KALKULUS Betha Nurina Sari,S.Kom

KONTAK BETHA NURINA SARI,S.KOM 081553031989 bethanurinasari@gmail.com bethaajaaa.blogspot.com /

bethanurinasari.wordpress.com

KONTRAK KULIAH PERTEMUAN : 10-14 KALI MATH FOR ENGINEERING & MATH FOR

INFORMATICS TUGAS : 30 % UTS : 20 % QUIZ : 10 % UAS : 25 % SOFTSKILL : 15% KETERLAMBATAN MAKSIMAL 15 MENIT -

> JIKA LEBIH MAKA KESEPAKATAN MAHASISWA ...........<APA?>

APA SAJA YANG ANDA PELAJARI DI

MATKUL INI ?

MATERI KALKULUS

Himpunan

Relasi Fungsi Limit

Turunan Proporsi Aljabar

Boolean Integral

APA ITU KALKULUS ???

Kalkulus (BahasaLatin: calculus, artinya "batukecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga.

HIMPUNAN

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek dan didefinisikan dgn jelas.

Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur.

Simbol himpunan : A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z (dengan huruf kapital)

Simbol anggota suatu himpunan : a, b, c, p, q, r, x, y atau z.

Penulisan Matematis (Notasi) :

p ∈ A berarti obyek p merupakan anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A

p ∉ A berarti obyek p BUKAN anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A

Obyek dalam himpunan disebut elemen/anggota himpunan Ex : A = { 1, 2, 3 }, maka elemen-elemen himpunan A adalah 1, 2 dan 3

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong (empty set) dinotasikan dengan ф

HIMPUNAN

Menyatakan Himpunan : Ada 2 cara : 1. Menuliskan tiap-tiap anggota

himpunan diantara 2 kurung kurawal ex : A = { Jhony, Yukiyem, Michael }

2. Menuliskan sifat-sifat semua anggota himpunan diantara 2 kurung kurawal ex : B = { x / x = bilangan prima yang diawali dari angka 7 }

HIMPUNAN

1. Himpunan SemestaHimpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Simbol himpunan semesta : S atau U.

2. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun

elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : ∅ atau { } Contoh :i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan},

maka n(P) = 0

JENIS-JENIS HIMPUNAN

3. Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian

dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A

Notasi : A ⊆ B Contoh :i. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}ii. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}iii. A = {p, q, r} bukan himpunan bagian dari

B = {m, p, q, t, u} karena r ∈ A tetapi r ∉ B

JENIS-JENIS HIMPUNAN

4. Himpunan yang Sama Himpunan A dikatakan sama dengan

himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap B merupakan elemen A. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

JENIS-JENIS HIMPUNAN

Contoh Himpunan yang Sama dan Tidak Sama :

i. Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x-1) = 0}, maka A = B

ii. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = B

iii. Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

JENIS-JENIS HIMPUNAN

5. Himpunan yang saling lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling

lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B Contoh : Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10,

20, 30,…}, maka A // B

OPERASI HIMPUNAN :

1. Gabungan (Union)

A U B = {x| x Є A atau x Є B} 2. Irisan (Intersection)

A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B} 3. Selisih

A - B = A|B {x| x Є A tetapi x Є B} 4. Pelengkap (Complement)

Ā atau A’ atau Ac= {x| x Є U tetapi x Є A}

= U – A

OPERASI HIMPUNAN Himpunan Semesta (U) adalah

himpunan yang merupakan batas dari ruang pembicaraan.

Diagram Venn adalah suatu cara menggambarkan secara mudah hubungan antara dua himpunan atau lebih.

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

Kaidah Idempotena. A U A = A b. A ∩ A = A

Kaidah Asosiatifa. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b.( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Kaidah Komutatifa. A U B = B U A b. A ∩ B =

B ∩ A

Kaidah Distributifa. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A

U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A

∩ C )

Lanjutan ............

Kaidah Identitasa. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø

c. A U U = U d. A ∩ U = A

Kaidah Kelengkapana. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø

c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U

Kaidah De Morgan

a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

LATIHAN

OLEH-OLEH ^^

Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :(a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B’ (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ A’