Rapport de thèse

1

L’Universite de Pierre et Marie Curie et L’Universite de Tunis El Manar

Institut de Mathematiques de Jussieu et La Faculte des Sciences de Tunis

These en cotutellepresentee en vue de l’obtention du diplome de

Doctorat En Mathematiques de :

L’Universite de Pierre Marie Curie L’Universite de

Tunis El Manar

Problemes relatifs aux

Grassmanniennes complexesRiadh JELLOUL

Soutenue le 04/03/2014 devant le jury :

- Ahmed FITOUHI (President) FST

- Nizar BEN FRAJ (Rapporteur) IPEIN

- Pascal CHERRIER (Examinatueur) UPMC

- Julien GRIVAUX (Rapporteur) CNRS Marseille

- Sami BARAKET (Encadreur) FST

- Adnene BEN ABDESSELEM (Encadreur) UPMC

Table des matieres

1 Introduction et background 5

1.1 Quelques definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Theoremes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Les resultats connus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Estimee C0 dans le cas C1(M) < 0 : . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Estimee C0 dans le cas C1(M) > 0 : . . . . . . . . . . . 11

1.4 Enveloppe inferieure des fonctions g-admissible dans PmC . . . 16

2 le c1(G2,4C) et Isometries. 19

2.1 Definition de G2,4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 La premiere classe de Chern de G2,4C . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Isometries dans G2,4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Enveloppe inferieure des fonctions admissibles dans G2,4C 27

3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Preuves des Theoremes 8 et 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Preuve du Theoreme 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Reduction de l’etude aux matrices diagonales

reelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Preuve du Theoreme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Invariant de Tian sur des varietes de type Calabi generalisee. 39

4.1 Preuve du theoreme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Preuve du corollaire 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3

4 TABLE DES MATIERES

Remerciements

Au terme de ce travail, j’adresse mes vifs remerciements a mes professeurs M.

Ben Abdesselem et M. Sami Baraket. Je leur exprime ma gratitude pour leur

aide, les conseils precieux qu’il m’ont prodigues et pour leur comprehension.

Ils m’ont ete d’un grand apport.

Chapitre 1

Introduction et background

Introduction

Cette these traite de certaines varietes Kahleriennes compactes a premiere

classe de Chern positive. A l’origine, il s’agit d’un probleme de physique

theorique. En effet, la relativite generale introduite par A. Einstein sous

l’angle metrique, apporte des explications tres longtemps recherchees sur la

gravitation. En dehors de la matiere les equations qui en decoulent s’ecrivent :

Rij = λgij;

ou Rij et gij designent respectivement les matrices des tenseurs metriques

et de Ricci. Bien que l’existence de telles metriques dans le cas Kahlerien

n’est pas exactement le cadre de la physique theorique decrit plus haut, les

derniers rebondissements mathematiques concernant la theorie des cordes

et la symetrie miroir, remettent les varietes Kahleriennes a l’ordre du jour

pour ce type de questions. Ici s’interesse au calcul de l’invariant de Tian sur

certaines varietes complexes. Signalons que le resultat de ce calcul procure

une methode pratique qui permet de mettre en evidence une metrique de

Kahler-Einstein sur une variete a premiere classe de Chern positive. Nous

traitons dans cette these deux exemples de varietes a c1 > 0, l’objet central

etant l’exemple non torique le plus simple a savoir G2,4C puis de mettre en

5

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET BACKGROUND

evidence une fonction minorant toutes les fonctions admissibles (c-a-d les

fonctions psh a une metrique dans le c1 pres a sup egal a zero et invariantes

par le groupe d’automorphismes. On montre d’abord le resultat ci-dessous

expose sur G2,4C en considerant le groupe d’automorphismes adequat nous

permettant d’obtenir des generalisations des resultats obtenus dans [5] et [6].

1.1 Quelques definitions

Soit (M, g) une variete Kahlerienne compacte. Soit ω la (1 − 1) forme sym-

plectique associee a la metrique g : ω = igλµdzλ∧dzµ et R la forme de Ricci :

R = iRλµdzλ ∧ dzµ ou Rλµ = −∂λµlog|g|, ou |g| = det(gij) .

Definition 1. Une metrique Kahlerienne est dite d’Einstein s’il existe un

reel k tel que R = kω. ou k = −1, 0, ou 1 apres normalisation. Introduisons

maintenant une notion fondamentale pour l’etude des metriques d’Einstein-

Kahler.

Definition 2. La premere classe de Chern de M, notee C1(M), est la classe

de cohomologie de R/2π. Elle est intrinseque au sens ou elle ne depend pas

de la metrique choisie.

En effet, soient g et g′ deux metriques sur M . On introduit le rapport des

formes volume φ = |ω′|/|ω|. φ est C∞ sur M et ne s’annule pas.

On a :

R′ = −i∂∂log|g′| = −i∂∂φ− i∂∂log|g| = −i∂∂φ−R

On en deduit l’egalite des classes de cohomologie : [R] = [R′] car R′−R est

exacte.

Definition 3. On dit que C1(M) > 0, (resp.C1(M) = 0, C1(M) < 0)

si C1(M) contient une (1 − 1) forme definie positive (resp.nulle, definie

negative).

1.2. THEOREMES UTILES 7

Remarquons que ces s’excluent mutuellement car toute fonction pluri-

sousharmonique sur une variete compacte est constante.

1.2 Theoremes utiles

Remarque : Si M est une variete admettant une metrique Einstein-Kahler

de facteur k, C1(M) est du signe k.

Definition 4. Une fonction ϕ ∈ C2(M) telle que ω + i∂∂ϕ > 0 est dite

admissible.

Le probleme de depart revient donc a trouver ϕ admissible telle que R′ = kω′,

ou ω′ = ω + i∂∂ϕ.

Cela signifie que l’on cherche la metrique d’Einstein-Kahler dans la meme

classe de cohomologie que la metrique initiale. dans le cas nul (k=0), on suit

le meme procede, sans condition sur la metrique initiale ω.

Definition 5. Pour toute fonction ϕ de classe C2 sur M, on pose M(ϕ) =

|ω + i∂∂ϕ|/|ω|.

Theoreme. Soit ϕ de Classe C2 sur M. On a equivalence :

(i) ϕ est admissible.

(ii) M(ϕ) > 0.

Demonstration. (i) =⇒ (ii) : en effet ω + i∂∂ϕ est une metrique.


(ii) =⇒ (i) : Les valeurs propres de la pseudo-metrique h’ associee a la

forme ω′ varient continument sur M et ne s’annulent pas. Il suffit donc de

montrer qu’elles sont toutes strictement positives en un point. Soit P tel

que infMϕ = ϕ(P ). On prend des coordonnees normales en P telles que la

hessienne de ϕ au point P soit diagonale, on a donc ∂λλϕ(P ) ≥ 0 pour tout

λ. Les valeurs propres de h′ en P sont les 1 + ∂λλϕ. Elles sont toutes plus

grandes que 1 donc ne s’annulent pas, on a alors la conclusion recherchee.La

metrique initiale verifie [R] = [kω]. Il existe donc une fonction f telle que

R = kω + i∂∂f.

Theoreme. ω + i∂∂ϕ est une metrique d’Einstein-Kahler de facteur k si et

seulement si il existe une constante K telle que :

(1) M(ϕ) = ef−kϕ+K

Cette equation est l’equation de Monge-Ampere associee au probleme.

Demonstration. Si ω′ est une metrique d’Einstein-Kahler, on a :

R′ = −i∂∂ logM(ϕ) + R.

L’equation R′ = kω′ se ramene a −i∂∂logM(ϕ) + R = R − i∂∂f + ki∂∂φ,

ou encore ∂∂[−logM(ϕ) − f + kϕ] = 0, soit logM(ϕ) = f − kϕ + K.

Reciproquement, si l’equation (1) est verifiee, ϕ est admissible d’apres le

theoreme 1.7. Les calculs precedents sont alors des equivalences.

Si k 6= 0, on peut toujours se ramener au cas ou K = 0 en remplacant ϕ

par ϕ+K/k. Si k = 0, on peut calculer la constante de la maniere suivante :

Theoreme. Si ϕ est une fonction admissible, et si ω′ = ω + i∂∂ϕ, alors

V ′ = V , c’est-a-dire∫MM(ϕ)dv =

∫Mdv.

Demonstration. On sait que l’element de volume d’une variete Kahlerienne

1.2. THEOREMES UTILES 9

est donne par dv = (2mm!)−1ω ∧ ... ∧ ω. Alors :

ω′ ∧ ... ∧ ω′ − ω ∧ ... ∧ ω = (ω + i∂∂ϕ) ∧ ... ∧ (ω + i∂∂ϕ)− ω ∧ ... ∧ ω.

On obtient une somme de termes de la forme ω ∧ ... ∧ ω︸︷︷︸k

∧ ∂∂ϕ ∧ ... ∧ ∂∂ϕ︸︷︷︸m−k

ou

k < m. Ils s’ecrivent [ω ∧ ... ∧ ω ∧ ∂ϕ ∧ ∂∂ϕ ∧ ... ∧ ∂∂ϕ] car dω = 0. Donc,

d’apres la formule de Stokes,∫Mω′ ∧ ... ∧ ω′ =

∫Mω ∧ ... ∧ ω, et on obtient

le resultat.

Corollaire. Dans le cas k=0, la constante verifie∫Mdv = eK

∫Mefdv, soit

encore :

K = log

∫M

dv − log∫M

efdv.

Remarquons que l’on a une expression explicite pour M(ϕ) :

Theoreme.

