ddx(xn ) = nxn−1


Contoh 5

a) Jika f(x) = x6, maka fʼ(x) = 6x5

b) Jika y = x1000, maka yʼ = 1000x999

c) Jika y = t4, maka dy/dt = 4t3

d) d/dt (r3) = 3r2

e) Du(um) = mum-1

Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi


3. Derivatif Perkalian Konstanta

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

ddx[cf (x)] = c d

dxf (x)

Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut.


Bukti:

Misalkan g(x) = c·f(x), maka


Contoh 6

Carilah derivatif dari: a) 3x4 dan b) −x

Pembahasan

a) ddx(3x4 ) = 3 d

dx(x4 ) = 3(4x3) =12x3

b) ddx(-x) = d

dx[(-1)(x) = (-1) d

dx(x) = -1(1) = -1


4. Derivatif dari Aturan Jumlah

Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi

Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka

ddx

f(x)+ g(x)[ ]= ddxf(x)+ d

dxg(x)


Bukti

Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka


Lanjutan aturan jumlah

Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh:

Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh

ddx

f(x) - g(x)[ ]= ddxf(x) - d

dxg(x)


Contoh 7

Carilah turunan dari x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5

Penyelesaian


5. Derivatif Hasil Kali

Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka


Bukti

Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka


Contoh 8

Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x3)(7x4)

Pembahasan:


6. Derivatif Hasil bagi

Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka


Bukti

Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka

Dengan menambahkan f(x)·g(x) − f(x)·g(x) pada pembilang maka diperoleh


Contoh 9

Diberikan y = x2 + x − 2x3 + 6

.

Pembahasan:

Carilah yʼ


Derivatif Pangkat Umum

Jika n bilangan bulat positif, maka

ddx(xn ) = nxn−1

Jika n sembarang bilangan real, maka

ddx(x−n ) = −nx−n−1


Contoh 10


Contoh 11


C. Aplikasi Derivatif


Aplikasi dalam Fisika

Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter.

a) Carilah kecepatan pada waktu tb) Berapa kecepatan setelah 9 detik?c) Kapan partikel berhenti?


Bahasan:

a) Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi

s = f (t) = t 3 − 6t 2 + 9t → v(t) = dsdt

= 3t 2 −12t + 9

b) Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4.

v(2) = dsdt t=4

= 3(4)2 −1(4) + 9 = 9 m / s

c) Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu

3t 2 −12t + 9 = 3(t 2 − 4t + 3) = 3(t −1)(t − 3) = 0

Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik


Maslah Pengoptimalan


KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan...

Documents

Transcript of KALKULUS (IT 131) - · PDF fileTurunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan...