Reduced-order computational models for the transient dynamics of spatial structures

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Spaziale

IMPLEMENTAZIONE SU NASTRAN DI UN

METODO DI RIDUZIONE FUNZIONALE NELLE

MEDIE FREQUENZE PER STRUTTURE SPAZIALI

A TRALICCIO

Relatore: Prof. Gian Luca GHIRINGHELLI

Tesi di Laurea di:

Maximiliano FIUMARA

Matr. n. 740417

Anno Accademico 2012 - 2013

2

“Si gusta doppiamente la felicità faticata”

B. Gracian

“Come se gli angeli fossero lì a dire che sì, è tutto possibile... come se i diavoli

stessero un po'a dire di no, che son tutte favole”

L. Ligabue, Buonanotte all’Italia

A me stesso,

la persona che esige di più da me

3

INDICE

INDICE ........................................................................................................................... 3

INDICE DELLE FIGURE ............................................................................................ 5

INDICE DELLE TABELLE ......................................................................................... 7

SOMMARIO .................................................................................................................. 8

1. INTRODUZIONE ................................................................................................. 9

1.1. BREVE RIASSUNTO DEL LAVORO .................................................................... 9

1.2. IL CAMPO DELLE MEDIE FREQUENZE .............................................................. 9

2. CENNI TEORICI ................................................................................................ 16

2.1. INTRODUZIONE ............................................................................................. 16

2.2. IL METODO DI SOIZE ............................................................................... 16

2.2.1. Introduzione ............................................................................................. 16

2.2.2. Il problema differenziale e la sua soluzione debole ................................. 20

2.2.3. Costruzione del modello ridotto ............................................................... 25

2.2.4. Approssimazione a dimensione finita ....................................................... 28

2.2.5. Costruzione del sottospazio dominante degli autovalori usando il metodo

di iterazione dei sottospazi .................................................................................... 36

2.3. LA PROPER ORTHOGONAL DECOMPOSITION ................................... 46

2.3.1. Introduzione ............................................................................................. 46

2.3.2. Il metodo Karhunen-Loève ....................................................................... 47

2.3.3. Formulazione matematica del KLD ......................................................... 48

2.3.4. Interpretazione fisica del POD ................................................................ 53

2.3.5. Derivazione in frequenza del KLD ........................................................... 57

2.3.6. Applicazione del KLD ad una struttura a traliccio 2D ............................ 61

2.4. IL METODO DI C. SOIZE E POD A CONTATTO ..................................... 71

3. IMPLEMENTAZIONE NUMERICA ............................................................... 74

3.1. INTRODUZIONE ............................................................................................. 74

3.2. BREVE DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA ....................................................... 74

3.2.1. Elenco dei file utilizzati ............................................................................ 74

3.2.2. Funzionamento del programma ............................................................... 76

3.3. VALIDAZIONE SU UN MODELLO DI PIASTRA ................................................. 80

3.3.1. Descrizione del modello di piastra........................................................... 80

3.3.2. Risultati della validazione ........................................................................ 83

4. VALIDAZIONE SU MODELLO A TRALICCIO .......................................... 89

4

4.1. INTRODUZIONE ............................................................................................. 89

4.2. LA STRUTTURA A TRALICCIO TRUSS ........................................................... 89

4.2.1. Descrizione della struttura TRUSS .......................................................... 89

4.2.2. Verifica di funzionamento iniziale............................................................ 92

4.2.3. Scelta fascia MF e applicazione del metodo di riduzione ........................ 96

4.2.4. Funzione di densità modale e analisi delle frequenze proprie di ciascuna

trave 100

4.2.5. Tentativo di cambio del solutore LANCZOS .......................................... 104

4.2.6. Valutazione del contributo energetico di ciascun modo e rappresentazione

delle forme modali ............................................................................................... 105

4.3. LA STRUTTURA A TRALICCIO SPACE ......................................................... 111

4.3.1. Descrizione della struttura SPACE ........................................................ 112

4.3.2. Scelta fascia MF e applicazione del metodo di riduzione ...................... 114

4.3.3. Valutazione del contributo energetico di ciascun modo e rappresentazione

delle forme modali ............................................................................................... 116

4.3.4. Analisi del comportamento della struttura in condizione vincolata e a

frequenze più elevate ........................................................................................... 121

5. CONFRONTO CON ALTRI METODI DI RIDUZIONE ............................ 126

5.1. INTRODUZIONE ........................................................................................... 126

5.2. L’ENERGY OPERATOR VS L’ANALISI MODALE CLASSICA........................... 126

5.2.1. Breve introduzione teorica ..................................................................... 126

5.2.2. Implementazione in NASTRAN............................................................... 130

5.2.3. Confronto col metodo di C. Soize........................................................... 130

5.3. L’ENERGY OPERATOR VS UN METODO HF ................................................. 137

5.3.1. Breve introduzione teorica ..................................................................... 137

5.3.2. Implementazione in MATLAB ................................................................ 141

5.3.3. Confronto col metodo di C. Soize........................................................... 144

6. CONCLUSIONE E SVILUPPI POSSIBILI ................................................... 149

APPENDICE .............................................................................................................. 152

CENNI STORICI SU ONERA ................................................................................ 152

BREVE DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA MSC.NASTRAN E DEL CODICE

DI PROGRAMMAZIONE DMAP .......................................................................... 156

NOMENCLATURA E ACRONIMI ........................................................................ 164

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... 166

5

INDICE DELLE FIGURE

Figura 1.2.1 Esempio di densità di energia meccanica di una struttura .............. 11

Figura 1.2.2 Immagine della struttura a traliccio della ISS................................. 12

Figura 1.2.3: SPACE, la struttura scelta per le analisi ........................................ 13

Figura 2.3.1 Sistema a 3 masse e 3 molle ........................................................... 55

Figura 2.3.2 Traliccio a 18 baie .......................................................................... 63

Figura 2.3.3 POM dominante per la forzante di tipo I ........................................ 66

Figura 2.3.4 POM dominante per la forzante di tipo II ....................................... 67

Figura 2.3.5 POM dominante per la forzante di tipo III ..................................... 67

Figura 2.3.6 Modi KL principali teorici e sperimentali in direzione x ............... 69

Figura 2.3.7 Modi KL principali teorici e sperimentali in direzione y ............... 70

Figura 3.3.1: Griglia modello PLATE ................................................................ 81

Figura 3.3.2: Griglia PLATE con sensori ed attuatori ........................................ 82

Figura 3.3.3: PLATE 9 modi............................................................................... 84

Figura 3.3.4: PLATE 10 modi, m=2*N .............................................................. 86

Figura 3.3.5: PLATE 7 vs 9 modi ....................................................................... 87

Figura 3.3.6: PLATE 5 bande vs 1 banda ........................................................... 87

Figura 4.2.1: griglia TRUSS ............................................................................... 90

Figura 4.2.2: Sezione delle travi del traliccio ..................................................... 91

Figura 4.2.3: Sensori e Attuatori TRUSS............................................................ 93

Figura 4.2.4: Esempio di FrF diretta per la struttura TRUSS ............................. 95

Figura 4.2.5: Dettaglio modi rigidi FrF per struttura TRUSS ............................. 96

Figura 4.2.6: Esempio di sinusoide con campionamento a 5 punti ..................... 97

Figura 4.2.7: FrF diretta vs metodo MF per struttura TRUSS ............................ 99

Figura 4.2.8: Trave doppiamente incastrata ...................................................... 101

Figura 4.2.9: Numerazione travi TRUSS .......................................................... 102

Figura 4.2.10: Funzione di densità modale per la struttura TRUSS ................. 103

Figura 4.2.11: Funzione autovalori banda #1 e #5 struttura TRUSS ................ 107

Figura 4.2.12: Modi necessari per catturare 95% dell'energia della struttura

TRUSS .............................................................................................................. 109

Figura 4.2.13: Risposta TRUSS prendendo meno modi di quelli calcolati ...... 110

Figura 4.2.14: Modo #1 banda #5 per la struttura TRUSS ............................... 111

Figura 4.3.1: Struttura SPACE .......................................................................... 113

Figura 4.3.2: Sensori ed attuatori struttura SPACE .......................................... 113

Figura 4.3.3: Densità modale SPACE ............................................................... 114

6

Figura 4.3.4: FrF SPACE 45 modi .................................................................... 115

Figura 4.3.5: FrF SPACE 70 modi .................................................................... 116

Figura 4.3.6: Funzione autovalori banda #1 e #5 struttura SPACE .................. 117

Figura 4.3.7: Modi necessari per catturare 95% dell'energia della struttura

SPACE .............................................................................................................. 120

Figura 4.3.8: Modo #1 bande #1 e #5 per la struttura SPACE .......................... 121

Figura 4.3.9: FrF SPACE fascia in frequenze superiore ................................... 122

Figura 4.3.10: SPACE fascia in frequenze inferiore ......................................... 123

Figura 4.3.11: SPACE, prova libera .................................................................. 124

Figura 4.3.12: SPACE, prova vincolata ............................................................ 125

Figura 5.2.1: FrF TRUSS usando modi propri fino a 575 Hz ........................... 132



Figura 5.2.4: TRUSS, FrF calcolata con 50 modi propri nella banda 575-825 Hz

........................................................................................................................... 135


........................................................................................................................... 135

Figura 5.2.6: TRUSS, FrF calcolata con 100 modi propri nella banda 475-925

Hz ...................................................................................................................... 136

Figura 5.3.1: Struttura piramidale ..................................................................... 140

Figura 5.3.2: Andamento dell'energia per struttura piramidale......................... 141

Figura 5.3.3: Energia totale SPACE con modi propri esatti ............................. 144

Figura 5.3.4: Energia totale SPACE con modi propri esatti solo fascia MF .... 145

Figura 5.3.5: Energia totale SPACE con modi Energy Operator ...................... 146

Figura 5.3.6: Energia totale SPACE, dettaglio per ciascuna baia ..................... 147

Figura 5.3.7: Metodo HF applicato a SPACE, Energia totale .......................... 148

Figura A.0.1: Facts su ONERA ......................................................................... 152

Figura A.0.2: Settori scientifici e dipartimenti di ONERA ............................... 153

Figura A.0.3: Technology Readiness Level (TRL) ........................................... 154

Figura B.0.1: Struttura del file di input per MSC.Nastran ................................ 158

Figura B.0.2: Pre e Post processori nell'analisi ad elementi finiti ..................... 160

Figura B.0.3: Sequenze di Soluzione ................................................................ 161

7

INDICE DELLE TABELLE

Tabella 2.3.1 Distribuzione dell'energia per i primi modi del traliccio a 18 baie

............................................................................................................................. 65

Tabella 4.2.1: Modi propri struttura TRUSS ...................................................... 94

Tabella 4.2.2: Frequenze naturali travi TRUSS al di sotto di 825 Hz .............. 102

Tabella 4.2.3: Energia % catturata da ciascun modo per struttura TRUSS ...... 109

Tabella 4.3.1: Energia % catturata da ciascun modo per struttura SPACE ...... 120

Tabella 5.2.1: Numero modi propri struttura TRUSS da 0 Hz ......................... 131

Tabella 5.2.2: Numero modi propri struttura TRUSS rispetto a banda MF ...... 136

8

SOMMARIO

Lo scopo di questo manoscritto é di trattare l’implementazione su MSC.Nastran

di un metodo di riduzione funzionale per strutture a traliccio nel campo delle

medie frequenze, sviluppato da C. Soize. Il progetto é stato sviluppato durante

uno stage di sei mesi presso ONERA a Parigi, sotto la supervisione di E. Savin.

Le principali tematiche affrontate sono state: la comprensione delle fondamenta

teoriche del metodo Energy Operator sviluppato da C. Soize; la revisione e

aggiornamento di una base di programma sviluppato da E. Savin in DMAP, il

modulo di programmazione di MSC.Nastran; la validazione dello stesso su un

modello preliminare ad elementi finiti rappresentante una piastra omogenea,

analizando la qualità dei risultati ed evidenziando i punti critici; l’applicazione

del programma a 2 strutture a traliccio di complessità crescente, valutando di

volta in volta le caratteristiche modali ed energetiche; il confronto del metodo

Energy Operator con l’analisi modale classica ed un metodo per le alte

frequenze sviluppato, sempre presso ONERA, da Y. Le Guennec nell’ambito di

un progetto di Dottorato di Ricerca.

Si é visto come, sebbene il programma DMAP presenti alcuni punti deboli, le

capacità di approssimazione del metodo di C. Soize unite all’estrema facilità del

calcolo dei parametri energetici associati ai modi estratti lo portino ad essere un

efficace strumento per l’analisi dinamica di strutture tridimensionali anisotrope

in un campo, quello delle medie frequenze, dove a tutt’oggi non vi sono metodi

universalmente affermati ed affidabili.

9

1. INTRODUZIONE

1.1. Breve riassunto del lavoro

Lo scopo di questo lavoro di tesi è applicare un metodo di riduzione per

problemi di dinamica strutturale lineare nel campo delle medie frequenze,

utilizzando la base teorica proposta da C. Soize, che si fonda su un approccio

energetico, associata al metodo degli elementi finiti, attraverso il quale

effettuare la discretizzazione spaziale della struttura.

Per fare ciò si è utilizzato un programma in linguaggio DMAP (Direct Matrix

Abstraction Program), il codice utilizzato da MSC.Nastran, scritto da E. Savin

per ONERA (Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales) nel

2001 e aggiornato alla versione MSC.Nastran 2011 nell’ambito del progetto di

tesi.

Il programma adattato è stato validato utilizzando un modello base di piastra e

successivamente una semplice struttura a traliccio; infine, per l’analisi

conclusiva, si è preso un modello di traliccio a più baie, rappresentativo delle

strutture presenti in campo spaziale.

1.2. Il campo delle medie frequenze

Il motivo principale per cui si è scelto di perseguire l’obiettivo di questa tesi

risiede nel fatto che, sebbene per le basse e alte frequenze esistano metodi di

riduzione già affermati e robusti, per la fascia delle medie frequenze non vi sono

ancora delle tecniche di soluzione pienamente affidabili.

Occorre però innanzitutto capire com’è possibile definire in modo empirico il

campo delle medie frequenze [1]; esso può essere visto come quella fascia dove

10

la struttura non presenta né un comportamento modale come accade nelle basse

frequenze, né quello diffusivo tipico delle alte frequenze.

Da un punto di vista grafico, si possono caratterizzare a grandi linee quali siano

le 3 fasce di frequenza attraverso le quali suddividere idealmente lo spettro di

risposta di una struttura. Se si prende una struttura qualsivoglia e le si applica un

carico, misurando le funzioni di risposta in frequenza (FrF) di diversi punti del

sistema si può notare che, alle basse frequenze, l’andamento delle FrF è

sostanzialmente lo stesso, segno che l’energia vibratoria del carico si propaga

pressoché uniformemente all’interno della struttura e non rimane localizzata

vicino al punto di eccitazione. Per frequenze alte, invece, si nota che l’energia

vibratoria rimane localizzata vicino al punto di eccitazione e si diffonde solo

debolmente nelle altre parti della struttura. Per le medie frequenze, infine,

l’andamento generale è che i livelli di energia dei vari punti di misura sono

comparabili tra loro ma leggermente inferiori rispetto a quelli di un ipotetico

sensore co-locato; questo significa che l’energia vibratoria rimane parzialmente

localizzata vicino al punto di eccitazione e il resto si diffonde in pressoché tutti i

punti della struttura.

11

Figura 1.2.1 Esempio di densità di energia meccanica di una struttura

I 3 domini in frequenza appena descritti sono caratterizzabili anche attraverso la

funzione di densità modale: alle basse frequenze la densità modale risulta molto

bassa; alle alte frequenze la densità modale esibisce un valore alto e

generalmente uniforme; dove invece la funzione di densità modale presenta

importanti variazioni, ci si trova nel campo delle medie frequenze.

Infatti, le vibrazioni di una struttura complessa sono caratterizzate dalla

sovrapposizione di alcuni modi globali e pacchetti di modi locali addensati

(clusters), che possiedono un’influenza non trascurabile sul comportamento sia

globale sia locale della struttura nella stretta banda di frequenza dove si trovano.

Per esempio, le vibrazioni di strutture a traliccio tridimensionali tipicamente

esibiscono questo comportamento, dovuto ai molti e altamente concentrati modi

propri associati alla natura ripetitiva delle componenti del traliccio, anche a

frequenze relativamente basse.

12

In campo spaziale, l’esempio forse più famoso e caratteristico è la struttura

principale della International Space Station (ISS), che presenta proprio una

struttura a traliccio lungo la sua dimensione maggiore, raffigurata in Figura

1.2.2.

Figura 1.2.2 Immagine della struttura a traliccio della ISS

Proprio per questo motivo, durante il lavoro di tesi si è scelto di operare su

strutture di complessità crescente, fino ad arrivare a SPACE, una struttura che

potesse assomigliare al traliccio portante della ISS (Figura 1.2.3):

13

Figura 1.2.3: SPACE, la struttura scelta per le analisi

All’atto pratico, per l’analisi della risposta lineare della struttura alle medie

frequenze si hanno tipicamente 3 strategie di modellazione [1]:

Estendere i classici metodi numerici utilizzati per le basse frequenze,

tipicamente il modello ad elementi finiti, alle medie frequenze;

Estendere alle medie frequenze i metodi di analisi adottati per le alte

frequenze;

Utilizzare un metodo di riduzione appositamente costruito per il campo

di frequenze intermedio.

Riguardo i metodi di soluzione per le basse frequenze, zona laddove le funzioni

di risposta in frequenza esibiscono modi distinti con sovrapposizione modale

dovuta ad effetti dissipativi trascurabile, il metodo degli elementi finiti (FEM),

in congiunzione con lo sviluppo basato sui modi propri, rappresenta uno

strumento molto efficiente per costruire un modello dinamico ridotto del sistema

[2]. Il modello ridotto è efficacemente costruito risolvendo un problema agli

autovalori generalizzato, che risulta inoltre essere ben posto. È quindi sufficiente

il solo sottospazio dominante della struttura, cioè quello costituito da pochi

autovalori e i loro corrispondenti autovettori, per sintetizzare il modello ridotto

in accordo con l’approccio modale proprio.

Per le alte frequenze, invece, lo Statistical Energy Analysis (SEA) è un già ben

affermato metodo di riduzione per l’analisi della risposta di sistemi strutturali

14

lineari. Tramite questo approccio, il sistema completo è modellato come un

insieme di sottosistemi, a ciascuno dei quali viene assegnato un singolo

attributo, nominalmente la sua energia totale media. Nel SEA, la risposta totale

del sistema è caratterizzata dallo scambio di energia che si verifica tra i diversi

sottosistemi. La validità di questo approccio necessita che ogni sottosistema

contenga un grande numero di modi risonanti, condizione che si manifesta

facilmente alle alte frequenze vista la presenza di una densità modale uniforme.

Nella banda delle medie frequenze, nessuna delle 2 strategie di riduzione

rappresenta una completamente affidabile e affermata soluzione per l’analisi

dinamica dei sistemi strutturali.

Infatti l’approccio tradizionale basato sul FEM necessiterebbe di un modello

computazionale eccessivamente grande per catturare le caratteristiche di

vibrazione a corta lunghezza d’onda del sistema. Nel calcolo della risposta totale

parteciperebbero un grande numero di modi propri, rendendo l’analisi modale

impraticabile. D’altra parte, la presenza di una densità modale non uniforme nel

campo di frequenze preso in considerazione preclude a priori l’applicazione del

SEA.

Un’altra difficoltà nel trattare problemi alle medie frequenze è che la risposta

del sistema diventa sempre più sensibile ai dettagli ed alle imperfezioni

geometriche a mano a mano che si sale in frequenza, così come alle

discontinuità dovute all’andamento delle vibrazioni a corta lunghezza d’onda.

Di conseguenza risulta difficile costruire un modello matematico preciso che

catturi un comportamento così tanto complesso della risposta del sistema.

Un effetto della variabilità dei parametri è particolarmente drammatico nelle

strutture periodiche da un punto di vista spaziale, come appunto la già citata

struttura primaria della ISS o, pensando ad esempi d’ingegneria civile, le gru

usate per la costruzione di edifici: le funzioni di risposta in frequenza di queste

strutture presentano densi clusters di modi propri, dove l’energia vibratoria si

propaga liberamente senza attenuazione; questo effetto, spesso di natura

indesiderata, può essere risolto semplicemente introducendo delle irregolarità

che rompano la periodicità, consentendo di confinare l’energia vibratoria in una

parte specifica della struttura.

In questo contesto, risulta molto promettente la metodologia proposta da C.

Soize per la costruzione di un modello ridotto per la risoluzione di sistemi

15

tridimensionali generici nel campo delle medie frequenze. Esso si basa sulla

definizione di un operatore energetico (matrice simmetrica definita positiva) per

una frequenza fissata e il cui sottospazio degli autovalori consente la costruzione

di un modello ridotto nel dominio delle frequenze particolarmente efficiente.

Il modello sembra molto promettente per la risoluzione della dinamica di

modelli ad elementi finiti su grande scala.

16

2. CENNI TEORICI

2.1. Introduzione

Il seguente capitolo presenta le nozioni teoriche su cui poggia il programma

implementato in MSC.Nastran utilizzato per l’analisi numerica. Nel paragrafo

2.2 è descritto il metodo proposto da C. Soize per la soluzione di problemi

dinamici di strutture tridimensionali, lineari e dissipative nel campo delle medie

frequenze. Successivamente, nel paragrafo 2.3, viene presentata una rassegna

dei metodi Proper Orthogonal Decomposition (POD), concentrandosi sul

metodo Karhunen-Loeve (KL), di cui viene fornita una derivazione sia nel

dominio del tempo, sia in quello delle frequenze. Infine, il paragrafo 2.4 offre un

breve raffronto tra i 2 metodi, evidenziando sia i punti di contatto che le

differenze.

2.2. IL METODO DI SOIZE

2.2.1. Introduzione

Il metodo proposto da C. Soize (cfr. [3]) rappresenta un approccio teorico per la

costruzione di un modello ridotto, per lo spettro delle medie frequenze (MF),

valido per problemi di dinamica strutturale lineari e dissipativi, nell’ambito dello

studio della dinamica di strutture tridimensionali e anisotrope.

Il punto focale del metodo è che esso si basa su un principio energetico che

consente di evitare l’utilizzo della base dei modi propri di vibrare ricavabili dal

sistema conservativo associato [4].

Teoricamente, per lo studio delle vibrazioni lineari di una struttura deformabile,

viscosa, anisotropa e debolmente smorzata, è sufficiente conoscere

17

esplicitamente lo spettro delle frequenze proprie del sistema non

smorzato e la base modale .

