ANALISIS VEKTOR

Aljabar Vektor

Operasi vektor

Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah

perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang

hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan,

kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang dinyatakan sebagai vektor akan

ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya ( A , B , dan seterusnya), sedangkan skalar

dinyatakan dengan huruf biasa. Besar (nilai) dari suatu vektor A dapat dituliskan ∣A∣

atau dengan notasi skalar, A .

Gambar 1

Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah

sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut.

Minus A (yaitu �A ) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti A , tetapi

pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah, tetapi

tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah

utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4

km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat

digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah.

halaman 1

A�A

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 2

Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok:

(1) Penjumlahan dua vektor. Tempatkan ekor B pada kepala A sehingga dapat

diperoleh jumlah vektor AB , yaitu vektor dari ekor A hingga kepala B (gambar 2).

Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika B ditukar dengan A pada proses di

atas, maka hasilnya akan tetap sama:

AB=B A .

Gambar 2

Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif:

AB C= ABC .

Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya:

A�B= A�B .

Gambar 3

(2) Perkalian dengan sebuah skalar. Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k

positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak

berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.

A

B

B A

A

B

B A

A

�B

A�B

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 3

Perkalian ini bersifat distributif:

k AB =k AkB .

Gambar 4 Gambar 5

(3) Perkalian titik dua vektor. Perkalian titik didefinisikan oleh

A⋅B=ABcos , (1)

dengan adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya saling bertemu

(gambar 5). Perhatikan bahwa A⋅B menghasilkan sebuah skalar sehingga perkalian titik

ini sering juga disebut perkalian skalar. Perkalian ini bersifat komutatif,

A⋅B=B⋅A ,

dan distributif,

A⋅BC = A⋅B A⋅C . (2)

Secara geometri, A⋅B adalah perkalian dari A dengan proyeksi B pada A (atau

sebaliknya perkalian B dengan proyeksi A pada B ). Jika dua vektor sejajar, maka

A⋅B=AB . Untuk sembarang vektor A , secara khusus berlaku

A⋅A=A2 . (3)

Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka A⋅B=0 .

(4) Perkalian silang dua vektor. Perkalian silang didefinisikan oleh

A×B=ABsin n , (4)

A

2 A

A

B

A

B

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 4

dengan n adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak lurus bidang

yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor A dan B . Namun ternyata ada dua arah yang

tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi masalah ini,

digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat jari selain ibu jari agar

menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar

keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah

dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa A×B akan menghasilkan

sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan perkalian vektor.

Gambar 6. A×B mengarah keluar bidang kertas, B×A mengarah masuk bidang kertas.

Perkalian silang bersifat distributif,

A×BC = A×B A×C , (5)

tetapi tidak komutatif, justru

A×B=�B× A . (6)

Secara geometri, ∣A×B∣ adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh A dan

B (gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara

khusus A× A=0 untuk sembarang vektor A .

Bentuk komponen

Pada bagian sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi vektor dalam bentuk yang

masih kabur, yakni tanpa merujuk pada sistem koordinat tertentu. Dalam praktik biasanya

cukup mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dalam sistem koordinat tertentu.

Misalkan pada koordinat kartesian: i , j , dan k masing-masing adalah vektor satuan

A

B

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 5

yang sejajar dengan sumbu-x, y, dan z (gambar 7). Sebuah vektor sembarang A dapat

dinyatakan dalam suku vektor basis tersebut (gambar 8), yaitu

A=Ax iA y jAz k .

Gambar 7 Gambar 8

Bilangan Ax , A y , dan Az disebut komponen dari A . Tafsiran geometri dari

komponen vektor tersebut adalah proyeksi A sepanjang tiga sumbu koordinat. Dengan

hasil ini, keempat operasi vektor yang telah dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang

dalam bentuk komponen-komponennya:

(1) Penjumlahan dua vektor:

AB=AxBx iA yB y jAzBz k . (7)

(2) Perkalian dengan sebuah skalar:

k A=k Ax ik A y jk Az k . (8)

(3) Perkalian titik dua vektor:

i⋅i=j⋅j=k ̇k=1; i ̇j=i⋅k=j⋅k=0 .

A⋅B=Ax BxA y B yAzBz .

A⋅A=Ax2A y

2Az2 ,

⇒ A=Ax2A y2Az2 .

(9)

(10)

(11)

x

y

z

i

jk

x

y

z

A x i

A y j

Az kA

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 6

(4) Perkalian silang dua vektor:

i×i=j×j=k×k=0 ,

i×j=�j×i=k ,

j×k=�k×j=i ,

k×i=�i×k=j .

A×B=∣i j kAx A y AzBx B y Bz

∣ .

(12)

(13)

Perkalian tripel

Perkalian titik dan silang antara 3 buah vektor, A , B , dan C dapat menghasilkan

sesuatu yang berarti dalam bentuk A⋅B C , A⋅B×C , dan A×B×C . Aturan-

aturan yang berlaku adalah:

A⋅B C≠ A B⋅C .

A⋅B×C =B⋅ C× A =C⋅ A×B ,

A⋅B×C =∣Ax A y AzBx B y BzC x C y C z

∣ .A×B×C ≠ A×B×C ,

A×B×C = A⋅C B� A⋅B C

A×B ×C= A⋅C B�B⋅C A .

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Perkalian A⋅B×C disebut dengan perkalian tripel skalar dan dapat ditulis [ A B C ] .

Secara geometri, perkalian tripel skalar akan menghasilkan besar volume ruang yang

dibentuk oleh A , B , dan C sebagai sisi-sisinya. Volume ruang tersebut akan bernilai

positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di dalam perkalian tripel skalar.

Sementara itu, perkalian A×B×C disebut dengan perkalian tripel vektor karena hasil

akhirnya adalah sebuah vektor.

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 7

Posisi, perpindahan, dan jarak

Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dalam koordinat kartesian

x , y ,z . Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asal disebut dengan vektor

posisi:

r=x i y jz k . (19)

Besarnya

r=x 2 y2z 2 , (20)

adalah jarak dari titik asal, dan

r=rr=

x i y jz k

x 2 y 2z 2, (21)

merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar.

Bagian kecil vektor perpindahan, dari x , y ,z hingga xdx , ydy ,zdz adalah

d r=dx idy jdz k . (22)

Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang

melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r ' (tempat sumber medan berada) dan titik

medan r yang sedang ditinjau besar medannya. Akan memudahkan jika sejak awal

dibuatkan notasi baru untuk menyatakan posisi relatif dari titik sumber ke titik medan.

Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r (gambar 9):

r=r�r ' . (23)

Gambar 9. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.

r

r '

r

titik sumber

titik medan

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 8

Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah

r=∣r�r '∣ , (24)

dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):

r=r

r=r�r '∣r�r '∣

. (25)

Kalkulus Vektor

Limit, kontinuitas, dan turunan fungsi vektor

Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuah vektor A , maka A disebut

fungsi dari u dan dinyatakan dengan A u . Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan

menjadi A u =A x u iA y u jAz u k .

Konsep fungsi ini dapat diperluas dengan mudah. Jika setiap titik x , y ,z berkaitan

dengan sebuah vektor A , maka A adalah fungsi dari x , y ,z yang dinyatakan dengan

A x , y ,z =Ax x , y , z iA y x , y , z jAz x , y ,z k . Dapat dikatakan vektor A

ini mendefinisikan sebuah medan vektor dan serupa dengannya x , y ,z mendefinisikan

medan skalar.

Aturan limit, kontinuitas, dan turunan untuk fungsi vektor mengikuti aturan yang sama

seperti skalar.

(1) Fungsi vektor yang dinyatakan dengan A u dikatakan kontinu pada u0 jika untuk

setiap bilangan positif dapat ditemukan suatu bilangan positif sehingga

∣A u � A u0∣ dengan ∣u�u0∣ . Pernyataan ini ekuivalen dengan

limu u0

Au = A u 0 .

(2) Turunan dari A u didefinisikan d Adu= limu0

A u u � A u u

, dengan syarat

limitnya ada. Pada kasus A u =A x u iA y u jAz u k dapat diperoleh

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 9

d Adu=

dAx

dui

dA y

duj

dAz

duk . (26)

Turunan yang lebih tinggi seperti d 2 A /du 2 didefinisikan dengan cara yang serupa.

(3) Jika A x , y ,z =Ax x , y , z iA y x , y , z jAz x , y ,z k , maka

d A=∂ A∂x

dx∂ A∂ y

dy∂ A∂ z

dz . (27)

adalah diferensial total dari A .

(4) Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau vektor dengan vektor mengikuti

aturan yang sama seperti pada fungsi skalar. Namun perlu diingat ketika kita

melibatkan perkalian silang maka urutan penulisan penting untuk diperhatikan karena

terkait dengan arah dari hasil perkalian tersebut.

Beberapa contoh diantaranya:

d

du A=

d Adu

ddu

A ,

∂∂ y A⋅B= A⋅

∂B∂ y∂A∂ y⋅B , (urutan tidak masalah)

∂∂ z A×B =A×

∂ B∂ z∂ A∂z×B (pertahankan urutan A dan B ).

(28)

(29)

(30)

Gradien, Divergensi, dan Curl

Misalkan sebuah operator vektor ∇ dalam koordinat kartesian didefinisikan

∇=i ∂∂ xj ∂

∂ yk ∂

∂ z . (31)

Jika x , y ,z dan A x , y ,z memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada

daerah tertentu, maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut:

gradien: grad= ∇=∂∂x

i∂∂ y

j∂∂z

k (32)

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 10

divergensi: div A= ∇⋅A=∂Ax∂ x

∂ A y∂ y

∂ Az∂z

curl: curl A= ∇× A=∣i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

Ax A y Az∣

(33)

(34)

