System DigitalPENYEDERHANAAN LOGIKA

[Materi 4]

Tugas kelompok :

1. Saipullah Hailani2. Eri Kiswanto3. Rangga4. Kusdiyanto5. Nurdin

# Konversi SOP ke POS# Karnaugh Maps# Don’t Care# Quine – Mc Clusskey

PENYEDERHANAAN LOGIKA

Koversi SOP ke POS[ definisi ]• Sum Of Product (SOP)

adalah metode untuk mengekspresikan persamaan sebuah ekspresi rangkaian logika sebagai penjumlahan dari suatu fungsi perkalian, elemen – elemen hasil perkalian di jumlahkan dalam sebuah SOP.

• Product Of Sum (POS)adalah metode untuk mengekspresikan persamaan sebuah ekspresi rangkaian logika sebagai perkalian dari suatu fungsi penjumlahan, elemen – elemen hasil penjumlahan yang di kalikan dalam sebuah POS.

SOP merupakan komplemen dari POS, sehingga POS juga merupakan komplemen dari SOP.

• Penjumlahan dari suatu fungsi perkalian.Symbol SOP ( m )∑

contoh :F = (A’•B’ •C’) + (A’ •B •C’) + (A’ •B •C) + (A •B •C’) + (A •B •C)dapat ditulis dengan F (A, B, C) = {0, 2, 3, 6, 7}∑

nilai angka yang akan disederhanakan adalah angka (1) dapat dibuktikan dan dilihat pada tabel kebenaran.

detail :SOP (F) = (A’•B’ •C’) + (A’ •B •C’) + (A’ •B •C) + (A •B •C’) + (A •B •C)

= (0 0 0) + (1 0 1) + (0 1 1) + (1 1 0) + (1 1 1) = m0 + m2 + m3 + m6 + m7 ∑m= { 0, 2, 3, 6, 7 }

Sum Of Product (SOP)

Tabel SOP

A B C F minterm No.0 0 0 1 m0 00 0 1 0 m1 10 1 0 1 m2 20 1 1 1 m3 3

1 0 0 0 m4 41 0 1 0 m5 51 1 0 1 m6 61 1 1 1 m7 7

detail :SOP (F) = (A’•B’ •C’) + (A’ •B •C’) + (A’ •B •C) + (A •B •C’) + (A •B •C) = (0 0 0) + (0 1 0) + ( 0 1 1) + (1 1 0) + (1 1 1) = m0 + m2 + m3 + m6 + m7 ∑m= { 0, 2, 3, 6, 7 }

Sum Of Product (SOP) – Tabel SOP

• Perkalian dari suatu fungsi penjumlahan.Symbol POS ( M )

contoh :F = (A + B + C) • (A + B’ + C) • (A + B’ + C’) • (A’ + B’ + C) • (A’ + B’ + C’)dapat ditulis dengan F (A, B, C) = {0, 1, 4, 5, 7}

nilai angka yang akan disederhanakan adalah angka (0) dapat dibuktikan dan dilihat pada tabel kebenaran.

detail :POS (F) = (A + B + C) • (A + B’ + C) • (A + B’ + C’) • (A’ + B’ + C) • (A’ + B’ + C’) = (1 1 1 ) • (1 0 1) • (1 0 0) • (0 0 1) • (0 0 0) = M7 + M5 + M4 + M1 + M0 M = { 0, 1, 4, 5, 7 }

Product Of Sum (POS)

Tabel POS

A B C F Maxterm No.0 0 0 0 M0 00 0 1 0 M1 10 1 0 1 M2 20 1 1 1 M3 3

1 0 0 0 M4 41 0 1 0 M5 51 1 0 1 M6 61 1 1 0 M7 7

detail :POS (F) = (A + B + C) • (A + B’ + C) • (A + B’ + C’) • (A’ + B’ + C) • (A’ + B’ + C’) = (1 1 1 ) • (1 0 1) • (1 0 0) • (0 0 1) • (0 0 0) = M7 + M5 + M4 + M1 + M0 M = { 0, 1, 4, 5, 7 }

Product of Sum (POS) – Tabel POS

• Pada setiap baris yang mempunyai hasil 1, di AND (+) kan setiap variabelnya, maka variabel yang bernilai 1, ditulis sesuai dengan variabelnya, begitu juga sebaliknya.