Nella pratica, la base modale non è nota a priori e deve essere calcolata

numericamente; di conseguenza per poter risolvere il problema delle vibrazioni

lineari alle basse frequenze si distinguono 3 possibili casi:

1. Effettuare l’integrazione numerica diretta delle equazioni nel dominio

del tempo;

2. Effettuare l’integrazione diretta nel tempo delle equazioni approssimate

facendo uso della base modale troncata , ovvero

compiendo la sintesi modale nel dominio temporale;

3. Effettuare il calcolo della funzione di risposta in frequenza (FrF) , che

può essere ricavata:

a) attraverso la base modale troncata

(2.1)

ovvero facendo la sintesi modale nel dominio delle frequenze;

b) attraverso la risoluzione diretta, calcolando per ogni valore di

considerato

(2.2)

Dove M, C, K rappresentano rispettivamente gli operatori di

massa, smorzamento e rigidezza.

Nel contesto della presentazione della metodologia di Soize, ci si interessa del

dominio delle medie frequenze, che viene definito come quel dominio dove le

frequenze di eccitazione non sono sufficientemente alte per poter utilizzare a

priori dei metodi asintotici, né sufficientemente basse affinché la risposta possa

essere considerata a priori di tipo modale. Questo dominio è tale per cui

intervengono nella risposta un numero molto elevato di modi propri e la densità

modale può essere a priori molto grande.

18

Si nota perciò che per il dominio delle medie frequenze la discretizzazione della

struttura con gli elementi finiti deve essere sufficientemente fine; questo

comporta la presenza di sistemi discretizzati aventi un gran numero di gradi di

libertà.

Applicati al dominio delle medie frequenze, le strategie di soluzione descritte in

precedenza e utilizzate per le basse frequenze conducono alle situazioni

seguenti:

per frequenze abbastanza elevate, il metodo 1. necessita un tempo di

integrazione molto piccolo, senza parlare dei problemi di smorzamento

numerico che possono verificarsi in alcuni casi;

i metodi 2. e 3.a) necessitano il calcolo dei modi propri di vibrare che

comporta avere un sistema di ordine molto elevato;

Il metodo 3.b) necessita la risoluzione di un sistema lineare complesso

avente un gran numero di equazioni, poiché il calcolo della matrice

(2.3)

va fatta per ciascuna .

Tuttavia, se il calcolo non dovesse essere fatto che per qualche valore di

soltanto, questo metodo risulterebbe allora molto efficace nel dominio delle

medie frequenze. Questo è il caso di eccitazione su una banda stretta; ma se

l’eccitazione fosse su una banda non stretta, bisognerebbe considerare a priori

un numero elevato di valori per una identificazione dinamica.

Inoltre si nota che il metodo 3.b) porta normalmente a considerare un numero

elevato di valori poiché non si sa nulla a priori dell’evoluzione dell’operatore

in funzione delle variazioni di nel dominio delle frequenze studiate.

Soize propone allora un nuovo metodo numerico di risoluzione per il dominio

delle medie frequenze, il quale si basa sulle ipotesi seguenti:

Per il dominio delle medie frequenze, lo stato vibratorio del sistema è

caratterizzato dalla banda di frequenza e non più dai valori discreti della

frequenza;

La funzione di risposta in frequenza è sostituita da una funzione di

risposta in frequenza calcolata a partire dalla banda in frequenza;

19

La risposta all’istante di una osservazione del sistema in vibrazione è

rimpiazzata dalla risposta in media sulla banda, ovvero la radice quadrata

dell’energia della risposta sulla banda;

Il concetto di appropriazione di un modo proprio alla sua frequenza

propria (nozione tipicamente utilizzata per le basse frequenze) è

sostituita dalla ricerca degli stati vibratori estremi della banda in

frequenza;

Si conserva la nozione di densità modale per la banda di frequenza, che

può essere calcolata senza calcolare lo spettro delle

frequenze proprie del sistema non smorzato associato.

Le grandezze che vengono costruite attraverso l’approccio di Soize sono tutte

deterministiche e permettono:

d’identificare la dinamica a media frequenza di un mezzo elastico lineare

viscoso, anisotropo e di geometria qualsiasi;

di studiarne la risposta ad un’eccitazione deterministica qualsiasi

all’interno del dominio delle medie frequenze o di un’eccitazione

stocastica stazionaria della quale la densità spettrale di potenza è

concentrata su una banda di media frequenza;

di studiare la propagazione spaziale delle vibrazioni all’interno del

mezzo elastico;

di determinare, per una banda in frequenza fissata, la ripartizione

spaziale delle forze di eccitazione;

eventualmente, di calcolare la densità modale.

Questo metodo si avvale del concetto di banda stretta nel dominio delle medie

frequenze (MF) , per cui è possibile analizzare qualsiasi banda di frequenza

come unione finita di bande strette MF [3]. L’utilizzo di elementi finiti per la

discretizzazione spaziale, unito a questo metodo di soluzione, permette di

risolvere efficacemente un buon numero di problemi vibrazionali di strutture

tridimensionali complesse.

Inoltre viene introdotto un operatore simmetrico definito positivo , detto

energy operator, da cui vengono estratti gli stati vibratori della struttura che deve

essere caratterizzata.

20

Il metodo proposto, essendo adattato a ciascuna banda MF , permette alle

matrici di smorzamento e rigidezza di essere dipendenti dalla frequenza

(materiale viscoelastico).

Nel seguito della presentazione del metodo proposto da Soize, vengono descritti

la formulazione differenziale del problema da risolvere nel dominio delle

frequenze e la sua formulazione variazionale, mostrando che esiste un’unica

soluzione e introducendo la funzione di risposta in frequenza del sistema

dinamico; successivamente viene descritto come costruire il modello ridotto,

definendo l’energy operator , dimostrando che esso è un operatore traccia

simmetrico definito positivo nello spazio di Hilbert e che la sua analisi spettrale

fornisce una base completa, nel campo degli spostamenti ammissibili, costituita

dai suoi autovettori. Il modello ridotto viene di conseguenza introdotto usando la

proiezione alla Ritz-Galerkin della formulazione variazionale sul sottospazio

degli autovalori dominanti dell’operatore . Infine vengono presentate

l’approssimazione a dimensione finita del caso continuo che permette di portare

avanti il calcolo per il caso generale e una procedura efficiente per la

costruzione del sottospazio dominante usando il metodo dell’iterazione dei

sottospazi.

La trattazione della parte teorica del metodo di Soize riprende le pubblicazioni

fatte dal medesimo autore, riferimenti [3] e [4].

2.2.2. Il problema differenziale e la sua soluzione debole

Nella scrittura delle equazioni del problema strutturale, vengono prese in

considerazione le vibrazioni lineari (formulate nel dominio delle frequenze ) di

una struttura tridimensionale attorno ad una condizione di equilibrio [3].

Sia un dominio aperto di , occupato dalla struttura fatta di materiale

viscoelastico e in una condizione di equilibrio statico. Sia il

contorno che viene assunto come sufficientemente regolare e tale per cui

.

Si prende in considerazione il campo di spostamento in ciascun

punto , espresso in coordinate cartesiane. Nella parte del

21

contorno la struttura è vincolata ( ) mentre nella parte è libera di

muoversi.

Si introduce una banda stretta MF che è definita come un intervallo compatto

:

(2.4)

In cui è la frequenza centrale della banda e è la larghezza della banda

tale che

(2.5)

A viene associato l’intervallo definito come:

(2.6)

Sono presenti campi esterni di forze volumetriche e superficiali applicate a e

su , scritte rispettivamente come e , in cui

è una funzione di verso , avente supporto compatto

, continua in , che verifica e tale per cui per

ogni in .

Per ogni in il problema in forma differenziale è scritto come:

(2.7)

22

Dove è la densità che è assunta essere una funzione limitata in e

.

Per un materiale a comportamento lineare viscoelastico, il tensore di sforzo è

così scritto:

(2.8)

In cui

è il tensore di deformazione linearizzato.

La formulazione variazionale viene costruita a partire dalla sua forma

differenziale.

Si introduce lo spazio di Hilbert ,

accompagnato dal suo prodotto scalare

e dalla

norma

.

Sia V lo spazio di Hilbert che rappresenta il set di campi di spostamento

ammissibili con valori in

con il suo prodotto scalare =

e la norma

associata

.

Per tutte le in , si assume che e ,

quindi per ogni in , la forma antilineare su , rappresentante le

forze esterne, è definita come

(2.9)

continua in .

23

Per ogni in , la forma sesquilineare su , che

rappresenta l’operatore di rigidezza dinamica, è definito come

(2.10)

Il termine di massa, il quale è definito come

(2.11)

è una forma Hermitiana definita positiva, continua su e, di conseguenza,

continua su .

Le forme sesquilineari di smorzamento e di rigidezza

sono definite come

(2.12)

(2.13)

Per le consuete proprietà dei coefficienti meccanici e le

sopracitate forme sesquilineari sono Hermitiane definite positive e continue su

.

Si può quindi dedurre l’espressione dell’operatore di rigidezza dinamica

(2.14)

24

dove sono rispettivamente gli operatori di massa, smorzamento

e rigidezza.

Si può infine esprimere la versione variazionale del problema differenziale: per

ogni in , trovare appartenente a tale che

(2.15)

L’equazione corrispondente in termini di operatori è

(2.16)

Grazie al teorema di Lax-Milgram, si dimostra che il problema variazionale ha

soluzione e che questa è unica; da ciò si deduce che per ogni in

l’operatore è invertibile

(2.17)

La funzione da in è chiamata funzione di risposta in

frequenza valutata dall’operatore.

La soluzione può essere scritta come

(2.18)

dove la soluzione verrà chiamata vibrazione indotta dall’eccitazione

.

25

2.2.3. Costruzione del modello ridotto

Per ogni in , è un operatore non limitato in , il cui dominio

è tale che

(2.19)

Sia una restrizione dell’operatore nel dominio .

Quindi appartiene a ed è invertibile, per cui è definibile

l’operatore limitato che rappresenta l’inversa di in con

dominio .

Sia ora appartenente ad ed indipendente da . Sia la vibrazione dovuta

all’eccitazione . Si ha allora

(2.20)

Viene quindi definita l’energia di vibrazione come il doppio del

valore dell’energia cinetica totale

(2.21)

Di conseguenza, risulta coerente introdurre la seguente definizione dell’Energy

Operator relativo alla banda :

(2.22)

26

dove e .

Dalle relazioni precedenti si deduce che

(2.23)

si può notare che l’Energy Operator è un operatore intrinseco che dipende da

e , ma non dalle parti spaziali e dell’eccitazione.

L’Energy Operator può essere caratterizzato come un operatore traccia di

simmetrico definito positivo il cui dominio è

(2.24)

che può essere scritto come

(2.25)

in cui è il complesso coniugato di .

può essere anche scritto come

(2.26)

Visto che , la sua analisi spettrale può essere dedotta dall’analisi

spettrale degli operatori compatti simmetrici in spazi di Hilbert. Di conseguenza,

ha un numero finito di autovalori positivi con molteplicità finita, ad

eccezione dello zero, . I corrispondenti autovettori sono tali

che

27

(2.27)

Dato che è un operatore traccia simmetrico definito positivo, si ha che

(2.28)

Il modello ridotto applicato alla banda è ottenuto usando la proiezione alla

Galerkin-Ritz della formulazione variazionale nel sottospazio di ,

caratterizzato dalla base che corrisponde agli maggiori autovalori

dell’energy operator . Sia l’unica soluzione

dell’equazione (2.15), data dall’equazione (2.18), e sia

la proiezione di su ,

(2.29)

in cui . Allora si deduce che, per ogni appartenente a ,

è la soluzione dell’equazione

(2.30)

dove è una matrice simmetrica e complessa definita come

(2.31)

e dove è tale che

28

(2.32)

Il set di equazioni da (2.29) a (2.32) costituiscono il cosiddetto modello ridotto,

adattato alla banda in frequenza , del sistema dinamico descritto dalle

equazioni (2.15) o (2.16).

Per ogni in , la matrice è invertibile,

(2.33)

e la soluzione dell’equazione (2.31) può essere scritta come

(2.34)

2.2.4. Approssimazione a dimensione finita

La costruzione esplicita degli autovettori dell’Energy Operator

non può essere ottenuta nel caso generale. Deve quindi essere introdotta

un’approssimazione a dimensione finita di e gli autovettori

di (associati agli autovalori più alti) costituiscono l’approssimazione di

. Questa approssimazione è ottenuta usando il metodo Ritz-Galerkin

considerando il sottospazio di dimensione finita spaziato dalla

famiglia di funzioni indipendenti di valutate in .

Per la proiezione della formula variazionale, la riduzione della forma antilineare

da a è rappresentata da dove

è tale che

(2.35)

29

La riduzione della forma sesquilineare da a è

rappresentata dalla matrice simmetrica complessa

(2.36)

Usando l’equazione (2.10), la matrice può essere scritta come

(2.37)

Dove sono matrici reali simmetriche definite positive

tali che

(2.38)

(2.39)

(2.40)

Per ogni in , la matrice simmetrica è invertibile e si ha

(2.41)

La proiezione dell’operatore su è scritta come

30

(2.42)

in cui è una matrice reale e simmetrica definita positiva tale che

(2.43)

(2.44)

Si arriva alla forma finale della matrice ridotta dell’Energy Operator

(2.45)

Considerando la forma spettrale dell’Energy Operator proiettato su , siano

e

gli autovalori e corrispondenti auto vettori di ,

(2.46)

si nota che gli autovalori sono numeri reali positivi e che i corrispondenti

autovettori formano una base ortonormale in per il prodotto interno di

(2.47)

Si ha quindi

31

(2.48)

e l’Energy Operator può essere scritto come

(2.49)

Si dimostra che gli autovalori

dell’operatore sono soluzione del

problema agli autovalori generalizzato simmetrico

(2.50)

in cui e sono matrici reali e simmetriche definite positive, tali

che

(2.51)

(2.52)

Gli autovettori formano una base di e verificano le proprietà di

ortogonalità

(2.53)

(2.54)

Gli autovettori possono essere scritti come

32

(2.55)

in cui

. Si ha quindi

(2.56)

A questo punto si può definire un modello ridotto adattato alla banda in

frequenza .

Si considera la medesima costruzione introdotta dalle equazioni da (2.29) a

(2.32), con l’accortezza di sostituire gli autovettori di con quelli di . Sia

(generalmente ). Sia l’unica soluzione dell’equazione

(2.15) data dall’equazione (2.18). Quindi, il modello ridotto adattato alla banda

in frequenza è definito come la proiezione di sul sottospazio

spaziato dagli autovettori

che corrispondono agli

più alti autovalori

dell’operatore ,

(2.57)

Per ogni appartenente a , la proiezione è scritta come

(2.58)

in cui

è la soluzione dell’equazione lineare

(2.59)

33

dove è una matrice simmetrica e complessa definita come

(2.60)

e dove

è tale che

(2.61)

Il set di equazioni da (2.58) a (2.61) costituisce l’approssimazione a dimensione

finita del modello ridotto introdotto dalle equazioni da (2.29) a (2.32) e adattato

alla banda in frequenza .

Per ogni in , la matrice è invertibile,

(2.62)

e la soluzione dell’equazione (2.59) può essere scritta come

(2.63)

Si può a questo punto valutare l’espressione delle matrici del modello ridotto:

sia una matrice reale le cui colonne siano gli autovettori

corrispondenti agli maggiori autovalori

del

problema agli autovalori generalizzato simmetrico definito dall’equazione (2.50)

(2.64)

34

Sostituendo l’equazione (2.55) all’interno delle equazioni (2.60) e (2.61) porta a

(2.65)

(2.66)

In cui la matrice e il vettore sono definiti dalle equazioni (2.37) e

(2.35) rispettivamente.

In tutte le considerazioni fatte precedentemente, si è assunto che

fosse indipendente da , di conseguenza e

sono indipendenti da . Tuttavia, dalle equazioni (2.35) e

(2.61) si deduce che e .

L’energia di

è data da

(2.67)

si dimostra che la stessa energia di

data dall’equazione (2.67) può

anche essere espressa come

(2.68)

dove , definita dall’equazione (2.35), è indipendente da e dove è una

matrice reale positiva e simmetrica tale che

(2.69)

35

(2.70)

in cui, per ogni in , è una matrice reale e simmetrica

definita positiva tale che

(2.71)

dove

Si prende ora in considerazione il sottospazio dominante dell’Energy Operator e

si propone un criterio per il calcolo dell’ordine del modello ridotto.

Prendendo , l’equazione (2.67) diventa

(2.72)

dove è la proiezione di su . Si ha

(2.73)

Dalle equazioni (2.67), (2.72) e (2.73) si deduce che

(2.74)

Dato che è una sequenza decrescente di numeri positivi al tendere di a

, se è sufficientemente grande allora esisterà un tale per cui

36

(2.75)

Si può allora definire il sottospazio degli autovalori dominante: se è tale

che l’equazione (2.75) è soddisfatta, allora il sottospazio è chiamato

sottospazio degli autovalori dominante dell’operatore , corrispondente agli

maggiori autovalori

e è l’ordine del modello ridotto.

2.2.5. Costruzione del sottospazio dominante degli autovalori

usando il metodo di iterazione dei sottospazi

Il modello ridotto definito dalle equazioni da (2.58) a (2.61) richiede la

costruzione del sottospazio degli autovalori dominanti di , cioè il calcolo

degli autovettori in corrispondenti ai maggiori autovalori

del problema agli autovalori generalizzato simmetrico definito

dall’equazione (2.50). Visto che è grande e , sia il metodo per

iterazione dei sottospazi che il metodo di Lanczos possono essere utilizzati. La

struttura algebrica della matrice definita dall’equazione (2.43) mostra che

l’uso di un metodo per iterazione dei sottospazi consente di costruire un metodo

di soluzione molto efficiente.

Sia la dimensione del sottospazio usato per le iterazioni, tale che

(nella pratica ). Il problema agli autovalori generalizzato

simmetrico, definito dalle equazioni (2.50), (2.53) e (2.54) è riscrivibile in forma

matriciale come

(2.76)

dove è una matrice reale tale che

37

(2.77)

e è la matrice reale diagonale degli autovalori. Si hanno quindi da

calcolare gli maggiori autovalori e i corrispondenti autovettori

costituiti dalle prime colonne della matrice . Visto che la formula del

metodo per iterazione dei sottospazi è adattata per calcolare gli autovalori più

bassi, le equazioni (2.76) e (2.77) vengono trasformate come segue:

(2.78)

con

(2.79)

(2.80)

Di conseguenza si devono calcolare gli più bassi autovalori e associati

autovettori del problema agli autovalori simmetrico definito dalle equazioni

(2.78) e (2.79).

Utilizzando l’equazione (2.52) e sfruttando il fatto che è invertibile, il

classico algoritmo del vettore di iterazione dei sottospazi applicato alle

equazioni da (2.78) a (2.80) può essere riscritto come segue.

1. Inizializzazione:

(2.81)

in cui è la matrice nulla , è la matrice identità e

è una matrice reale calcolata attraverso una selezione di

vettori di iterazione iniziali (costruiti, ad esempio, usando il metodo di

38

Lanczos). Le colonne della matrice devono essere un set di

vettori algebricamente indipendenti di .

2. Per

(2.82)

in cui e sono matrici reali e è una matrice

reale . Si calcolano le matrici reali e tali che

(2.83)

(2.84)

(2.85)

(2.86)

in cui e sono matrici reali . Si risolve quindi il

problema agli autovalori generalizzato simmetrico proiettato di

dimensione

(2.87)

con

(2.88)

Si calcola . Si misura la convergenza tramite la relazione

(2.89)

39

3. Quando la convergenza è raggiunta, sono le prime colonne

della matrice reale , che è calcolata come

(2.90)

Se si guarda l’algoritmo appena proposto, sembrerebbe che il calcolo della

matrice sia necessario. In realtà, l’equazione (2.84) mostra che bisogna

soltanto calcolare la matrice reale tale che

(2.91)

in cui è una matrice reale data. Questa procedura, eseguita

direttamente nel dominio delle frequenze, porta ad avere una stima del numero

di operazioni

(2.92)

dove è la semiampiezza della banda media delle matrici simmetriche ,

e .

La procedura seguente, fatta in modo indiretto nel dominio delle frequenze, è

invece più efficiente. Visto che è una matrice reale, può essere facilmente

verificato che

(2.93)

dove è una matrice complessa che è l’unica soluzione delle

equazioni

40

(2.94)

(2.95)

in cui è una funzione da a tale che, per ogni in

(2.96)

la stima del numero delle operazioni necessarie risulta

(2.97)

Di conseguenza il guadagno rispetto alla procedura diretta è

(2.98)

Per esempio, nel contesto degli elementi finiti, se , ,

e allora il guadagno è approssimativamente 60.

Esiste anche un’altra procedura, basata sull’uso del metodo di soluzione MF nel

dominio del tempo e illustrata in [4], più efficiente ancora del metodo di

soluzione indiretta nel dominio delle frequenze. Esso richiede soltanto la

fattorizzazione di una matrice complessa la cui semiampiezza di banda

sia . Conseguentemente, la memoria interna necessaria per questa procedura è

di gran lunga minore di quella della procedura indiretta nel dominio delle

frequenze per cui è necessario avere simultaneamente in memoria

fattorizzazioni.

41

Per definire il segnale d’ingresso, si comincia con l’analisi della funzione

definita dall’equazione (2.96); si deduce che e la sua

trasformata inversa di Fourier è

(2.99)

Essa appartiene a e può essere scritta come

(2.100)

La funzione appartiene a e ha come trasformata di Fourier

(2.101)

che è tale per cui

, dove denota un

intervallo compatto di

(2.102)

La funzione è il segnale LF (low frequency, a bassa frequenza)

associato al segnale MF a banda stretta [4]. Se per ogni

appartenente a si ha , allora si scrive come

e per

(2.103)

42

in cui , e .

A questo punto si può introdurre l’approssimazione relativa alla banda ,

assumendo che per ogni in si possa scrivere , dove

è una matrice complessa invertibile

(2.104)

in cui e sono matrici reali simmetriche indipendenti dalla

frequenza

(2.105)

Di conseguenza, si ha con

(2.106)

e le equazioni (2.41), (2.43) portano a

(2.107)

La matrice viene calcolata usando le equazioni definite all’interno della

procedura indiretta nel dominio delle frequenze, ovvero usando l’equazione

(2.93), ma le equazioni (2.94) e (2.95) devono essere rimpiazzate da

(2.108)

(2.109)

43

Da questo punto di partenza è possibile dedurre le equazioni MF nel dominio del

tempo. Siano e funzioni integrabili al quadrato tali che

(applicando la trasformata inversa di Fourier)

(2.110)

Dalle equazioni (2.99), (2.104), (2.108) e (2.109) si deduce che e

verificano le equazioni MF nel dominio del tempo

(2.111)

(2.112)

Alle equazioni MF nel dominio del tempo è possibile associare delle equazioni a

bassa frequenza LF. Siano e segnali LF associati ai segnali MF e

rispettivamente, tali che

(2.113)

Di conseguenza, e sono funzioni integrabili al quadrato

e allo stesso modo le loro trasformate di Fourier

(2.114)

44

Sostituendo nelle equazioni (2.111) e (2.112) e usando l’equazione (2.100) si

ricavano le equazioni LF nel dominio del tempo associate alle equazioni MF

(2.111) e (2.112)

(2.115)

(2.116)

in cui le matrici simmetriche complesse e sono scritte come

(2.117)

(2.118)

Infine, è possibile esprimere la matrice usando la soluzione delle equazioni

LF associate nel dominio del tempo. Siano e funzioni

che verificano le equazioni (2.115) e (2.116). Dalle equazioni (2.93) e (142) si

deduce che . Usando l’equazione (2.114) per si

arriva a

(2.119)

Per concludere la trattazione del metodo proposto da C. Soize, viene suggerito

una possibile procedura di soluzione.

Le equazioni LF associate (2.115) e (2.116) possono essere risolte usando un

metodo di integrazione iterativo implicito e incondizionatamente stabile, come

ad esempio il metodo di Newmark o il -metodo di Wilson.

45

Visto che le equazioni (2.115) e (2.116) hanno lo stesso operatore differenziale

, è necessario fattorizzare soltanto una matrice

complessa simmetrica .

Si ha la seguente procedura:

Costruzione della sequenza per con

e ottenuta risolvendo l’equazione (2.115) per con

le condizioni iniziali .

Costruzione della sequenza per ottenuta

risolvendo l’equazione (2.116) per con le condizioni iniziali

Per dettagli riguardanti il metodo di soluzione MF, come i valori tipici di ,

si rimanda a [4].

Il numero stimato di operazioni necessarie per risolvere il problema MF (usando

il metodo di Newmark) risulta essere

(2.120)

Di conseguenza, il guadagno rispetto alla procedura indiretta nel dominio delle

frequenze è

(2.121)

Per esempio, nel contesto degli elementi finiti, se , ,

e allora il guadagno è approssimativamente

.

46

2.3. LA PROPER ORTHOGONAL DECOMPOSITION

2.3.1. Introduzione

Il metodo POD (Proper Orthogonal Decomposition o Decomposizione

Ortogonale Propria) è un metodo potente ed elegante per l’analisi di dati che

punta all’ottenimento di sistemi approssimati di dimensioni contenute

riguardanti processi a molti gradi di libertà [5]. Il metodo POD fornisce una base

per la decomposizione modale di un insieme di funzioni, come ad esempio

quelle ottenute attraverso esperimenti o simulazioni numeriche.

La caratteristica più rilevante del POD è l’ottimalità: esso fornisce la modalità

più efficace di catturare le componenti dominanti di un processo a dimensione

infinita con solamente un numero finito di “modi”.

Sono 3 i metodi principali riconducibili al POD: l’analisi in componenti

principali (PCA), la decomposizione ai valori singolari (SVD) e la

decomposizione Karhunen-Loève (KLD). Nella sostanza di queste applicazioni,

il POD è utilizzato per analizzare dati sperimentali con l’obiettivo di estrarne le

caratteristiche dominanti. Il POD viene usato per ottenere descrizioni

approssimate e di ordine ridotto di flussi di fluidi turbolenti, di vibrazioni

strutturali e di sistemi dinamici caotici.

L’analisi in componenti principali (PCA) ha come idea centrale quella di ridurre

la dimensione di un set di dati che consiste in un grande numero di variabili

correlate contenendo allo stesso tempo il più possibile la variazione presente

nelle misurazioni. Questo obiettivo è ottenuto trasformando le variabili originali

in un nuovo set di variabili, le componenti principali, che sono scorrelate tra loro

e sono ordinate in modo che le prime includano la maggior parte della

fluttuazione presente in tutte le variabili originali.

La decomposizione ai valori singolari (SVD) può essere vista come l’estensione

della decomposizione agli autovalori per il caso di matrici non quadrate. Per ciò

di cui la decomposizione ortogonale propria si occupa, la SVD può anche essere

vista come una estensione della decomposizione alle matrici non simmetriche.

La decomposizione Karhunen-Loève (KLD) è invece l’estensione della PCA al

caso di spazi di dimensione infinita, come ad esempio lo spazio delle funzioni

continue in tempo. La KLD utilizza funzioni ad un solo parametro invece che

47

vettori e funzioni a 2 parametri per rappresentare l’autocorrelazione invece che

usare matrici. La KLD può essere estesa facilmente a processi a tempo discreto.

In termini di ottimalità, la KLD presenta le stesse proprietà di ricostruzione ai

minimi quadrati e massimizzazione della varianza che possiede la PCA.

Nel contesto di questo lavoro di tesi, viene focalizzata l’attenzione sulla

decomposizione Karhunen-Loève, di cui viene presentata una descrizione

matematica, tratta da vari articoli citati in bibliografia.

2.3.2. Il metodo Karhunen-Loève

Nonostante autovalori e autovettori di sistemi lineari semplici siano ben noti ed

usati in tipiche analisi modali per estrarre le caratteristiche dinamiche a bassa

frequenza, il problema agli autovalori può essere estremamente difficoltoso per

problemi più generali o complessi [6]. Per risolvere problemi di dinamica

strutturale dove vengono individuati modi propri di vibrare non smorzati, risulta

necessario avvalersi di potenti calcolatori per risolvere problemi agli autovalori

di larga scala. Il costo computazionale però diventa proibitivamente elevato

quando si ha a che fare con matrici di ordine elevato, sparse e non simmetriche.

La decomposizione Karhunen-Loève (KLD) è particolarmente utile in molte

applicazioni per produrre un nuovo set di autovettori per il calcolo vibrazionale

o per problemi di interazione fluido-struttura.

Vi sono parecchi vantaggi derivanti dall’uso del KLD rispetto all’analisi agli

autovalori convenzionale:

Il KLD utilizza un metodo detto a snapshot, dove il problema di ottenere

gli autovettori di un sistema di ordine elevato si riduce a ricavare gli

autovettori di matrici dell’ordine di ;

Il metodo produce sempre modi reali e ottimi a prescindere dalle

caratteristiche di smorzamento del sistema in considerazione;

Il metodo è un approccio a risposta diretta che non richiede un modello

dinamico che descriva il sistema; di conseguenza può essere applicato

sia a modelli analitici tanto quanto a quelli sperimentali;

Risolvendo il sistema lineare insieme a quello aggiunto, è possibile

ricostruire gli autovettori del sistema originale.

48

Il metodo KLD può servire a 2 scopi principali [7]:

ridurre l’ordine di un problema tramite la proiezione di dati di grandi

dimensioni in uno spazio di ordine più piccolo;

rivelare strutture caratteristiche inaspettate ma rilevanti, nascoste nei dati

a disposizione.

L’idea chiave del KLD è di ridurre un numero elevato di variabili

interdipendenti in un numero di gran lunga inferiore di variabili tra loro

indipendenti al tempo stesso trattenendo il più possibile la variazione delle

variabili originali. Viene effettuata una trasformazione ortogonale della matrice

di covarianza presa in considerazione nella base degli autovettori corrispondenti

agli autovalori più grandi. La trasformazione permette di scorrelare le

componenti del segnale e di massimizzare la varianza.

La proprietà più rilevante del KLD è l’ottimalità, nel senso che esso minimizza

l’errore quadratico medio tra il segnale originale e la sua rappresentazione

lineare ridotta.

Di seguito viene presentata una breve formulazione matematica del metodo

KLD, discutendone le caratteristiche positive e negative.

2.3.3. Formulazione matematica del KLD

La formulazione proposta riprende il lavoro di sintesi sui metodi POD di Y. C.

Lyang [8] e si riferisce alla versione discreta del KLD [5].

Sia un vettore random e un set di vettori di base ortonormali in

, allora esiste un tale che

(2.122)

Sia

49

(2.123)

dove sono costanti. Può essere facilmente verificato che

a seguito dell’azzeramento dell’offset dei campioni,

cioè dopo aver operato su un vettore random tale per cui .

Sia dove e sono vettori random,

perciò anche è un vettore random. Per poter esaminare la qualità

dell’espressione di si sceglie di usare l’errore quadratico medio, ovvero

(2.124)

Per permettere a di essere un minimo, viene calcolata la derivata di

rispetto a , che porta a

(2.125)

che eguagliata a zero conduce a

(2.126)

Si può vedere che dopo l’azzeramento dell’offset dei campioni; quindi si

ha che risulta essere la forma richiesta del POD. Per

mantenere la generalità della derivazione, si sostituisce l’equazione (2.126)

nell’equazione (2.124), che dà

50

(2.127)

dove è la matrice di covarianza di e

(2.128)

Quindi il problema KLD viene trasformato in un problema di minimizzazione

vincolata

(2.129)

(2.130)

Introducendo i moltiplicatori di Lagrange si

ottiene

(2.131)

Differenziando rispetto a entrambi i membri dell’equazione precedente si può

scrivere

51

(2.132)

dove . Riscrivendo

l’equazione in forma matriciale si ha

(2.133)

dove . Ponendo il secondo membro uguale a zero si

ottiene

(2.134)

È facilmente verificabile che tutti i vettori di base ortonormali che soddisfano il

sistema composto dalle equazioni (2.129) e (2.130) devono soddisfare anche

l’equazione (2.134), dove non ci sono vincoli particolari per e .

A questo punto si dimostra che tutti gli che soddisfano l’equazione

(2.134) possono essere formati dagli autovettori di e che è la matrice

diagonale che contiene i corrispondenti autovalori di .

Moltiplicando l’equazione (2.134) per si ha

(2.135)

Da notare che , così nell’equazione (2.135) è la matrice di

covarianza del vettore formato dagli ultimi elementi del vettore random

a seguito della trasformazione . Perciò è una matrice semidefinita

positiva di dimensioni .

52

Sia la matrice diagonale formata dagli autovalori di e la

matrice quadrata formata dai corrispondenti autovettori. Effettuando la

trasformazione si ha

(2.136)

Sostituendo l’equazione (2.135) all’interno dell’equazione (2.136) si arriva a

(2.137)

Si può notare che gli elementi diagonali di sono gli autovalori di

e gli autovettori corrispondenti agli autovalori formano .

Chiamando la matrice degli autovettori , si può scrivere

(2.138)

Quindi l’errore quadratico medio risulta

(2.139)

dove sono gli autovalori corrispondenti alle colonne di

. Una volta che è mappata nel sottospazio -dimensionale spaziato

dagli autovettori di , l’applicazione di un’ulteriore trasformazione

ortonormale non andrebbe a cambiare l’errore quadratico medio. Di

conseguenza, e dell’equazione (2.135) possono essere scelti

53

semplicemente prendendo le matrici formate dagli autovalori e autovettori di

rispettivamente.

2.3.4. Interpretazione fisica del POD

Nell’articolo di B. F. Feeny e R. Kappagantu in riferimento [9] viene analizzato

come i modi estratti dal POD (Proper Orthogonal Modes o POM) siano legati ai

modi propri di vibrare e come si possa evidenziare una loro interpretazione

fisica. Di seguito è riportato un breve riassunto delle loro considerazioni.

Il POD è un metodo emergente che si sta rivelando particolarmente utile come

strumento per l’analisi sperimentale nella dinamica delle vibrazioni. Esso è

principalmente una formulazione statistica, sebbene faciliti la proiezione modale

di equazioni differenziali alle derivate parziali in modelli deterministici di

ordine ridotto.

L’applicazione del POD alle strutture tipicamente richiede di avere misurazioni

degli spostamenti del sistema dinamico in posizioni. Questi spostamenti

vengono misurati volte per cui si ha con

. Nell’operare il POD, queste storie di spostamento vengono usate

per formare una matrice d’insieme

(2.140)

Ogni riga di rappresenta un punto nello spazio delle coordinate in un

particolare istante di tempo. Viene così formata la matrice di correlazione (di

dimensione

(2.141)

54

Visto che è reale e simmetrica, i suoi autovalori formano una base ortogonale.

Gli autovettori di sono i modi ortogonali propri (POM) e gli autovalori i valori

ortogonali propri (POV).

Le equazioni di moto per un sistema vibratorio lineare non forzato e non

smorzato a più gradi di libertà è scritto come

(2.142)

I vettori modali , quando vengono normalizzati rispetto alla matrice di massa,

soddisfano la condizione di ortogonalità . Può essere fatta quindi

una trasformazione di coordinate . Il sistema può essere espresso

come

(2.143)

I vantaggi di questa rappresentazione sono che le matrici sono ancora

simmetriche e la matrice di massa risultante è l’identità. I vettori modali

normalizzati di un sistema così fatto soddisfano la proprietà di ortogonalità

.

Supponendo che la vibrazione consista in un certo numero di modi propri, si può

esprimere il moto come

(2.144)

dove le componenti di sono gli spostamenti di particolari coordinate,

sono i vettori modali e le costanti e dipendono dalle condizioni iniziali.

Si può controllare se un vettore modale è in realtà un POM post-moltiplicando la

matrice per il vettore modale:

55

(2.145)

dove .

La relazione di ortogonalità riduce il prodotto matriciale a

(2.146)

Fino a quando le frequenze dei modi sono distinte, ogni termine

scompare al tendere di ad infinito , eccetto per il termine che è

proporzionale a . Perciò, un autovettore di , e quindi un POM, converge

verso un vettore modale.

Nel proseguo dell’articolo, viene proposto l’esempio di un sistema lineare non

smorzato a 3 gradi di libertà, schematizzato tramite 3 molle e 3 masse, come

visibile in Figura 2.3.1.

Figura 2.3.1 Sistema a 3 masse e 3 molle

Tralasciando di riportare i risultati numerici, è utile sottolineare che il test

dimostra che i POM convergono verso gli autovettori del sistema e l’errore

commesso diminuisce all’aumentare del numero di campioni estratti dalla storia

56

temporale di vibrazione del sistema e pure all’aumentare della lunghezza del

tempo di registrazione del moto.

A questo punto, si può passare ad osservare un’interessante interpretazione

geometrica dei POM. Se si considera , allora gli autovettori

normalizzati di soddisfano

(2.147)

L’equazione soprastante può essere pre-moltiplicata per al fine di ottenere

. È utile prendere ora in considerazione . Visto che consiste

nelle colonne delle informazioni campionate provenienti da ciascuna coordinata,

le righe di rappresentano i punti (quelli dove sono posizionati i sensori) ad

ogni istante di tempo. Rinominando queste coordinate con , in modo tale che

le righe di siano date da , si ha allora

(2.148)

Ogni elemento del vettore consiste nella proiezione delle coordinate sul

vettore unità , dando la sua distanza rispetto all’origine lungo la direzione di .

Quindi la quantità

eguaglia la distanza quadratica

media dei dati delle coordinate proiettata lungo gli assi di . Gli autovettori, o

modi ortogonali propri, quindi ottimizzano la distanza quadratica media dei dati

lungo una base ortogonale. Nei sistemi meccanici, le distanze quadratiche sono

associate all’energia. Questa è un’interpretazione consistente con la proprietà

nota che i POM indicano l’ottima distribuzione dell’energia all’interno dei dati.

Si può anche notare che i POM coincidono con gli assi principali dell’ellissoide

d’inerzia formato da questa distribuzione di massa (cioè dei dati).

Si dimostra che gli assi principali d’inerzia della distribuzione, ponendo a

ciascun dato massa unitaria, sono autovettori della matrice e di conseguenza

coincidono con i POM. In aggiunta, i POV sono legati ai momenti principali

d’inerzia tramite per , dove e è il

57

valore del momento principale d’inerzia . Quindi questo vuol dire che l’asse

corrispondente al più grande valore ortogonale proprio, che è associato alla

massima distanza proiettata media dei dati, corrisponde all’asse lungo il quale si

registra il minore momento d’inerzia.

2.3.5. Derivazione in frequenza del KLD

È possibile derivare il metodo KLD nel dominio delle frequenze, ugualmente

applicabile a database sia sperimentali che generati numericamente [6]. Nel

primo caso, si assume che siano disponibili un certo numero di risposte in

frequenza a partire da un esperimento.

L’obiettivo è trovare una funzione reale per cui il seguente indice di

merito energetico è massimo:

(2.149)

con il vincolo

(2.150)

dove rappresenta la risposta del sistema lineare preso in considerazione.

Qui rappresenta una funzione agli autovalori empirica che è ottimale nel

senso che partecipa nella risposta con l’ampiezza più grande ma mantenendo

l’energia media del sistema al suo valore quadratico medio. La media in tempo

è approssimata attorno ad un periodo finito .

L’energia quadratica media, dati campioni ad istanti di tempo

con intervalli di tempo , è

esprimibile come

58

(2.151)

dove .

È quindi possibile presentare una formulazione diretta del metodo KLD.

L’energia quadratica media espressa dall’equazione (2.151) può essere

convertita in un integrale nel dominio delle frequenze grazie al teorema di

Parceval:

(2.152)

L’ampiezza della risposta in frequenza è data come

(2.153)

dove e l’asterisco rappresenta il complesso coniugato.

Assumendo che i dati campionati siano disponibili per frequenze

con intervalli in frequenza ,

l’equazione (2.149) può essere approssimata come

(2.154)

dove . Tenendo conto del vincolo imposto

dall’equazione (2.150), il funzionale da massimizzare è

(2.155)

59

Prendendo la derivata parziale dell’equazione (2.155) e ponendola a zero, si

arriva a

(2.156)

Dove

(2.157)

e . Come nel caso nel dominio del tempo, il nucleo della

funzione può essere interpretato come la correlazione delle risposte dei 2

sistemi, e . Si può notare che è reale e simmetrica e,

senza perdita di generalità, gli autovettori sono reali e ortonormali, ovvero

.

La formulazione diretta del KLD è vantaggiosa per sistemi con una risoluzione

spaziale moderata. Tuttavia, se il sistema ha una risoluzione considerevolmente

elevata, è preferibile il metodo snapshot. Può essere ottenuta una significativa

riduzione di dimensione del sistema assumendo come una combinazione

lineare di snapshot istantanei. Nel dominio delle frequenze, questo concetto può

essere espresso come

(2.158)

dove è una sequenza di numeri complessi pesati in base al passo in frequenza.

Sostituendo l’equazione (2.158) all’interno dell’equazione (2.156) si ha

60

(2.159)

O, in forma matriciale

(2.160)

Dove

(2.161)

(2.162)

(2.163)

Quindi, l’equazione integrale (2.156) è ridotta ad una equazione agli autovalori

di ordine . Tutti gli autovalori sono reali e gli autovettori formano coppie

complesse coniugate. Di conseguenza, tutti i modi del sistema ottenuti

dall’equazione (2.158) sono reali e ortonormali.

Una risposta in frequenza generica può essere approssimata tramite una

combinazione lineare degli autovettori come

(2.164)

61

dove, come conseguenza dell’ortonormalità

(2.165)

Si può notare anche che

, ovvero che l’autovalore di un modo KL è

anche la misura di quanto il modo partecipa nella generazione della risposta del

sistema preso in considerazione.

Eccettuando il fattore di scala , la procedura KL nel dominio delle

frequenze nell’equazione (2.158) come nella (2.160) assomiglia in modo deciso

al problema agli autovalori nel dominio del tempo

(2.166)

In effetti, nell’equazione (2.164) può essere interpretata come la

trasformata di Fourier dei coefficienti temporali che soddisfano

(2.167)

Di conseguenza, si otterrebbe lo stesso set di modi con entrambe le versioni

proposte del KLD (quella diretta e quella a snapshot), a patto che e

costituiscano esatte controparti della trasformata di Fourier.

2.3.6. Applicazione del KLD ad una struttura a traliccio 2D

Il metodo KLD si presta molto facilmente ad applicazioni dirette su strutture di

tipo traliccio, poiché la loro dinamica presenta delle interessanti sfide tecniche

62

[10]. Infatti, queste strutture generalmente possiedono alte densità modali, con

clusters di modi tra loro molto vicini anche a relativamente basse frequenze. Il

KLD permette di estrarre strutture spaziali coerenti, i POM, da un set di risposte

in tempo di differenti punti della struttura. Inoltre il metodo KL permette di

stimare l’energia di ciascun POM identificato (cioè la misura dell’importanza di

ciascun POM), una capacità che permette una stima quantitativa

dell’accuratezza dell’identificazione del comportamento del sistema.

Nel recente passato, sono state fatte delle prove numeriche [10] e sperimentali

[11] su strutture di tipo traliccio, delle quali si ritiene utile fornire un breve

riassunto, vista la stretta affinità con l’argomento principale della tesi.

Nel primo articolo, scritto da X. Ma e A. F. Vakakis, si prende in considerazione

una struttura bidimensionale a 18 baie (Figura 2.3.2), alla quale vengono

applicate le seguenti condizioni al contorno:

Struttura a traliccio libera nello spazio (ovvero non appoggiata);

Il vettore

delle forze esterne generalizzate (nel dominio delle

frequenze) sono agenti sul lato sinistro del traliccio;

Non esistono forze esterne generalizzate sul lato destro del traliccio,

ovvero

;

63

Figura 2.3.2 Traliccio a 18 baie

la relazione matriciale che si può scrivere tra le forze generalizzate e gli

spostamenti ai giunti è, per ogni set -esimo

(2.168)

dove

è il vettore degli spostamenti generalizzati al bordo sinistro

della baia ed è definito come

(2.169)

64

dove

rappresenta gli spostamenti orizzontali e verticali e

le rotazioni dei

giunti sul lato sinistro del traliccio. Similarmente,

è il vettore delle

forze generalizzate agenti al bordo sinistro della baia, ed è definito come

(2.170)

È necessario notare che la relazione (2.168) è espressa nel dominio delle

frequenze e che i vettori degli spostamenti (2.169) e delle forze (2.170)

generalizzate sono dipendenti dalla frequenza.

L’analisi del comportamento della struttura viene fatta applicando 3 diverse

condizioni di carico:

Singola forza verticale agente sul giunto superiore della baia sinistra del

traliccio;

Singola forza orizzontale agente sullo stesso nodo;

2 forze orizzontali identiche agenti sui nodi superiore ed inferiore della

baia sinistra del traliccio.

Nelle tabelle seguenti sono riportati i risultati dell’applicazione del KLD per

ciascun sistema di carico (Tabella 2.3.1).