M(ϕ) = det(δµλ +∇µλϕ)1≤λ≤m

1≤µ≤m

Demonstation. Comme ω′ = ω+i∂∂ϕ, on a en composantes g′

λµ = gλµ+∂λµϕ.

Alors (g′g−1)λµ = g′

λδgδµ = gδµgλµ + gδµ∂λµϕ = δδλ +∇δ

λφ.

Pour m=1, on obtient M(ϕ) = 1 + ∆ϕ.

La resolution de l’equation de Monge-Ampere se fera ici par la methode

de continuite. Il faut donc decrire le comportement linearise de ϕ 7→M(ϕ).

Theoreme. Soit A2(M) l’ensemble des fonctions admissibles de classe C2

sur M. L’application :

A2(M)→ C0(M)

ϕ 7→M(ϕ)

est C1 sur l’ouvert A2(M) et on a DM(ϕ)(ψ) = M(ϕ)∆′ϕψ ou ∆

′= ∆

′ϕ


designe le Laplacien par rapport a la metrique ω′ = ω + i∂∂ϕ.

Demonstation. M(ϕ) = det(gλµ + ∂λµϕ)/det(gλµ).M(ϕ) est differentiable et

on a :

DM(ϕ)(ψ) = det(gλµ + ∂λµϕ)Tr(tg′λµ × ∂λµψ) = M(ϕ)Tr(g

′λµ ×t ∂λµψ)

= M(ϕ)g′λδ∂λδψ = M(ϕ)∆′ψ.

1.3 Les resultats connus :

1.3.1 Estimee C0 dans le cas C1(M) < 0 :

L’equation de Monge-Ampere associee est :

log(M(ϕ)) = f + ϕ.

On utilise comme dans le cas precedent la methode de continuite en con-

siderant la famille d’equations (Et)0≤t≤1 suivante :

(Et) log(M(ϕ)) = tf + ϕ

L’equation :

Γ : A5+α(M)→ C3+α(M)

ϕ 7→ log(M(ϕ))− ϕ

est C1de differentielle DΓϕ(ψ) = ∆′ϕψ+ψ = (∆

′ϕ−Idψ). Le spectre du Lapla-

cien etant negatif, DΓϕ(ψ) est inversible. La methode de continuite s’applique

encore. L’estimee C0 est ici beaucoup plus simple que dans le cas C1(M) = 0.

1.3. LES RESULTATS CONNUS : 11

Theoreme. Les solutions de l’equation

log(M(ϕ)) = tf + ϕ;

sont uniformement bornees sur [0, τ [. On a meme une estimation explicite :

sup|ϕ| ≤ τsup|f |.

Demonstration. Soit P un point ou ϕ atteint son maximum. On choisit des

coordonnees normales en P (gλµ = δλµ), ajustees a l’ordre 2 pour que la

hessienne complexe de ϕ en P soit diagonale (∂λµϕ = 0 si λ 6= µ). Pour tout

λ, ∂λλϕ(P ) < 0. Donc :

M(ϕ)(P ) =m∏λ=1

[1 + ∂λλϕ(P )] ≤ 1.

Alors ϕ(P ) = −tf(P ) + logM(ϕ)(P ) ≤ τsup|f |. D’ou sup(ϕ) ≤ τsup|f |. En

raisonnant de meme en un point ou ϕ est minimale, on obtient :

inf(ϕ) ≥ −τsup|f |

1.3.2 Estimee C0 dans le cas C1(M) > 0 :

Le cas C1(M) > 0 est tres different des autres. Lequation de Monge-Ampere

associee au probleme est

log(M(ϕ)) = f − ϕ.

Cette equation n’admet pas toujours de solution. En effet, deux obstructions

majeures a l’existace d’une metrique d’Einstein-Kahler sont connues :

Premiere obstruction.

Le theoreme de Lichnerowicz. Si une variete Kahlerienne a une cour-

bure scalaire constante, le groupe des automorphismes de M est reductif, i.e.


toute representaion lineaire est completement reductible.

Remarquons q’une metrique d’Einstein-Kahler est toujours a courbure

scalaire constante :

Rλµ = kgλµ et on a gλµRλµ = kgλµgλµ, soit R = mk.

Le theoreme de Futaki. Soit M une variete Kahlerienne compacte verifiant

la condition ω/2π ∈ C1(M) > 0. Soit f telle que R = ω + i∂∂f . Soit h(M)

l’algebre de lie des champs holomorphes sur M. On definit la fonctionnelle

de Futaki par :

F : h(M)→ C

X 7→∫M

X(f)ωmdv.

F ne depend pas du choix de la metrique ω. Donc δM = dim[h(M)/kerF ] ne

depend que de la structure complexe de M . Si M est une variete d’Einstein-

Kahler, alors δM = 0.

Le critere de Futaki est plus fort que le critere de Lichnerowicz, en ce sens

qu’il existe des varietes dont le groupe des automorphismes est reductif, et

qui verifient δM = 1.

Deuxieme obstruction. Elle provient du fait q’il est impossible d’utiliser la

methode de continuite mise en place dans le cas ou C1(M) < 0. En effet, soit :

Γ : A5+α(M)→ C3+α(M)

ϕ 7→ logM(ϕ) + ϕ

Alors dΓϕ(ψ) = ∆′ϕψ + ψ = (∆

′ϕ + Id)(ψ), et −1 peut etre dans le spectre

de ∆′ϕ, ce qui rend cette methode inutilisable.


La Methode de continuite d’Aubin. Aubin considere la famille (Et)0≤t≤1

d’equations definies par :

(Et) : logM(ϕ) = f − tϕ.

Soit ϕ une solution de Et. On note ω′ la metrique ω + i∂∂ϕ associee. Alors

logM(ϕ) = log |g′| − log |g|. D’ou −R′+R = i∂∂f − it∂∂ϕ. Compte tenu de

R− ω = i∂∂f , on obtient R′ = (1− t)ω + tω′ En particulier, R′ ≥ tω′.

la variete etant Kahlerienne compacte, la premiere valeur propre du Laplacien

verifie −λ > t (version Kahlerienne de l’identite de Bochner-Lichnerowicz,

due a Aubin). On considere ensuite :

Γ : [0, 1]×A5+α(M)→ C3+α(M)

(t, ϕ) 7→ tϕ+ logM(ϕ).

Alors, D2Γ(t,ϕ)(ψ) = tψ + ∆′ϕψ = (∆

′ϕ + tId)ψ. L’estimee precedente montre

que −t /∈ Sp(∆′ϕ), donc D2Γ(t,ϕ) est inversible en un point (t, ϕ), t 6= 0, tel

que tϕ+ logM(ϕ) = f , c’est a dire Γ(t, ϕ) = f .

Le theoreme des fonctions implicites permet alors de resoudre cette equation

pour t′ voisin de t. Si on trouve un point (t0, ϕ0) tel que Γ(t0, ϕ0) = f , on peut

mettre en place une methode de continuite en introduisant I = {t, t ≥ t0} tel

que Et permet de trouver une solution. I est un intervalle et on pose τ = supI.

Nous allons montrer l’existence d’un element (t0, ϕ0) tel que Γ(t0, ϕ0) = f .

Soit u une forme lineaire continue sur C5+α(M) telle u(1) 6= 0. On deduit :

Γ : [0, 1]×A5+α(M)→ C3+α(M)

(t, ϕ) 7→ tϕ+ logM(ϕ) + u(ϕ).


Γ est C1 et D2Γt,ϕ)(ψ) = (tId + ∆′ϕ)ψ + u(ψ)dv, Donc D2Γ(0,ϕ)(ψ) =

∆′ϕψ + u(ψ). Si ∆

′ϕψ + u(ψ) = 0, par integration u(ψ) = 0, donc ∆

′ϕψ = 0.

La fonction ψ est donc constante et u(ψ) = 0, donc ψ est nulle. la sub-

jectivite de ∆′ϕ assure la subjectivite de D2Γ(0,ϕ).

Donc D2Γ(0,ϕ)(ψ) est inversible. D’autre part Γ(0, ϕ) = logM(ϕ) + u(ϕ).

L’equation de Monge-Ampere associee au cas C1(M) = 0 s’ecrit logM(ϕ) =

f pour∫Mdv. Comme on sait resoudre cette equation, il existe ϕ telle que

logM(ϕ) = f .

On peut imposer u(ϕ) = 0. On a bien alors Γ(O,ϕ) = f . Le theoreme

des fonctions implicites montre qu’il existe (t0, ϕ), avec t0 > 0 tel que

Γ(t0, ϕ) = f , c’est a dire t0ϕ+logM(ϕ)+u(ϕ) = f . On pose ϕ0 = ϕ+u(ϕ)/t0.

La fonction ϕ0 est solution de Et0 .

Nous allons maintenant introduire des fonctionnelles indispensables a l’etude

de l’estimee C0 dans le cas positif.

Les fonctionnelles I et J d’Aubin. On commence par etablir un lemme

tres utile :

Lemme. Soient ω1, ..., ωm des (1−1) formes positives sur M. Alors ω1∧...∧ωmest une mesure positive sur M.

Theoreme. Soit h : R→ R, croissante, C1 et ϕ admissible. Alors :∫M

[1−M(ϕ)]h(ϕ)dv ≥ 1

m

∫M

h′(ϕ)|∇ϕ|2dv.

Theoreme. Si ϕ est une fonction C2 admissible, on definit les fonctionnelles


I et J par :

I(ϕ) =

∫M

[1−M(ϕ)]ϕdv =

∫M

ϕdv −∫M

ϕdv′

J(ϕ) =

∫ 1

0

I(sϕ)

sds.

