KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARRMateri Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi

Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang

sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu

menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu

mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian

dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.

Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu

mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses

belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih

baik.

Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan

dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa.

Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan

beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai

latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk

membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan

pemahaman yang lebih mendalam.

Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu

penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari

pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian

selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-

benar bermanfaat.

Malang, Agustus 2003

Penyusun

DDAAFFTTAARR IISSIIKKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii

DDAAFFTTAARR IISSII iiii

BBAABB II :: VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN 111.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1

1.2 Aljabar Vektor 2

1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4

1.4 Perkalian Antar Vektor 10

1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20

BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR 22882.1 Fungsi Vektor 28

2.2 Kurva Vektor 29

BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR 33443.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34

3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35

3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38

3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41

BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR 55664.1 Integral Garis 56

4.2 Teorema Green 69

4.3 Medan Gaya Konservatif 76

4.4 Integral Luasan 84

4.5 Teorema Divergensi Gauss 100

4.6 Teorema Stokes 106

DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 111111

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

BAB I

VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN

1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar

(magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan

kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu

benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain

sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan

vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar

(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan

skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan

analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan

aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi

tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai

segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

v = ABABAB ==

A = titik pangkal (initial point)

B = titik ujung (terminal point)

Panjang vektor v = v = BA : menyatakan besarnya vektor atau

panjangnya vektor vdan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.

A

B v

POKOK BAHASAN :! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor! Aljabar vektor! Vektor posisi dalam bidang dan ruang! Perkalian antar vektor! Penggunaan vektor dalam geometri

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

Ada 3 jenis vektor :

a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya

dengan panjang dan arah tetap.

b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang

garis kerjanya, misalnya gaya yang

bekerja sepanjang garis lurus.

c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat

yang menunjukkan posisi tertentu.

Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya

orang bekerja dengan vektor bebas.

1.2. Aljabar Vektor

Vektor nol (null vector)

Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak

tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)

Kesamaan 2 vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang

sama.

Kesejajaran 2 vektor

Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,

arahnya bisa sama atau berlawanan.

Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran

genjang atau aturan segi banyak (poligon)

Misalnya:

a.

CBA =+

atau

A

B

A

C

AC

B

B

2

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 3Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

b. DCBAE +++=

c. 0EDCBA =++++

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak

tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

Penggandaan vektor dengan skalar

Jika m = besaran skalar

dan A = vektor yang panjangnya | A |

maka :

m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya

sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan

dengan arah vektor A jika m negatif

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari

vektor yang mengurangi

D

A

C

B

A

CB

D

E

E

A B

C

D

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 4Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

Jadi: )B(ABA +=

BAC =

Jika A = B maka 0BA =

Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor

Jika C ,B ,A adalah vektor dan m, n adalah skalar maka

1. BA + = AB + (komutatif terhadap jumlahan)

2. )C B(A ++ = C )BA( ++ (asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor 0 sehingga: AA0 0A =+=+ (ada elemen netral)

4. Terdapat vektor A sehingga: 0 )A(A =+ (ada elemen invers)

5. (mn) A = )Am(n (asosiatif terhadap perkalian)

6. )BA(m + = BmAm + (distributif terhadap perkalian)

7. (m + n) A = AnAm + (distributif terhadap perkalian)

8. )A( 1 = A (ada invers dalam perkalian)

2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang

Teorema Dasar Dalam Vektor :

Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai

kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan

vektor nol.

Atau:

C = BnAm + dengan m, n adalah skalar yang tunggal

A

B

A

BB

A

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 5Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

Bukti :

21 OPOPOPC +==

1OP paralel dengan A sehingga 1OP = Am

C = Am + Bn2OP paralel dengan B sehingga 2OP = Bm

Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal

maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :

C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B

(m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0

Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

m1 - m2 = 0 m1 = m2

n1 - n2 = 0 n1 = n2

Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),

sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :

D = m1 A + m2 B + m3 C

dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor

nol dan tidak sebidang.

Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent

linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0

Kejadian ini akan terjadi jika :

1. A dan B merupakan vektor nol atau

2. A dan B paralel (sejajar)

A

1P P

2PO B

C

DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

Program Semi Que 6Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya

Contoh :

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah

segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan

1/2 dari panjang