1

MATA KULIAH LISTRIK MAGNET

• Dr. DARSIKIN, M.Si.• GUSTINA, S.Pd., M.Pd.

2

 MATA KULIAH : LISTRIK MAGNET KODE MATA KULIAH : FIS 215JUMLAH KREDIT : 3 SKS (3-0)SEMESTER : IVPJ MATAKULIAH : Dr. Darsikin, M.Si. /Gustina, S.Pd., M.Pd.. 

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP)

DESKRIPSI SINGKAT:Listrik Magnet membahas mengenai medan elektrostatik dan penggunaannya dalam berbagai kasus fisika. Hukum-hukum elektrostatik yang dipelajari merupakan dasar bagi beberapa materi fisika lainnya.

STANDAR KOMPETENSI: Setelah mengikuti perkuliahan Listrik Magnet mahasiswa mampu memahami dasar-dasar elektrostatika dan dapat menggunakan teori dasar tersebut untuk memecahkan persoalan elektrostatika

3

Pert Kompetensi Dasar

Pokok Bahasan

Sub Pokok Bahasan Waktu Referensi

1 Memahami sifat-sifat vektor

Analisis Vektor

1. Vektor Operator2. Aljabar Vektor3. Triple Produk4. Bagaimana

mentransformasi vektor5. Turunan biasa6. Gradien7. Operator 8. Divergnensi9. Aturan perkalian10. Turunan kedua

3x50 menit

2, 3 Mengidentifikasi sifat-sifat interaksi muatan listrik (muatan titik dan muatan kontinu)

Elektrostatika

1. Muatan Titik 2. Hukun Coulomb 3. Sistem Muatan Kontinu

6 x 50 menit

4

4 Mengidentifikasi medan listrik oleh muatan titik dan muatan kontinu

MedanListrik

1. Pengertian Medan Listrik 2. Medan Listrik oleh Muatan Titik 3. Medan Listrik oleh Muatan Kontinu

3 x 50 menit

5, 6,

Menerapkan Hukum Gauss untuk menentukan medan listrik oleh muatan kontinu

Hukum Gauss

1. Fluks dan Rapat Fluks Listrik 2. Hukum Gauss 3. Penerapan Hukum Gauss

6 x 50 menit

7, 8

Menganalisis hubungan antara potensial listrik oleh muatan titik dan muatan kontinu, dengan medan listrik

Energi dan Potensial Listrik

1. Potensial Listrik dari Muatan Titik 2. Potensial Listrik dari Muatan Kontinu 3. Potensial Listrik dan Energi 4. Kapasitor dan Kapasitansi 5. Energi dalam Kapasitor dan Rapat Energi

6 x 50 menit

U T S

5

9, 10

Mengidentifikasi monopole, dipole dan quadrupole dari potansial skalar dan menghitung medan listrik oleh dipole listrik

Multipole 1. Ekspansi Multipole dari Potensial Skalar 2. Medan Diopole Listrik

6 x 50 menit

11, 12

Mengidentifikasi distribusi potensial listrik melalui persamaan Laplace dan metode pemisahan variabel

Metode Khusus dalam Penentuan Potensial Listrik

1. Persamaan Laplace dalam satu dimensi 2. Persamaan Laplace dalam dua dimensi 3. Persamaan Laplace dalam tiga dimensi 4. Syarat Batas dan Teorema Keunikan 5. Metode Pemisahan Variabel

6 x 50 menit

13, 14

Setelah mengikuti pokokbahasan mengenai dipollistrik mahasiswa dapatmenghitung potensial danmedan listrik akibat adanyadipol sebagai sumber medan.

Dipol Listrik

1. Medan akibat dua muatan berlawanan tanda pada jarak jauh

2. Dipol listrik dan momen dipol3. Potensial dan medan akibat

keberadaan dipol listrik

6 x 50 menit

6

15 Setelah mengikuti pokokbahasan medan listrik padabahan dielektrik mahasiswadapat menjelaskan bagaimanapengaruh medan listrik padabahan konduktor,menentukan medan/potensiallistrik dari 2 medium yangdipisahkan oleh bahandielektrik.

Medan Listrik PadaBahan Dielektrik

1. Respon bahan pada medan listrik2. Polarisasi bahan dielektrik3. Vektor perpindahan listrik4. Suseptibilitas dan permeabilitas listrik5. Hukum Gauss pada bahan dielektrik6. Syarat batas medan pada

bahan

6 x 50 menit

7

16 Setelah mengikuti pokokbahasan mengenai energielektrostatik mahasiswa dapatmenghitung energi potensialdan menentukan kapasitansidari bahan dielektrik.

