BAB 1 ANALISIS VEKTOR

1.1 SKALAR DAN VEKTOR Skalar

• Hanya mempunyai besar• Contoh : massa, volume, temperatur, energi

Vektor

• Mempunyai besar dan arah• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan

Medan skalar

• Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : EP = m g h

Medan vektor

• Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

• Metoda jajaran genjang• Metoda poligon

A

BC = A + B

B

A

C = A + B

A

- B

D = A - B

D = A – B = A + (- B)

Perkalian titik Hasilnya skalar

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosAB

cosBABA

AB

AB

Perkalian Silang Hasilnya vektor

ABasinBABA NAB

A

AB

A B

B

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az

• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az

• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

• Vektor Posisi

zyxP

zyxP

aa2a2r

a3a2ar

• Vektor antara 2 titik

zyx

zyxQPPQ

a2a4a

a)31(a)22(a)12(rrR

• Titik asal O(0, 0, 0)• Bidang x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

Elemen Luas (vektor) dy dz ax dx dz ay dx dy az

Elemen Volume (skalar)dx dy dz

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian

zzyyxx

yzzyxzzxxyyx

zzyyxx

oo

B2z

2y

2x

2z

2y

2x

zzyyxxzzyyxx

BABABABA

0aaaa0aaaa0aaaa

1aa1aa1aa

090cos10cos

B

BaBBBBAAAA

B,AcosBABA

aBaBaBBaAaAaAA

• Proyeksi vektor A pada vektor B

B

A

AB

Proyeksi A pada B

BB a)aA(

Contoh Soal 1.1 Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :a). RAB RAC

b). Sudut antara RAB dan RAC

c). Proyeksi vektor RAB pada RAC

Jawab :

899,44416R660,825491R

20)2)(5()2)(7()4)(1(RR

a2a2a4Ra5a7aR

ACAB

ACAB

zyxACzyxAB

zyxzyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4

a2a2a4

R

Ra

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20

RR

RRcos

Proyeksi RAB pada RAC :

)a665,1a665,1a330,3

)a408,0a408,0a816,0(08,4

a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(

zyx

zyx

ACACACAB

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian

A

AB

A B

B

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA

190sin00sin

ABasinBABA

oo

NAB

yzxzy

xzyzxxyzyx

zzyyxx

aaaaa

aaaaaaaaaa

0aa0aa0aa

zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA

Contoh Soal 1.2 :Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan :a). RBC RBA

b). Luas segitiga ABCc). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab :

899,44416R660,825491R ACAB

zyx

zyx

zyx

BABC

a26a6a24

a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375

313

aaa

RR

944,172

888,35

2

26624

2

RRABC

222BABC

zyxzyx

N a725,0a167,0a669,0888,35

a16a6a24a

1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat , dan z P(, , z)

Transformasi sistem koordinat

zzzzx

ytgsiny

yxcosx

SilinderKartesianKartesianSilinder

1

22

Contoh Soal 1.3 :Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak dari A ke B.

Jawab :Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.

x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571

y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064

z = z = 2

79,63)064,6()571,0(R

a3a064,6a571,0

a)12(a)3064,3(a)2571,2(R

222AB

zyx

zyxAB

Vektor dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan

Vektor satuan dalam arah dan tergantung pada posisinya di dalam ruang

zzz aAaAaAAa,a,a

Transformasi vektor

a a az

ax cos - sin 0

ay sin cos 0

az 0 0 1

Silinder Kartesian

Silinder Kartesian

yx

x

asinacosa:Vertikal

asinacosa:Horisontal

Contoh Soal 1.4 :Nyatakan vektor

dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).

Jawab :Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut di titik A, yaitu :

zyx a4a2a4R

o11 3,562

3tg

x

ytg

a a az

ax cos = 0,555 - sin = - 0,832 0ay sin = 0,832 cos = 0,555 0az 0 0 1

z

z

a4a438,4a556,0

a4)a555,0a832,0(2)a832,0a555,0(4R

Bidang = konstan (permukaan silinder) = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)z = konstan (bidang datar tegak lurus sumbu-z)

• Elemen Luas (vektor)

zaddaddadzd

dzdd

• Elemen volume (skalar)

Contoh Soal 1.5Sebuah silinder berjari-jari 2 m dan tingginya 5 m. Hitung sebagian dari luas permukaan silinder tersebut

1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan : P(r, , )

x

ytgcosrz

zyx

zcossinsinry

zyxrcossinrx

BolaKartesianKartesianBola

1

222

1

222

Transformasi Koordinat

• Contoh Soal 1.5 :• Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola.

Jawab :

o11

o1

222

1

222222

6,711

3tg

x

ytg

3,38099,5

4cos

zyx

zcos

099,5431zyxr

4z3y1x)4,3,1(B

)6,71,3,38,099.5(B

6,713,38099,5roo

oo

Vektor • dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :

• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang

aAaAaAAa,a,a rrr

ar a a

ax sin cos cos cos - sin ay sin sin cos sin cos az cos - sin 0

Bola Kartesian

Transformasi Vektor

zyxr

x

acosasinsinacossina:Vertikal

asinacoscosacossina:Horisontal

Contoh Soal 1.6 : Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.

Jawab :

B(1, 3, 4) = 38,3o = 71, 6o

ar a a

ax sin cos sin 38,3o cos 71,6o

(0,620)(0,316) = 0,196

cos cos cos 38,3o cos 71,6o

(0,785)(0,316) = 0,248

- sin - sin 71,6o

- 0,949ay sin sin

sin 38,3o sin 71,6o

(0,620)(0,949) = 0,588

cos sin cos 38,3o sin 71,6o

(0,785)(0,949) = 0,745

cos cos 71,6o 0,316

az cos cos 38,3o

0,785

- sin - sin 38,3o

- 0,620

0

zr

z

r

zyxAB

a213,2a608,1a651,7

a)]0(7)316,0(4)949,0([

a)]629,0(7)745,0(4248,0[a)]785,0(7)588,0(4196,0[

a7a4aR

• Bidang r = konstan (kulit bola) = konstan (selubung kerucut) = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

• Elemen Luas (vektor)

• Elemen Volume (skalar)

ardrdadrdsinraddsinr r2

ddrdsinr2