POMs forzante tipo I

POM Energia del modo [%]

Totale energia catturata [%]

1 52,14% 52,14%

2 21,77% 73,91%

3 7,98% 81,89%

4 3,41% 85,30%

5 2,66% 87,96%

6 2,18% 90,14%

7 1,84% 91,98%

8 1,71% 93,69%

9 1,10% 94,79%

65

10 1,08% 95,87%

POMs forzante tipo II



1 90,77% 90,77%

2 2,11% 92,88%

3 1,79% 94,67%

4 0,91% 95,58%

5 0,87% 96,45%

6 0,87% 97,32%

7 0,69% 98,01%

8 0,55% 98,56%

9 0,39% 98,95%

10 0,28% 99,23%

POMs forzante tipo III



1 96,53% 96,53%

2 1,46% 97,99%

3 1,21% 99,20%

4 0,40% 99,60%

5 0,27% 99,87%

6 0,06% 99,93% Tabella 2.3.1 Distribuzione dell'energia per i primi modi del traliccio a 18 baie

Si può notare che la prima condizione di carico porta la struttura ad avere una

predominanza di modi flessionali, e che i primi 10 modi sono capaci di catturare

più del 95% dell’energia totale della risposta. Quando viene considerato un

carico di tipo orizzontale invece, vi è un significativo cambiamento qualitativo

nei risultati, poiché la struttura vibra in maniera predominante in direzione

longitudinale e quindi, per la seconda e la terza condizione di carico, il primo

POM cattura una parte essenziale dell’energia e domina su tutti gli altri modi.

Questo è in contrasto con quello che era stato osservato con la forzante verticale,

dove veniva osservata una partizione dell’energia su più modi. Nelle successive

Figura 2.3.3, Figura 2.3.4 e Figura 2.3.5 sono mostrati i primi 3 modi per

66

ciascuna condizione di carico (4 per la terza condizione). Questi modi non

hanno somiglianza con i classici modi propri di vibrare che si otterrebbero da

un’analisi agli autovalori diretta delle equazioni di moto.

Figura 2.3.3 POM dominante per la forzante di tipo I

67

Figura 2.3.4 POM dominante per la forzante di tipo II

Figura 2.3.5 POM dominante per la forzante di tipo III

68

Va ricordato però che l’identificazione di sistema di strutture flessibili similari al

traliccio utilizzato per l’analisi, è un compito problematico dovuto al fatto che

sono implicate alte densità modali che provocano problemi significativi nel caso

di utilizzo delle classiche tecniche di analisi modale nel dominio del tempo (o

delle frequenze). Proprio perché non ha a che fare con i modi di vibrare fisici, il

KLD non ha questo tipo di limitazione e può essere usato per l’identificazione di

sistema di strutture con leggero smorzamento e alta flessibilità, che tipicamente

possiedono alte densità modali.

In un articolo successivo [11], sempre redatto da X. Ma e A. F. Vakakis,

vengono proposti i risultati di un confronto tra l’analisi numerica effettuata

usando i POM e l’analisi sperimentale, applicate ad una struttura a traliccio a 3

baie.

Gli obiettivi dello studio sono:

Estrarre i modi KL sperimentali della struttura sottoposta ad una

eccitazione quasi-impulsiva;

Confrontare le forme dei modi KL sperimentali con quelli calcolati

numericamente;

Provare la robustezza dei modi KL e mostrare che risulta fattibile

implementare un modello di ordine ridotto che rappresenti fedelmente la

dinamica di sistemi flessibili di grande scala.

Le misurazioni sulla struttura vera vengono fatte su tutti gli 8 giunti delle 3 baie

attraverso degli accelerometri triassiali. Dei dati sperimentali, si è tenuto conto

solo della componente di accelerazione nel piano x-y, trascurando quelle fuori

dal piano. Le eccitazioni, di carattere impulsivo, vengono fornite rispettivamente

in direzione x ed y. Nelle Figura 2.3.6 e Figura 2.3.7 sono presentati i modi

calcolati in modo puramente numerico e confrontati con quelli ottenuti

attraverso le misurazioni sperimentali.

69

Figura 2.3.6 Modi KL principali teorici e sperimentali in direzione x

70

Figura 2.3.7 Modi KL principali teorici e sperimentali in direzione y

71

Si può notare che c’è una concordanza soddisfacente tra le forme modali

dominanti date dall’approccio teorico e sperimentale, nonostante ci sia una netta

differenza tra l’energia catturata dal modo sperimentale (circa 35% con

eccitazione in direzione x) rispetto a quello numerico (90%). Inoltre, quando si

considerano i modi di ordine superiore, si vede che vi è molta più energia

diffusa tra i modi sperimentali, tale per cui non vi è un accordo soddisfacente tra

i 2 approcci. Si può concludere che, sebbene il modello teorico sia in accordo

con i risultati sperimentali a basse frequenze, esso si discosta andando ad alte

frequenze. Va notato però che le posizioni delle risonanze evidenziano un

sostanziale accordo tra la stima fatta dall’approccio teorico e quello

sperimentale.

Inoltre, il fatto che il modo dominante ricavato dall’approccio teorico sia in

accordo nella sua forma (ma non nella percentuale di energia catturata) con

quello sperimentale, è un segnale incoraggiante. Questa è una ulteriore prova

che i modi KL si prestano bene per la riduzione dell’ordine di sistemi flessibili

con alte densità modali laddove altre tecniche di riduzione sono difficili da

applicare. In aggiunta a tutto ciò, visto che con soltanto pochi modi KL, per la

struttura presa in considerazione nell’articolo ne sono sufficienti soltanto 6 (su

un sistema di 24 equazioni differenziali alle derivate parziali), si riesce a

catturare le caratteristiche essenziali della risposta, con il KLD è possibile

ottenere una drastica riduzione dell’ordine del sistema, difficile da raggiungere

con i modi di vibrare classici.

2.4. IL METODO DI C. SOIZE E POD A CONTATTO

Questo paragrafo ha lo scopo di evidenziare le somiglianze ed a volte addirittura

la sovrapposizione, tra le caratteristiche dell’Energy Operator proposto da C.

Soize e quelle della matrice di autocovarianza del metodo Karhunen-Loeve.

Innanzitutto, si può notare che la matrice di autocovarianza sia, per

definizione, reale e simmetrica, come l’Energy Operator [3].

Inoltre, essendo l’Energy Operator definito come

72

(2.171)

si può notare che la matrice delle funzioni di risposta in frequenza e il

suo complesso coniugato effettuano tra loro una convoluzione delle

proprie informazioni, similmente a quanto accade con la matrice di

autocovarianza (ripresa da [6] nella sua formulazione in frequenza)

(2.172)

Tra le 2 matrici vi sono 2 differenze principali:

L’Energy Operator è un operatore che rappresenta l’energia e quindi ne

porta anche le dimensioni fisiche; questo fatto è evidenziato dalla

presenza della matrice di massa, che contribuisce ad identificare la

matrice risultante come il doppio dell’energia cinetica totale della

struttura [4]. In questo contesto viene giustificata anche la presenza del

termine , che dà la dimensione di velocità alle matrici delle funzioni

di risposta in frequenza, e del coefficiente

, che risulta essere

semplicemente un termine di scalatura;

La matrice di autocovarianza è costruita attraverso il prodotto di un set di

valori discreti, a differenza dell’Energy Operator che a valori puntuali

sostituisce delle funzioni continue (le funzioni di risposta in frequenza

FrF).

In realtà, anche alla matrice di autocovarianza può essere data una dimensione

fisica, semplicemente aggiungendo una matrice peso ; per la maggior parte

delle applicazioni essa è pari all’identità, ma può benissimo essere la matrice di

massa , a sottolineare la somiglianza con l’Energy Operator [12]:

(2.173)

73

Nonostante queste differenze, è possibile ottenere da entrambe le matrici un set

di autovalori reali e positivi e di conseguenza degli autovettori ortonormali,

capaci cioè di formare una base completa nello spazio di appartenenza [5] e [3].

Un’altra caratteristica comune e molto conveniente è che il metodo KL

permette, ricavati gli autovalori, di stabilire in modo immediato come i modi

rappresentati dagli autovettori contribuiscono quantitativamente all’energia della

risposta [7], semplicemente, visto che l’energia totale è esprimibile come

(2.174)

quindi l’energia percentuale di ciascun modo si può scrivere come

(2.175)

Questa caratteristica è propria anche della matrice .

Per concludere, è utile aggiungere che nel recente passato è stato proposto da R.

Ghanem e P. Spanos [13] un metodo innovativo per combinare il metodo

proposto da C. Soize e l’approccio SFEM (Stochastic Finite Element Method)

[14], per la risoluzione di problemi di dinamica strutturale di tipo stocastico nel

dominio delle medie frequenze. Esso procede avvalendosi dell’Energy Operator

adattato ad una specifica banda in frequenza per costruire un modello ridotto

utilizzando uno sviluppo alla Ritz-Galerkin. Quando è stato costruito un modello

ridotto efficiente, l’incertezza sui parametri del sistema viene trattata tramite

l’approccio SFEM, che si basa sull’integrazione del KLD e della Polynomial

Chaos Expansion.

74

3. IMPLEMENTAZIONE NUMERICA

3.1. Introduzione

Nel corso di questo capitolo viene presentato il programma realizzato da E.

Savin, basato sui concetti teorici espressi negli articoli di C. Soize già riassunti

nel capitolo precedente, utilizzando il solutore MSC.Nastran, versione 2001. Il

programma è stato aggiornato nell'ambito del lavoro di tesi alla versione 2011 di

MSC.Nastran, correggendo e modificando le parti che, per questioni di

evoluzione del software, non funzionavano più o non consentivano una buona

flessibilità nell'ottenere i vari risultati. Esso è scritto in linguaggio DMAP

(Direct Matrix Abstraction Program), il codice interno di MSC.Nastran (si

consiglia di consultare l’Appendice per una breve descrizione del suo

funzionamento).

Nel paragrafo 3.2 vengono presentati il programma principale utilizzato, i suoi

sottoprogrammi, le problematiche riscontrate durante l'aggiornamento e come

sono state risolte al fine di consentire il funzionamento corretto dello stesso.

Inoltre è presente una breve guida sui parametri definiti all’interno del

programma e modificabili dall’utente, fornendo anche in alcuni casi dei valori

empirici. Successivamente, nel paragrafo 3.3, viene mostrato il funzionamento

del programma applicato ad un modello di piastra omogenea, al fine di validarlo

prima di passare a strutture più complesse.

3.2. Breve descrizione del programma

3.2.1. Elenco dei file utilizzati

Il programma originale è composto da vari file che interagiscono tra loro

scambiandosi input e output. Essi sono:

75

plate_108.dat

È un file di testo che contiene tutte le istruzioni di input necessarie per il

funzionamento di MSC.Nastran, quali le informazioni sulla geometria, i

materiali e le proprietà usate, i vincoli, i carichi applicati, il tipo di

soluzione da cercare ecc…; esso ha un duplice utilizzo, ovvero serve sia

per estrarre la funzione di risposte in frequenza (FrF) data dalla

soluzione diretta (SOL 108 di MSC.Nastran), sia per indicare al

software dove andare ad alterare il codice sorgente per inserire le linee

di script relative al nuovo metodo di soluzione, ottenendo così la FrF

calcolata con il modello ridotto di C. Soize;

deck_mfn_red.dmp

è il programma principale, quello in cui è implementato il metodo di C.

Soize, il quale va a modificare il funzionamento standard del solutore

SEDFREQ (SOL 108) di MSC.Nastran; è conveniente sottolineare che,

per il calcolo degli autovalori associati alla matrice relativa all’Energy

Operator, è stato scelto di utilizzare il solutore Lanczos;

mmfn_red.dmp

è uno dei sottoprogrammi ausiliari di deck_mfn_red.dmp; il suo compito

principale è quello di risolvere il sistema di equazioni del modello LF

associato a quello MF nel dominio del tempo (equazioni 2.115 e 2.116);

inimf.dmp

esso serve principalmente per calcolare la matrice di smorzamento in

base alle richieste dell'utente, definite nel file plate_108;

forces.dmp

questo sottoprogramma viene usato per calcolare le forze applicate su

ciascun nodo e ordinarle per il loro successivo utilizzo;

deck_GAA.dmp

il suo scopo principale è di estrarre una matrice di massa relativa al

modello tale per cui la densità del materiale sia pari a 1.

Il primo problema riscontrato cominciando ad utilizzare il programma è che,

essendo stato scritto una versione di MSC.Nastran diversa rispetto a quella

attuale, i riferimenti alle linee di codice dei risolutori appartenenti al software

risultavano errati; questo portava ad un non corretto inserimento delle nuove

righe di codice necessarie per il funzionamento del programma

deck_mfn_red.dmp.

76

Oltre questo, il sottoprogramma deck_GAA.dmp, che va ad eseguire delle

operazioni complicate all'interno del codice sorgente ed era stato commissionato

ad un programmatore di MSC.Nastran, non solo non presentava più i riferimenti

corretti, ma a valle del loro aggiornamento continuava a provocare un Fatal

Error, dovuto probabilmente ai comandi auxmodel ed auxcase, che vengono

normalmente utilizzati per il tipo di soluzione SOL 600 ed erano adattati alla

SOL 108, ovvero la risposta diretta in frequenza.

In generale quindi, per ottenere i risultati ricercati, MSC.Nastran deve essere

lanciato 2 volte:

plate_108.dat, per ottenere la funzione di risposta in frequenza tramite

soluzione diretta;

plate_108.dat, per fornire in output la funzione di risposta in frequenza

relativa al metodo di riduzione di C. Soize.

A valle dei calcoli effettuati usando MSC.Nastran, per la manipolazione dei dati

e dei files di output è stato creato un file Matlab, chiamato plate.m, il quale

processa i dati in ingresso ed effettua tutti i confronti e le visualizzazioni

necessarie. Esso si avvale del sottoprogramma readop4.m, che serve solamente

per la lettura degli file in uscita da MSC.Nastran (i quali sono in formato .out).

3.2.2. Funzionamento del programma

Il programma, sviluppato all’interno del dipartimento DADS dell’Onera [15], si

basa sul metodo proposto da C. Soize e in sostanza si basa su:

La rappresentazione della fascia in frequenza da studiare come l’unione

di bande di frequenza, dette strette; esse, nella maggior parte delle

verifiche esposte in questo lavoro, sono prese dividendo la fascia di

frequenza desiderata in 5 parti uguali (sebbene possano essere

modificate a piacimento dall’utente);

La trasformazione del sistema in frequenza da risolvere in un sistema

nel dominio del tempo, sfruttando la tecnica indiretta nel dominio del

tempo proposta da C. Soize [3], e presentata nel paragrafo 2.2.5

equazioni (2.115) e (2.116);

77

La risoluzione del sistema nel dominio del tempo;

Il calcolo delle funzioni di risposta in frequenza FrF a partire da quelle

temporali.

Il sistema nel dominio delle frequenze da risolvere è il classico sistema

(3.1)

dove è la matrice di massa, è la matrice di smorzamento, quella di

rigidezza e il vettore delle forze esterne.

Il programma calcola la funzione di risposta in frequenza FrF discretizzando le

bande strette secondo alcuni parametri, modificabili dall’utente, che

caratterizzano ciascuna banda:

La frequenza centrale della banda stretta , a cui corrisponde la

pulsazione centrale ;

La larghezza della banda , a cui corrisponde la pulsazione

;

Un parametro che quantifica l’effetto di bordo di ciascuna banda stretta

, necessario perché la trasformata di Fourier introduce degli errori in

vicinanza dei bordi di ciascuna banda; il suo omologo in pulsazione è

;

3 parametri che governano il campionamento nel tempo, , e ,

che verranno presentati nel seguito del paragrafo;

Le matrici di massa e rigidezza vengono calcolate automaticamente da

MSC.Nastran, mentre viene lasciata la possibilità all’utente di selezionare una

delle seguenti tipologie per la costruzione della matrice di smorzamento:

Smorzamento strutturale (STRU), che corrisponde alla matrice di

smorzamento generata da MSC.Nastran a partire dal parametro GE

definibile tramite il comando MAT1 (materiali lineari isotropi):

(3.2)

78

con il valore di smorzamento, costante per ciascuna banda, definiti in

GE;

Smorzamento proporzionale alla rigidezza (STRU2),

(3.3)

Smorzamento in funzione della massa (RAYM),

(3.4)

Smorzamento in funzione della massa e della rigidezza (RAY2),

(3.5)

dove è la frequenza centrale della banda stretta e la larghezza

della banda, espresse entrambe in ;

Smorzamento costruito da MSC.Nastran (BAA),

(3.6)

dove è una matrice di smorzamento creata direttamente da

MSC.Nastran a partire dai materiali usati dagli elementi che

compongono la mesh.

Riassumendo, i dati supplementari che l’utilizzatore deve definire oltre a quelli

già citati sono la frequenza iniziale, il numero di bande strette da trattare, il tipo

di rappresentazione dello smorzamento e la scelta dei gradi di libertà (contenuti

nella matrice DOFO) di cui estrarre le risposte, ovvero le funzioni di risposta in

frequenza.

Tornando ai parametri in frequenza definiti in precedenza, è necessario

puntualizzare ed ampliare alcune cose.

79

La banda stretta che viene analizzata dal metodo di risoluzione MF in tempo non

è l’iniziale banda , ma include il parametro

che permette di ridurre gli effetti di bordo dovuti alla troncatura

dell’integrazione in tempo, quindi i risultati in frequenza vengono calcolati sulla

banda modificata .

Si può dare un valore indicativo, frutto di valutazioni empiriche, ai parametri

e , in modo da agevolare l’utente:

La larghezza della banda deve essere inferiore ad un valore

compreso tra e ;

Il valore del parametro degli effetti di bordo deve essere compreso tra il

e il di .

Riguardo il calcolo delle risposte in frequenza, è utile evidenziare che esse sono

ottenute a partire dalle risposte in tempo nel modo seguente (per approfondire

l’argomento si consiglia di consultare il riferimento [4]):

(3.7)

dove le risposte nel dominio del tempo sono calcolate attraverso lo schema

derivato utilizzando il metodo di Newmark, agli istanti , con che varia

da a , con e (ovvero

passi temporali), mentre quelle in frequenza sono dedotte dalle risposte

in tempo agli istanti con che varia da a e

(ovvero istanti estratti dagli istanti di

integrazione). Il campionamento in tempo è quindi definito interamente a partire

dai parametri , e .

Visto che le risposte nel dominio delle frequenze sono dedotte dalle risposte in

tempo per integrazione nel dominio temporale, per esperienza si è riscontrato

che gli errori legati alle differenti approssimazioni dovute al metodo sono

trascurabili quando:

80

L’istante iniziale è tale che sia il più piccolo possibile per

minimizzare il costo di calcolo, ma abbastanza grande per non troncare

l’energia di eccitazione e non introdurre un transitorio numerico che

perturbi troppo la soluzione cercata; la scelta di è quindi legata al

comportamento asintotico per della funzione di eccitazione;

L’istante finale è tale che sia il più piccolo possibile per

minimizzare il costo di calcolo, ma abbastanza grande da non troncare

l’energia della risposta. Esso è quindi legato direttamente alla dinamica

del sistema, che è pilotata dallo smorzamento; la condizione seguente

fornisce un valore minimo per il parametro :

(3.8)

dove il coefficiente è legato alla tolleranza di approssimazione e già un

valore di o superiore fornisce ottimi risultati;

Per ragioni algoritmiche, il parametro è legato ad un valore strettamente

superiore ad 1 dovuto alla definizione del metodo di integrazione di Newmark.

In aggiunta, nel caso in cui il valore di fosse debole ( ), esso deve essere

dispari al fine di rappresentare correttamente il livello massimo d’eccitazione

nel tempo.

3.3. Validazione su un modello di piastra

3.3.1. Descrizione del modello di piastra

Il programma, dopo essere stato aggiornato, è stato validato tramite l'utilizzo di

un modello di piastra. Il modello consiste in una piastra piana di forma quadrata

composta da 441 nodi e 400 elementi CQUAD4 (Figura 3.3.1).

81

Figura 3.3.1: Griglia modello PLATE

Gli elementi CQUAD4 sono elementi particolari contenuti all'interno della

libreria di MSC.Nastran che permettono di offrire rigidezza per sopportare i

carichi secondo tutti i gradi di libertà traslazionali e rotazionali tranne la

rotazione in direzione perpendicolare all'elemento [16].

Le proprietà essenziali del modello sono:

Modulo di Young ;

Modulo di elasticità tangenziale ;

Coefficiente di Poisson ;

Densità ;

Coefficiente di smorzamento strutturale ;

Dal punto di vista delle condizioni di vincolo, la struttura viene lasciata libera

nello spazio; questo rende possibile cogliere gli autovalori relativi ai modi rigidi

della struttura, anche quando si rappresenta la funzione di risposta in frequenza.

82

La forzante utilizzata consiste in un rumore bianco di ampiezza pari a 1 e di

spettro , applicata alla struttura in un unico punto (la scelta del nodo

su cui applicare l'eccitazione è stata fatta in modo casuale) in direzione verticale

(asse z) e verso positivo; vi sono 3 sottocasi di carico e in ciascuno di essi la

forzante viene applicata ad un modo diverso, mantenendo la stessa direzione

verso (Figura 3.3.2).

Figura 3.3.2: Griglia PLATE con sensori ed attuatori

Gli ipotetici sensori sono di natura monoassiale, quindi capaci solo di rilevare

gli spostamenti in direzione z, sono posizionati in punti scelti in maniera casuale

e modificabili dall'utente. Il file plate_108.dat include la matrice DOFO, la quale

contiene questi punti; questa precisazione è importante perché, quando il

programma va calcolare le funzioni di risposta in frequenza del modello, estrae

soltanto quelle relative ai noti indicati nella matrice DOFO.

83

3.3.2. Risultati della validazione

Di seguito sono presentati i risultati per il modello di piastra, che sono serviti per

evidenziare la flessibilità del programma e le capacità nell’approssimare la

funzione di risposta in frequenza ottenuta tramite la risposta diretta in frequenza

di MSC.Nastran (SOL 108).

I valori dei parametri presentati nel paragrafo 3.2.2 sono rispettivamente:

Punti di applicazione dell’eccitazione nei 3 sottocasi di carico sui nodi

;

Sensori posizionati nei nodi ;

Frequenze centrali ;

Ampiezza di banda ;

Fattore di correzione di bordo ;

Parametri d’integrazione , e ;

Coefficiente di smorzamento ;

Tipo di smorzamento (STRU)

Numero di modi del modello ridotto richiesti ;

In Figura 3.3.3 (per questioni di sintesi viene presentata il risultato per il terzo

sensore sottoposto alla terza condizione di carico) si può notare come il modello

ridotto riesca ad approssimare in modo eccellente la parte immaginaria della FrF

diretta, ma non altrettanto bene la parte reale. Sebbene nelle bande a frequenza

più elevata vi sia una buona concordanza tra la funzione di risposta in frequenza

calcolata dal metodo implementato e quella diretta, nella prima banda vi è una

discrepanza nel valore della funzione. Il fatto bizzarro è che sembra esserci

come uno “sfasamento” tra le 2 funzioni, evidenziato dal gradino che vi è al

passaggio dalla prima alla seconda banda in frequenza.