Jika turunan parsial dari fungsi-fungsi A , B , U , dan V diasumsikan ada, maka

1. ∇UV = ∇U ∇V atau grad UV =gradUgradV

2. ∇⋅ AB= ∇⋅A∇⋅B atau div AB=div Adiv B

3. ∇× AB = ∇× A ∇×B atau curl AB =curl Adiv B

4. ∇⋅U A = ∇U ⋅AU ∇⋅A

5. ∇×U A= ∇U ×AU ∇× A

6. ∇⋅ A×B=B⋅ ∇× A� A⋅ ∇×B

7. ∇× A×B =B⋅∇ A�B ∇⋅A� A⋅∇ BA ∇⋅B

8. ∇ A⋅B =B⋅∇ A A⋅∇BB× ∇× A A× ∇×B

9. ∇⋅ ∇U =∇2U=

∂2U

∂x 2∂2U

∂ y 2∂2U

∂z 2 disebut Laplacian dari U

dan ∇2=∂2

∂x2

∂2

∂ y2

∂2

∂ z2 disebut dengan operator Laplacian.

10. ∇× ∇U =0 . Curl dari gradien U adalah nol.

11. ∇⋅ ∇× A =0 . Divergensi dari curl A adalah nol.

12. ∇× ∇× A = ∇ ∇⋅A �∇ 2 A

Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya

dapat ditafsirkan secara geometri.

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 11

Tafsiran Gradien. Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk

menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel,

katakanlah temperatur dalam ruang, T x , y ,z , yang merupakan sebuah skalar.

Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total

dT=∂T∂x dx∂T∂ y dy∂T∂ z dz . (35)Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara dengan

dT=∂T∂x i∂T∂ y j∂T∂z k⋅dx idy jdz k= ∇ T ⋅d r ,

(36)

atau

dT= ∇ T⋅d r =∣∇T∣∣d r ∣cos , (37)

yang berarti

dT

dr=∣∇ T∣cos= ∇ T⋅u , (38)

dengan adalah sudut antara ∇ T dan d r , kemudian u adalah suatu vektor satuan

yang menyatakan arah gerak kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr )

akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan ∇ T (yaitu saat =0 ).

Bayangkan kita berada pada sebuah lereng bukit. Lihat ke sekeliling dan temukan

bagian yang paling curam. Itu adalah arah dari gradien. Sekarang ukur kemiringan pada

arah tersebut. Itu adalah besar dari gradien. Lalu bagaimana jika gradiennya nol? Jika

∇ T=0 pada x , y ,z , maka dT=0 untuk perpindahan yang kecil di sekitar titik

x , y ,z . Keadaan ini akan berarti sebuah titik stasioner dari fungsi T x , y ,z . Titik

tersebut dapat berupa nilai maksimum (puncak), minimum (lembah), daerah pelana, atau

sebuah permukaan berbentuk seperti “bahu”.

Tafsiran Divergensi. Sesuai namanya, divergensi ∇⋅A menyatakan ukuran

penyebaran vektor A . Perhatikan gambar 10 sebagai contoh pada kasus dua dimensi.

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 12

Fungsi pada gambar 10(a) memiliki divergensi yang sangat besar dan positif (jika panahnya

mengarah ke dalam berarti nilainya negatif), fungsi pada gambar 10(b) memiliki divergensi

nol, dan fungsi pada gambar 10(c) memiliki divergensi positif yang nilainya agak kecil.

(a) (b)

(c)

Gambar 10

Tafsiran Curl. Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti geometrinya yang

menyatakan ukuran rotasi pada sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar

10 memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi

pada gambar 11 memiliki curl yang sangat besar berarah pada sumbu-z.

Gambar 11

x

y

z

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 13

Koordinat lengkung

Misalkan persamaan transformasi

x= f u 1, u2 , u3 , y= g u 1, u2 , u3 , z=h u1 ,u 2 ,u 3 (39)

(dengan asumsi f, g, h kontinu, memiliki turunan parsial kontinu, dan memiliki sebuah nilai

invers tunggal) membentuk korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam sistem

koordinat xyz dan u1 u 2u3 . Dalam notasi vektor, persamaan (39) dapat dituliskan

r=x i y jz k= f u1 ,u 2 ,u 3i g u1 ,u 2 ,u 3 jh u 1, u2 ,u 3 k . (40)

Sebuah titik P (gambar 12) dengan demikian dapat didefinisikan tidak hanya oleh

koordinat x , y ,z tetapi juga oleh koordinat u 1, u2 , u3 . Kita sebut u 1, u2 , u3

sebagai koordinat lengkung dari suatu titik.

Gambar 12

Dari persamaan (40), diperoleh

d r=∂r∂ u1

du 1∂r∂ u 2

du 2∂r∂ u 3

du 3 . (41)

Dalam sistem koordinat lengkung ini, bentuk diferensial dari panjang busur suatu kurva

dapat dituliskan

ds2= g11du1

2 g22 du22 g 33du3

2 , (42)

dengan

y

z

P

r

x

e1 e2

e3

u 2

u 3

u 1

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 14

g11=∂r∂x⋅∂r∂x

, g22=∂r∂ y⋅∂r∂ y

, g22=∂r∂ z⋅∂r∂ z

. 43)

Vektor ∂r /∂u 1 bersinggungan dengan koordinat u1 pada P. Jika e1 merupakan

sebuah vektor satuan pada arah tersebut, maka ∂r /∂u 1=h1 e 1 dengan h1=∣∂r /∂u 1∣ .

