Diferensial & OptimalisasiDiferensial Fungsi MajemukOptimalisasiPenerapan dalam ekonomi

Parsial Diferensial•Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu

variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunanJika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx

•Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam, tergantung jumlah variabel bebasnya

Parsial Diferensial•Jika y = f(x, z)

dan disebut derivatif parsial, dan disebut diferensial parsial, sedangkan dy disebut diferensial total

•Jika p = f(q, r, s)

dzz

dydxxydy

xy

zy

dx

xy

dz

zy

dsspdr

rpdq

qpdp

Parsial Derivatif•y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3,

…, n) adalah variabel yg independen satu sama lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa mempengaruhi variabel lainnya (variabel lainnya konstan)

• Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1 sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka kuosien diferensi dapat ditulis:

1

3213211

1

),...,,,(),...,,,(x

xxxxfxxxxxfxy nn

Parsial Derivatif•Derivative y terhadap x1 sebagaimana

contoh diatas disebut sebagai derivatif parsial dan dilambangkan dengan:

•Fungsi turunannya (derivative) adalah:

101 1

limxy

xy

x

1xy

Contoh (2): Derivative Parsial•Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2

dari fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x2

2

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1 adalah:

turunan terhadap x2:

211

6 xxxy

121

8 xxxy

Contoh (3): Derivative Parsial•Carilah turunan parsial terhadap u dan v

dari fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)dengan menganggap v konstan, turunan terhadap u adalah:

turunan terhadap v:

122623143 vuvuuuy

4223042 uvuuvy

Contoh (4): Derivative Parsial•Carilah turunan parsial terhadap u dan v

dari fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)dengan menganggap v konstan, turunan terhadap u adalah:

turunan terhadap v:

22

2

22

2

3

943

3

22333

vu

vuvu

vu

uvuvuuy

2222

2

3

92

3

32332

vu

uu

vu

vuvuvy

Derivatif dari Parsial Derivatif•Sama seperti diferensial fungsi sederhana,

derivatif fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali

•Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka turunan pertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

22 683 zxzxxy

812410 2

xzxz

zy

zxx

y 862

2

zxzxy 128

2

xzy 12102

2

zxxzy 128

2

1a

1b

2a

2b

1 2

Derivatif dari Parsial Derivatifturunan ke-3:

63

3

xy

82

3

zx

y

1aa

1ab

82

3

zx

y

122

3

zxy

1ba

1bb

03

3

zy

122

3

xz

y

2aa

2ab

122

3

xz

y

82

3

xzy

2ba

2bb

Nilai Ekstrim•Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik

ekstrimnya jika (necessary condition):

•Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai adalah maksimum atau minimum, maka (sufficient condition):

0xy 0

zydan

02

2

xy 02

2

zydan

02

2

xy 02

2

zydan

Maksimum

Minimum

Contoh (5): Titik Ekstrim•Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

60122 xxxy

50102 zz

zy

Contoh (5): Titik Ekstrim•Carilah titik ekstrim dari fungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan ymax = 16

022

2

xy 022

2

zy

Latihan•Carilah titik ekstrim dari fungsi:

p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!

Optimalisasi Bersyarat• Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan

dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atas suatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metode substitusi dan (2) metode Lagrange

• Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition)

• Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dari turunan keduanya (sufficient condition):Jika turunan kedua < 0, maka maksimumJika turunan kedua > 0, maka minimum

Metode Substitusi•Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala1)manipulasi fungsi kendala menjadi

persamaan salah satu variabel2)Substitusi persamaan tersebut kedalam

fungsi objektifitasnya3)Cari turunan pertama dari fungsi

tersebut (untuk mencari nilai ekstrim)4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari

turunan kedua sesuai dengan persyaratan

Contoh (6) Metode Substitusi•π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)•s.t. X + Y = 12 ..........

(2)•Rearrange (2): X = 12 – Y ……….