Remarque. Si m = 1, on a vu que M(ϕ) = 1 + ∆ϕ. On a donc en integrant

par parties I(ϕ) =∫M|∇ϕ|2dv et I(ϕ) = 2J(ϕ).

Theoreme.m+1mJ(ϕ) ≤ I(ϕ) ≤ (m+ 1)J(ϕ).

Theoreme. Si on a une estimee uniforme pour I (ou J), alors on a l’estimee

C0.

Remarque. On peut se restreindre dans toutes les equations aux fonc-

tions admissibles invariantes par un groupe compact d’automorphismes (non

trivial). L’inariant est alors defini sur cette classe de fonctions. Il est donc

necessairement plus petit que l’invariant initial.

L’invariant de Tian.

Theoreme (Tian). Soit M une variete Kahlerienne compacte, ω ∈ 2πC1(M).

Soit α la borne superieure des α ≥ 0 pour lesquels il existe une constante

C telle que pour toute fonction admissible verifiant supϕ = 0 on ait :∫Me−αϕdv ≤ C.


Alors α > 0. De plus, si α > m/(m + 1), on a l’estimee C0 et M admet

une metrique d’Einstein-Kahler.

Demonstration. Elle repose sur le lemme suivant :

Lemme (Skoda, Hormander). Il existe une constante C telle que pour

toute fonction Ψ pluri-sousharmonique sur la boule unite de Cm telle que

Ψ ≤ 1 et Ψ(0) = 0

∫||z||≤1/2

e−Ψ(z)dv ≤ C.

1.4 Enveloppe inferieure des fonctions g-admissible

dans PmC

A. Ben Abdesselem a montre que les fonctions admissibles pour la metrique

de Fubini-Study sur l’espace projectif complexe PmC de dimension complexe

m, invariantes par un groupe d’automorphismes convenablement choisi,

sont minorees par une fonction tendant vers moins l’infini sur le bord

des cartes usuelles de PmC. Une minoration similaire a lieu sur certaines

varietes projectives. Cette minoration donne une constante optimale dans

une inegalite de type Hormander sur ces varietes, ce qui permet d’y etablir

l’existence de metriques d’Einstein-Kahlerienne.

On considere l’espace projectif complexe PmC de dimension complexe m =

kn−1. Si [z0, z1, .., zm] designent les coordonnees homogenes. D’autre part, on

munit PmC de la metrique g ayant pour composantes, dans la carte {z0 6= 0},

gλµ = am∂2

∂zλ∂zµ(ln(1+ | z1 |2 +..+ | zm |2)),

ou am > 0. Elle est egale a am fois la metrique de Fubini-Study et appartient

a la premiere classe de Chern C1(PmC) lorsque am = (m + 1). On dit que

1.4. ENVELOPPE INFERIEURE DES FONCTIONSG-ADMISSIBLE DANS PMC17

ϕ ∈ C∞(PmC) est g-admissible lorsque

gλµ +∂2ϕ

∂zλ∂zµ> 0.

On considere aussi le groupe d’automorphismes Gn sur PmC engendre par

les automorphismes

τk,θ : [z0, ..., zm] −→ [z0, .., zkeiθ, .., zm],

et enfin, pour zp et zq

γp,q : [z0, .., zp, .., zq, .., zm] −→ [z0, .., zq, .., zp, .., zm].

On definit sur Cm+1\⋃p{zp = 0} la fonction ψ par

ψ = ln(| z0 | ... | zm |)2am/(m+1)

(| z0 |2 +...+ | zm |2)am.

Elle est homogene de degre zero sur Cm+1, elle definit donc une fonction sur

PmC. ψ atteint son maximum (egal a −am ln(m+ 1)) en les points

[1, eiθ1 , .., eiθm ] ∈ PmC

qui definissent un produit de tores. ψ tends vers moins l’infini lorsque l’une

des coordonnees homogenes z0,.., zm tend vers zero ou vers l’infini, ce qui

correspond aux frontieres des cartes denses definies par {zh = 0}.Etablissons a present les principaux resultats :

Theoreme 1 . Soit ϕ ∈ C∞(PmC) une fonction g-admissible et Gn,k-

invariante, verifiant supϕ = 0 sur PmC. On a alors : ϕ ≥ ψ.

On a alors le corollaire suivant.

Theoreme 2 . Pour tout α < 1, on a l’inegalite de type Hormander (voir

[10] th. 4.4.5) : ∫PmC

exp{−αϕ}dv ≤ Cst,

∀ϕ ∈ C∞(PmC), g-admissible avec am = (m+ 1), Gn-invariante, et verifiant

supϕ = 0 sur PmC. dv est l’element de volume sur Pm relatif a la metrique

g.


L’inegalite du theoreme 5 est optimale car elle correspond a la valeur de

l’invariant de Tian (cf. [13]) relatif a cette classe de fonctions c’est un

moyen simple de calculer cet invariant en reduisant la classe de fonctions

a considerer a la fonction ψ. La methode employee s’applique a des varietes

plus compliquees que PmC. Pour cela, il suffit de mettre en evidence la

bonne fonction extremale. complexe egale a m. Pn−1C. (ici, les coordonnees

homogenes sont divisees par z0). On a le resultat suivant :

Theoreme 3 . Soit ϕ ∈ C∞(M) une fonction gM -admissible et GM -

invariante telle que supϕ = 0 sur M . On a alors ϕ ≥ ψM , et M admet

une metrique d’Einstein-Kahler dans la classe de Kahler de gM .

Ceci presente l’existence de ce type de metrique dans un cas torique de

varietes et de calculer aisement la constante de Tian, le souci de cette these

et d’etendre ce resultat dans le cas non torique plus precisement dans les

grassmanniennes complexes.

Chapitre 2

le c1(G2,4C) et Isometries.

2.1 Definition de G2,4C

(G2,4C, g) est la grassmannienne complexe des deux plans de C4 munie la

metrique g, obtenue a partir de celle de Fubini-Study sur P5C, et appartenant

a la premiere classe de Chern, c1(G2,4C).

On repere les points de G2,4C, par une matrice de M4,2(C) :

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

ou les deux vecteurs colonnes sont independants. Les ouverts de cartes Ui,j,

0 ≤ i < j ≤ 3 s’obtiennent en considerant le mineur d’ordre 2 relatif aux

lignes i, j a determinant non nul. Par exemple, dans U0,1, un point de la

grassmannienne s’ecrit : 1 0

0 1

z1 z2

z3 z4

,

19

20 CHAPITRE 2. LE C1(G2,4C) ET ISOMETRIES.

2.2 La premiere classe de Chern de G2,4C

La metrique s’ecrit comme suit :

gλµ = a2,4∂λµLn(K)

avec K est le potentiel de la metrique ; En effectuant un changement de carte

on obtient un potentiel

K = |Jac|2K

Ou Jac est le jacobien de changement de cartes. En effet :

Il y a deux types de changement de cartes dans G2,4C. Le premier (ou le plus

simple) est du type :

(ζ1, ζ2, ζ3, ζ4) −→ (−ζ2

ζ1

,1

ζ1

,−Dζ1

,ζ3

ζ1

),

ou D = (ζ1ζ4−ζ2ζ3). Le determinant d’un tel changement de cartes est egal a

1/ζ41 , ce qui permet de prolonger η a la nouvelle carte. Le second changement

de cartes est du type :

(ζ1, ζ2, ζ3, ζ4) −→ (−ζ4

D,ζ2

D,ζ3

D,−ζ1

D).

Son determinant (bien plus complique a calculer) est egal a 1/D4, ce qui

permet encore de prolonger l’ecriture a la nouvelle carte. En effet :

(z1, z2, z3, z4)→

1 0

z1 z2

0 1

z3 z4

1 0

z1 z2

0 1

z3 z4

(

1 0

z1 z2

)−1

=1

z2

1 0

z1 z2

0 1

z3 z4

(

z2 0

−z1 1

)=

1 0

0 1

− z1z2

1z2

z2z3−z1z4z2

z4z2

(z1, z2, z3, z4)→ (−z1

z2

,1

z2

,z2z3 − z1z4

z2

,z4

z2

)

2.3. ISOMETRIES DANS G2,4C 21

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

− 1z2

z1z21

0 0

0 1z22

0 0

− z4z2

z1z4z22

1 − z1z2

0 − z4z22

0 1z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

|z2|4⇒ |Jacobienne|2 =

1

|z2|2×4

Soit le potentiel de metrique suivant :

K = (1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)a

en effectuant le changement de cartes definit ci-dessus nous obtenons :

K = (1 +

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ 1

z2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣z1z4 − z2z3

z2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣z4

z2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣z1z4

z22

+z2z3 − z1z4

z22

∣∣∣∣)ace qui donne :

K =1

|z2|2a(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)a ⇒ a = 4

d’ou c1(G2,4C) > 0 pour un coefficient a2,4 = 4 on definit par la suite la

metrique :

gλµ = a2,4∂∂ ln(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)

ψ = ln |z1z4−z2z3|4

( 1+|z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2+|z1z4−z2z3|2 )4

2.3 Isometries dans G2,4C

L’application :

G2,4Cϕ−→ G4,2C


R=

z0 z1

0

z1 z11

z2 z12

z3 z13

(a bc d

)(z0 z10z1 z11

)z2 z1

2

z3 z13

=

az0 + bz1 , az10 + bz1

1

cz0 + dz1 , cz10 + dz1

1

z2 z12

z3 z13

est bien definie.