Serupa dengannya, ∂r /∂ u 2=h2 e 2 dan ∂r /∂u 3=h3 e3 dengan h2=∣∂r / ∂ u2∣ dan

h3=∣∂r /∂u 3∣ . Dengan demikian,

d r=h1du 1 e 1h2du2 e 2h3du3 e 3 , (44)

Besaran h1 ,h2 , h3 sering disebut sebagai faktor skala.

Jika e1 , e 2 , e3 saling tegak lurus pada titik P, koordinatnya dikatakan ortogonal. Oleh

karena itu, kita temukan kuadrat panjang busur adalah

ds2=d r⋅d r=h1

2du1

2h 22du2

2h32du3

2 , (45)

yang bersesuaian dengan panjang diagonal ruang balok pada gambar 12, dan elemen

volumnya ( d ) dapat ditulis

d =h1h2h3du1du 2du3 . (46)

Misalkan adalah sebuah fungsi skalar dan A=A1 e 1A2 e 2A3 e3 adalah fungsi

dalam koordinat lengkung ortogonal u1 ,u 2 ,u 3 , maka gradien, divergensi, curl, dan

laplacian-nya adalah:

1. ∇=grad=1

h1

∂∂u 1

e11

h2

∂∂ u2

e21

h3

∂∂u3

e 3

2.∇⋅A=div A=

1

h1 h2 h3 [∂∂ u1

A1 h2 h3∂∂u 2

h1 A2h 3∂∂u 3

h1 h2 A3 ]

3. ∇× A=curl A=1

h1h2h3∣h1 e1 h2 e2 h3 e 3∂∂ u1

∂∂ u2

∂∂u3

A1 A2 A3∣

4. ∇2= laplacian=1

h1h2 h3 [ ∂∂u 1h2 h 3h1

∂∂ u1 ∂∂ u2

h1h3h2

∂∂ u2 ∂∂ u3

h1h2h3

∂∂ u3 ]

X

Y

Z

r

ρxy

φO

z

P(ρ, θ, z)

X

Y

Z

r

ρx

y

φO

z

θ

P(r, θ, φ)

î

ĵ

k̂

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 15

Keempat bentuk tersebut* akan tereduksi menjadi ekspresi biasa dalam koordinat

kartesian jika u1 , u2 ,u3 digantikan oleh x , y ,z ; lalu e1 , e 2 , e3 diganti dengan i , j , k ; dan

h1=h2=h3=1 .

Bentuk khusus koordinat lengkung ortogonal lain diantaranya adalah koordinat silinder

dan koordinat bola.

Gambar 13 Gambar 14

Koordinat Silinder , ,z . Perhatikan gambar 13.

Persamaan transformasi: x=cos , y=sin , z=z ,

dengan ≥0 ,0≤2 ,�∞z∞ .

Faktor skala: h1=1 ,h 2= ,h3=1 .

Elemen panjang busur: ds2=d 22d 2dz 2 .

Elemen volum: d =d d dz

Perhatikan bahwa dari sini dapat juga diperoleh hasil lain untuk koordinat polar dalam

bidang dengan mengabaikan ketergantungan pada z. Sebagai contoh dalam kasus

koordinat polar tersebut, ds 2=d 22 d 2 ; sedangkan elemen volum digantikan oleh

elemen luas, da=d d .

* Lihat buku Mathematical Methods in The Physical Sciences (Mary L. Boas) untuk penurunan lengkapnya.

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 16

Koordinat Bola , , . Perhatikan gambar 14.

Persamaan transformasi: x=r sin cos , y=r sin sin ,z=r cos ,

dengan r≥0 ,0≤≤ , 0≤2 .

Faktor skala: h1=1 ,h 2=r ,h3=r sin .

Elemen panjang busur: ds2=dr 2r 2d 2r 2 sin2 d 2 .

Elemen volum: d =r 2sin dr d d .

Integral Garis, Permukaan, dan Volum

Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral,

diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan

(atau fluks), dan integral volum.

Integral Garis. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk

I=∫a

b

v⋅d r , (47)

dengan v adalah sebuah fungsi vektor, d r adalah elemen vektor perpindahan (pers. 22),

dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b . Jika lintasan

integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran:

∮v⋅d r .

Integral Permukaan. Sebuah integral permukaan I didefinisikan

I=∫S

v⋅d a ,(48)

dengan v adalah sebuah fungsi vektor dan d a adalah elemen vektor luas yang arahnya

tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti

ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran:

∮v⋅d a .

Untuk integral permukaan biasa (pers. 48) , dapat ditemui dua arah yang tegak lurus

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 17

permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun

biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk kasus integral

permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah

elemen luas, d a .

Integral Volum. Sebuah integral volum I dinyatakan

I=∫V

T d ,(49)

dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan d adalah elemen kecil dari volum. Untuk

koordinat kartesian,

d =dx dy dz .

Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari

titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total.

Kadang akan ditemui juga bentuk integral volum dari suatu fungsi vektor:

∫v d =∫ vx iv y jv z kd =i∫ v x d j∫v y d k∫ v z d .

Teorema fundamental

Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral

yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan

operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya.

Teorema Gradien: ∫a

b

∇ T ⋅d r=T b �T a

Teorema Curl (Stokes): ∫S

∇×v ⋅d a=∮v⋅d r

Teorema Divergensi (Gauss): ∫V

∇⋅v d =∮S

v⋅d a

(50)

(51)

(52)

Dari pers. 50 s.d. 52 dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan

integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis;

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 18

dan teorema divergensi melibatkan operasi divergensi, integral volum, dan integral

permukaan.

Teorema potensial (skalar dan vektor)

Teorema 1. Jika curl dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F

dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar V :

∇×F=0 ⇔ F=�∇V , (53)

atau setara dengan pernyataan berikut:

∫a

b

F⋅d r tidak tergantung lintasan (konservatif) untuk setiap titik-titik ujung yang

diberikan,

∮ F⋅d r =0 untuk sembarang loop tertutup.

Teorema 2. Jika divergensi dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun,

maka F dapat dinyatakan sebagai curl dari sebuah potensial vektor A :

∇⋅F=0 ⇔ F= ∇× A , (54)

yang juga setara dengan:

∫ F⋅d a tidak tergantung permukaan untuk setiap batas tertutup yang diberikan,

∮ F⋅d a=0 untuk sembarang permukaan tertutup.

KUMPULAN SOAL-JAWAB

SOAL 1

Misalkan suatu vektor C seperti pada gambar di samping. Turunkan

aturan cosinus dengan memanfaatkan perkalian titik dari vektor C pada

dirinya sendiri dengan menyesuaikan variabel pada A dan B !A

B

C

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 19

Jawab:

Dari gambar dapat kita tentukan: C= A�B , kemudian

C⋅C= A�B⋅ A�B = A⋅A� A⋅B�B⋅AB⋅B ,

atau

C2=A2B2�2 AB cos (aturan cosinus).

SOAL 2

Tentukan sudut antara dua buah diagonal ruang suatu kubus!

Jawab:

Berdasarkan gambar di samping,

A=�1 i�1 j1 k ; A=3

B=1 i1 j1 k ; B=3

A⋅B=�1�11=1=ABcos=33cos

⇔cos=1

3,

sehingga =arc cos13 ≈70,5288o .SOAL 3

Dengan menggunakan perkalian silang, tentukanlah

komponen vektor satuan yang tegak lurus bidang seperti

ada gambar!

Jawab:

Perkalian silang antara dua vektor sembarang yang menjadi

sisi-sisi bidang pada gambar akan menghasilkan vektor

yang tegak lurus bidang tersebut. Sebagai contoh, ambil bagian alas dan sisi sebelah kiri

masing-masing menjadi vektor A dan B :

x

y

z

1

1

1θ

Ar

Br

x

y

z

1

3

2

n̂

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 20

A=�1 i2 j0 k ; B=�1 i0 j3 k

A×B=∣i j k�1 2 0�1 0 3∣=6i3 j2 k .

Vektor A×B ini arahnya sudah sesuai dengan n , tetapi besarnya belum cocok (ingat,

vektor satuan harus bernilai 1 satuan). Untuk menghasilkan vektor satuan n , bagi saja

A×B dengan besarnya: ∣A×B∣=3694=7 . Dengan demikian,

n=A×B

∣A×B∣=6

7i

3j2

7k .

SOAL 4

Carilah vektor posisi relatif r dari titik sumber (2, 8, 7) ke titik medan (4, 6, 8). Tentukan

besarnya dan bentuk vektor satuan r !

Jawab:

r=r�r '=4 i6 j8 k �2 i8 j7 k =2 i�2 j1 k .

∣r∣=441=3 , sehingga r=2

3i�

2

3j

1

3k .

SOAL 5

Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut:

(a) f x , y , z =x 2 y3z 4 ; (b) f x , y , z =x 2 y 3z 4 ; (c) f x , y , z =ex sin y lnz .

Jawab:

(a) ∇ f =2 x i3 y2 j4 z3 k

(b) ∇ f =2 x y 3z 4 i3 x 2 y2 z4 j4 x 2 y3 z4 k

(c) ∇ f =e x sin y ln z iex cos y ln z jex sin y 1z k

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 21

SOAL 6

Ketinggian dari suatu bukit (dalam satuan meter) diberikan oleh

h x , y =102 x y�3 x 2�4 y 2�18x28 y12 ,

dengan y adalah jarak (dalam km) sebelah utara, x adalah jarak ke timur kota Bandung.

(a) Di manakah puncak bukit tersebut berada?

(b) Berapa ketinggian bukit tersebut?

(c) Seberapa curam kemiringan (dalam satuan m/km) pada sebuah titik 1 km utara dan 1

km timur kota Bandung? Pada arah manakah kemiringan tercuram di titik tersebut?