84

Figura 3.3.3: PLATE 9 modi

La spiegazione più plausibile è che, nell’aggiornamento tra la versione 2001 di

MSC.Nastran e quella 2011, sia cambiata qualche cosa nel codice sorgente del

programma tale da modificare il flusso di calcolo, altrimenti non ci si

spiegherebbe la perfetta concordanza tra le funzioni che rappresentano la parte

immaginaria della FrF.

Altro problema riscontrato è l’impossibilità di utilizzare più di 9 modi, pena

l’incorrere in un Fatal Error dato dal comando che implementa la ricerca degli

autovalori secondo il metodo di Lanczos; in generale si nota una scarsa

flessibilità nella scelta dei parametri d’integrazione. Per risolvere il problema del

numero di modi desiderati, si è scelto di ampliare l’ordine del sistema ridotto da

cui vengono calcolate le matrici necessarie per l’applicazione del metodo

indiretto MF in tempo e, in cascata, viene risolto il problema agli autovalori da

cui vengono estratti i modi desiderati.

85

Riprendendo il lavoro di C. Soize [3], si può notare come il sistema venga

ridotto di ordine secondo il parametro

(3.9)

che permette di considerare un sistema con un certo numero di gradi di libertà in

più rispetto a quelli desiderati ; questo è un particolare utile perché così

facendo il calcolo di un numero superiore di autovalori porta ad una migliore

convergenza di quelli ottenuti in prima battuta, cioè quelli che alla fine vengono

usati praticamente nel calcolo della risposta.

Nel caso in esame, giocando su questo valore, si è riusciti ad aumentare la

flessibilità nel numero di modi desiderati, a scapito però di un costo

computazionale superiore, dovuto principalmente al tempo di estrazione degli

autovalori da parte del solutore Lanczos.

Il risultato ottenuto con gli stessi parametri, ma prendendo e

, è esposto in Figura Figura 3.3.4:

86

Figura 3.3.4: PLATE 10 modi, m=2*N

Come si può notare, non solo non c’è un evidente miglioramento, ma addirittura

si ha un peggioramento della qualità del risultato.

A prova del fatto che non sia il modello FEM scelto a causare questo strano

comportamento, sono state fatte ulteriori 2 prove:

Prendere meno modi rispetto ai 9 iniziali consentiti dal programma,

lasciando intatto il valore di ;

Passare da un’analisi a 5 bande strette a quella ad una sola banda che

ricopra tutto il campo in frequenza preso in considerazione.

I risultati sono esposti nelle figure seguenti:

87

Figura 3.3.5: PLATE 7 vs 9 modi

Figura 3.3.6: PLATE 5 bande vs 1 banda

Si può notare che nel primo caso, a seguito di varie prove alla fine delle quali si

è optato per considerare modi desiderati, i risultati siano più

soddisfacenti rispetto al caso di , soprattutto nell’approssimare la prima

banda stretta; stessa cosa nella seconda prova, dove una sola banda presenta una

discreta concordanza con la FrF diretta, al pari del caso con 5 bande, ma ha un

migliore comportamento nella prima sottobanda.

Nonostante questi risultati inaspettati e a volte bizzarri, la capacità del metodo di

approssimare la FrF calcolata con la risposta diretta in frequenza risulta

abbastanza soddisfacente (a parte i casi appena descritti), quindi si è proceduto

88

ugualmente a testare il programma su una struttura più complessa di tipo

traliccio, tenendo presente questo comportamento e continuando in parallelo il

lavoro di debug ed aggiornamento del codice.

89

4. VALIDAZIONE SU MODELLO A TRALICCIO

4.1. Introduzione

Nel corso di questo capitolo vengono presentate le 2 strutture complesse sulle

quali sono state fatte tutte le analisi per mettere alla prova il programma che

implementa il metodo dell’Energy Operator di C. Soize.

Il paragrafo 4.2 ha come obiettivo quello di presentare il primo modello a

traliccio utilizzato per le analisi, la struttura TRUSS; dopo una breve descrizione

ed una verifica di funzionamento iniziale, si passa a testare il programma su di

essa, discutendo in modo critico i risultati e descrivendo le successive modifiche

fatte sulla lista di istruzioni per tentare di migliorare le prestazioni e di dotare il

programma di nuove funzionalità. Infine, viene presentata l’analisi dei modi

ottenuti dal modello ridotto da un punto di vista energetico, utile per effettuare

considerazioni di carattere generale.

Nel paragrafo 4.3 viene introdotta la struttura SPACE, estensione di TRUSS in

termini di livello di complessità. Per questo nuovo modello vengono fatte

sostanzialmente le stesse considerazioni da un punto di vista modale ed

energetico, evidenziando caratteristiche in comune e/o discordanti rispetto alle 2

strutture precedenti.

4.2. La struttura a traliccio TRUSS

4.2.1. Descrizione della struttura TRUSS

90

La struttura TRUSS è stata scelta come modello test rappresentativo di una

struttura a traliccio di tipo spaziale [17], ma al contempo non troppo complessa

per non comportare tempi di calcolo proibitivi.

La struttura è composta da un assemblaggio tridimensionale di travi, in modo da

formare un parallelepipedo rinforzato diagonalmente, come un classico modello

di traliccio (Figura 4.2.1).

Figura 4.2.1: griglia TRUSS

Le dimensioni globali della struttura sono , e ,

la sezione di ciascuna trave è a forma di “U”, con valori dei lati

, e (Figura 4.2.2).

91

Figura 4.2.2: Sezione delle travi del traliccio

Le caratteristiche del materiale sono:

Modulo di Young ;

Modulo di elasticità tangenziale ;

Densità ;

Coefficiente di smorzamento strutturale ;

Per quanto riguarda la discretizzazione ad elementi finiti, per rappresentare le

proprietà della trave è stato scelto di utilizzare elementi di tipo CBEAM nella

libreria di MSC.Nastran; il numero di elementi scelto per ogni trave è di 30 in

direzione x, 20 in direzione y e 16 in direzione z, mentre per quelle disposte

diagonalmente si hanno 30 elementi nel caso della trave sul piano xy, 20 per la

trave nel piano xz e infine 30 per la terza trave.

Dal punto di vista dell’implementazione su MSC.Nastran, si è scelto di separare

i dati riguardanti la geometria e le proprietà della struttura dal resto del file di

input per dare maggiore compattezza allo stesso. Quindi, i file utilizzati sono

rispettivamente:

92

1. truss.dat

ha funzioni analoghe al file per piastra plate_108.dat;

2. mail_treillis.bdf

contiene tutti i dati sulla geometria e sugli elementi utilizzati;

3. ptes-beam.dat

contiene le informazioni sulle proprietà della struttura e come sono

legate a ciascuna trave del traliccio;

4. ptes-beam2.dat

file identico ptes-beam.dat salvo che al suo interno è stata impostato un

valore unitario della densità del materiale al posto di quella vera.

Infatti, questo file viene utilizzato dal sottoprogramma DMAP

deck_gaa.dmp per l’elaborazione della matrice di massa con densità

unitaria;

La sequenza di funzionamento dei programmi è del tutto identica a quella

utilizzata per il modello di piastra.

4.2.2. Verifica di funzionamento iniziale

Lo schema di applicazione dei carichi ricalca nella sua sostanza quello utilizzato

sul modello di piastra, con 3 sottocasi di eccitazione in cui ogni volta veniva

applicato ad un singolo nodo un rumore bianco di ampiezza 1 e spettro in

frequenza in direzione verticale; nel caso di TRUSS però, la scelta

dei punti di eccitazione non è casuale, infatti si è scelto di sollecitare la struttura

in punti specifici, ovvero allo spigolo in alto a sinistra della faccia anteriore

(nodo 146), il nodo centrale della trave diagonale in basso alla struttura (nodo

116) e della diagonale interna al traliccio (nodo 228). I sensori sono stati

posizionati negli stessi nodi, in modo da avere una matrice delle funzioni di

risposta in frequenza simmetrica (Figura 4.2.3) e in altri punti particolari della

struttura, come alcuni spigoli o le mezzerie dei lati.

93

Figura 4.2.3: Sensori e Attuatori TRUSS

Per prima cosa, si è controllato quali fossero i primi modi propri della struttura,

per verificare che non ci fossero stranezze nel comportamento del modello. La

prova è stata fatta prendendo la struttura inizialmente libera nello spazio e

successivamente vincolandola allo spigolo in alto a sinistra della faccia

posteriore (nodo 194).

Il calcolo è stato fatto utilizzando la Sequenza di Soluzione SOL 103 di

MSC.Nastran, che valuta i modi propri della struttura. Per fare ciò, è stato creato

ad hoc il file modes_truss.dat che permette, nel calcolo delle frequenze proprie

della struttura, di scegliere anche il numero di modi da ricercare (comando

EIGRL di DMAP).

In Tabella 4.2.1è possibile dare uno sguardo ai primi modi propri della struttura;

come ci si può aspettare, i modi propri della struttura in condizione incastrata

sono inferiori rispetto a quelli della struttura libera nello spazio.

94

Modi del modello TRUSS

Configurazione libera Configurazione vincolata

# frequenza [Hz] # frequenza [Hz]

7 7,67 1 1,8

8 11,3 2 2,5

9 13,11 3 3,2

10 13,95 4 5,3

11 14,65 5 6,9

12 15,78 6 7,7

13 16,83 7 8,6

14 18,12 8 11,7

15 18,46 9 15,8

16 20,17 10 16,2 Tabella 4.2.1: Modi propri struttura TRUSS

È opportuno notare che nella colonna della tabella relativa alla condizione

vincolata non sono stati inseriti i 6 modi rigidi della struttura, tutti quanti pari a

zero (in realtà MSC.Nastran dà dei valori diversi da zero ma di 4-5 ordini di

grandezza inferiori a quelli del primo modo deformabile, quindi tranquillamente

approssimabili a zero).

Dopo aver verificato che i modi propri della struttura siano coerenti, si è passati

a calcolare la funzione di risposta in frequenza calcolata col metodo diretto da

MSC.Nastran (SOL 108). In figura vi è un esempio della risposta in frequenza di

uno dei sensori (Figura 4.2.4).

95

Figura 4.2.4: Esempio di FrF diretta per la struttura TRUSS

A prova della bontà della FrF si può considerare la figura seguente, ottenuta

calcolando la FrF nel caso di struttura non vincolata, dove è ben visibile la

singolarità della funzione per frequenza nulla, dato ovviamente dalla presenza

dei modi rigidi della struttura (Figura 4.2.5).

96

Figura 4.2.5: Dettaglio modi rigidi FrF per struttura TRUSS

A seguito di questi test preliminari per valutare le caratteristiche proprie della

struttura, si è deciso di passare all’analisi vera e propria, durante la quale

applicare il metodo di riduzione di C. Soize.

4.2.3. Scelta fascia MF e applicazione del metodo di riduzione

A seguito di una prima verifica della correttezza del modello geometrico creato,

fatto andando ad analizzare la FrF diretta della struttura TRUSS, ci si è posti il

problema di come determinare empiricamente la fascia MF su cui applicare il

metodo dell’Energy Operator; la scelta è stata fatta in base alle caratteristiche

modali della struttura.

La prima operazione fatta è stata calcolare la frequenza massima di lavoro degli

elementi della mesh per ciascuna trave; questo valore è una sorta di spartiacque

tra la fascia di frequenze che effettivamente possono essere ritenute affidabili e

quella per cui il modello discretizzato non è più in grado di approssimare

correttamente i modi associati alle frequenze proprie.

97

Il concetto di base del ragionamento è che la struttura, per come è discretizzata,

è capace di “vedere” solo le sinusoidi (che rappresentano i modi di vibrare di

ciascuna trave) fino ad una determinata frequenza; al di sopra di questa soglia, il

numero di elementi che compongono la trave non è più sufficiente per cogliere

la vera forma della sinusoide (effetto aliasing).

Per poter cogliere compiutamente una sinusoide è necessario garantire che il

numero di punti campionati per ciascun periodo del segnale sia maggiore o

uguale a 5. In Figura 4.2.6 vi è un semplice esempio qualitativo di

campionamento di una sinusoide.

Figura 4.2.6: Esempio di sinusoide con campionamento a 5 punti

Nel caso in analisi, è stato scelto quindi di prendere per ogni trave della struttura

la lunghezza ottenuta moltiplicando per 5 la dimensione del singolo elemento

(va notato che, per ogni trave, la lunghezza degli elementi è costante).

Per il calcolo della lunghezza d’onda delle vibrazioni relative a ciascuna trave,

si è optato per la formula che permette di trovare la velocità di trasmissione

delle onde vibratorie flessionali

98

(4.1)

dove è il momento d’inerzia della sezione considerata, la sua area, la

densità del materiale e la frequenza propria.

Elaborando la relazione e tenendo conto che

(4.2)

si arriva a poter scrivere la seguente relazione diretta tra lunghezza d’onda

minima che la trave può approssimare correttamente (5 volte la lunghezza del

singolo elemento) e la frequenza:

(4.3)

Calcolando questa frequenza per ciascuna trave e considerando come accettabile

il valore minimo ottenuto, si può affermare che la frequenza massima per cui

l’approssimazione delle onde vibrazionali della struttura può essere considerata

qualitativamente accettabile è .

L’esperienza maturata sul modello di piastra PLATE e un breve esame sulla FrF

diretta della struttura TRUSS hanno orientato la scelta della fascia MF verso

l’intervallo di frequenza .

A questo punto dell’indagine, le informazioni a disposizione sono sufficienti per

poter applicare il metodo Energy Operator di C. Soize sulla struttura TRUSS.

I valori dei parametri (già presentati nel paragrafo 3.2.2) per il run sono

rispettivamente:

Punti di applicazione dell’eccitazione nei 3 sottocasi di carico sui nodi ;

99

Sensori posizionati nei nodi

; Frequenze centrali ;

Ampiezza di banda ;




Tipo di smorzamento (RAYM)

Numero di modi del modello ridotto richiesti .

Il risultato di questa simulazione è visibile in Figura 4.2.7:

Figura 4.2.7: FrF diretta vs metodo MF per struttura TRUSS

Come si può facilmente notare, nonostante vi sia una perfetta corrispondenza tra

la FrF diretta e quella calcolata col metodo Energy Operator per quanto riguarda

la parte immaginaria, la parte reale presenta ancora una differenza tra le 2

funzioni, questa volta associata alla seconda sottobanda. La natura dell’errore è

esattamente la stessa del caso della piastra, ovvero sembra esserci una differenza

costante tra la FrF approssimata col metodo di C. Soize e la FrF diretta.

100

Il fenomeno che apparentemente non si presenta più come nel caso della piastra

è la limitazione nella quantità di modi che il programma può calcolare per

ciascuna banda; in realtà, il problema è sempre presente, sebbene la maggiore

complessità della struttura fornisce ovviamente a parità di fascia di frequenza un

numero maggiore di modi.

Per comprendere l’origine di questo strano comportamento, sono state fatte delle

analisi ulteriori sulla struttura, sia calcolando dei parametri per valutare la bontà

del modello geometrico e l’approssimazione ad elementi finiti, sia modificando

il codice di calcolo. Il tutto è presentato nei successivi paragrafi 4.2.4, 4.2.5 e

4.2.6.

4.2.4. Funzione di densità modale e analisi delle frequenze

proprie di ciascuna trave

La prima analisi che è stata fatta per capire e successivamente correggere lo

strano comportamento dell’approssimazione con il metodo di C. Soize è il

calcolo del numero di frequenze proprie che sono presenti nella fascia MF

considerata per ciascuna trave. È opportuno sottolineare che, essendo la struttura

di tipo reticolare e non semplicemente una trave singola, le frequenze calcolate

non saranno le stesse della struttura TRUSS, ma almeno questo è un modo per

capire orientativamente se il numero di modi che si vuole estrarre dalla matrice

Energy Operator non superino i modi naturali che ciascuna trave possiede.

Operativamente, il calcolo dei modi naturali per ciascuna trave è il risultato

dell’analisi dinamica per una trave incastrata ad entrambi gli estremi (Figura

4.2.8).

101

Figura 4.2.8: Trave doppiamente incastrata

Per questo modello, la funzione spostamento trasversale è definita come:

(4.4)

con

. Sapendo che il coefficiente può anche essere espresso come

(4.5)

dove ovviamente è la frequenza propria e la massa per unità di lunghezza

della trave. Mettendo insieme le 2 espressioni di si ottiene una relazione che

lega direttamente la frequenza propria e il numero di modi :

(4.6)

102

Per cui, impostando una certa frequenza massima è possibile ottenere il

numero di modi (da arrotondare per difetto) che vi sono al di sotto di

questo limite.

Facendo girare il programma DMAP con gli stessi valori usati per il paragrafo

4.2.3, si ottengono i seguenti valori (riferirsi a Figura 4.2.9 per la numerazione

di ciascuna trave che compone la struttura TRUSS):

Figura 4.2.9: Numerazione travi TRUSS

Frequenza massima: 825 Hz

# trave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

# modi 9 6 9 6 11 5 5 5 5 8 12 9 6 9 6 Tabella 4.2.2: Frequenze naturali travi TRUSS al di sotto di 825 Hz

103

Un altro parametro che può essere analizzato per valutare la scelta della fascia

MF è la funzione di densità di frequenza; essa è una funzione che rappresenta

l’occorrenza dei modi propri in rapporto alla frequenza. Per calcolarla è

sufficiente discretizzare il campo di frequenze che si vuole analizzare in piccole

porzioni e semplicemente contare quante frequenze proprie cadono in ogni

sottoinsieme. In Figura 4.2.10 vi è la funzione descritta per la struttura TRUSS,

prendendo il campo di frequenze e un passo di discretizzazione di

; si può notare che a frequenze basse vi è una forte oscillazione della

funzione e verso i improvvisamente una stabilizzazione del numero di

frequenze per ogni sottofascia.

Figura 4.2.10: Funzione di densità modale per la struttura TRUSS

Questo strano comportamento è dovuto alla presenza di clusters di modi propri

tipico delle strutture a traliccio, dove una certa regolarità della disposizione delle

travi favorisce l’addensamento delle frequenze proprie in pochi . La scelta

della fascia MF è stata fatta nell’ottica di ricercare una zona dove sia presente il

passaggio da un tipo di comportamento fortemente oscillante (tipico delle basse

frequenze) ad un comportamento decisamente più regolare (caratteristico delle

alte frequenze).

104

4.2.5. Tentativo di cambio del solutore LANCZOS

A seguito delle analisi preliminari, che hanno fornito dei dati sul campo delle

medie frequenze leggermente diversi rispetto alle aspettative iniziali, e

nell’ottica del miglioramento della performance globale del programma DMAP,

è stato fatto un tentativo di modifica del metodo per il calcolo degli autovalori

del sistema associato alla matrice Energy Operator per capire se fosse questo

passaggio l’origine del problema.

Al posto del comando LANCZOS, che implementa il metodo omonimo, è stato

applicato il comando READ, un Modulo di DMAP che permette di estrarre gli

autovalori reali simmetrici di un sistema dato. Come già detto, l’obiettivo è di

migliorare la qualità del risultato, anche a discapito di un costo computazionale

più elevato.

La particolarità di READ è che permette di far impostare dall’utente il metodo

di soluzione, tramite il Parametro METH; si può scegliere:

LAN = Lanczos;

INV = Metodo delle potenze inverso;

SINV = Metodo delle potenze inverse con sequenza di Sturm;

GIV = Metodo di Givens (tridiagonalizzazione);

MGIV = Metodo di Givens modificato;

HOU = Metodo di Householder;

MHOU = Metodo di Householder modificato;

AGIV = Selezione automatica di GIV o MGIV;

AHOU = Selezione automatica di HOU o MHOU.

Il tentativo di applicazione del comando READ è stato fatto selezionando di

volta in volta un metodo diverso; il risultato purtroppo è stato più o meno lo

stesso: tutti i metodi salvo Lanczos hanno presentato un fatal error.

È stata fatta un’indagine per determinare l’origine del problema ed

effettivamente si è scoperto che le 2 matrici che venivano indicate come input al

Modulo, e , risultano non essere simmetriche definite positive, come

105

richiesto da READ stesso; in aggiunta, né né , le matrici di massa del

sistema, risultano simmetriche definite positive.

Per fugare ogni dubbio sull’affidabilità del calcolo degli autovalori tramite il

comando LANCZOS, sono state estratte dal programma DMAP le 2 matrici

e , giusto prima di entrare come input nel Modulo; è stato creato uno script

Matlab ad hoc e tramite il comando sono stati estratti gli autovalori

associati. Il confronto con gli autovalori estratti dal programma DMAP ha

evidenziato che non vi è alcuna differenza tra i 2 risultati.

Si è concluso quindi che un cambio di solutore per il problema agli autovalori

associato alla matrice Energy Operator non è necessario e che il Modulo

LANCZOS non influisce negativamente sul calcolo dei risultati del programma

DMAP. Il problema risiede quindi sicuramente nella parte di programma a

monte del Modulo LANCZOS.

4.2.6. Valutazione del contributo energetico di ciascun modo

e rappresentazione delle forme modali

In parallelo al tentativo di cambio di solutore per il problema agli autovalori, è

stato svolto un diverso tipo di analisi, ovvero il calcolo del contributo energetico

degli autovalori estratti dal modello ridotto.

Infatti, il grande punto di forza del metodo di C. Soize, ereditato dai metodi

POD, è che l’Energy Operator per sua natura permette di calcolare in modo

diretto la quantità di energia del sistema associata a ciascun suo autovalore:

(4.7)

e pure il suo peso percentuale:

(4.8)

106

Questa caratteristica permette di valutare quanto effettivamente ciascun modo

calcolato (riflesso diretto di ciascun autovalore) contribuisce alla risposta del

sistema e ridurre ulteriormente la dimensione del modello ridotto, senza perdere

una quantità significativa di energia.

Il risultato dell’analisi mostra che effettivamente vi sono dei modi che

contribuiscono maggiormente alla composizione della risposta della struttura,

mentre il resto può essere trascurato senza far perdere una percentuale rilevante

dell’energia. Se si costruisce una funzione che presenti in ascissa il numero

identificativo del modo (preventivamente organizzati in ordine decrescente) e in

ordinata il suo valore, è possibile vedere quanto i primi modi da soli possano

rappresentare qualitativamente bene l’energia della risposta e quanto i più

piccoli siano percentualmente irrilevanti. In Figura 4.2.11 vi è un confronto tra

le funzioni calcolate per la prima e la quinta banda; si può vedere che per la

quinta banda la funzione decade molto velocemente, quindi per questa fascia è

sufficiente prendere un numero ridotto di autovalori al fine di avere un risultato

energeticamente soddisfacente; al contrario, nella prima banda vi sono molti

modi che contribuiscono in modo significativo alla risposta energetica, quindi

sarà necessario tenere in considerazione un numero di autovalori maggiore.