(3)•Substitusi (3) ke (1):

=80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y– 3Y2 + 100Y

=960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y+ Y2 – 3Y2 + 100Y

=–4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

Contoh (6) Metode Substitusi•Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY =

0–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7

•Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5•Profit (π):

π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)= $868

•Jenis titik ekstrim:d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum

Metode Lagrange•Jika fungsi objektif:

z = f(x, y)s.t. u = g(x, y) → fungsi kendalamaka:L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u) Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0

(necessary condition) Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0

dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient condition)

Contoh (7) Metode Lagrange•π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...…

(1)•s.t. X + Y =

12 .......... (2)•Fungsi Lagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ(X + Y – 12)

•Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan pada saat f’(z) = 0:0480 YXXL ………. (3)

Contoh (7) Metode Lagrange

•Persamaan (3) dikurangi (4):80 – 4X – Y + λ = 0100 – X – 6Y + λ = 0 –20 – 3X + 5Y = 0

01006 YXYL ………. (4)

012 YXL

………. (5)

………. (6)

Contoh (7) Metode Lagrange• Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6): 3X + 3Y – 36 = 0

–3X + 5Y – 20 = 0 8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7 X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5

• π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868• Jenis titik ekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0 d2π/dY2 = -8 < 0

• Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:λ = –5 – 42 + 100 = –53

titik esktrim maksimum

Latihan•Carilah titik ekstrim dari fungsi:

z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai ekstrim fungsi tersebut!

Penerapan dalam Ekonomi

Permintaan Marjinal•Apabila 2 macam barang mempunyai

hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut

•Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:

a

a

PQd

Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa

b

a

PQd

Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb

a

b

PQd

Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa

b

b

PQd

Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb

Elastisitas Permintaan Parsial

•Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:1) Barang a

2) Barang bb

b

b

b

b

bb Qd

PP

QdP

Qdd

%

%

a

a

a

a

a

aa Qd

PP

QdP

Qdd

%

%

Elastisitas Permintaan Parsial

•Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya:1) Elastisitas silang barang a dengan barang b

2) Elastisitas silang barang b dengan barang a

b

a

a

b

a

bba Qd

PP

QdP

Qd

%%

a

b

b

a

b

aab Qd

PP

QdP

Qd

%%

Elastisitas Permintaan Parsial

•Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika dan < 0 untuk Pa dan Pb tertentu,

maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya

Jika dan > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya

ab ba

ab ba

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang•Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan

sbb:Qda(Pa

2)(Pb3) – 1 = 0

Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0

•Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?

1) Elastisitas permintaan:manipulasi bentuk persamaan permintaan:

3232

1

baba

a PPPP

Qd 1331

baba

b PPPP

Qd

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang1) Elastisitas permintaan:

cari Qda’ dan Qdb’:

bentuk persamaan elastisitas permintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

332

ba

a

a PPP

Qd 23

ba

b

b PPP

Qd

22 3233

ba

aba

a

a

a

aa PP

PPPQdP

PQdd

11323

ba

bba

b

b

b

bb PP

PPPQdP

PQdd

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang2) Elastisitas silang:

cari turunan pertama atas a dan b:

bentuk persamaan elastisitas silangnya:

Hubungan kedua barang adalah komplementer

143

ba

a

b PPP

Qd423

ba

b

a PPP

Qd

33 3242

ba

bba

a

b

b

aab PP

PPPQdP

PQd

33 1314

ba

aba

b

a

a

bba PP

PPPQdP

PQd

Fungsi Biaya Gabungan•Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2

barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB) maka:Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)

•Fungsi keuntungannya:П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

Fungsi Biaya Gabungan•Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

•Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

0

AQ0

BQ

02

2

AQ02

2

BQ

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan•Biaya total yg dikeluarkan sebuah

perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:C = QX

2 + 3QY2 +QXQY

Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20

•Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?

•Berapakah besarnya keuntungan maksimum?