EnergiElektrostatik

1. Energi potensial listrik2. Energi potensial

listrik akibat berbagai distribusi muatan

3. Kapasitor4. Pengaruh bahan dielektrik pada kapasitor

3 x 50 menit

U A S

8

ANALISIS VEKTOR

9

Dasar-dasar Vektor

zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA

Konvensi: Vektor ditulis dengan anakpanah diatas atau cetak tebal

Vektor biasanyafungsi dari koordinatspasial

Konvensi:

vektor satuan dilambangkandengan topi diatasnya

magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z)ke arah sumbu-y

AAaor a

212z

2y

2x AAAA

10

Penjumlahan vektor

zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC

Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)

11

Vektor posisi dan vektor jarak

z2y2x22

z1y1x11

azayaxR

azayaxR

Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

z12y12x12

1212

azzayyaxxRRR

21212

212

212

12

zzyyxx

Rd

12

Vektor posisi dan vektor jarak

Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)

Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az

Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az

Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az

13

Perkalian titik (perkalian skalar)

ABBABA cos

• Selalu menghasilkan bilangan skalar• A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B.• Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar

nol:• A·A=|A|2=A2

0ˆˆ yx

14

Perkalian titik (perkalian skalar)

332211

z3y2x1

z3y2x1

AB

BABABABA

aBaBaBB

aAaAaAA

θcosBABA

15

Perkalian silang (perkalian vektor)

Aturan sekrup putar bisa dipakai:Pemutaran A ke B menggerakkansekrup ke arah vektor hasil

Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.

!!!!PENTING!!!

16

Perkalian silang (ljt)

Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

xa

yaza

yzx

yxz

zyx

aaa

aaa

aaa

zyx

zyx

zyx

BBBAAAaaa

BA

17

Triple ProductsHasil operasi lain yang penting:

BACACBCBA

Scalar triple product

Vector triple product (aturan bac-cab)

BACCABCBA

Menghasilkan skalar

Menghasilkan vektor

18

VECTOR REPRESENTATION

3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS:

• RECTANGULAR

• CYLINDRICAL

• SPHERICAL

Choice is based on symmetry of problem

Examples:

Sheets - RECTANGULAR

Wires/Cables - CYLINDRICAL

Spheres - SPHERICAL

19

Sistem Koord. Kartesian

x

y

z

(x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d!

yxz

zyx

a dz dxa dz dyady dxsd

a dzady adx ld

dzdy dx dv

xaya

za

20

Sistem Koord. Kartesian

yxz

zyx

a dz dxa dz dyady dxsd

a dzady adx ld

dzdy dx dv

21

Sistem Koord. Tabung atau Silindris

z

y

x

(, , z)Perhatikan kuantitas diferensial:dV, dS and d!

dz d d dv

a dz d sd

a dza d a dld z

za

a

a

22

Sistem Koord. Tabung atau Silindris

dz d d dv

a dz d sd

a dza d a dld z

23

Sistem Koordinat Bola

z

y

x

r

(r, ,

nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2

Lihat lagi kuantitas diferensial:dV, dS and d!

d dθdr sinθ r

a d dθ sinθ r

a d sinθr a dθr adr ld

2

r2

θr

dv

sd

a

a

ra

24

Sistem Koordinat Bola

d dθdr sinθ rdv

a d dθ sinθ rsd

a d sinθr a dθr adr ld

2r

2

θr

25

Transformasi KoordinatKadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :

cosAsinAA

sinAsincosAcoscosAA

cosAsinsinAcossinAA

yx

zyx

zyxr

Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

26

Soal21. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)Cari :

– Vektor dari A ke C– Vektor satuan dari B ke A– Jarak dari B ke C

• -ax+8ay-4az

• 0,762ax-0,127ay-0,635az

• 12,45

27

Soal2

2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az

Cari : – Besar medan di P(2,-3,4)– Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P– Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan

• 53,4• -0,899ax-0,412ay+0,150az• +- 0,455

28

Soal23. Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az

Cari : – F.G– Sudut antara F dan G– Panjang proyeksi F pada G– Proyeksi vektor F pada G

• -27,0• 130,8 o

• -4,38• -2,13ax-3,55ay-1,42az

29

Soal24. Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az

Cari : – F x G– ax (ay x F)– (ay x ax ) x F– Vektor satuan yang tegak lurus F pada G

• 215ax+190ay-145az• -45ay• -70ax-45ay• +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)

30

Soal25. Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)Cari :

– Jarak dari P ke titik asal– Q tegak lurus pada sumbu z– P ke Q

• 6,71• 3,16• 11,20

31

Soal2

6. a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabungb. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 23 cos2

2

ze

• 240+z2 –ρ2 sin 2φ• 8,66

coe z 322

32

Soal2

7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung

b. Cari medan F dalam koord cartesian jika

F= ρ cosφ aρ

• ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ

•

yx yaxayx

x

22

33

Operator Del =

Bola a sin r

a r

ar

Tabung az

aa

Cartesian az

ay

ax

r

z

zyx

34

Grad, Div dan Curl

an vektormenghasilkuntuk vektor pada beroperasi :CurlAAA

zyx

aaa

A CurlA

skalaran menghasilkuntuk vektor pada beroperasi :Divz

Ay

A

xA

A DivergensiA

an vektormenghasilkuntuk skalar fungsi pada beroperasi :Grad

az

ay

ax

Gradien

EMmedan teoridalammendasar sangat yang halmerupakan dan ldiferensiaoperator adalah Ketiganya

zyx

zyx

zyx

zyx

35

Gradien dari medan skalar

Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut:

dibaca“del phi”

Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu.Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadifungsi vektor.

az

ay

ax

Grad zyx

36

Contoh gradien

2

2

, ,

ˆ ˆ ˆMaka 2

z

z z

x y z x y xe

x e x x y xe z

Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan

ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y z

Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan munculpada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah 28

21P

turunanberarah

37

Rapat fluksOperator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor !Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber

Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor).

Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya).

medanseragam

medan tak seragam

38

DivergensiDivergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasanMendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:

Secara matematika:

Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

zE

yE

xE

E DivergensiE zyx

39

Contoh divergensi

zxyzxxE ˆˆ2ˆ3 22

x6x

x0x6E

zzxyz2xx3E

2

2

22

Di titik (2,-2,0)

160,2,2

E

Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.

40

Curl (Rotasi=Pusaran)Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya.

Medan B seragam,curl-nya nol.

medan tak-seragam,Curl-nya tidak nol.

41

Perhitungan curl

teksbookpadaditemukan bisalain koordinat sistemUntuk

Cartesian

BBBzyx

aaa

B CurlB

zyx

zyx

42

Operator penting lainnya

2

2

2

2

2

22

z2

y2

x22

2

zV

yV

xVV

AAA

00

A

A

AAADua rumus ini sangatbermanfaat pd pembaha-san mendatang.

Operator Laplacian

43

Operator Laplacian (1)

Ingat: ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆx y z

x y zx y z

A x A y A z

Sekarang 2 2 2

2 2 2

yx zAA A

x y z

x y y

Untuk praktisnya ditulis: 2 baca “del kuadrat”

44

Laplacian (2)

Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor

ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE

Jika

Maka,2 2 2

22 2 2

2 2 2ˆ ˆ ˆx y z

E Ex y y

x E y E z E

Dapat juga ditunjukkan bahwa:

2E E E

“curl curl dari E”

45

Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl

zyx

zyx

AAAzyx

zyx

zA

yA

xAz

zy

yx

x

ˆˆˆ

ˆˆˆ

A

A

46

Teorema integral

(teorema divergensi)v S

E dv E dS

Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan.

(teorema Stokes)S C

B dS B dl

Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaanmenjadi integral garis.

permukaan atau lintasan tertutup

47

Integral garis/permukaan

Contoh: teorema Stoke

rn ˆˆ

(teorema Stoke)S C

B dS B dl

Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.

Hitung integral ini sepanjang garis-batasdari segmen.

48

Permasalahan nilai batas

Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas.

Secara umum ada tiga jenis syarat batas:• Syarat batas jenis Dirichlet• Syarat batas jenis Neumann• Syarat batas jenis campuran

(kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

49

Syarat batas jenis Dirichlet

S

Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukansuatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada .

gV

Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.

50

Syarat batas jenis NeumannUntuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f

dndV

S

fdndV

Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

51

Contoh (1) batas bidang (planar)

Hi EiEr

Hr

x

r i

tHtEt

22

11

Kita perlu pernyataan mengenai medan normaldan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus-kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yanglainnya (y<0).

y

incidentreflected

transmitted

52

Contoh (2): bumbung gelombang

0y,xEkyx z

2c2

2

2

2

02

2

2

2

2

yxHk

yx zc ,

X

Y

a

b ,

Perlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichlet

perlupada dinding. syarat batas Neumann

dan 0z zH Hx y

53

Syarat batas dalam EM

Et1 n111

222 Et2

E tangensial kontinyu

n111

222 Ht2

Ht1

n × (H1-H2)=Js

n111

222

Bn1

Bn2

B normal kontinyu

n111

222D2n

D1n

n·(D1-D2)=s

Ekivalen

54

Lihat contoh berikut

Et1 n111

222 Et2

E tangensial kontinyu

Hal ini menyatakan bahwamedan (listrik) tangensial dalamdaerah-1 adalah sama denganmedan (listrik) tangensial padadaerah-2.Ini tdk menyatakan apapunmengenai kompenen lain dr E.

Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE

Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!n E

55

Dan satu contoh lagi

n111

222 Ht2

Ht1

n × (H1-H2) = Js

Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus.

Hal ini umum terjadi. Jikamedium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi:

1ˆ sn H J Ini berarti bahwa komponen

tangensial dari medan H adalah arus permukaan.

“permukaan”

56

Contoh:

0

0

2 20

2 2

ˆ memenuhi 0

ˆ

ˆ memenuhi 0d

j zi i

j zr r

j zt t d

E xE eE

E xE e

E xE e E

z0

d

Ei atau Er

Et

Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa(pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.

0

1i r t

ti r

d

E E EEE E

Z Z