107

Figura 4.2.11: Funzione autovalori banda #1 e #5 struttura TRUSS

Il programma Matlab di supporto a quest’analisi permette non solo di

visualizzare il contributo percentuale di ciascun modo, ma di impostare una

percentuale desiderata di energia e vedere quanti modi per ogni banda devono

essere utilizzati per raggiungere il dato livello di energia. Nelle Tabella 4.2.3 e

Figura 4.2.12 è mostrato un esempio di quanto detto, per la struttura TRUSS con

le medesime impostazioni del paragrafo 4.2.3; in questo contesto risulta

108

importante sottolineare che il modello ridotto è a 45 modi e che la percentuale di

energia che si vuole catturare è del 95%.

% Energia catturata da ciascun modo

ID modo Banda

575-625 Hz

Banda 625-675

Hz

Banda 675-725

Hz Banda

725-775 Hz Banda

775-825 Hz

1 2,95% 7,76% 8,77% 12,39% 10,99%

2 2,95% 7,63% 8,65% 12,14% 10,07%

3 2,95% 7,48% 8,41% 10,03% 9,76%

4 2,95% 7,20% 8,36% 7,60% 8,15%

5 2,94% 7,15% 7,76% 7,36% 7,79%

6 2,94% 5,08% 7,23% 6,07% 6,29%

7 2,94% 4,96% 6,95% 5,30% 5,51%

8 2,94% 3,84% 6,76% 4,55% 5,14%

9 2,90% 3,50% 5,43% 3,98% 4,39%

10 2,87% 2,63% 4,74% 2,98% 3,76%

11 2,87% 2,52% 3,68% 2,90% 3,59%

12 2,87% 2,27% 3,38% 2,42% 2,66%

13 2,87% 2,07% 2,09% 2,19% 2,49%

14 2,83% 2,04% 1,81% 1,96% 2,23%

15 2,83% 1,79% 1,37% 1,81% 1,97%

16 2,83% 1,60% 1,27% 1,56% 1,67%

17 2,83% 1,48% 1,22% 1,42% 1,39%

18 2,83% 1,47% 1,13% 1,33% 1,11%

19 2,58% 1,33% 1,11% 1,32% 1,05%

20 2,50% 1,32% 0,77% 1,04% 0,99%

21 2,47% 1,32% 0,74% 0,80% 0,83%

22 2,17% 1,32% 0,61% 0,76% 0,81%

23 2,15% 1,32% 0,57% 0,71% 0,75%

24 2,15% 1,19% 0,55% 0,60% 0,62%

25 2,15% 1,19% 0,47% 0,56% 0,51%

26 2,15% 1,19% 0,46% 0,54% 0,50%

27 2,15% 1,19% 0,41% 0,52% 0,46%

28 2,14% 1,07% 0,38% 0,44% 0,41%

29 2,13% 1,07% 0,35% 0,42% 0,39%

30 2,13% 1,07% 0,34% 0,41% 0,39%

109

31 2,05% 1,07% 0,32% 0,39% 0,36%

32 1,80% 1,04% 0,32% 0,35% 0,34%

33 1,57% 1,03% 0,32% 0,32% 0,32%

34 1,48% 1,03% 0,31% 0,31% 0,29%

35 1,44% 1,03% 0,30% 0,28% 0,25%

36 1,43% 1,03% 0,30% 0,28% 0,23%

37 1,43% 0,87% 0,29% 0,27% 0,22%

38 1,42% 0,85% 0,28% 0,25% 0,20%

39 1,41% 0,83% 0,28% 0,24% 0,20%

40 1,21% 0,71% 0,28% 0,24% 0,19%

41 1,21% 0,71% 0,27% 0,23% 0,17%

42 1,20% 0,71% 0,27% 0,22% 0,16%

43 1,20% 0,70% 0,25% 0,19% 0,16%

44 1,15% 0,69% 0,24% 0,17% 0,16%

45 1,04% 0,62% 0,22% 0,15% 0,10% Tabella 4.2.3: Energia % catturata da ciascun modo per struttura TRUSS

Figura 4.2.12: Modi necessari per catturare 95% dell'energia della struttura TRUSS

Vedendo che è possibile selezionare i modi desiderati per avere un certo livello

di energia catturato dalla risposta, come controprova è stato modificato il

programma DMAP inserendo un ulteriore parametro, , che

rappresenta il numero di modi che vanno effettivamente a comporre la FrF

calcolata col metodo MF; quindi il numero di modi estratti sarà sempre ,

ma quelli utilizzati in realtà saranno quelli che contribuiscono di più, in quantità

. In Figura 4.2.13 vi è un esempio di questo concetto; la funzione di sinistra

è stata ottenuta estraendo ed utilizzando 40 modi, mentre quella di destra

presenta una FrF calcolata con solo 30 modi, a fronte dei 40 estratti. Come si

110

può facilmente notare, la differenza tra le 2 FrF è veramente ridotta ad eccezione

della prima banda in frequenza, dove addirittura la risposta con meno modi

sembra approssimare meglio la FrF diretta; questo perché, come già detto, per

cogliere bene la quantità di energia contenuta nella struttura per la prima banda è

necessario prendere un numero elevato di autovalori, superiore ai 30 usati

nell’esempio.

Figura 4.2.13: Risposta TRUSS prendendo meno modi di quelli calcolati

Per concludere, è importante guardare la rappresentazione grafica delle forme

modali associate agli autovalori estratti col metodo MF. È opportuno precisare

che queste non sono le forme dei modi propri di vibrare del sistema, che

effettivamente rappresentano la posizione che la struttura assumerebbe

prendendo una fotografia ad una data frequenza; tuttavia dare uno sguardo alla

loro forma può fornire un segnale che ponga dei dubbi sull’effettiva attendibilità

degli autovalori estratti, soprattutto nel caso di singolarità o valori fuori scala.

In Figura 4.2.14 è possibile vedere che il primo modo relativo alla quinta banda

è abbastanza regolare, ma le travi della struttura sembrano torcersi come per

formare un’elica, cosa che non sembra avere molto senso fisico; è opportuno

notare che questi modi estratti non sono una rappresentazione fisica della

vibrazione della struttura ma il contenuto energetico della stessa. Se si tiene

inoltre conto che il programma DMAP non riesce ad approssimare

perfettamente la FrF diretta, si può ritenere plausibile questo tipo di

comportamento.

111

Figura 4.2.14: Modo #1 banda #5 per la struttura TRUSS

4.3. La struttura a traliccio SPACE

A fronte degli studi fatti sulla struttura TRUSS, si è visto che il programma che

implementa il metodo di C. Soize fornisce dei risultati accettabili, sebbene a

volte non completamente soddisfacenti.

Si è notato inoltre che la struttura TRUSS in sé risulta troppo rigida e vi sono

numerosi clusters di modi propri (come c’è da aspettarsi da una struttura di

dimensioni regolari).

Per ovviare a ciò e al contempo analizzare una struttura più complessa e più

vicina a quella che è la realtà delle strutture reticolari, si è deciso di lavorare

112

sulla struttura SPACE, che è la ripetizione (per 4 volte) nel senso della

lunghezza di TRUSS.

Questo capitolo ricalca la struttura del capitolo 4.2: nel paragrafo 4.3.1 vi è una

breve descrizione della geometria della struttura SPACE; successivamente

(4.3.2) viene presentata la scelta della fascia MF ed una prima applicazione del

metodo di riduzione; il paragrafo 4.3.3 si concentra sulle analisi energetiche e

sulla rappresentazione grafica delle forme modali; infine (4.3.4) viene presentato

il tentativo di variazione della fascia MF e di vincolo della struttura, con

l’obiettivo di comprendere l’origine del funzionamento non completamente

soddisfacente del programma DMAP.

4.3.1. Descrizione della struttura SPACE

Questa struttura, come la precedente TRUSS, è un assemblaggio di travi

(sezione ad U). Nel dettaglio è composta da 4 baie, ognuna delle quali è identica

a TRUSS nella disposizione delle travi, ma la lunghezza di ciascuna baia nella

direzione longitudinale è diversa; questa differenza di dimensione è dovuta al

fatto che la periodicità della struttura avrebbe comportato la formazione di

numerosi clusters di modi propri sin dalle basse frequenze.

Per una descrizione dettagliata delle caratteristiche geometriche e fisiche per la

singola baia, si può fare riferimento ai dati mostrati nel paragrafo 4.2.1; la

dimensione longitudinale di ciascuna baia è , ,

e .

Nella sua globalità, la struttura ha quindi le seguenti dimensioni: ,

e .

Il numero totale di nodi della struttura è 1132, per un totale di 6792 gradi di

libertà.

In Figura 4.3.1 vi è la rappresentazione grafica della struttura SPACE:

113

Figura 4.3.1: Struttura SPACE

Lo schema di applicazione dei carichi è il medesimo usato per la struttura

TRUSS; la scelta dei punti di eccitazione è ancora una volta in punti specifici,

ovvero 3 dei 4 spigoli che appartengono alla faccia anteriore (nodi 1, 469 e 517).

I sensori sono stati posizionati negli stessi nodi e in altri punti particolari, come

mostrato in Figura 4.3.2:

Figura 4.3.2: Sensori ed attuatori struttura SPACE

114

4.3.2. Scelta fascia MF e applicazione del metodo di riduzione

Come già visto nel paragrafo 4.2.3, la scelta della fascia MF da usare non è

casuale, ma frutto di considerazioni empiriche (e non) sulle lunghezze d’onda

delle vibrazioni e modi propri di ciascuna trave che compone la struttura. Anche

per SPACE è stato usato questo tipo di approccio per il calcolo della massima

frequenza per cui i risultati possono essere qualitativamente attendibili e si è

trovata una frequenza di , che conferma sostanzialmente la scelta

della fascia MF .

Per avere una prova ulteriore in questa scelta, si è analizzata ancora una volta la

funzione di densità modale; in Figura 4.3.3 è mostrata la funzione calcolata per

la struttura SPACE:

Figura 4.3.3: Densità modale SPACE

Come è possibile notare, il cambiamento di comportamento da fortemente

oscillante (LF) a sostanzialmente costante (HF) cade ancora nella medesima

fascia di frequenza.

115

A seguito di queste analisi, si è proceduto ad applicare il metodo di C. Soize alla

struttura appena descritta. I valori dei parametri (già presentati nel paragrafo

3.2.2 e 4.2.3) per il run sono rispettivamente:

Punti di applicazione dell’eccitazione nei 3 sottocasi di carico sui nodi ;

Sensori posizionati nei nodi 1 469 517 61 121 597 613 704 1104 410 661 ;

Frequenze centrali ;

Ampiezza di banda ;




Tipo di smorzamento (RAYM)

Numero di modi del modello ridotto richiesti .

In Figura 4.3.4 è presentato il primo risultato grafico; la FrF calcolata col

programma DMAP tenta di approssimare la FrF diretta ma in più di una

occasione risulta distante dalla funzione reale. Basti vedere il comportamento

della parte immaginaria della FrF, che non è ben allineata con l’andamento reale

della FrF diretta, come invece capitava per la struttura TRUSS.

Figura 4.3.4: FrF SPACE 45 modi

116

L’effetto di questo comportamento si affievolisce all’aumentare dei modi da

ricercare; in Figura 4.3.5 è possibile notare la differenza tra il caso e

quello con :

Figura 4.3.5: FrF SPACE 70 modi

4.3.3. Valutazione del contributo energetico di ciascun modo

e rappresentazione delle forme modali

Con la stessa filosofia operativa del paragrafo 4.2.6, sono stati analizzati i

parametri energetici che possono essere estratti facilmente applicando il metodo

di C. Soize.

Per prima cosa, in Figura 4.3.6, viene mostrata la funzione degli autovalori

(bande #1 e #5) per la struttura SPACE nel caso a 70 modi:

117

Figura 4.3.6: Funzione autovalori banda #1 e #5 struttura SPACE

Come si può facilmente notare, a differenza del caso della struttura TRUSS dove

per la banda #5 la funzione decadeva molto più velocemente, il numero di

autovalori che occorrerà considerare per valutare la risposta della struttura è

decisamente superiore. Per la banda #1 il discorso non cambia rispetto al caso di

TRUSS, dove già vi erano parecchi autovalori con entità non trascurabile.

118

Andando a valutare tramite il programma di supporto in Matlab il contributo

percentuale di ciascun modo per ogni banda, è possibile confermare che la

diffusione dell’energia è su un numero di modi decisamente più alto (Tabella

4.3.1 e Figura 4.3.7):

% Energia catturata da ciascun modo

ID modo

Banda Banda Banda Banda Banda

575-625 Hz

625-675 Hz

675-725 Hz

725-775 Hz

775-825 Hz

1 1,59% 2,23% 2,24% 3,00% 2,58%

2 1,59% 2,22% 2,24% 2,96% 2,57%

3 1,59% 2,21% 2,24% 2,96% 2,57%

4 1,59% 2,21% 2,22% 2,91% 2,57%

5 1,59% 2,19% 2,22% 2,82% 2,57%

6 1,59% 2,17% 2,22% 2,81% 2,55%

7 1,59% 2,17% 2,22% 2,81% 2,54%

8 1,58% 2,14% 2,21% 2,81% 2,50%

9 1,58% 2,08% 2,18% 2,70% 2,48%

10 1,58% 2,02% 2,13% 2,68% 2,47%

11 1,58% 2,01% 2,11% 2,51% 2,36%

12 1,58% 1,99% 2,11% 2,42% 2,34%

13 1,58% 1,97% 2,11% 2,37% 2,30%

14 1,58% 1,97% 2,11% 2,23% 2,22%

15 1,58% 1,97% 2,08% 2,21% 2,22%

16 1,58% 1,97% 2,07% 2,20% 2,22%

17 1,58% 1,97% 1,99% 2,06% 2,22%

18 1,57% 1,96% 1,93% 2,03% 2,18%

19 1,57% 1,96% 1,89% 2,01% 2,06%

20 1,56% 1,95% 1,87% 1,99% 1,97%

21 1,55% 1,94% 1,80% 1,98% 1,94%

22 1,55% 1,93% 1,79% 1,98% 1,91%

23 1,55% 1,92% 1,77% 1,85% 1,81%

24 1,55% 1,90% 1,75% 1,85% 1,70%

25 1,55% 1,88% 1,75% 1,70% 1,70%

119

26 1,55% 1,81% 1,75% 1,65% 1,70%

27 1,55% 1,72% 1,75% 1,63% 1,70%

28 1,54% 1,70% 1,70% 1,56% 1,64%

29 1,54% 1,66% 1,68% 1,52% 1,62%

30 1,54% 1,62% 1,62% 1,45% 1,62%

31 1,54% 1,58% 1,62% 1,44% 1,62%

32 1,54% 1,53% 1,58% 1,30% 1,62%

33 1,52% 1,45% 1,56% 1,29% 1,60%

34 1,52% 1,39% 1,46% 1,29% 1,55%

35 1,52% 1,33% 1,38% 1,28% 1,46%

36 1,52% 1,31% 1,37% 1,28% 1,45%

37 1,52% 1,27% 1,23% 1,26% 1,37%

38 1,52% 1,25% 1,22% 1,21% 1,37%

39 1,52% 1,24% 1,16% 1,11% 1,32%

40 1,51% 1,24% 1,15% 1,08% 1,24%

41 1,50% 1,23% 1,14% 1,04% 1,16%

42 1,49% 1,20% 1,14% 1,01% 1,10%

43 1,48% 1,19% 1,13% 0,99% 1,05%

44 1,47% 1,17% 1,10% 0,96% 1,02%

45 1,47% 1,16% 1,08% 0,95% 0,98%

46 1,46% 1,14% 1,06% 0,88% 0,95%

47 1,45% 1,10% 1,06% 0,84% 0,94%

48 1,42% 1,10% 1,03% 0,81% 0,83%

49 1,39% 1,10% 1,01% 0,76% 0,80%

50 1,37% 1,09% 1,01% 0,75% 0,80%

51 1,36% 1,06% 1,01% 0,70% 0,74%

52 1,35% 1,03% 0,99% 0,64% 0,71%

53 1,26% 1,02% 0,96% 0,63% 0,66%

54 1,26% 0,89% 0,93% 0,61% 0,66%

55 1,23% 0,88% 0,90% 0,61% 0,65%

56 1,19% 0,84% 0,86% 0,61% 0,65%

57 1,18% 0,84% 0,85% 0,58% 0,65%

58 1,16% 0,83% 0,85% 0,58% 0,60%

59 1,16% 0,83% 0,85% 0,58% 0,58%

60 1,16% 0,79% 0,83% 0,55% 0,57%

120

61 1,15% 0,75% 0,81% 0,55% 0,56%

62 1,15% 0,75% 0,78% 0,55% 0,53%

63 1,14% 0,72% 0,74% 0,54% 0,52%

64 1,12% 0,71% 0,73% 0,53% 0,48%

65 1,11% 0,69% 0,70% 0,49% 0,45%

66 1,10% 0,67% 0,65% 0,46% 0,44%

67 1,07% 0,63% 0,64% 0,45% 0,41%

68 1,05% 0,60% 0,61% 0,41% 0,38%

69 1,00% 0,56% 0,55% 0,38% 0,35%

70 0,97% 0,38% 0,51% 0,36% 0,35% Tabella 4.3.1: Energia % catturata da ciascun modo per struttura SPACE

Figura 4.3.7: Modi necessari per catturare 95% dell'energia della struttura SPACE

Infatti, per poter cogliere il dell’energia della risposta, è necessario

ricorrere a quasi la totalità degli autovalori estratti.

Per concludere l’analisi delle caratteristiche energetiche della struttura SPACE,

si è usato il programma di supporto in Matlab per plottare i modi calcolati col

metodo di C. Soize; come nel precedente caso di TRUSS, l’aspetto non risulta

apparentemente plausibile da un punto di vista fisico, ma considerando che

questi modi sono una rappresentazione dell’energia contenuta nella struttura,

non devono necessariamente assomigliare al vero movimento che la struttura ha

ad una certa frequenza. In Figura 4.3.8 sono presentate le forme del primo modo

per le bande #1 e #5:

121

Figura 4.3.8: Modo #1 bande #1 e #5 per la struttura SPACE

4.3.4. Analisi del comportamento della struttura in condizione

vincolata e a frequenze più elevate

L’obiettivo del lavoro di tesi è stato non solo garantire il funzionamento del

programma DMAP, ma anche il suo miglioramento. Di conseguenza, in

parallelo (cfr. paragrafo 3.3.2) al lavoro di analisi delle caratteristiche modali ed

energetiche delle strutture, si è cercato di capire l’origine dello strano

122

comportamento dell’approssimazione della FrF diretta, soprattutto il salto della

funzione a cavallo di 2 bande.

In quest’ottica, vengono di seguito presentate 2 ulteriori prove numeriche:

Shift del campo di frequenza;

Comportamento della struttura in condizione di vincolo.

Per la prima prova, si è pensato di valutare il comportamento del programma

DMAP e la qualità dell’approssimazione della FrF a frequenze diverse rispetto a

quelle scelte come rappresentative della fascia MF; Nella fattispecie, le banda

HF e LF .

Come si può evincere dalla Figura 4.3.9 (caso HF), l’approssimazione della FrF

diretta è del tutto simile al caso precedente, sia per quanto riguarda la parte

immaginaria (vi sono delle piccole discrepanze), sia per la parte reale (dove la

differenza tra le funzioni è più marcata); inoltre, è ancora presente la

discontinuità della funzione approssimata a cavallo di 2 sottobande; stesso

discorso per il caso LF (Figura 4.3.10), dove in certi casi nemmeno la parte

immaginaria risulta in grado di seguire la veloce variazione della funzione

originale (banda #2).

Figura 4.3.9: FrF SPACE fascia in frequenze superiore

123

Figura 4.3.10: SPACE fascia in frequenze inferiore

Da questo confronto si può concludere che il cambio di frequenza non comporta

un miglioramento della qualità dell’approssimazione.

Per la seconda prova, si è inoltre valutato il comportamento della struttura in

condizione vincolata; il vincolo è stato applicato in un unico punto (per

comodità si è scelto il punto 1, quello in basso a destra nella faccia anteriore

della struttura SPACE), bloccando tutti i suoi gradi di liberà.

Come si può evincere guardando le Figura 4.3.11 e Figura 4.3.12, che

rappresentano rispettivamente le FrF estratte per il punto 1104 e terza

condizione di carico in condizione prima libera e poi vincolata, il fatto di

bloccare o meno la struttura non influisce sulla qualità dell’approssimazione del

metodo dell’Energy Operator; ciò che cambia è semplicemente la forma della

funzione da approssimare, cosa ovviamente normale visto che la risposta in

frequenza di una struttura vincolata è diversa rispetto a quella della stessa

struttura libera nello spazio.

124

Figura 4.3.11: SPACE, prova libera

125

Figura 4.3.12: SPACE, prova vincolata

Conclusa l’analisi della struttura SPACE fatta con queste ulteriori

considerazioni sulle caratteristiche di approssimazione del programma DMAP,

si è ritenuto necessario passare alla fase di confronto con altri metodi di

riduzione funzionale, per paragonare le capacità nel campo MF del metodo di C.

Soize rispetto ad altri metodi già affermati.

126

5. CONFRONTO CON ALTRI METODI DI RIDUZIONE

5.1. Introduzione

Per poter provare l’effettiva efficacia del metodo dell’Energy Operator di C.

Soize è necessario fare un confronto con altri metodi di riduzione funzionale per

strutture approssimate ad elementi finiti.

Come detto nel capitolo introduttivo 1.2, i metodi dedicati per le medie

frequenze non sono ancora sufficientemente maturi per poter rappresentare dei

buoni termini di paragone; per questo si è scelto di proporre il confronto con un

metodo adatto alle basse frequenze (LF) ed uno per le alte frequenze (HF),

entrambi adattati al campo MF.

Nel paragrafo 5.2 viene presentato, a rappresentare i metodi LF, l’analisi modale

classica, di cui viene data una brevissima introduzione teorica e le operazioni di

implementazione del metodo su MSC.Nastran, prima di mostrare un confronto

col metodo dell’Energy Operator.

Il paragrafo 5.3 invece illustra un metodo HF sviluppato da Y. Le Guennec

nell’ambito di un progetto di dottorato presso ONERA. Esattamente come per il

paragrafo precedente, viene mostrata la base teorica su cui si fonda questo

metodo (5.3.1), il processo necessario per poter confrontare i risultati dei 2

metodi (5.3.2) ed infine vengono presentati i risultati veri e propri del confronto.