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan•Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar

keuntungan maksimum?RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY

R = 7QX + 20QY

П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY

2 – QXQY

7 – 2(20 – 6QY) – QY = 033 – 11QY = 0 → QY = 3QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

027

YX

XQQ

Q0620

XYY

QQQ

Contoh (9) Fungsi Biaya GabunganJika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:

•Besarnya keuntungan maksimum:П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)П = 37

•Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:MRX = MCX dan MRY = MCY

022

2

XQ062

2

YQ

MU dan Keseimbangan Konsumsi•Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg

dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:U = f(q1, q2, q3, …, qn )

•Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2 macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya: U = f(x, y)Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan kurva indiferensi (indifference curve)—kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama

MU dan Keseimbangan Konsumsi•Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y

merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:

•Budget Line (garis anggaran):garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:M = xPx + yPy

xU

Utilitas marjinal berkenaan dengan barang X

yU

Utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y

MU dan Keseimbangan Konsumsi•Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan

atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen

•Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M) 0,

xx PyxfxL 0,

yy PyxfyL

MU dan Keseimbangan Konsumsi•Manipulasi Lx dan Ly:

•Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama

x

xxx P

yxfPyxfxL ,0,

y

yyy P

yxfPyxf

yL ,

0,

y

y

x

x

Pyxf

Pyxf ,,

y

Y

x

X

PMU

PMU

Contoh (10) Utilitas Optimum• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi

barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:U = x2y3

Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen

mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13

unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya? Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan memberikan tingkat kepuasan optimum

Contoh (10) Utilitas Optimum•Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap

barang

•Berapakah utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

32xyxU

223 yx

yU

6151613)14(2 3

xU 9937213143 22

yU

Contoh (10) Utilitas Optimum•Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X

dan 13 unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?

•Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:

5099372

2561516

y

y

x

x

PMU

PMU

503

252 223 yxxy

PMU

PMU

y

y

x

x

223223 34322 yxxyyxxy

xyx

xyy

43

43 2

2

3

Contoh (10) Utilitas Optimum•Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan

utilitas:

•Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:

x = 16, makaUtilitas maksimum:

010005025 yxL

1601000435025

xxx

121643

yy

4423681216 3232 yxu

MP dan Keseimbangan Produksi•Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan xj

= (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:P = f(x1, x2, x3, …, xn )

•Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen hanya menggunakan 2 macam input, K dan L, maka fungsi produksinya: P = f(k, l)Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan kurva isoquant—kurva yg menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang memberikan tingkat produksi yang sama

MP dan Keseimbangan Produksi• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L

merupakan fungsi produk marjinal parsialnya:

• Isocost:garis yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika M adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga input K dan L maka:M = K x PK + L x PL

kP

Produksi marjinal berkenaan dengan input K

lP

Produksi marjinal berkenaan dengan input Y

MP dan Keseimbangan Produksi•Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau

tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni tingkat produksi maksimum dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination)—tercapai pada saat kurva isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost

•Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M) 0,

KK PLKfKZ 0,

LL PLKfLZ

MP dan Keseimbangan Produksi• Manipulasi Lx dan Ly:

• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:

Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing input terhadap harganya adalah sama

K

KKK P

LKfPLKfKZ ,0,

L

LLL P

LKfPLKfLZ ,0,

L

L

K

K

PLKf

PLKf ,,

L

L

K

K

PMU

PMP

Fungsi Produksi Cobb-Douglas•Dinyatakan dengan:

dimana:A : Total factor productivityK : CapitalL : Laborα dan β : elastisitas output

•Jika: α + β = 1 → constant return to scale α + β > 1 → increasing return to scale α + β < 1 → decreasing return to scale

LAKP

Contoh (11) Utilitas Optimum•Seorang produsen mencadangkan Rp 96

untuk membeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap input harus digunakan agar produksi optimum dan berapakah produksi optimum tersebut?