Si on change de representation :

αz0 + βz′0 γz0 + δz′0

αz1 + βz′1 γz1 + δz′1

αz2 + βz′2 γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 γz3 + δz′3

= R

avec

∣∣∣∣∣ α β

γ δ

∣∣∣∣∣ 6= 0 on a :

ϕ(R′) =

aαz0 + aβz′0 + bαz1 + bβz′1, aγz0 + aδz′0 + bγz1 + bδz′1

cαz0 + cβz′0 + dαz1 + dβz′1, cγz0 + cδz′0 + dγz1 + dδz′1

αz2 + βz′2 γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 γz3 + δz′3

et de representation correspendant de ϕ(R) est :αaz0 + αbz1 + βaz′0 + βbz′1, γaz0 + γbz1 + δaz′0 + δbz′1

1

αcz0 + αdz1 + βcz′0 + βdz′1, γdz0 + γcz0 + δcz′0 + δdz′11

αz2 + βz′2 , γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 , γz3 + δz′3

L’application ne depend donc pas du choix du representant

Par contre l’application :

G2,4Cψ−→ G2,4C


avec

∣∣∣∣∣ α β

γ δ

∣∣∣∣∣ 6= 0

R=

z0 z1

0

z1 z11

z2 z12

z3 z13

−→(z0 z10z1 z11

)(a bc d

)z2 z1

2

z3 z13

=

az0 + cz10 , bz0 + dz0

az1 + cz′1 , bz1 + dz′1

z2 z′2

z3 z′3

n’est pas bien defini car depend du choix du representant.

En effet, ψ

αz0 + βz′0, γz0 + δz′0

αz1 + βz′1, γz1 + δz′1

αz2 + βz′2 , γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 , γz3 + δz′3

avec

∣∣∣∣∣ α β

γ δ

∣∣∣∣∣ 6= 0 on a :

=

αz0 + βz′0, γz0 + δz′0

αz1 + βz′1, γz1 + δz′1

αz2 + βz′2 , γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 , γz3 + δz′3

∣∣∣∣∣ α β

γ δ

∣∣∣∣∣

=

aαz0 + aβz′0 + cγz0 + cδz′0, bαz0 + bδz′0 + dβz0 + dδz′0

aαz1 + aβz′1 + cγz1 + cδz′1, bαz1 + bβz′1 + dγz1 + dδz′1

αz2 + βz′2 γz2 + δz′2

αz3 + βz′3 γz3 + δz′3

Calculons ϕ−1

(a bc d)

(on a clairement ϕ−1

(a bc d)

= ϕ(a bc d)

−1

et montrer que si(a bc d

)∈⋃

(2)) alors :

ϕ(a bc d)

est une isometrie (relativement metrique de Fubini-Study).


Remarque : les composantes de metrique sont donnees dans le carte

∣∣∣∣∣ α β

γ δ

∣∣∣∣∣6= 0 par :

gλµ = a2,4∂∂ ln(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)

ou le representant est :

1 0

0 1

z1 z2

z3 z4

L’action de U(2) a droite donne :

(

1 00 1

)(a bc d

)(z0 z1z2 z43

) −→

1 0

0 1

az1 + bz3 az2 + bz4

cz1 + dz3 cz2 + dz4

gλµ = a2,4∂∂ ln(1 + |az1 + bz3|2 + |az2 + bz4|2 + |cz1 + dz2|2 + |cz2 + dz1|2

+

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣2 ∣∣∣∣∣ z1 z2

z3 z4

∣∣∣∣∣2

)

0n a

(a b

c d

) (a b

c d

)=

(1 0

0 1

)=

(a b

c d

) (a b

c d

)

−→{|a|2|b|2=|c|2+|d|2=1

ac+bd=0

et

{|a|2|c|2=|b|2+|d|2=1

ab+cd=0


Or (1) |az1 + bz3|2 = (az1 + bz3)(az1 + bz3)

= |a|2|z1|2 + abz1z3 + baz3z1 + |b|2|z3|2

(2) |az2 + bz4|2 = (|a|2|z2|2 + abz2)(z4 + baz4z2) + |b|2|z4|2

(3) (|cz1 + bz3|2 = (|c|2|z1|2 + cdz1)(z3 + dcz1z3) + |b|2|z3|2

Enfin (4) |cz2 + dz4|2 = (|c|2|z2|2 + cdz2z4 + cdz2z4 + |d|2|z4|

⇒ (1) + (2) + (3) + (4) = |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2

d’ou l’invariance par l’action de ϕ

P

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

=

z2 z′2

z3 z′3

z0 z′0

z1 z′1

est elle intrinseque.

P−1 = P

P

az0 + bz′0 cz0 + cz′0

az1 + bz′1 cz1 + cz′1

az2 + bz′2 cz2 + cz′2

az3 + bz′3 cz3 + cz′3

=

az2 + bz′2 cz0 + cz′0

az3 + bz′3 cz3 + cz′3

az0 + bz′0 cz0 + cz′0

az1 + bz′1 cz1 + cz′1

qui represente le par

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣ 6= 0 le meme plan que :z2 z′2

z3 z′3

z0 z′0

z1 z′1

Elle est donc bien definie.


d’autre part, la aussi il s’agit bien d’une isometrie car les determinants des

inverses d’ordre deux de

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

sont les meme que ceux de

z2 z′2

z3 z′3

z0 z′0

z1 z′1

, et

dans l’ecriture local

1 0

0 1

z1 z2

z0 z4

qui devient dans l’intersection des deux cartes

∣∣∣∣∣ z0 z′0

z1 z′1

∣∣∣∣∣ 6= 0 et

∣∣∣∣∣ z2 z′2

z3 z′3

∣∣∣∣∣ 6= 0

L’ecriture

1 0

0 1

z1 z2

z3 z4

dans la 1ere carte qui devient :

z4

z1z4−z2z3 − z2z1z4−z2z3

− z3z1z4−z2z3

z1z1z4−z2z3

1 0

0 1

dans la 2eme carte

La metrique devient

gλµ = a2,4∂∂ ln 1|z1z4−z2z3|2 (1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)

p est donc une isometrie.

Chapitre 3

Enveloppe inferieure des

fonctions admissibles dans G2,4C

3.1 Introduction.

Soit (G2,4C, g), la grassmannienne complexe des deux plans de C4 munie la

metrique g, obtenue a partir de celle de Fubini-Study sur P5C, et appartenant

a la premiere classe de Chern, c1(G2,4C).

On repere les points de G2,4C, par une matrice de M4,2(C) :z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

ou les deux vecteurs colonnes sont independants. Les ouverts de cartes Ui,j,

0 ≤ i < j ≤ 3 s’obtiennent en considerant le mineur d’ordre 2 relatif aux

lignes i, j a determinant non nul. Par exemple, dans U0,1, un point de la

grassmannienne s’ecrit : 1 0

0 1

z1 z2

z3 z4

,

27

28CHAPITRE 3. ENVELOPPE INFERIEURE DES FONCTIONS ADMISSIBLES DANSG2,4C

et la metrique g a pour composantes dans cette carte :

gλµ = 4∂λµ ln(1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z1z4 − z2z3 |2)

(la constante 4 est celle qui assure que la metrique est bien dans le c1, voir

[16]), ou ∂λµ = ∂2

∂zλ∂zµ.

On dit qu’une fonction ϕ ∈ C∞(G2,4C) est g-admissible, si gλµ + ∂λµϕ est

definie positive (elle definit donc une nouvelle metrique).

Soit maintenant la fonction ψ, definie dans U0,1 ∩ U2,3 par :

ψ

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

= ln| z0z

′1 − z′0z1 |4| z2z

′3 − z′2z3 |4

(∑

0≤i<j≤3 | ziz′j − z′izj |2)4.

Cette fonction, de huit variables complexes, est independante du choix du

representant du plan de C4, elle definit par consequent une fonction sur G2,4C(prive du bord des cartes).

Son expression dans la carte U0,1 est :

ψ

(z1 z2

z3 z4

)= ln

| z1z4 − z2z3 |4

(1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z1z′4 − z′2z3 |2)4.

On pose ψ = ψ − sup ψ = ψ + 4 ln 4. ψ est negative et admet un sup nul en

le point

(1 0

0 1

)de la carte U0,1 (voir proposition 7).

Enfin, considerons le groupe G, engendre par les automorphismes φ a b

c d

et P de G2,4C, definis, pour

(a b

c d

)∈ U2(C), par :

φ a b

c d

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

=

az0 + bz1 az′0 + bz′1

cz0 + dz1 cz′0 + dz′1

z2 z′2

z3 z′3

3.1. INTRODUCTION. 29

et

P

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

=

z2 z′2

z3 z′3

z0 z′0

z1 z′1

.

L’invariance d’une fonction f par P se traduit dans l’intersection des cartes

U0,1 ∩ U2,3 par le fait que f(M) = f(M−1) pour tout M ∈ GL(2,C).

On verifie aisement que ces applications sont intrinseques et laissent invari-

ante la metrique g. G est par consequent un groupe d’isometries de G2,4C,

au sens de la metrique g. On verifie aussi que la fonction ψ, definie plus haut

est G-invariante.

Dans cet article on montre que les fonctions ϕ ∈ C∞(G2,4C), g-admissibles,

a sup egal a zero sur G2,4C, invariantes par G, sont minorees par la fonction

ψ (que l’on appellera desormais ”fonction extremale”), fonction tendant vers

moins l’infini sur le bord des cartes usuelles (decrites plus haut) de G2,4C.

Une minoration similaire a ete prouvee sur le projectif complexe ainsi que sur

des varietes obtenues a partir de ce dernier par eclatements et par fibration,

minoration qui fournit une inegalite de type Tian sur ces varietes toriques,

et permet d’etablir des minorations de leurs tenseurs de Ricci.