5.2. L’Energy Operator vs l’analisi modale classica

5.2.1. Breve introduzione teorica

127

L’analisi modale classica è uno strumento utilizzato in molti campi dell’analisi

dinamica di strutture; uno di questi campi è l’analisi della risposta forzata, dove

esso contribuisce a una notevole riduzione del costo computazionale [18].

Infatti, il calcolo della risposta per l’equazione di moto

(5.1)

Comporta l’inversione della matrice del sistema per ogni punto in frequenza

(5.2)

I parametri modali di un sistema non smorzato sono un insieme di autovalori (o

frequenze naturali) e i loro corrispondenti autovettori (o forme modali). Per

questo tipo di struttura, la vibrazione non decade nel tempo ed è quindi possibile

stabilire una soluzione di tentativo nella forma . Siccome

, il problema di identificare i modi normali della struttura si riduce

a risolvere:

(5.3)

Che è soddisfatta da esattamente modi nel caso di un sistema a gradi di

libertà. Chiamando le forme modali e le corrispondenti frequenze

proprie, allora

(5.4)

Accorpando i modi propri e le frequenze proprie, ridefinite come autovalori

,in matrici, si ottiene

128

(5.5)

Esse rappresentano la matrice diagonale degli autovalori e la matrice degli

autovettori.

Normalmente, se si ha la possibilità di calcolare queste matrici, risulta

conveniente trasformare il sistema in coordinate modali , ottenendo

(5.6)

Dove

è la matrice degli autovettori normalizzata

rispetto alla massa modale del singolo grado di libertà.

Lo spostamento fisico è invece espresso come .

È possibile notare come le coordinate modali sono indipendenti le une dalle altre

e che ogni coordinata può essere vista come un sistema a un singolo grado di

libertà.

Quando si va a considerare la risposta forzata, assumendo che il sistema sia

eccitato da una forzante armonica, è possibile definire la FrF recettanza

come

(5.7)

La matrice di recettanza è simmetrica, come del resto sono e .

129

La soluzione diretta dell’equazione (5.7) per le singole FrF per un certo numero

di punti in frequenza è tuttavia costosa e inefficiente poiché normalmente un

numero limitato di risposte è necessario per stabilire con una sufficiente

accuratezza la risposta del sistema, senza contare che ogni singolo punto in

frequenza richiede l’inversione dell’intero sistema.

In questo senso le proprietà modali della struttura possono essere utilizzate

vantaggiosamente. Effettuando alcune manipolazioni sulla matrice recettanza, la

si può esprimere in termini di forme modali e autovalori:

(5.8)

L’equazione (5.8) riduce il costo computazionale della matrice di risposta ad

una semplice inversione di una matrice diagonale. Nel caso che fosse necessaria

solo una singola FrF, l’equazione precedente può essere ulteriormente ridotta

alla sommatoria

(5.9)

Dove tutti gli modi sono inclusi, e e indicano rispettivamente le coordinate

relative alla risposta (il sensore) e all’eccitazione (l’attuatore), nell’autovettore

del modo .

È stato evidenziato che l’analisi di grandi strutture è spesso riducibile alla

risposta di pochi modi e che la quantità di questi modi è normalmente piccola

. Questo vale anche per la risposta ad una forzante agente su uno spettro

di frequenze molto ampio; in questo caso, la FrF può essere calcolata lo stesso a

partire da un numero limitato di modi con una sufficiente accuratezza, e

l’equazione (5.9) diventa

130

(5.10)

Normalmente copre tutti i modi all’interno della fascia di frequenza

d’interesse e alcuni modi fuori dalla banda. La validità di questa

approssimazione si basa sul fatto che modi a frequenze superiori partecipano

debolmente alla risposta del sistema.

5.2.2. Implementazione in NASTRAN

Per poter effettuare il confronto tra il metodo di riduzione di C. Soize e i risultati

ottenibili attraverso l’applicazione delle tecniche di analisi modale classica, si è

utilizzato nuovamente MSC.NASTRAN.

È stato creato uno script basato sulla SOL 111 (risposta modale in frequenza),

modificato per poter estrarre le FrF desiderate.

Il resto dei parametri di input (morfologia, materiali e proprietà della struttura,

come del resto vincoli e forzanti) è identico al set usato per l’analisi della

struttura TRUSS mostrata nel capitolo 4.2.

La visualizzazione dei risultati, le varie FrF, è stata fatta con Matlab,

similarmente ai precedenti capitoli.

5.2.3. Confronto col metodo di C. Soize

Il confronto tra il metodo di C. Soize e l’analisi modale classica può essere fatto

semplicemente contando il numero di modi necessari per raggiungere un certo

livello di qualità nell’approssimazione della FrF. Quello che ci si aspetta è che,

ovviamente, il numero di modi propri necessario per approssimare la FrF nel

campo MF sia notevolmente superiore rispetto a quelli che vengono estratti

dall’Energy Operator.

Vi sono 2 strade possibili per questo calcolo:

131

Calcolare i modi propri a partire da fino alla frequenza massima

della banda MF scelta;

Costruire una FrF usando solo i modi naturali che cadono all’interno

della banda MF.

Per svolgere le analisi appena proposte, basta calcolare il numero di modi propri

della struttura, estrarre gli autovettori associati e costruire la FrF approssimata;

col comando di MSC.Nastran si può impostare la quantità di modi

desiderati, oppure imporre dei limiti in frequenza e calcolare la FrF soltanto con

i modi che cadono in quella banda.

Nel primo caso, si è calcolato la FrF approssimata usando tutti i modi propri fino

alla frequenza minima della banda d’interesse ( ), fino a metà banda

( ) e fino al limite superiore della stessa ( ), secondo la tabella

seguente:

Frequenze proprie struttura TRUSS

Banda # modi propri

[0 575] Hz 449

[0 700] Hz 496

[0 825] Hz 512 Tabella 5.2.1: Numero modi propri struttura TRUSS da 0 Hz

Nelle Figura 5.2.1, Figura 5.2.2 e Figura 5.2.3 sono presentati i risultati di

questa indagine per il sensore posizionato nel punto , corrispondente alla

mezzeria della trave diagonale della faccia posteriore; ovviamente, l’obiettivo di

questo confronto è semplicemente mostrare che per poter ben approssimare la

FrF è necessario estrarre tutti i modi propri fino al limite superiore della banda

d’interesse.

132

Figura 5.2.1: FrF TRUSS usando modi propri fino a 575 Hz

133


134


Nel secondo caso, per vedere quale fosse il comportamento dell’analisi modale

classica rispetto al metodo dell’Energy Operator, sono stati calcolati i modi

propri relativi alla sola banda MF desiderata; i risultati sono mostrati nelle

Figura 5.2.4, Figura 5.2.5 e Figura 5.2.6:

135



136


Come si può facilmente notare, per avere un livello accettabile di

approssimazione, è necessario ampliare notevolmente la banda, quindi

includendo più modi propri. In Tabella 5.2.2 vi è il numero di autovalori

presenti in ciascuna banda considerata nei casi precedenti; il confronto è stato

fatto con la FrF calcolata con 45 modi dell’Energy Operator.

Frequenze proprie struttura TRUSS

Banda # modi propri

[575 825] Hz 62

[525 875] Hz 107

[475 925] Hz 141 Tabella 5.2.2: Numero modi propri struttura TRUSS rispetto a banda MF

Si può quindi concludere che, nel campo MF, l’analisi modale classica richiede

il calcolo di un numero di autovalori decisamente superiore a quelli richiesti col

metodo di C. Soize.

137

5.3. L’Energy Operator vs un metodo HF

5.3.1. Breve introduzione teorica

Il metodo esposto qui di seguito è frutto di uno studio effettuato da Y. Le

Guennec nell’ambito di un dottorato presso l’ONERA [19].

L’obiettivo della ricerca è la costruzione di un metodo affidabile per valutare

l’evoluzione dell’energia all’interno di strutture tridimensionali formate da travi

alla Timoshenko nell’ambito delle alte frequenze HF; questo metodo permette di

prevedere così lo stato energetico della struttura in condizioni di regime.

Per prima cosa, viene analizzato il comportamento della struttura, modellata

secondo il modello di Timoshenko: la sua cinematica, a differenza del modello

di trave classica, include gli effetti dello sforzo di taglio.

Il punto materiale appartenente ad una sezione viene parametrizzato in modo

tale che , dove sono le coordinate del punto rispetto

alla sezione normale descritta dalla base ortonormale formata dai vettori e

e è la sua coordinata sulla fibra neutra orientata secondo il vettore tangente .

La cinematica di Timoshenko viene quindi espressa come

(5.11)

Dove , lo spostamento della fibra neutra è e

rappresenta il vettore rotazione rispetto alla sezione normale al piano neutro.

Assumendo piccole perturbazioni e introducendo il vettore

in con e rispettivamente la risultante

delle forze e dei momenti agenti sulla sezione normale, è possibile scrivere le

equazioni costitutive di una sezione normale rigida all’interno di una trave

tridimensionale nella forma di un problema iperbolico:

138

(5.12)

Dove

con la densità

volumetrica del materiale, l’area della sezione normale, la matrice dei

momenti d’inerzia, il tensore di flessibilità

traslazionale, quello rotazionale e infine l’operatore

definito come

(5.13)

Dove é la matrice identità .

Questo sistema è adatto per studiare la propagazione dell’energia perché la

densità di energia è

.

Infatti, la propagazione HF corrisponde ad onde altamente oscillanti nello

spazio, che è difficile da descrivere con l’equazione classica delle onde; l’onda

che rappresenta l’energia varia molto più dolcemente.

In questo contesto è possibile mostrare che la densità d’energia per una data

sezione normale ad una data ascissa è espressa come

(5.14)

Dove sono i modi energetici ottenuti dalla

decomposizione della matrice definita tramite l’equazione (5.13). denota i

modi di compressione longitudinale e i 2 modi di flessione, mentre quelli di

139

torsione e i 2 di taglio. Le velocità di queste onde sono rispettivamente

e .

Viene definito inoltre un vettore che identifica il flusso di densità d’energia

; nel campo HF esso è definito come

(5.15)

Dove con il numero dell’onda e la direzione di

propagazione della stessa. L’evoluzione delle intensità specifiche è descritta

dalla seguente equazione di trasporto

(5.16)

Per poter descrivere compiutamente la propagazione della densità di energia è

necessario studiare i meccanismi di trasmissione/riflessione delle onde in

corrispondenza delle giunzioni della struttura. Le giunzioni rappresentano le

uniche opportunità di accoppiare i modi energetici e quindi diffondere l’energia

in tutta la struttura. È stato rilevato tramite le simulazioni numeriche che, nella

banda HF, quando un’onda traslazionale (o, alternativamente, rotazionale)

raggiunge una giunzione della struttura, non vengono generate onde rotazionali

(o, alternativamente, traslazionali).

Nel mettere in opera il modello numerico associato questo metodo, è stato

escluso l’utilizzo del metodo agli elementi finiti classico, poiché in

corrispondenza delle giunzioni il flusso è in parte trasmesso e in parte riflesso,

causando una discontinuità del campo di densità d’energia. Viene quindi

utilizzato il metodo DG (Discontinous Galerkin), che possiede la proprietà di

“superconvergenza”, decisamente desiderabile per simulazioni temporali lunghe

che hanno come obiettivo di mostrare il limite di diffusione dell’equazione di

trasporto (5.16). L’integrazione in tempo viene effettuata attraverso uno schema

RK (Runge Kutta) fortemente stabile e ad alto ordine.

140

La simulazione numerica è stata effettuata su una struttura a travi di forma

piramidale (Figura 5.3.1), applicando un’onda di tipo gaussiano a direzione

fissata su una delle travi e andando a misurare per ogni trave la densità d’energia

in funzione del tempo (Figura 5.3.2); si può notare che per tempi lunghi la

densità di energia in ciascuna trave si stabilizza e che la densità di energia

globale si mantiene costante.

Figura 5.3.1: Struttura piramidale

141

Figura 5.3.2: Andamento dell'energia per struttura piramidale

5.3.2. Implementazione in MATLAB

Per poter rendere confrontabili i risultati ottenuti attraverso il metodo per le alte

frequenze proposto da Y. Le Guennec e il metodo di riduzione funzionale di C.

Soize, occorre innanzitutto effettuare alcuni passaggi intermedi.

L’output che può essere naturalmente estrapolato col metodo di C. Soize è la

matrice delle funzioni di risposta in frequenza FrF. Questo dato è decisamente

versatile, perché è espressione di come funziona il sistema, indipendentemente

dalla forzante applicata.

La risposta della struttura è quindi calcolabile semplicemente invertendo

la relazione

142

(5.17)

Dove è la matrice delle FrF e la forzante applicata sul sistema.

Il metodo HF proposto da Y. Le Guennec invece ha come principale output

l’energia meccanica della struttura in funzione del tempo.

Ipotizzando di voler rendere il dato ottenuto tramite il metodo di C. Soize

confrontabile col metodo per le alte frequenze, occorre effettuare 3 importanti

passaggi:

1. Trovare una maniera efficace per applicare sul sistema la condizione

iniziale individuata nello studio di Y. Le Guennec, il tutto nel dominio

delle frequenze;

2. Passare dal dominio delle frequenze a quello del tempo;

3. Calcolare l’energia totale della struttura in funzione del tempo a partire

dalla risposta (ovvero lo spostamento di ciascun punto) ottenuta col

metodo MF.

Per risolvere il primo problema [20], si può considerare un generico sistema

dinamico lineare MDOF (multi-degrees of freedom)

(5.18)

Con le condizioni iniziali

(5.19)

Attraverso l’analisi spettrale si può ricavare una base di autovettori per la

soluzione . Tuttavia, questo risultato è ottenibile soltanto nel caso di matrice

di smorzamento proporzionale alle matrici di massa e rigidezza e

termine di trasporto .

In generale, è possibile dimostrare [20] che si può manipolare l’equazione del

sistema (5.18) inserendo le condizioni iniziali (5.19) ottenendo

143

(5.20)

La cui trasformata di Fourier porta a

(5.21)

Dove è la rigidezza dinamica. Prendendo

l’inversa , che non è altro se non la matrice delle risposte in

frequenza, il calcolo della risposta si può leggere semplicemente come

(5.22)

Nell’ambito del confronto tra i 2 modelli, la condizione iniziale che viene

considerata è unicamente quella relativa alla velocità, quindi la forzante

applicata al sistema è semplificata come .

Riguardo il secondo punto, il problema è stato risolto semplicemente facendo

ricorso alle funzioni di Matlab Fast Fourier Transform e Inverse Fast

Fourier Transform .

Infine, il calcolo dell’energia meccanica del sistema nel dominio del tempo

viene fatto a partire dalla conoscenza degli spostamenti dei punti della struttura

in funzione del tempo, della loro velocità (dato ricavato ricorrendo alla funzione

di Matlab) e delle matrici di massa e rigidezza del sistema:

(5.23)

144

5.3.3. Confronto col metodo di C. Soize

Il primo passo per poter confrontare i risultati forniti dai 2 metodi, occorre

verificare che lo script Matlab creato a questo scopo funzioni correttamente.

In primo luogo, è possibile verificare che per un sistema non smorzato l’energia

totale si conserva, come è possibile vedere in Figura 5.3.3 per la struttura

SPACE se si prendono direttamente i modi propri esatti:

Figura 5.3.3: Energia totale SPACE con modi propri esatti

E, analogamente, prendendo solo i modi relativi alla fascia MF in

Figura 5.3.4:

145

Figura 5.3.4: Energia totale SPACE con modi propri esatti solo fascia MF

Le leggere variazioni che si possono notare all’inizio ed alla fine del periodo di

tempo considerato sono dovute all’effetto della conversione tra dominio delle

frequenze e dominio del tempo fatta tramite la Trasformata di Fourier.

Andando a guardare nel dettaglio l’energia meccanica di ciascun punto per un

qualsiasi istante di tempo, si può notare che il valore non è esclusivamente reale;

esiste infatti una componente complessa, che però è di svariati ordini di

grandezza inferiore rispetto alla controparte reale (il valore massimo del

rapporto tra parte immaginaria e reale è dell’ordine di ). Questo

comportamento è dovuto al fatto che, durante la trasformazione della risposta

del sistema dal dominio delle frequenze a quelle del tempo, l’operatore

di Matlab genera un piccolo errore computazionale. Un’altra spiegazione è che

il segnale, non essendo simmetrico, quando viene trasformato non diventa

completamente reale.

A questo punto, è possibile applicare il programma ausiliario Matlab usando i

modi estratti dall’Energy Operator. Operativamente, si è sostituita la matrice

contenente gli autovettori esatti con quelli (contenuti nella matrice ) che

vengono prodotti dal programma DMAP. Il risultato di quest’analisi è visibile in

Figura 5.3.5:

146

Figura 5.3.5: Energia totale SPACE con modi Energy Operator

Si vede che l’energia totale presenta un picco iniziale ed un andamento

oscillante; si può imputare questo comportamento alla presenza delle

discontinuità tra le bande, che influiscono in maniera diretta sulla forma degli

autovettori. Tuttavia, globalmente la funzione si stabilizza quasi subito ad un

valore costante e non molto diverso da quello trovato nel caso dei modi esatti.

Si può procedere quindi a separare i contributi di energia totale su ciascuna

trave, per poter finalmente fare il confronto col metodo HF di Y. Le Guennec.

Come si può vedere in Figura 5.3.6, non è possibile vedere il transitorio di

trasferimento di energia; questo probabilmente perché i tempi presi in

considerazione sono lunghi rispetto alla velocità di propagazione dell’energia

all’interno della struttura. Tuttavia, si vede che tutte e 4 le baie si assestano su

valori simili, questo in accordo col fatto che l’energia tende a distribuirsi in

modo uniforme su tutta la struttura a regime.

147

Figura 5.3.6: Energia totale SPACE, dettaglio per ciascuna baia

Durante il suo lavoro, Y. Le Guennec ha effettuato una prova usando proprio la

struttura SPACE; in Figura 5.3.7 i risultati ottenuti, normalizzati sia in tempo

che rispetto all’energia totale.

148

Figura 5.3.7: Metodo HF applicato a SPACE, Energia totale

Qui il transitorio di trasferimento di energia è visibile e, inoltre, si può

chiaramente vedere che le 4 baie tendono a raggiungere il medesimo livello di

energia, esattamente come il caso del metodo di C. Soize.

Si può quindi concludere che, pur non potendo giudicare se il metodo Energy

Operator sia migliore o peggiore rispetto a quello HF, si ottengono

qualitativamente gli stessi risultati; questo fatto conferma la bontà del

programma DMAP.

149

6. CONCLUSIONE E SVILUPPI POSSIBILI

Come già visto nei capitoli precedenti, le promettenti capacità di

approssimazione del metodo di C. Soize sono state globalmente confermate; si é

dimostrato inoltre che risulta molto facile estrarre ed analizzare le caratteristiche

energetiche della struttura, a partire dalla semplice conoscenza degli autovalori

della matrice Energy Operator.

Tuttavia é stato evidenziato durante tutta la serie di analisi effettuate che sotto

alcuni aspetti il programma DMAP che implementa il metodo presenta delle

lacune, sia in termini di qualità del risultato, sia in termini di flessibilità nella

scelta dei parametri.

Per questo è utile, nell’ottica di un processo di miglioramento delle performance

del programma, riassumere quelle che sono attualmente i punti aperti e le

problematiche ancora non risolte, illustrando le possibili soluzioni o, in

alternativa, la direzione da seguire per le future indagini.

È possibile suddividere questi punti in 2 categorie generali:

le problematiche, ovvero quegli aspetti che non permettono al

programma di funzionare nelle migliori condizioni possibili in termini di

capacità di fornire risultati e qualità degli stessi;

i miglioramenti, cioè alcune analisi che non sono state svolte durante il

lavoro di tesi per questioni di tempo, ma che rappresentano strade

percorribili per ottimizzare e ampliare le funzionalità attuali del

programma DMAP.

Cominciando con le problematiche riscontrate, quella che si è presentata quasi

immediatamente, sin dal primo run, è l’incapacità del programma DMAP di dare

all’utente flessibilità nella selezione dei modi da estrarre; si è

effettivamente trovato per ogni struttura un limite di modi per cui il programma

presenta un fatal error. Questo comportamento è sicuramente legato ad un

problema a monte del calcolo degli autovalori per iterazione dei sottospazi (cfr.

150

paragrafo 2.2.5 equazioni 2.87 e 2.88), poiché si è dimostrato (cfr. paragrafo

4.2.5) che il comando DMAP LANCZOS funziona correttamente.

In aggiunta, si è visto che la funzione approssimata presenta delle discontinuità

tra le bande strette in cui è diviso il dominio di frequenze analizzato; questo

comportamento é legato alla stessa causa della problematica precedente. Si è

visto (cfr. paragrafo 4.3.4) che esso non dipende né dal tipo di struttura

analizzata, né dal campo di frequenze, né dalle condizioni di vincolo, bensì dalle

operazioni che vengono fatte precedentemente al calcolo degli autovalori con

Lanczos.

Purtroppo durante il lavoro di tesi non si è riuscito a dare una spiegazione a

questo fenomeno; questo si configura come il punto chiave per dotare il

programma di una piena funzionalità.

Un'altra problematica riscontrata durante il progetto è la strana forma della

funzione di densità modale per le strutture trattate: normalmente i modi

dovrebbero essere meno densi nel campo LF e più densi in quello HF; per

TRUSS e SPACE accade il contrario. Per mancanza di tempo non ci si è

soffermati a trattare nel dettaglio questo aspetto, ma sarebbe interessante provare

ad costruire e studiare una struttura differente.

Passando ai possibili miglioramenti, sarebbe auspicabile provare a confrontare il

metodo di C. Soize con un altro modello studiato specificatamente per il campo

MF. Questo confronto permetterebbe di evidenziare le capacità del metodo

Energy Operator con un diretto concorrente e non con modelli adattati dagli altri

campi in frequenza (analisi modale classica o metodo HF di Y. Le Guennec).

Un altro aspetto che potrebbe portare ad un miglioramento della qualità dei

risultati ma al contempo un incremento del costo computazionale, è

l’infittimento della mesh per le strutture trattate; non è detto che un approccio di

questo tipo possa rivelarsi efficace, ma quantomeno varrebbe la pena di fare un

tentativo.

Ultimo spunto per provare a incrementare le prestazioni del programma è quello

di impostare il calcolo della FrF approssimata prendendo un’unica banda

sull’intero campo di frequenza di interesse. Già nel paragrafo 3.3.2 è stato

mostrato che, per il modello PLATE, prendendo una sola banda stretta al posto

delle 5 di default portava per forza di cose ad eliminare il problema della

151

discontinuità della FrF a cavallo tra una banda e l’altra; potrebbe essere

interessante applicare questa filosofia anche alle 2 strutture più complesse

TRUSS e SPACE.