Jawab:

(a) Tentukan gradien fungsi terlebih dahulu:

∇ h=10[2 y�6 x�18 i2 x�8 y28 j ] .

Untuk menentukan puncak bukit, gunakan syarat ∇ h=0 (puncak bukit merupakan

salah satu jenis titik stasioner):

∇ h=10[2 y�6 x�18 i2 x�8 y28 j ]=0 , menghasilkan sistem persamaan

linear dua peubah:

2 y�6 x�18=02 x�8 y28=0

} . Solusi dari sistem persamaan ini adalah x , y =�2 ,3 .

Dengan demikian puncak bukit tersebut berada pada 2 km sebelah barat dan 3 km

utara Bandung.

(b) Substitusikan x , y =�2 ,3 pada h x , y :

h �2, 3=10 �12�12�36368412=720 m .

(c) Substitusikan x , y =1, 1 pada ∇ h .

∇ h 1 ,1=10 [2�6�18i2�828 j ]=220 �ij .

∣∇ h∣=2202≈311 m/km , arahnya ke barat laut (135 derajat dari sumbu-x positif).

x

y

z

(1 , 1 , 1 )

O

x

y

z

(1 , 1 , 1 )

O

z = x2 = y2

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 22

SOAL 7

Misalkan r adalah sebuah vektor dari suatu titik tertentu x 0 , y 0 , z0 ke titik x , y ,z

dan r adalah panjangnya.

(a) Tunjukkan bahwa ∇ r2=2r

(b) Cari rumus umum untuk ∇ rn (dalam bentuk r , yaitu vektor satuan yang searah

dengan r )

Jawab:

r=x�x 0 i y� y 0 jz�z0 k

r=x�x 02 y� y 02z�z 0 2

r2=x�x 0

2 y� y 02z�z 0

2

(a)∇ r2= ∂

∂ x[x�x 0

2 y� y0 2z�z 0

2 ]i ∂∂ y[x�x 0

2 y� y 02z�z0

2] j

∂∂ z[x�x 0

2 y� y 02z�z0

2] k

=2x�x 0 i2 y� y 0 j2 z�z 0 k=2r (terbukti)

(b) ∂∂x rn =n rn�1

∂ r

∂x=n rn�112 1r 2 rx=n rn�1 r x , ( rx=x�x 0 )

∂∂ y rn =n r n�1 r y ,

∂∂z rn =n rn�1 rz ; sehingga ∇ rn =n rn�1 r .

SOAL 8

Ujilah kebenaran teorema gradien, menggunakan fungsi T=x24 x y2 y z3 dengan

titik-titik a=0, 0 ,0 , b=1 ,1, 1 dan dua lintasan berikut:

(a) (b)

(x0 , y0 , z0 )

(x, y, z)

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 23

Jawab:

Teorema gradien adalah: ∫a

b

∇ T ⋅d r=T b �T a .

Pada soal telah disebutkan T=x24 x y2 y z3 , sehingga

T a =0 ; T b =142=7 ; dan T b �T a =7 .

(a) Lintasan ini dapat dibagi menjadi 3 bagian,

- bagian 1, x :01 , y=z=dy=dz=0 . ∫ ∇ T ⋅d r 1=∫0

1

2 x dx=[x 2 ]01=1 .

- bagian 2, y :01 , x=1 , z=0 , dx=dz=0 . ∫ ∇ T ⋅d r 2=∫0

1

4 dy=[4 y ]01=4 .

- bagian 3, z :01 , x= y=1 , dx=dy=0 . ∫ ∇ T ⋅d r 3=∫0

1

6z 2dz=[2z 3]01=2 .

∫a

b

∇ T ⋅d r=∫ ∇ T ⋅d r 1∫ ∇ T ⋅d r 2∫ ∇ T ⋅d r 3=142=7 .

(b) ∇ T ⋅d r=2 x4 y dx4 x2z3dy6 y z 2dz .

Karena x :01; y=x , z=x 2 , dy=dx , dz=2 x dx , maka

∇ T ⋅d r=2 x4 x dx4 x2 x6 dx6 x x 4 dx=10x14 x 6 dx

∫0

1

∇ T ⋅d r=∫0

1

10x14 x 6 dx=[5 x 22 x7 ]01=52=7 .

SOAL 9

Uji kebenaran teorema divergensi untuk fungsi

v=x y i2 y z j3 x z k . Gunakan volum pada

gambar kubus di samping dengan panjang sisi 2 satuan!

Jawab:

Teorema divergensi adalah: ∫V

∇⋅v d =∮S

v⋅d a .

Cari dulu nilai ruas kiri: sesuai dengan soal, dapat diperoleh ∇⋅v= y2z3 x .

x

y

z

2

2

2

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 24

∫ ∇⋅v d =∫0

2

∫0

2

∫0

2

y2z3 x dx dy dz=48 .

Cek nilai ruas kanan dengan menggunakan penomoran permukaan berikut ini:

(I) d a1=dy dz i , x=2 ; ∫v⋅d a 1=∫0

2

∫0

2

2 y dy dz=2 [ y2 ]02=8 .