Le present article traite d’un exemple non-torique, utilisant une autre

methode que celle preconisee dans [16], y adjuvant un groupe d’automor-

phismes permettant de trouver une constante de Tian plus grande. Enoncons

a present les principaux resultats de cet article.

Theoreme 4 Soit ϕ ∈ C∞(G2,4C) une fonction g-admissible et G-invariante,

verifiant supG2,4C ϕ = ϕ

1 0

0 1

1 0

0 1

= 0. Alors on a : ϕ ≥ ψ.


Theoreme 5 Soit ϕ ∈ C∞(G2,4C) une fonction g-admissible et G-invariante,

verifiant supG2,4C ϕ = 0. Alors on a : ϕ ≥ ψ.

Un corollaire de ce theoreme est le :

Theoreme 6 . Pour tout α < 1/2, on a l’inegalite de type Tian suivante

(voir [13] : ∫G2,4C

exp(−αϕ)dv ≤ Cst,

pour toute fonction ϕ verifiant les hypoteses du theoreme 8.

dv est l’element de volume sur G2,4C relatif a la metrique g.

3.2 Preuves des Theoremes 8 et 5

Tous les calculs qui vont suivre s’effectuent dans l’intersection des cartes

U0,1 et U2,3. L’ecriture des fonctions dans l’une des deux cartes sont donc

des fonctions d’une matrice de M2(C) inversible, ϕ(M) = ϕ

(z1 z2

z3 z4

). En

ecriture locale, l’invariance de ϕ par G se traduit de la maniere suivante :

ϕ(M) = ϕ(M−1) et ϕ(MU) = ϕ(M), ∀U ∈ U2(C), ∀M ∈ GL(2,C).

En effet, si ϕ est G-invariante, on a :

ϕ(M) = ϕ

(Id

M

)= ϕ

(M

Id

)= ϕ

(M ×M−1

Id×M−1

)= ϕ

(Id

M−1

)= ϕ(M−1),

et

ϕ(M) = ϕ

(Id

M

)= ϕ

(M

Id

)= ϕ

(M × UId

)= ϕ

(Id

M × U

)= ϕ(MU),

3.3. PREUVE DU THEOREME 1. 31

3.3 Preuve du Theoreme 1.

3.3.1 Reduction de l’etude aux matrices diagonales

reelles.

Les invariances par G nous permettent de reduire l’etude aux seules matrices

diagonales reelles :

Lemme 1 Soit ϕ une fonction invariante par G. Alors, pour tout M ∈GL(2,C) on a :

ϕ(M) = ϕ(D)

ou D est la matrice diagonale associee a la matrice hermitienne H donnee

par la decomposition M = HU de M en produit d’une matrice unitaire U par

d’une matrice hermitienne H.

Preuve.

Soit M ∈ GL(2,C). On a M = HU , ou U ∈ U2(C) et H hermitienne. Par

consequent, sachant que ϕ est G-invariante, on a ϕ(M) = ϕ(H). D’autre

part, H etant hermitienne, ses valeurs propres sont reelles (ici non nulles

car M est inversible), on a donc : H = P−1DP ou P ∈ U2(C) et D est

une matrice diagonale reelle. Or, et encore par G-invariance de ϕ, l’egalite

ϕ(MU) = ϕ(M) pour U ∈ U2(C) donne aussi ϕ(UM) = ϕ(M). En effet,

ϕ(UM) = ϕ((M−1U−1)−1) = ϕ(M−1U−1) = ϕ(M−1) = ϕ(M).

Par consequent, la multiplication, aussi bien a droite qu’a gauche, par une

matrice unitaire laisse invariant la fonction ϕ.

On a donc :

ϕ(M) = ϕ(H) = ϕ(P−1DP ) = ϕ(D).

Proposition 7 ψ est G-invariante et atteint son sup, egal a zero, sur U2

(ce qui revient a dire que ψ atteint son sup, egal a −4 ln(4), sur U2). ψ et ψ

verifient :

∂λµψ = ∂λµψ = −gλµ


Preuve.

Les fonctions ψ et ψ sont clairement G-invariantes et on a : ∂λµψ = ∂λµψ =

−gλµ, car ∂2(ln|z|2)∂z∂z

= 0.

Montrons que supψ est atteint sur U2. Pour ce faire Il suffit de chercher les

extrema de

f(z1, z2, z3, z4, z5) =| z5 |4

(1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z5 |2)4,

sous la contrainte : z5 = z1z4 − z2z3. En un point critique, on a le systeme

donne par les cinq equations :

∂f∂z1

(z1, z2, z3, z4, z5) = −4|z5|2z1D5 = λz4

∂f∂z2

(z1, z2, z3, z4, z5) = −4|z5|2z2D5 = −λz3

∂f∂z3

(z1, z2, z3, z4, z5) = −4|z5|2z3D5 = −λz2

∂f∂z4

(z1, z2, z3, z4, z5) = −4|z5|2z4D5 = λz1

∂f∂z5

(z1, z2, z3, z4, z5) = z5|z5|2(2D−4|z5|2)D5 = −λ,

ou λ est un multiplicateur de Lagrange et

D = (1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z5 |2).

En remplacant dans les quatre permieres equations, λ par sa valeur (donnee

par la derniere equation), on a :

(1) 4z1|z5|2 = z5z4(2D − 4|z5|2)

(2) 4z2|z5|2 = −z5z3(2D − 4|z5|2)

(3) 4z3|z5|2 = −z5z2(2D − 4|z5|2)

(4) 4z4|z5|2 = z5z1|(2D − 4|z5|2),

ce qui permet d’ores et deja d’affirmer que

|z1|2 = |z4|2 et |z2|2 = |z3|2.

D’autre part, (1)z1 + (2)z2 + (3)z3 + (4)z4 donne |z5|2 = 1, et en multipliant :

(1)z4 + (4)z1 par sa conjuguee on a :

64|z1|2|z4|2 = (|z1|2 + |z4|2)2(2D − 4)2.


Sachant que |z1|2 = |z4|2 et que |z5|2 = 1, il vient :

|z1|2 + |z2|2 = 1. Une preuve similaire donne |z3|2 + |z4|2 = 1.

Et en utilisant |z2|2 = |z3|2, le meme calcul donne :

|z1|2 + |z3|2 = 1 et |z2|2 + |z4|2 = 1.

Par consequent, en remplacant (2D − 4|z5|2) par 4, le systeme d’equation

plus haut devient :

(1) z1 = z5z4

(2) z2 = −z5z3

(3) z3 = −z5z2

(4) z4 = z5z1,

ce qui donne :

z1z3 + z2z4 = 0 et z1z2 + z3z4 = 0.

En conclusion, la matrice M =

(z1 z2

z3 z4

)verifie M × M t = M t×M = Id.

Lemme 2 Soit λ 6= 1 un reel strictement positif et soit ϕ une fonction

verifiant les hypotheses du theoreme 8. Alors :

(ϕ− ψ)

(1 0

0 λ

)≥ 0

et

(ϕ− ψ)

(λ 0

0 1

)≥ 0.

(ecriture dans la carte U0,1).

Preuve.

Procedons par l’absurde en supposant qu’il existe λ > 0, λ 6= 1 tel que :

(ϕ− ψ)

(1 0

0 λ

)< 0


(meme preuve pour

(λ 0

0 1

)).

Soit l’ensemble defini pour λ > 1 par :

Dλ =⋃

t∈[−1,1]

{⋃

θ∈[−0,2π]

(1 0

0 λteiθ

)}.

Dλ est, par construction homeomorphe a la couronne

{z ∈ C tel que1

λ<| z |< λ} ⊂ C,

(pour λ < 1, on definit Dλ de la meme maniere, en inversant les inegalites :

λ <| z |< 1λ).

D’autre part, la fonction (ϕ− ψ) est constante sur chaque cercle :

Ct =⋃

θ∈[−0,2π]

(1 0

0 λteiθ

).

En effet,(1 0

0 λteiθ

)=

(1 0

0 λt

)(1 0

0 eiθ

)et

(1 0

0 eiθ

)∈ U2(C).

Par consequent, en utilisant le fait que ϕ− ψ est G-invariante, on a :

(ϕ−ψ)

(1 0

0 λteiθ

)= (ϕ−ψ)(

(1 0

0 λt

)(1 0

0 eiθ

)) = (ϕ−ψ)

(1 0

0 λt

).

Sachant que ϕ−ψ est G-invariante, elle l’est en particulier par l’inversion des

matrices (expression dans U0,1 ∪ U2,3 de l’invariance des automorphismes P

decrits plus haut). La fonction ϕ− ψ prend donc la meme valeur sur Ct que

sur C−t. Elle est donc negative sur le bord C−1 ∪ C1 de la couronne precitee

et identiquement nulle sur le cercle C0 (les fonctions ϕ et ψ sont nulles sur le

cercle C0 correspondant a l’orbite de la matrice identite). Elle atteint donc

son sup a l’interieur de la couronne que l’on parametrisera, dans la carte U0,1,

par la courbe holomorphe :

c(z) = (c1(z) = 1, c2(z) = 0, c3(z) = 0, c4(z) = z)


En un point z0 interieur a la couronne ou le sup est atteint, on a :

∂2[(ϕ− ψ)(c(z))]

∂z∂z(z0) =

∂2(ϕ− ψ)

∂zi∂zj(c(z0))ci(z0) ˙cj(z0) < 0,

ce qui contredit l’hypothese d’admissibilite de ϕ.

Lemme 3 Soient λ1 et λ2 deux reels strictement positifs et differents de 1,

et soit ϕ une fonction verifiant les hypotheses du theoreme 8. Alors on a :

(ϕ− ψ)

(λ1 0

0 λ2

)≥ 0

(ecriture dans la carte U0,1).