Concludendo, il programma DMAP che implementa il metodo di riduzione

funzionale per il campo MF basato sull’Energy Operator ideato da C. Soize è

uno strumento efficace per approssimare le FrF di una struttura tridimensionale

di tipo traliccio per applicazione in campo spaziale; nonostante sotto alcuni

aspetti possa essere ancora migliorato, il programma DMAP costruito durante il

lavoro di tesi fornisce una certa affidabilità per le analisi dinamiche nel campo

MF.

152

APPENDICE

CENNI STORICI SU ONERA

L’ONERA è il centro francese per la ricerca aerospaziale [21]. Dal 1946 è sotto

la tutela del Ministero della Difesa francese, conta più di 1500 ricercatori

suddivisi tra 8 differenti siti in Francia. Il suo modello di ricerca, atipico, associa

la performance scientifica a quella economica: tutti gli studi effettuati da

ONERA portano risultati che si concretizzano in innovazioni a beneficio dei

suoi clienti e partners.

Figura A.0.1: Facts su ONERA

L'ampio budget a disposizione permette di allestire mezzi di simulazione

sperimentale unici in Europa; le loro ricerche coprono tutto lo spettro della

ricerche sviluppo aeronautica e spaziale, delle ricerche sulle tecnologie

153

industrializzabili. A livello internazionale, l’ONERA ha come principale partner

il DLR tedesco, ma intrattiene anche rapporti con i suoi omologhi europei

tramite l’EREA (association of European research Establishements in

Aeronautics).

I campi di ricerca spaziano da quello energetico, aerodinamico, materiali

strutture, elettromagnetismo, ottica, fisica della strumentazione, ambiente

atmosferico spaziale, sistemi complessi e imbarcati, trattamento

dell'informazione. I vari dipartimenti operano su una visuale applicativa di

medio e lungo termine.

Riguardo l’organizzazione interna di ONERA [22], vi sono 5 grandi settori

tecnici (Meccanica dei fluidi ed energetica, Fisica, Materiali e strutture,

Trattamento dell’informazione e sistemi, Grandi mezzi tecnici) a loro volta

suddivisi in sottounità (Figura Figura A.0.2), per un totale di 21 dipartimenti:

Figura A.0.2: Settori scientifici e dipartimenti di ONERA

Sulla scala TRL (Technology Readiness Level), l’ONERA si posiziona

maggiormente tra i livelli 2 e 6. In Figura Figura A.0.3 è presente una breve

descrizione grafica della scala TRL:

154

Figura A.0.3: Technology Readiness Level (TRL)

La capacità di ONERA di fornire alto valore aggiunto alle ricerche effettuate,

porta le aziende partner ad avere un forte vantaggio competitivo; i fattori

principali di questo valore aggiunto sono:

Grande competenza nella comprensione fisica dei fenomeni,

modellizzazione, simulazione e sperimentazione;

Disponibilità di licenze per programmi di simulazione numerica e diversi

strumenti sviluppati internamente per l’analisi dei problemi in tutti i

campi di sviluppo;

Capacità di trasferire il know-how alle aziende partner, nell’ambito di un

programma di accompagnamento scientifico nella messa in opera delle

soluzioni proposte;

Esperienza nella scelta di una buona orientazione tecnologica dei

programmi che entreranno in sviluppo nel giro di 5/10 anni, e di cui i

prodotti dovranno restare operativi per 30/40 anni.

Questi fattori hanno reso ONERA un importante polo di ricerca tecnologico, in

Francia prima di tutto, ma anche a livello internazionale; a livello aerospaziale, i

155

maggiori risultati raggiunti negli ultimi anni, a livello di ritorno tecnologico,

sono [21]:

Le gallerie del vento di Modane e Midi-Pyrénées sono state utilizzate da

AIRBUS per lo sviluppo aerodinamico dei propri aeromobili, dal primo

A300, all’A380 fino al nuovo A350; in particolare, l’uso di questi

strumenti ha permesso ad AIRBUS di studiare con maggiore dettaglio

l’andamento dei flussi motore e di ottimizzare l’interazione tra nacelle e

resto dell’aeromobile, permettendo così un guadagno in tempo e costo di

sviluppo;

Nel campo elicotteristico, ONERA ha sviluppato strumenti di

simulazione numerica e sperimentale per definire profili ed estremità

delle pale, al fine di creare nuove forme che permettano di ridurre

considerevolmente il rumore prodotto durante l’esercizio; ONERA ha

creato il programma di analisi di calcolo acustico usato da Eurocopter

per prevedere e ridurre gli effetti sonori; attualmente la maggior parte

delle pale montate su elicotteri Eurocopter hanno profili concepiti da

ONERA;

Durante la concezione del nuovo aereo commerciale di Dassault

Aviation, il Falcon 7X, ONERA ha contribuito significativamente

all’ottimizzazione dell’aerodinamica e nel ridurre la resistenza e, di

riflesso, il consumo; più di 2500 ore di test sperimentali in galleria del

vento hanno permesso di validare le previsioni numeriche e favorito

alcune opzioni tecnologiche, tra cui la scelta delle winglets;

Lo sviluppo del programma FERMAT per modellizzare le onde

elettromagnetiche e predire la loro interazione con l’ambiente;

L’intera concezione e realizzazione del sistema di tracciamento di

satelliti GRAVES, tramite studi di fattibilità, la definizione

dell’architettura e la valutazione delle performances tramite un

dimostratore, dotando così l’Aeronautica francese di un sistema capace

di seguire i satelliti in orbita bassa;

Contribuzione allo sviluppo dei missili aria-terra ASMP (Air Sol

Moyenne Portée) a vantaggio del Dipartimento della Difesa francese; il

contributo ONERA è principalmente orientato sull’aerodinamica interna

ed esterna, le leggi di pilotaggio e l’ottimizzazione delle performance;

Partecipazione allo sviluppo dei nuovi droni da combattimento UCAV,

attraverso lo studio di nuove leggi di controllo, sistemi di

156

mimetizzazione radar e infrarossa, forme non convenzionali come assi

principali di ricerca;

Attraverso la partnership con le grandi agenzie spaziali NASA, ESA e

CNES, lo studio di sensori accelerometrici ultrasensibili per applicazioni

nel campo dell’oceanografia, la geodesia, la geofisica, la climatologia e

la fisica fondamentale; già dagli anni ’60, ONERA si è orientata verso lo

sviluppo di sospensioni senza contatto (con l’aiuto delle forze

elettrostatiche) delle masse di prova per ottenere dei sensori

ultrasensibili;

Tramite l’uso della galleria del vento verticale di Lille (una delle 3 al

mondo, con quelle della NASA e dei russi) è stato possibile studiare il

comportamento della sonda spaziale Huygens nel suo percorso di

ingresso nell’atmosfera di Titano, per le 2 fasi di traiettoria balistica ad

alta sollecitazione termodinamica e quella di stabilizzazione della sonda

in caduta libera e di apertura del paracadute;

Sviluppo del progetto IFATS per il controllo automatico delle rotte

aeree; il sistema di controllo permetterà (in una prospettiva di

applicazione a lungo termine, orientativamente 2040/2050) di gestire il

traffico automaticamente, calcolando le traiettorie ottimali per gli aerei e

garantendo un elevato livello di sicurezza ed aiutando

nell’ottimizzazione del consumo di carburante.

BREVE DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA

MSC.NASTRAN E DEL CODICE DI

PROGRAMMAZIONE DMAP

MSC.Nastran è un programma ad elementi finiti che fornisce una vasta gamma

di capacità di analisi [16]. Questa tecnologia permette di risolvere agevolmente

problemi che pochi anni fa erano impossibili da trattare.

Il metodo ad elementi finiti fa parte della grande famiglia dei metodi di analisi

ingegneristica. Essa può essere suddivisa in 2 categorie: i metodi analitici e

quelli numerici.

157

I metodi analitici si prefiggono di risolvere i problemi costruendo direttamente

le equazioni differenziali che governano il sistema a partire da principi

fondamentali della fisica. Il vantaggio di questo approccio è l’alto grado di

fedeltà rispetto alla realtà fornito da soluzioni di questo tipo.

I metodi numerici, d’altro canto, hanno differenti formulazioni, a seconda del

tipo di problema da affrontare: possono puntare a minimizzare l’espressione

dell’energia potenziale della struttura sull’intero dominio (metodi energetici);

cercare soluzioni approssimate che soddisfino le equazioni differenziali del

problema salvo che sul contorno (metodi a elementi di contorno); rimpiazzare le

equazioni differenziali che governano il problema con equazioni algebriche

(differenze finite); rappresentare la struttura come un insieme di elementi la cui

versatilità permette una capacità di generalizzazione del problema virtualmente

illimitata (elementi finiti). MSC.Nastran fa parte di quest’ultima categoria.

Esso è scritto in linguaggio FORTRAN e risulta adattabile facilmente a qualsiasi

tipo di computer o di sistema operativo. Si compone di un gran numero di

blocchi preassemblati chiamati moduli; ciascun modulo è una catena di

sottoprogrammi FORTRAN, scritti per effettuare una specifica azione, come ad

esempio modellare la geometria, assemblare matrici, applicare vincoli, risolvere

problemi matriciali ecc…

I moduli sono controllati da un linguaggio interno chiamato DMAP (Direct

Matrix Abstraction Program). Ogni tipo di analisi disponibile in MSC.Nastran è

chiamata Sequenza di Soluzione, ognuna delle quali è composta da una lista

predefinita contenente migliaia di comandi DMAP.

A seconda del tipo di analisi da effettuare, si può scegliere una particolare

Sequenza di Soluzione di MSC.Nastran. I programmi CAD permettono di creare

il modello ad elementi finiti che viene tradotto in un file di input; questo

contiene quindi una completa descrizione delle caratteristiche del sistema, quali:

Tipo di analisi da effettuare;

Geometria del modello;

Elenco degli elementi finiti;

Carichi applicati;

Vincoli applicati (condizioni al contorno);

Richieste da parte dell’utente sul tipo di output da calcolare.

158

La struttura del file di input è formata da 5 parti distinte, di cui 3 obbligatorie, e

3 separatori, come riassunto in Figura Figura B.0.1:

Figura B.0.1: Struttura del file di input per MSC.Nastran

Le caratteristiche principali di ciascuna sezione sono:

NASTRAN Statement (facoltativo): serve per modificare alcuni

parametri operazionali, quali la memoria da allocare, le dimensioni

massime delle matrici, proprietà specifiche dell’ordinatore ecc…;

159

File management section (facoltativo): serve principalmente per

inizializzare il database Nastran e i files FORTRAN, come le specifiche

sulle dimensioni massime o dei nomi specifici dei files;

Executive control section (obbligatorio): qui viene specificato quale tipo

di analisi effettuare e il tempo massimo di calcolo; per indicare la fine di

questa sezione è consuetudine collocare il comando CEND;

Case control section (obbligatorio): tutte le informazioni contenute

all’interno sono chiamate comandi; la Case control section è usata per

specificare e controllare il tipo di risultato richiesto per l’analisi (come

ad esempio forze, sforzi e spostamenti); al suo interno vengono inoltre

specificati i set di dati in input, i sottocasi di analisi e selezionati carichi

e condizioni al contorno;

Bulk data section (obbligatorio): questa sezione segue sempre la Case

control section ed inizia con il comando BEGIN BULK; essa contiene

tutto ciò che è necessario per descrivere il modello geometrico ad

elementi finiti, i sistemi di coordinate, gli elementi finiti, le loro

proprietà, carichi, condizioni al contorno e proprietà dei materiali; la

sezione finisce sempre con il comando ENDDATA.

La preparazione del file di input a mano può comportare un’enorme perdita di

tempo, essere noiosa e fonte di errore. Per questo motivo vengono usati pre e

post processori (come MSC.Patran o Femap) per preparare il modello ad

elementi finiti per via grafica e per aiutare nella visualizzazione e

l’interpretazione dei risultati. Inoltre, il fatto di aver creato il modello

geometrico tramite un software grafico, permette di poterlo modificare

facilmente nel caso vengano evidenziati dalle analisi effettuate che è necessario

apportare dei cambiamenti. Il ruolo dei pre e post processori è ben

schematizzato in Figura B.0.2:

160

Figura B.0.2: Pre e Post processori nell'analisi ad elementi finiti

A seconda del tipo di analisi da effettuare, MSC.Nastran richiede di specificare

nella Executive control section la Sequenza di soluzione desiderata; le Sequenze

di soluzione più utilizzate sono elencate in Figura Figura B.0.3:

161

Figura B.0.3: Sequenze di Soluzione

MSC.Nastran non permette di modificare il codice sorgente che sta alla base

delle Sequenze di soluzione, ma consente che vengano aggiunti dei comandi;

essi possono essere introdotti dall’utente nella Executive control section tramite

il comando ALTER, seguito dalle istruzioni aggiuntive scritte in codice DMAP;

per identificare la conclusione della modifica, viene utilizzato il comando

ENDALTER.

Come già accennato precedentemente, DMAP è un codice con un proprio

compilatore e regole grammaticali [23]. Un programma DMAP consiste in una

162

serie di Moduli, che possono presentarsi in 2 forme distinte: matrici, che

obbediscono alle regole dell’algebra, e tabelle, che rappresentano una

conveniente raccolta di elementi. Vi sono inoltre dei Parametri, scalari usati per

specificare caratteristiche di controllo, di operazione o di sistema. I Moduli

possono essere usati come parametri di input, di output o entrambi. I parametri

di input influiscono sulle iperazioni interne ai Moduli, mentre quelli di output

sono usati per controllare la logica di DMAP e/o per passare informazioni

scalari ai Moduli seguenti.

Le istruzioni che possono essere fornite a MSC Nastran tramite DMAP sono di

2 tipologie: Moduli e Dichiarazioni (Statements in inglese). Un Modulo è simile

ad una funzione macro e, in generale, processa i Data Block come input e/o

output. Un Modulo può avere anche Parametri come input e/o output.

L'istruzione di un Modulo ha la forma seguente: il nome del Modulo seguito da

una virgola [,] e una lista di input separati da virgole, una barra [/], una lista di

output separati da virgole, una barra, una lista di parametri separati da barre:

nome del modulo, lista di input/lista di output/lista dei parametri $

il segno del dollaro [$] è necessario per terminare l'istruzione del Modulo.

Possono anche essere utilizzati Parametri all'interno del Modulo, sia come input,

sia come output.

Una Dichiarazione è una qualsiasi istruzione che non è un Modulo e che

tipicamente non produce Data Blocks di output a partire da Data Blocks o

Parametri di input. Le Dichiarazioni permettono di assegnare un valore ad un

parametro variabile, possono richiamare delle funzioni e/o permettere di

costruire dei loop logici di controllo (esattamente come i programmi FORTRAN

o MATLAB).

Combinando Moduli, Parametri e Dichiarazioni è possibile fornire a MSC

Nastran tutte le istruzioni necessarie per poter effettuare le analisi desiderate;

come già detto precedentemente, MSC Nastran permette di modificare le

Sequenze di soluzione o di scrivere sequenze di comandi personalizzate usando

DMAP. La compilazione, inserimento ed esecuzione dei programmi DMAP è

specificata tramite comandi nella Executive control section del file di input.

163

Per un ulteriore approfondimento riguardante il funzionamento delle Sequenze

di Soluzione di MSC Nastran e di DMAP, si consiglia la lettura delle guide

indicate in bibliografia.

164

NOMENCLATURA E ACRONIMI

Banda stretta

DADS Departement de Aéroélasticité et Dynamique de Structures

(Dipartimento Onera)

DG Discontinous Galerkin method

DMAP Direct Matrix Abstraction Program

Energy Operator

FEM Metodo degli elementi finiti

FrF Funzione di Risposta in Frequenza

HF Alte Frequenze (High frequencies)

KL o KLD Metodo Karhunen-Loeve (Karhunen-Loeve Decomposition)

LF Basse Frequenze (Low frequencies)

MDOF Sistema a molti gradi di libertà (Multi-Degrees of Freedom

system)

MF Medie Frequenze (Medium frequencies)

ONERA Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales

PCA Analisi in Componenti Principali

PLATE Modello di piastra realizzato per le analisi in MSC.Nastran

POD Proper Orthogonal Decomposition

POM Proper Orthogonal Modes

POV Valori Ortogonali Propri

RK Schema di integrazione Runge Kutta

165

SEA Statistical Energy Analysis

SFEM Stochastic Finite Element Method

SOL xxx Sequenza di Soluzione di MSC.Nastran

SPACE Secondo modello di piastra realizzato per le analisi in

MSC.Nastran

SVD Decomposizione ai Valori Singolari

Funzione di Risposta in Frequenza

TRL Technology Readiness Level

TRUSS Primo modello di piastra realizzato per le analisi in MSC.Nastran

166

BIBLIOGRAFIA

[1] E. SAVIN, "Midfrequency Vibrations of a Complex Structure: Experiments

and Comparison with Numerical Simulations," AIAA Journal, vol. 40,

2002.

[2] R., A., SARKAR GHANEM, "Reduced models for the medium-frequency

dynamics of stochastic systems," Journal of Acoustics, vol. 113, February

2003.

[3] C. SOIZE, "Reduced models in the medium frequency range for general

dissipative structural-dynamics systems," vol. 17, 1998.

[4] C. SOIZE, "Medium frequency linear vibrations of anisotropic elastic

structures," vol. 5, 1982.

[5] Y. C. LIANG, "Proper Orthogonal Decomposition and its applications —

Part I: Theory," vol. 252, 2002.

[6] KIM, "Frequency-domain Karhunen-Loeve Method and its Application to

Linear Dynamic Systems," AIAA Journal, vol. 36, no. 11, November 1998.

[7] KERSCHEN, "The Method of Proper Orthogonal Decomposition for

Dynamical Characterization and Order reduction of Mechanical Systems:

an Overview," Nonlinear Dynamics, vol. 41, 2005.

[8] LIANG Y. C., "A neural-network-based method of model reduction for

dynamic simulation of MEMS," Journal of Micromechanics and

Microengineering, vol. 11, 2001.

[9] B. F., KAPPAGANTU, R. FEENY, "On the physical interpretation of

proper orthogonal modes in vibrations," vol. 211, 1998.

[10] VAKAKIS F. MA X., "Karhunen-Loeve Decomposition of the Transient

Dynamics of a Multibay Truss," AIAA Journal, vol. 37, no. 8, August 1999.

167

[11] VAKAKIS A., BERGMAN L. MA X., "Karhunen-Loeve Modes of a

Truss: Transient Response Reconstruction and Experimental Verification,"

AIAA Journal, vol. 39, no. 4, April 2001.

[12] WEICKUM G., "A multi-point reduced-order modeling approach of

transient structural dynamics with application to robust design

optimization," Springer, vol. 38, 2009.

[13] SPANOS P. GHANEM R., "Stochastic Finite Elements: A Spectral

Approach," Springer Verlag, 1991.

[14] R., SARKAR, A. GHANEM, "Numerical Analysis of Stochastic

Dynamical Systems in the Medium-Frequency Range," 2001.

[15] DESANTI, "Manuel d'utilisation du Logiciel de Modelisation des

Transferts Solidiens en Moyennes Frequences MSC.Nastran + DMAP

Onera," Diffusion Onera, 2001.

[16] MSC.Software, Getting Started with MSC Nastran - User’s Guide.: MSC

Software Corporation, 2012.

[17] V. KEHR, "Caracterisation de la reponse transitoire des structures

complexes aeronautiques - choix du cas test," Diffusion Onera, 2009.

[18] H. GRAFE, "Model Updating of Large Structural Dynamics Models Using

Measured Response Functions," 1998.

[19] Y., SAVIN, E., CLOUTEAU, D. LE GUENNEC, "Transient dynamics of

three-dimensional beam trusses under impulse loads," , Hong Kong, 2012.

[20] AA. VV., "Structural Dynamics and Acoustics Lecture notes," 2011.

[21] ONERA, "Onera - retour sur innovation," Diffusion Onera, 2007.

[22] ONERA, "Onera - Retour sur innovation," Diffusion Onera, 2012.

[23] MSC.Software, MSC Nastran 2012 - DMAP Programmer's Guide.: MSC

Software Corporation, 2012.

168

[24] M. F. A., VAKAKIS, A. F. AZEEZ, "Proper orthogonal decomposition

(POD) of a class of vibroimpact oscillations," vol. 240, 2001.

[25] Y. LE GUENNEC, Transient dynamics of beam trusses under impulse

loads.: Ecole Centrale de Paris, 2012.

[26] RAVINDRA B., "Comments on "On the Physical Interpretation of Proper

Orthogonal Modes in Vibrations"," Journal of Sound and Vibration, vol.

219, 1999.

169

RINGRAZIAMENTI

Sembra passata un’eternità dall’ultima volta che ho dovuto scrivere una pagina

come questa, probabilmente troppo tempo. Tante cose sono cambiate: da allora

ho vissuto in tre città straniere, imparato a parlare 4 lingue, compreso cosa vuol

dire essere indipendente, cominciato a sporcarmi le mani con il vero lavoro e

apprezzato l’essere italiano, con tutti i suoi pregi e difetti.

Ma ancora di più, ho capito quanto importanti sono state tutte le persone che

hanno condiviso il percorso con me, a cominciare dalla mia famiglia, che mi ha

sostenuto costantemente anche nei momenti più difficili; gli amici di vecchia

data, quelli che anche se non ci si vede per un anno intero ti accolgono come se

fosse passato un solo giorno; i compagni di università con cui ho iniziato la mia

carriera e quelli con cui l’ho conclusa, senza di voi sarebbe stato impossibile

seguire i ritmi del Poli; gli amici della biblioteca, con cui ho condiviso giorni-

mesi-anni sui libri come se studiare fosse l’unica attività della nostra vita e gli

esami non dovessero finire mai (se ce l’ho fatta io, potete farcela anche voi!);

tutte le persone (ragazzi, allenatori, dirigenti e genitori) che contribuiscono a

rendere il Centro Schuster il miglior ambiente possibile in cui formarsi come

atleti e come uomini; le persone a cui sono stato legato sentimentalmente

perché, anche se il contratto era a tempo determinato, un po’ di felicità e serenità

me l’avete regalata; gli amici di Londra, Parigi e Amburgo, perché mi avete

fatto assaporare ciò che vuol dire essere in Erasmus.

A tutti voi vorrei dire GRAZIE, perché senza il vostro supporto e affetto non

sarei stato in grado di apprezzare tutte le cose belle che la vita mi ha regalato

finora e che, spero, mi regalerà in futuro. Io voglio essere il primo a godere della

mia felicità, ma poterla condividere con gli altri è di gran lunga più appagante.

Reduced-order computational models for the transient dynamics of spatial structures

Documents

Transcript of Reduced-order computational models for the transient dynamics of spatial structures