• Hal ini bisa dilihat pada bentuk standar kanonik SOP / POS.• SOP (Sum of Product) → Term AND (+) di OR (•) kan

contoh : (A • B’ • C) + (A’ • B • C’)• POS (Product of Sum) → Term OR (•) di AND (+) kan

contoh : (A +B’+C) • (A’+ B +C’)

Persamaan yang dihasilkan masih sedikit rumit jika dibuat rangkaian logikanya, dan perlu disederhanaan.

Susunan Persamaan dari TabelKebenaran

Notasi Tabel KebenaranMinterm (m) & Maxterm (M)

• Minterms (m) dan Maxterms (M)mudah di representasikanmenggunakantabel kebenaran.

contoh : Di asumsikan pada 3 variabel X,Y,Zpada tabel kebenaran disamping.

Karnaugh Map (K-Map)• K-Map adalah metode grafik untuk menyederhanakan ekspresi logika

atau tabel kebenaran. K-Map dapat digunakan dengan banyak variabel masukan, tetapi dalam prakteknya terbatas pada 5 – 6 variabel saja.

Metode K-Map• Nilai – nilai tabel kebenaran diletakan pada K-map.• Kotak – kotak pada K-map yang berdekatan secara horizontal dan vertikal hanya berbeda

1 variabel.• Pola dari atas ke bawah atau dari kiri ke kanan harus berbentuk (AB, AB, AB, AB).• Nilai yang menghasilkan variabel yang sama dengan SOP yang mempunyai pasangan yang

saling berkomplemen, maka dimana jika terdapat sebuah variabel dengan komplemennya sebagai Sum of Product (SOP), maka akan dihilangkan, dan di sisakan variabel yang tidak bersama komplemennya.

• Contoh :AB’ + AB → (B’ dan B dihilangkan), sehingga tersisa AABC + AB’C → (B’ dan B dihilangkan), sehingga tersisa AC

Bentuk SOP bisa di dapatkan dengan melakukan operasi OR pada semua term (AND)dari kotak yang bernilai 1.

Setiap kotak di baris paling atas dianggap berdekatan dengan kotak – kotak pada barispaling bawah.

Contoh penggunaan Karnaugh Map (K-map)

Contoh penggunaan Karnaugh Map (K-map)

Penyederhanaan Variabel• Berpasangan (Pairs)• Kuad (Quads)• Oktet (Octets)

Dalam menyederhanakan persamaan dalam bentuk aljabar boolean, harusMelakukan identifikasi dengan melingkari Pairs, Quads atau Octets, sehingga akanlebih mudah Untuk menghapuskan variable mana yang perlu dihapus dan yang tetapdigunakan.

Penyederhaan berpasangan (Pairs)• Adalah suatu pasangan nilai angka 1 dalam posisi horizontal atau

vertikal.• Jika dalam satu peta karnaugh terdapat lebih dari satu pasangan,

kita dapat memperlakukan operasi (OR) pada hasil kali yang sudah disederhanakan.

Penyederhaan berpasangan (Pairs)

Proses looping 2 kotak yang bernilai angka 1 yangBerdekatan dalam K-map (pasangan/pairs), akanMenghilang 1 variabel yang muncul dalam bentuk Normal dan komplemennya.

Penyederhaan berpasangan (Pairs)

Penyederhaan Kuad (Quads)• Adalah kelompok yang terdiri dari empat buah nilai angka 1 yang

tersusun berdampingan dari ujung ke ujung, baik vertikal ataupun horizontal.

• Dapat berarti juga double pairs.