Preuve. Comme dans le lemme precedent, on raisonnera par l’absurde en

supposant qu’il existe 0 < λ1 et 0 < λ2 tous deux differents de 1, tels que

(ϕ− ψ)

(λ1 0

0 λ2

)< 0.

Remarquons que l’invariance de (ϕ− ψ) par U2(C) implique :

(ϕ− ψ)

(λt1 0

0 λt2

)= (ϕ− ψ)

(λt1e

iθ1 0

0 λt2eiθ2

).

et

(ϕ− ψ)

(λt1 0

0 λt2

)= (ϕ− ψ)

(λt1e

iθ1 0

0 λt2eiθ2

).

et

(ϕ− ψ)

(λt1 0

0 λt2

)= (ϕ− ψ)

(λt1e

iθ1 0

0 λt2eiθ2

).

C est un domaine complexe de dimension complexe 2 de la carte U0,1 dont

le bord est donne par les orbites de

M =

(λ1 0

0 λ2

)et M−1 =

(1/λ1 0

0 1/λ2

)


par l’action de A ⊂ U2(C). En effet, l’ensemble decrit par MtU , lorsque U

decrit A, est l’ensemble des matrices(ζ1 0

0 ζ2

)avec

1

λ1

< |ζ1| < λ1 et1

λ2

< |ζ2| < λ2.

On peut donc reperer les points de C par (ζ1, ζ2), ou 1λ1

< |ζ1| < λ1 et1λ2< |ζ2| < λ2. C decrit par consequent un produit de tores dont le bord est

donne par :

∂C = {(ζ1, ζ2) ∈ C2; ζ1 = λ1 ou1

λ1

, et ζ2 = λ2 ou1

λ2

},

ou la fonction (ϕ−ψ) est strictement negative, d’apres l’hypothese de depart

et le fait que (ϕ−ψ) est G-invariante. En effet, a l’instar du lemme precedent,

l’invariance d’une fonction par G se traduit par le fait que cette fonction

demeure constante sur Et ∪ E−t.Par consequent (ϕ − ψ) admet un maximum a l’interieur du domaine C de

C2, que l’on parametrisera dans U0,1 ∩ U2,3 par :

c(ζ1, ζ2) = (c1(ζ1, ζ2), c2(ζ1, ζ2), c3(ζ1, ζ2), c4(ζ1, ζ2)).

La hessienne est par consequent negative en un point interieur au domaine

C parametrise par (ζ01 , ζ

02 ). On a donc :

∂2[(ϕ− ψ)(c(ζ1, ζ2))]

∂ζ i∂ζj(ζ0

1 , ζ02 ) =

∂2(ϕ− ψ)

∂zi∂zj(c(z0))ci(z0) ˙cj(z0) < 0.

Ceci contredit l’admissibilite de ϕ.

Preuve du Theoreme 1. Soit ϕ une fonction verifiant les hypotheses du

theoreme 8. D’apres les lemmes 2 et 3, ϕ ≥ ψ en tout point M de la carte

U0,1 verifiant detM 6= 0. En effet, comme nous l’avons precise plus haut en

utilisant les invariances de ϕ et ψ (c.f lemme1), l’etude se ramene aux seules

matrices diagonales reelles. Il reste donc a considerer les points M ∈ U0,1 tels

que detM = 0. Or en ces points la fonction ψ ≡ −∞, donc inferieure a ϕ.


Preuve du Theoreme 2.

Commencons par le cas ou ϕ atteint son sup sur U(2) (dans la carte U0,1).

D’apres le theoreme 1, on a ϕ ≥ ψ et par consequent ϕ ≥ ψ. Il ne nous reste

donc plus qu’a etudier le cas ou ϕ atteint son sup sur M /∈ U(2).

Pour ce faire, on introduit les fonctions definies dans U0,1 ∩ U2,3 par :

ψ1

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

= ln| z0z

′1 − z′0z1 |8

(∑

0≤i<j≤3 | ziz′j − z′izj |2)4,

dont l’expression dans la carte U0,1 est :

ψ1

(z1 z2

z3 z4

)= ln

1

(1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z1z′4 − z′2z3 |2)4.

et

ψ2

z0 z′0

z1 z′1

z2 z′2

z3 z′3

= ln| z2z

′3 − z′2z3 |8

(∑

0≤i<j≤3 | ziz′j − z′izj |2)4,

dont l’expression dans la carte U0,1 est :

ψ2

(z1 z2

z3 z4

)= ln

| z1z4 − z2z3 |8

(1+ | z1 |2 + | z2 |2 + | z3 |2 + | z4 |2 + | z1z′4 − z′2z3 |2)4.

Ces deux fonctions de huit variables complexes sont independantes du choix

des representants du plan de C4, elles definissent par consequent des fonctions

sur G2,4C (prive du bord des cartes).

On remarque que sur U(2), on a : ψ1 = ψ2 = ψ.

Supposons qu’il existe un point M ∈ U0,1 , M /∈ U2, tel que :

(ϕ− ψ)(M) < 0.


3.4 Preuve du Theoreme 3

. D’apres le theoreme precedent on a :∫G2,4C

e−αϕdv ≤∫

G2,4C

e−αψdv

Si |g| designe le determinant de la metrique,

log(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)4|g|

est alors une quantite intrinseque. En effet, ceci est du au fait que

gλµ = ∂λµ log(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)4.

Il existe donc deux constantes C1 et C2 telles que :

C1 ≤ log(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)4|g| ≤ C2.

La convergence de la derniere integrale est donc equivalente a la convergence

de : ∫C4

e−αψdz1 ∧ dz1 ∧ dz2 ∧ dz2 ∧ dz3 ∧ dz3 ∧ dz4 ∧ dz4

log(1 + |z1|2 + |z2|2 + |z3|2 + |z4|2 + |z1z4 − z2z3|2)4,

et compte tenu des invariances par G des fonctions considerees, cela revient

a etudier la convergence de :∫ +∞

0

∫ +∞

0

(uv)−2αdudv

(1 + u+ v + uv)4(1−α)

qui a lieu des que α < 1/2.

Chapitre 4

Invariant de Tian sur des

varietes de type Calabi

generalisee.

Rappelons dans un premier temps la definition des espaces, metriques, et

groupes d’automorphismes que l’on considerera. Ces espaces generalisent

ceux introduits dans [7]. Designons par [z0, z1, .., zm] les coordonnees ho-

mogenes de l’espace projectif complexe PmC de dimension complexe m ≥ 2.

Munissons PmC de la metrique g ayant pour composantes, dans la carte

{z0 6= 0},gλµ = (m+ 1)∂λµ ln(1 + x1 + ..+ xm)

ou xi =| zi |2 et ∂λµ = ∂2

∂zλ∂zµ.

Fixons 0 < p ≤ m, ainsi que les entiers nj, j ∈ {1, ..., p}, reperant les points

de PmC de la maniere suivante :

[Z1, ..., Zp] = [z0, .., zn1−1; zn1 , .., zn1+n2−1; ...; zn1+...+np−1 , .., zn1+...+np−1 = zm],

ou Zk est le nk-uplet : Zk = (zn1+...+nk−1, .., zn1+...+nk−1) ∈ Cnk .

M est l’eclate de PmC au dessus des sous-ensembles

{[0[n1]; ..; 0[nk−1]; zn1+...+nk−1, .., zn1+...+nk−1; 0[k+1]; ....; 0[p]]},

39

40CHAPITRE 4. INVARIANT DE TIAN SUR DES VARIETES DE TYPE CALABI GENERALISEE.

(ou 0[nk] = (0, 0, .., 0) ∈ Cnk) qui s’identifient aux espaces Pn1−1C,..,Pnp−1C.

M est la sous-variete de PmC× Pn1−1C× ...× Pnp−1C constituee des points

([Z1, ..., Zp], [ζ0, .., ζn1−1], .., [ζn1+...+np−1 , .., ζn1+...+np−1 = ζm]) ∈ PmC×Pn1−1C...×Pnp−1C

tels que les vecteurs (ζn1+...+nk−1, .., ζn1+...+nk−1) et Zk soient proportionnels.

On considere les projections π0, π1,..,πp de M respectivement sur PmC,

Pn1−1C,.., Pnp−1C. Designant par gk la metrique de Fubini-Study sur Pnk−1C,

on montre que

g = pπ∗0gm + (n1 − 1)π∗1g1 + ...+ (np − 1)π∗pgp

est une metrique sur M qui a pour composantes

gλµ = p∂λµ ln(1 + x1 + ..+ xm) + (n1 − 1)∂λµ ln(1 + x1 + ..+ xn1−1) + ...+

(np − 1)∂λµ ln(xn1+...+np−1 + ..+ xm)

dans la carte dense de M :

{([1, z1, .., zm], [1, z1, .., zn1−1], .., [zn1+...+np−1 , .., zm]), (z1, .., zm) ∈ Cm et

(zn1+...+nk−1, .., zn1+...+nk−1) 6= 0}

g est dans la premiere classe de Chern de M (voir [7]) ; et par consequent,

M est de Fano.

On considere le groupe d’automorphismes G sur PmC engendre par les auto-

morphismes σik,sk , τl,θ definies ∀ ik, sk ∈ {n1 + ...+nk−1, .., n1 + ...+nk− 1},l ∈ {0, 1, ..,m} et θ ∈ [0, 2π] par

σik,sk([z0, ..; zn1+...+nk−1, .., zik , .., zsk , .., zn1+...+nk−1; .., zm]) =

[z0, ..; zn1+...+nk−1, .., zsk , .., zik , .., zn1+...+nk−1; .., zm]

et

τl,θ([z0, .., zl, .., zm]) = [z0, .., zleiθ, .., zm].