(II) d a 2=�dy dz i , x=0 ; v⋅d a 2=0 ; ∫v⋅d a 2=0 .

(III) d a3=dx dz j , y=2 ; ∫v⋅d a 3=∫0

2

∫0

2

4z dx dz=16 .

(IV) d a4=�dx dz j , y=0 ; v⋅d a 4=0 ; ∫v⋅d a 4=0 .

(V) d a5=dx dy k , z=2 ; ∫v⋅d a 5=∫0

2

∫0

2

6 x dx dy=24 .

(VI) d a6=�dx dy k , z=0 ; v⋅d a6=0 ; ∫v⋅d a 6=0 .

Jumlahkan seluruh integrasi (I) s.d. (VI), ternyata hasilnya adalah

∫v⋅d a=81624=48 (cocok dengan ruas kiri).

SOAL 10

Ujilah kembali kebenaran teorema divergensi untuk fungsi

v=r2cos rr

2cos �r 2cossin .

Gunakan bola berjari-jari R pada oktan pertama sebagai volum yang ditinjau!

x

y

z

(I )

(II )

(II I)(IV )

(V )

(V I)

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 25

Jawab:

Sesuai transformasi pada koordinat lengkung, divergensi

untuk koordinat bola dapat dituliskan

∇⋅v=1

r2∂∂ rr 2v r

1

r sin∂∂vsin

1

r sin

∂v∂

,

sehingga untuk soal ini diperoleh

∇⋅v=1

r2

∂∂ rr 2r 2 cos

1

r sin∂∂r 2cos sin

1

r sin∂∂

�r 2 cos sin

=1

r24 r

3cos

1

r sinr2coscos

1

r sin�r 2 cos cos

=r cossin

[4 sincos�cos]=4 r cos .

Kemudian hitung ruas kiri teorema divergensi dengan elemen volum dalam koordinat

bola, d =r 2 sindr d d :

∫ ∇⋅v d =∫∫∫ 4 r cosr 2sindr d d =4∫0

R

r2dr ∫

0

/ 2

cossind ∫0

/2

d

=R 4 12 2 =R4

4.

Sekarang cek ruas kanan, perrmukaan bola yang dimaksud terdiri dari 4 bagian:

(1) bagian lengkung, d a1=R2sin d d r ; r=R ; v⋅d a 1=R

2cosR 2sin d d

∫v⋅d a 1=R4∫0

/2

cossind ∫0

/2

d =R4122 =R4

4.

(2) kiri: d a 2=�r dr d ; =0 ; v⋅d a 2=r2cossinr dr d =0 ⇒ ∫ v⋅d a 2=0 .

(3) belakang: d a3=r dr d ; =2; v⋅d a3=�r

2cossinr dr d =�r 3cosdr d

∫v⋅d a 3=�∫0

R

r3dr ∫

0

/2

cosd =� 14 R 41=� 14 R4 .

x

y

z

R

R

R

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 26

(4) alas: d a4=r sin dr d ; =2; v⋅d a=r

2cosr dr d

∫v⋅d a 4=∫0

R

r3dr ∫

0

/2

cosd =1

4R

4.

Totalnya adalah: ∫v⋅d a=R4

40�

1

4R

41

4R

4=R 4

4 (cocok).

SOAL 11

Uji kebenaran teorema Stokes (curl) untuk fungsi v= y k

pada permukaan segitiga seperti gambar di samping!

Jawab:

Teorema Stokes adalah: ∫S

∇×v ⋅d a=∮v⋅d r

Cek ruas kanan, v⋅d r = y dz .

Ambil jalur yang berlawanan jarum jam pada garis-garis batas permukaan tertutup segitiga.

Ada 3 bagian garis pada segitiga tersebut:

(1) kiri: z=a�x ; dz=�dx ; y=0 ; sehingga ∫v⋅d r 1=0 .

(2) alas: dz=0 , sehingga ∫v⋅d r 2=0 .

(3) belakang (kanan): z=a�1

2y ; dz=

�12

dy ; y : 2a0 .

∫v⋅d r 3=∫2 a

0

y �12

dy =�1

2 [ y2

2 ]2 a0

=4 a

2

4=a 2

Totalnya dalam loop tertutup adalah ∮v⋅d r =00a 2=a 2 .

Sekarang cek ruas kiri: ∇×v=i .

∫ ∇×v ⋅d a= proyeksi permukaan segitiga pada bidang xy=1

2a 2a =a 2 (cocok).

x

y

z

(0 , 0 , a)

(a , 0 , 0 )

(0 , 2a , 0 )

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 27

SOAL 12

Misalkan F 1=x2 k dan F 2=x i y jz k . Hitung divergensi juga curl dari F 1 dan

F 2 . Manakah yang dapat dituliskan sebaga gradien dari skalar? Cari potensial skalar yang

cocok dengannya! Dan manakah yang dapat dinyatakan sebagai curl dari vektor? Cari

potensial vektor yang cocok dengannya!