Proses looping kotak yang bernilai angka 1 berjumlah 4 buah yangBerdekatan dalam K-map (Quads), akan menghilangkan 2 variabel yangMuncul dalam bentuk normal dan komplemennya.

Penyederhaan Kuad (Quads)

Penyederhaan Oktet (Octets)• Adalah barisan nilai 1 yang berdampingan sebanyak 8 (delapan) buah.

Dan merupakan variasi baris dan kolom yang berisi lebih dari satu baris dan satu kolom.

• Pada contoh diatas pelingkupan semua sel yang di wakili A, dan apapun nilai B, C dan selama di area variabel A, semuanya bernilai 1. sehingga persamaan dapat di sederhanakan menjadi F = A saja.

Penyederhaan Oktet (Octets)

Don’t Care• Don’t care merupakan adalah kondisi dimana ada beberapa kombinasi

variabel input yang tidak selalu dapat dinyatakan nilai outputnya.• Nilai outputnya tersebut dapat bernilai 1 atau 0.• Di simbolkan dengan (X) atau (d).• Karena dapat dianggp 1 atau 0, maka Don’t Care berguna dalam

penyederhanaan fungsi, dimana don’t care dapat dianggap 1 atau 0 sesuai dengan kebutuhan penyederhanaan fungsi.

Pada beberapa rancangan rangkaian logika, terdapat kondisi masukan yang nilai

keluarannya tidak ditentukan.

Tidak perduli dengan nilai keluaran dari beberapa masukan tersebut“ Tinggi “ atau “ Rendah “.

Contoh Don’t Care

Contoh Don’t Care

CD

A B

00C.D

01C.D

11C.D

10C.D

00A.B

0

11

13

02

d

01A.B

4

d5

17

06

0

11A.B

12

d13

115

d14

d

10A.B

8

19

111

010

0

A B C D F0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 d0 0 1 1 00 1 0 0 d0 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 11 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 d1 1 0 1 11 1 1 0 d1 1 1 1 d

Quine -McCluskeyMetode Quine-McCluskey adalah metode yang menyederhanakan fungsi

boolean dengan menggabungkan minterm/maxterm menjadi bentuk prima (prime-implicant), dimana sebanyak mungkin peubah di eliminasi (dihilangkan) secara maksimal.

Agoritma Quine-McCluskey :1. Nyatakan variabel komplemen “0”, atau

atau sebaliknya “1”2. Kelompokkan suku-suku berdasarkan jumlah 13. Kombinasikan suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang

jumlah “1”-nya berbeda satu, maka diperoleh bentuk prime yang lebih sederhana

4. Mencari prime-implicant, term yang menjadi calon yang terdapat dalam fungsi sederhana

5. Memilih prime-implicant yang mempunyai jumlah literal paling sedikit

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyDiketahui FungsiF (A,B,C,D) = m (4, 8, 10, 11, 12, 15) + d (9, 14)∑Fungsi tersebut berarti :1. Output fungsi 1 adalah minterm 4, 8, 10, 11, 12, 152. Sedangkan output fungsi pada minterm 9, 14 adalah Don’t

CareUntuk secara kanonikal dari SOP fungsi adalah dengan

mengabaikan Don’t Care :F (A,B,C,D) = A’B’CD + AB’C’D’ +AB’CD’ + ABC’D + ABC’D’ +

ABCD

Untuk mengetahui penyederhanaan diatas, gunakan dengan menyusun tabel minterm

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeySusunan tabel minterm :

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeySetelah susunan tabel minterm sudah dibuatkan, maka

langkah selanjutnya adalah mengelompokkan tabel minterm berdasarkan jumlah “1” (jumlah angka 1 yang terdapat didalam tabel minterm).