41

Ce groupe engendre des groupes d’automorphismes naturels de M que l’on

notera encore G.

On definit sur Cm+1\⋃p{zp = 0} la fonction ψ = inf(ψ1, .., ψp), ou

ψk = ln(| zn1+...+nk−1

| ... | zn1+...+nk−1 |)2(m+1)/nk

(| z0 |2 +...+ | zm |2)(m+1).

Les ψk sont homogenes de degre zero sur Cm+1, chacune d’entre elles induit

alors une fonction sur PmC. La fonction ψk atteint son maximum egal a

−(m + 1) ln(nk) en les points [0, .., 0; eiθn1+...+nk−1 , .., eiθn1+...+nk−1 ; 0, .., 0] ∈PmC et tend vers moins l’infini lorsque l’une des coordonnees homogenes

zn1+...+nk−1, .., zn1+...+nk−1 tend vers zero ou vers l’infini, ce qui correspond

aux frontieres des cartes denses definies par

{zi 6= 0, n1 + ...+ nk−1 ≤ i ≤ n1 + ...+ nk − 1}.

Pour decrire la fonction extremale ψ sur M , on considere les fonctions ψk

ψk = ln{(| z(0)

n1+...+nk−1| ... | z(0)

n1+...+nk−1 |)2pnk

(| z(0)0 |2 +...+ | z(0)

m |2)p×

p∏i=1

(| z(i)0 | ... | z

(i)ni−1 |)

2(ni−1)

ni

(| z(i)0 |2 +...+ | z(i)

ni−1 |2)ni−1}.

Les ψk sont des fonctions definies sur

(Cm+1\⋃i

{z(0)i = 0})× (Cn1\

⋃j

{z(1)j = 0})× ...× (Cnp\

⋃j

{z(p)j = 0})

ou (z(0)i )0≤i≤m, (z

(1)i )0≤i≤n1−1,..., (z

(p)i )0≤i≤np−1 sont respectivement les coor-

donnees sur Cm+1, Cn1 ,.., Cnp . Elles sont separement homogenes de degre

zero en les variables de Cm+1, Cn1 ,.., Cnp . Elles definissent des fonctions sur

PmC×Pn1−1C× ...×Pnp−1C, et par consequent sur M , et ce, en considerant

leurs restriction a M . On pose alors ψ = inf(ψ1, .., ψp) Etablissons les princi-

paux resultats de ce chapitre :

Theoreme 8 Soit ϕ ∈ C∞(PmC) une fonction g-admissible et G-invariante,

verifiant supϕ = 0 sur PmC. On a alors ϕ ≥ ψ.

On en deduit le corollaire suivant.


Corollaire 1 Pour tout α < inf1≤k≤p(nkm+1

), on a l’inegalite de type Hormander

suivante (voir [10]) : ∫PmC


pour toute fonction ϕ ∈ C∞(PmC), g-admissible, G-invariante, verifiant

supϕ = 0 sur PmC. dv est l’element de volume sur Pm relatif a la metrique

g.

Theoreme 9 Soit ϕ ∈ C∞(M) une fonction g-admissible et G-invariante,

verifiant supϕ = 0 sur M . On a alors ϕ ≥ ψ.

Corollaire 2 Pour tout α < 1/p, on a l’inegalite∫M


pour toute fonction ϕ ∈ C∞(M), g-admissible, G-invariante, verifiant

supϕ = 0 sur M . dv est l’element de volume sur M relatif a la metrique

g.

4.1 Preuve du theoreme 3

. Comme pour l’espace X, l’invariance par le groupe d’automorphismes

G, des fonctions ϕ([z0, .., zk, zk+1, .., zm], [ζ0, .., ζk], [ζ′k+1, .., ζ

′m]) (ou (z0, .., zk)

et (ζ0, .., ζk) ainsi que (zk+1, .., zm) et (ζ ′k+1, .., ζ′m) sont colineaires), nous

permettra de les considerer, dans le lemme ci-dessus comme des fonctions

ϕ([1, x1, ..., xm], [1, x1, ..., xk], [xk+1, ..., xm]) des variables reelles xi =| zi |> 0,

i ∈ {1, ..,m}, puis, dans le lemme qui le suit comme des fonctions

ϕ([x0, ..., xk, 1, xk+2, .., xm], [x0, ..., xk], [1, xk+2, ..., xm])

des variables reelles xi =| zi |> 0.

4.1. PREUVE DU THEOREME 3 43

Lemme 4 Etant donnee une fonction ϕ ∈ C∞(Y ), g-admissible, G-invariante.

Si xi =| zi |> 0 pour tout i :

(ϕ− ψ)([1, x1, .., xm], [1, x1, .., xk], [xk+1, .., xm])

≥ (ϕ− ψ)([1, x1, .., xk; ζ[m−k]], [1, x1, .., xm], [1[m−k]]), (4.1.1)

ou ζ [m−k] = (ζ, .., ζ) ∈ Cm−k et ζ = (xk+1...xm)1/(m−k).

Preuve. A l’instar du lemme precedent, nous procederons par recurrence.

Supposons que pour k+1 ≤ p < m et pour tout (x1, .., xm) ∈ Rm avec xi > 0

on ait

(ϕ− ψ)([1, x1, .., xm], [1, x1, .., xk], [xk+1, .., xm]) ≥

(ϕ− ψ)([1, x1, .., xk; (xk+1...xp)1

p−k , .., (xk+1...xp)1

p−k , xp+1, ..xm],

[1, x1, .., xk], [(xk+1...xp)1

p−k , .., (xk+1...xp)1

p−k , xp+1, ..xm]). (4.1.2)

Cette propriete est claire pour p = k + 1. Si l’inegalite (4.1.2) n’etait pas

satisfaite au rang p + 1, il existerait alors un point (x01, .., x

0m) ∈ Rm avec

x0i > 0 pour tout i, tel que

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [x

0k+1, .., x

0m]) <

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0k; (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , .., (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , x0

p+2, .., x0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+1...x

0p+1)

1p+1−k , .., (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , x0

p+2, .., x0m]). (4.1.3)

En utilisant la continuite de (ϕ− ψ), on peut supposer, quitte a en modifier

legerement les coordonnees, que le point

([1, x01, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [x

0k+1, .., x

0m])

de l’inegalite (4.1.3), verifie

(x01..x

0k)

1/(k+1) 6= (x0k+1..x

0m)1/(m−k).

En utilisant la G-invariance de ϕ, on peut supposer que x0k+1 ≤ ... ≤ x0

m.

D’autre part, en tenant encore compte de la G invariance de ϕ et de


l’hypothese de recurrence (4.1.2) en les points

([1, x01, .., x

0k;x

0k+1, x

0k+2, .., x

0p, x

0p+1, x

0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [x

0k+1, x

0k+2, .., x

0p, x

0p+1, x

0p+2, .., x

0m])

et

([1, x01, .., x

0k;x

0k+2, x

0k+3, .., x

0p, x

0p+1, x

0k+1, x

0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [x

0k+2, x

0k+3, .., x

0p, x

0p+1, x

0k+1, x

0p+2, .., x

0m]),

de Y , on peut ecrire

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [x

0k+1, .., x

0m]) ≥

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0k; (x0

k+1...x0p)

1p−k , .., (x0

k+1...x0p)

1p−k , x0

p+1, x0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+1...x

0p)

1p−k , .., (x0

k+1...x0p)

1p−k , x0

p+1, x0p+2, .., x

0m]) (4.1.4)

et

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0k;x

0k+2, .., x

0p+1, x

0k+1, x

0p+2, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k],

[x0k+2, .., x

0p+1, x

0k+1, x

0p+2, .., x

0m]) ≥

(ϕ− ψ)([1, x01, .., x

0k; (x0

k+2..x0p+1)

1p−k , .., (x0

k+2..x0p+1)

1p−k , x0

k+1, x0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+2..x

0p+1)

1p−k , .., (x0

k+2..x0p+1)

1p−k , x0

k+1, x0p+2, .., x

0m]). (4.1.5)

Considerons maintenant la courbe C d’equation

tp−kx = x0k+1...x

0p+1

dans le plan reel

{[1, x01, .., x

0k; t, .., t, x, x

0p+2, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [t, .., t, x, x

0p+2, .., x

0m]}

parametre par les variables t et x. Les points

P1 = ([1, x01, .., x

0k; (x0

k+1...x0p)

1p−k , .., (x0

k+1...x0p)

1p−k , x0

p+1, x0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+1...x

0p)

1p−k , .., (x0

k+1...x0p)

1p−k , x0

p+1, x0p+2, .., x

0m])


et

P2 = ([1, x01, .., x

0k; (x0

k+2...x0p+1)

1p−k , .., (x0

k+2...x0p+1)

1p−k , x0

k+1, x0p+2, .., x

0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+2...x

0p+1)

1p−k , .., (x0

k+2...x0p+1)

1p−k , x0

k+1, x0p+2, .., x

0m])

appartiennent a la courbe C. Notons que les reels x0i pour k + 1 ≤ i ≤ p+ 1

ne sont pas tous egaux, sinon (4.1.3) deviendrait une egalite.

Par suite, sachant que l’on a choisi x0k+1 ≤ ... ≤ x0

p+1, les points distincts P1

et P2 se trouvent strictement de part et d’autre de la diagonale t = x du plan

precedent.