Jawab:

∇⋅F 1=∂∂ x0 ∂

∂ y0 ∂

∂zx 2 =0; ∇⋅F 2=

∂x∂x∂ y∂ y∂z∂z=111=3 .

∇× F 1=∣i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

0 0 x2 ∣=�j ∂∂ x x 2=�2 x j ; ∇× F 2=∣

i j k∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

x y z∣=0 .

➔ ∇× F 2=0 , maka F 2 adalah gradien dari suatu skalar.

Potensial skalar yang memenuhi adalah V=�1

2x 2 y 2z2 sehingga F 2=�

∇V .

➔ ∇⋅F 1=0 , maka F 1 adalah curl dari suatu vektor.

Potensial vektor yang berkaitan dengan F 1 adalah A dengan syarat F 1=∇× A ,

menyebabkan ∂A y∂z �∂Az∂ y =∂Ax∂z �∂Az∂ x =0 ; ∂A y∂x

�∂Ax∂ y

=x 2 ⇒ A y=x3

3.

Dengan ketentuan ini dapat dipilih Ax=Az=0 sehingga A=x2

3j (tapi tidak unik).

Fungsi Delta Dirac (Pengayaan)

Misalkan ada suatu fungsi vektor v=1

r2r dalam koordinat bola. Pada setiap titik, v

mengarah radial keluar.

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 28

Jika seseorang mencari sebuah fungsi dengan divergensi positif yang sangat besar, maka

fungsi itulah contohnya. Akan tetapi, jika divergensinya dihitung dengan cara biasa

(koordinat bola), ternyata hasilnya tepat nol !

∇⋅v=1

r2

∂∂ r r 2 1r 2 =

1

r2

∂∂r1=0 .

Lebih aneh lagi jika kita coba uji kebenaran teorema divergensi dengan mengecek ruas

kanan teorema, yaitu dengan mengintegrasikan fungsi sepanjang permukaan bola berjari-

jari R yang berpusat pada titik asal koordinat:

∮v⋅d a=∫ 1R 2 r ⋅R 2sin d d r =∫0

sind ∫0

2

d=4 ,

padahal ruas kiri teorema divergensi, ∫ ∇⋅v d =0 .

Mana yang benar? Ruas kiri atau ruas kanan? Apakah teorema divergensi telah salah?

Permasalahan rupanya disebabkan oleh titik r=0 di mana v nilainya meledak secara

liar (pembagian dengan nol akan menghasilkan nilai tak hingga). Divergensi v ( ∇⋅v )

sebenarnya memang bernilai nol, kecuali di r=0 . Oleh karena itu, perlu didefinisikan

fungsi baru yang dapat mengakomodasi sifat divergensi ini. Patokan yang digunakan untuk

adalah nilai teorema divergensi untuk kasus ini haruslah 4 (mengacu pada ruas kanan).

Fungsi spesial ini dikenal dengan nama fungsi delta Dirac.

Fungsi delta Dirac 1D

Gambar 15. Fungsi delta Dirac, luas daerah di bawah kurva bernilai 1 satuan.

x�a

xa

luasnya 1 satuan

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 29

Definisi:

x�a ={0,∞ , jika x≠ajika x=a } dengan ∫�∞∞

x�a dx=1 .(55)

Sifat-sifat:

f x x�a = f a x�a dan ∫�∞

∞

f x x�a dx= f a .(56)

Fungsi delta Dirac 3D

Definisi yang diberikan pada fungsi delta Dirac 1D dapat diperluas menjadi 3D:

3 r =x y z , (57)

dan integral volumnya bernilai 1:

∫3 r d =∫�∞

∞

∫�∞

∞

∫�∞

∞

x y z dx dy dz=1 . (58)

Selain itu,

f r 3r�r 0= f r 0 . (59)

Dengan fungsi delta Dirac ini, masalah yang dikemukakan pada bagian awal dapat

terpecahkan secara mudah, yaitu

∇⋅ rr 2 =43r ,atau secara umum

∇⋅ rr 2 =43r . (60)

SOAL 13

(a) Tuliskan pernyataan yang menyatakan kerapatan massa dari sebuah partikel bermassa

m yang berada pada titik r 0 . Lakukan hal yang sama untuk rapat muatan dari suatu

Kappa Mu Phi, 2007

halaman 30

muatan titik pada r 0 !

(b) Berapa rapat muatan dari sebuah dipol listrik, yang terdiri dari muatan titik -q pada

titik asal koordnat dan muatan titik +q pada r 0 ?

(c) Berapakah rapat muatan yang seragam dari kulit bola tipis berjari-jari R dan muatan

totalnya Q?

Jawab:

(a) Perhatikan pers. (58), satu per volum merupakan fungsi delta Dirac, sehingga:

m r =m 3 r�r 0 ; q r =q

3 r�r 0 .

(b) r =q 3r�r 0�q

3r .

(c) Misalkan r =Ar�R . Untuk mendapatkan konstanta A, maka dibutuhkan

syarat Q=∫r d =∫ Ar�R 42dr=A 4R 2 , sehingga A=Q

4R 2.

Dengan demikian, r =Q

4R 2r�R .

***