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyLankah selanjutnya :1 Kombinasikan minterm pada

group yang satu dengangroup yang dibawahnyayang mempunyai perbedaan nilai 1hanya pada 1 digit saja. Digit yangmempunyai perbedaan di isi dengan“-”, kemudian kelompokkan lagiberdasarkan jumlah angka “1”nyaselain yang sudah diganti dengan “-”

2. Pada contoh group 1 diataskombinasikan dengan group 2, dangroup 2 dikombinasikan dengangroup 3, dan begitu juga padagroup 3 dikombinasikan dengangroup 4.

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyLangkah berikutnya : karena masih bisa untuk di kombinasikan, maka dikombinasikan

kembali minterm pada group yang satu dengan group yang dibawahnya.

Pada kasus ini minterm (4, 12) dan minterm (9, 11) dan minterm (12, 14) sudah tidak dapat digabungkan atau dikombinasikan lagi, karena sudah tidak ada kombinasinya yang beda angka 1-nya hanya satu digit.

Minterm gabungan yang dihasilkan adalah (8, 9, 10, 11), (8, 10, 9, 11), (10, 11, 14, 15) dan (10, 14, 11, 15)

Untuk minterm (8, 9, 10, 11) sama dengan (8, 10, 9, 11) dan untuk minterm (10, 11, 14,15) sama dengan (10, 14, 11, 15)

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyUntuk memudahkan, maka susunlah tabel minterm kembali agar

lebih mudah dilihat

Minterm (9, 11) sudah ada di minterm (8, 9, 10, 11)Minterm (12, 14) sudah ada di minterm (8, 10, 12, 14)

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyDan setelah itu, maka tabel minterm sudah tidak dapat

dikombinasikan lagi, dan ini adalah yang disebut sebagai prime-implicant.

Prime implicant adalah bentuk minterm yang paling sederhana dan sudah dipastikan tidak dapat dikombinasikan degan minterm lainnya, berikut adalah tabel prime-implicant.

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyLangkah selajutnya :Dari Prime-Implicant yang ada, maka harus dicari Essential Prime-

implicant.1. Pada pasang minterm yang ada, terlihat minterm 4 pada PI1 (4,

12) dan minterm 15 pada PI4 (10, 14, 11, 15) tidak ada yang diwakilkan pada PI term lainnya. Sehingga PI1 dan PI4 dapat digunakan sebagai Essential PI.

2. Minterm 9 pada PI2 adalah Don’t Care, sebaiknya tidak usah dipilih untuk menentukan Essential PI, mengingat sudah tercukupinya EP dari PI1 dan PI4. (pada kasus lain jika diperlukan term Don’t Care boleh digunakan)

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyMenentukan pasangan yang terwakili oleh EPI1. PI1 dan PI2, untuk term (10, 11) memiliki kesamaan dan dapat

diwakili oleh term (10,11) yang ada di PI4. sedangkan term (12) pada PI3 dapat diwakili oleh term (12) yang ada di PI1.

2. Untuk term (14) di PI3, diabaikan saja karena term (14) adalah Don’t Care. Tetapi pada kasus lain Don’t Care ini dapat digunakan.

Menentukan bagian yang tidak dapat diwakili oleh EPI3. Karena ada bagian di PI2 dan PI3 yang dapat diwakili oleh EPI,

dan juga ada bagian yang tidak dapat diwakili di PI2 dan PI3 oleh EPI manapun memiliki kesamaan, yaitu term (8) yang terdapat baik di PI2 atau PI3, maka dapat di pilih salah satunya saja.

4. Pada kasus ini term (9) pada PI2 di abaikan saja, karena term (9) adalah Don’t Care

Contoh penyederhanaan Quine-McCluskeyLangkah selanjutnya adalah penyelesaian penyederhanaan Quine

McCluskey.

Dari tabel term diterjemahkan PI1, PI2, PI3 dan PI4 sbb :PI1 BC’D’PI2 AB’PI3 AD’PI4 AC

Fungsi yang dihasilkan adalah :F = PI1 + PI4 + PI2 F = BC’D’ + AC + AB’ atauF = PI1 + PI4 + PI3 F = BC’D’ + AC + AD’

Terima Kasih