Or la courbe C coupe cette diagonale en le point

P3 = ([1, x01, .., x

0k; (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , .., (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , x0

p+2, .., x0m],

[1, x01, .., x

0k], [(x

0k+1...x

0p+1)

1p+1−k , .., (x0

k+1...x0p+1)

1p+1−k , x0

p+2, .., x0m])

qui intervient dans l’inegalite (4.1.3). D’autre part, en utilisant les relations

(4.1.3), (4.1.4) et (4.1.5) on obtient :

(ϕ− ψ)(P3) > (ϕ− ψ)(P1) et (ϕ− ψ)(P3) > (ϕ− ψ)(P2),

ce qui prouve que la fonction (ϕ− ψ) admet un maximum local sur la courbe

C. En consequence, la restriction de la fonction G-invariante (ϕ − ψ) a la

courbe holomorphe (toujours notee C) d’equation ξp−kz = x0k+1...x

0p+1 du

plan complexe

{([1, x01, .., x

0k; ξ, .., ξ, z, x

0p+2, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k])}

atteint un maximum local en un point P = C(ζ). Posons

C(ζ) = ([1, C1(ζ), .., Cm(ζ)], [1, C1(ζ), .., Ck(ζ)], [Ck+1(ζ), .., Cm(ζ)]),

Cλ(ξ) =dCλ

dξ(ξ) et Cµ(ξ) = Cµ(ξ).

Sachant que l’on a choisi le point ([1, x01, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [x

0k+1, .., x

0m]) de

sorte que

(x01...x

0k)

1/(k+1) 6= (x0k+1...x

0m)1/(m−k),


l’equation de la courbe C et les definitions de ψ1 et ψ2 montrent qu’en tout

point de C

ψ1([1, x01, .., x

0k; ξ, .., ξ, z, x

0p+2, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k]) 6=

ψ2([1, x01, .., x

0k; ξ, .., ξ, z, x

0p+2, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k]). (4.1.6)

On peut alors supposer que ψ = ψ1 dans un voisinage de P , la preuve etant

identique si l’on suppose ψ = ψ2 dans ce voisinage. On a donc :

∂2

∂ξ∂ξ{(ϕ− ψ1)(C(ζ))} =

∂2(ϕ− ψ1)

∂zλ∂zµ(C(ζ))Cλ(ζ)Cµ(ζ)

est negatif ou nul. Comme − ∂2ψ1

∂zλ∂zµ= gλµ, ceci exprime que la forme

hermitienne de matrice :

(gλµ +∂2ϕ

∂zλ∂zµ)λ,µ = (

∂2(ϕ− ψ1)

∂zλ∂zµ)λ,µ

est negative en P = C(ζ). On en deduit une contradiction avec la g-

admissibilite de ϕ en P . D’ou l’inegalite (4.1.2) au rang p + 1 et, par

consequent, le lemme 4.

Lemme 5 Etant donnee une fonction ϕ ∈ C∞(Y ), g-admissible, G-invariante.

Si xi =| zi |> 0 pour tout i, on a :

(ϕ− ψ)([x0, x1, .., xk; 1, xk+2, .., xm], [x0, x1, .., xk], [1, xk+2, .., xm]) ≥

(ϕ− ψ)([η, η, .., η; 1, xk+2, .., xm], [1[k+1]], [1, xk+2, .., xm]),(4.1.7)

ou η = (x0x1...xk)1/(k+1).

Preuve. Comme dans le lemme 4, la preuve s’effectue par recurrence.

Supposons que pour 0 ≤ p < k et pour tout (x0, .., xk;xk+2, .., xm) ∈ Rm

avec xi > 0, on ait

(ϕ− ψ)([x0, .., xk, 1, xk+2, .., xm], [x0, .., xk], [1, xk+2, .., xm]) ≥

(ϕ− ψ)([(x0...xp)1p+1 , .., (x0...xp)

1p+1 , xp+1, .., xk; 1, xp+2, .., xm],

[(x0...xp)1p+1 , .., (x0...xp)

1p+1 , xp+1, .., xk], [1, xp+2, .., xm]). (4.1.8)


Cette hypothese est verifiee pour p = 0. Si l’inegalite (4.1.8) n’etait pas

satisfaite au rang p + 1, il existerait un point (x00, .., xk;xk+2, .., x

0m) ∈ Rm

avec x0i > 0 pour tout i, tel que :

(ϕ− ψ)([x00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

0, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]) <

(ϕ− ψ)([(x00..x

0p+1)

1p+2 , .., (x0

0..x0p+1)

1p+2 , x0

p+2, ..., x0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x00..x

0p+1)

1p+2 , .., (x0

0..x0p+1)

1p+2 , x0

p+2, ..., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]). (4.1.9)

Comme au lemme 4, on peut supposer que le point

([x00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

0, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]) ∈ Y

verifie

(x00..x

0k)

1/(k+1) 6= (x0k+2..x

0m)1/(m−k),

et que x00 ≤ ... ≤ x0

p+1. D’autre part, en tenant compte de la G-invariance de

ϕ et de l’hypothese de recurrence (4.1.8) en les points

([x00, x

01, .., x

0p, x

0p+1, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

0, x01, .., x

0p, x

0p+1, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])

et

([x01, .., x

0p+1, x

00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

1, .., x0p+1, x

00, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]),

on a

(ϕ− ψ)([x00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

0, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]) ≥

(ϕ− ψ)([(x00..x

0p)

1p+1 , .., (x0

0..x0p)

1p+1 , x0

p+1, .., x0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x00..x

0p)

1p+1 , .., (x0

0..x0p)

1p+1 , x0

p+1, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]) (4.1.10)

et

(ϕ− ψ)([x01, .., x

0p+1, x

00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[x01, .., x

0p+1, x

00, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]) ≥

(ϕ− ψ)([(x01..x

0p+1)

1p+1 , .., (x0

1..x0p+1)

1p+1 , x0

0, x0p+2, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x01..x

0p+1)

1p+1 , .., (x0

1..x0p+1)

1p+1 , x0

0, x0p+2, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]). (4.1.11)


Considerons maintenant la courbe C d’equation

tp+1x = x00...x

0p+1

du plan reel

{([t, .., t, x, x0p+2, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [t, .., t, x, x0

p+2, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])}

parametre par les variables t et x. Les points

Q1 = ([(x00..x

0p)

1p+1 , .., (x0

0..x0p)

1p+1 , x0

p+1, x0p+2, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x00..x

0p)

1p+1 , .., (x0

0..x0p)

1p+1 , x0

p+1, x0p+2, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])

et

Q2 = ([(x01..x

0p+1)

1p+1 , .., (x0

1..x0p+1)

1p+1 , x0

0, x0p+2, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x01..x

0p+1)

1p+1 , .., (x0

1..x0p+1)

1p+1 , x0

0, x0p+2, .., x

0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])

appartiennent a la courbe C.

D’autre part les reels x0i pour 0 ≤ i ≤ p + 1 ne sont pas tous egaux, sinon

(4.1.9) serait une egalite.

Par suite, sachant que l’on a choisi x00 ≤ ... ≤ x0

p+1, les points distincts Q1 et

Q2 se trouvent strictement de part et d’autre de la diagonale t = x du plan

precedent.

Or la courbe C coupe cette diagonale en le point

Q3 = ([(x00...x

0p+1)

1p+2 , .., (x0

0...x0p+1)

1p+2 , x0

p+2, .., x0k; 1, x0

k+2, .., x0m],

[(x00...x

0p+1)

1p+2 , .., (x0

0...x0p+1)

1p+2 , x0

p+2, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])

qui intervient dans l’inegalite (4.1.9). D’autre part, les relation (4.1.9),

(4.1.10) et (4.1.11) donnent

(ϕ− ψ)(Q3) > (ϕ− ψ)(Q1) et (ϕ− ψ)(Q3) > (ϕ− ψ)(Q2),


ce qui prouve que la fonction (ϕ− ψ) admet un maximum local sur la courbe

C.

Sachant que l’on a choisi le point

([x00, .., x

0k; 1, x0

k+2, .., x0m], [x0

0, .., x0k], [1, x

0k+2, .., x

0m])

de sorte que

(x00..x

0k)

1/(k+1) 6= (x0k+2..x

0m)1/(m−k),

on conclut de la meme maniere qu’au lemme precedent en considerant la

restriction de (ϕ− ψ) a une courbe holomorphe convenable.

A l’instar du lemme ??, les lemmes 4 et 5 permettent d’etablir le

Lemme 6 Etant donnee une fonction ϕ ∈ C∞(Y ), g-admissible, G-invariante,

avec xi =| zi |> 0 pour tout i, on a :

(ϕ− ψ)([1, x1, .., xk;xk+1, xk+2, .., xm], [1, x1, .., xk], [xk+1, xk+2, .., xm])

≥ (ϕ− ψ)([1[k+1]; ν [m−k]], [1[k+1]], [1[m−k]]), (4.1.12)

ou ν = (xk+1...xm)1/(m−k)

(x1...xk)1/(k+1) .

Montrons maintenant le

Lemme 7 Etant donnee une fonction ϕ ∈ C∞(Y ), g-admissible, G-invariante,

pour tout ζ > 0, on a :

(ϕ− ψ)([1[k+1]; ζ [m−k]], [1[k+1]], [1[m−k]]) ≥ 0, (4.1.13)

Preuve. On raisonne sur la position du point R0 ∈ PmC ou ϕ atteint son

maximum. En vertu de la G-invariance de ϕ, on peut supposer qu’il s’ecrit

sous la forme

R0 = ([y00, .., y

0k; y

0k+1, .., y

0m], [ρ0

0, .., ρ0k], [%

0k+1, .., %

0m]),

ou les y0i , ρ

0i , %

0i sont des reels positifs verifiant y0

0 ≥ y01 ≥ .. ≥ y0

k,

y0k+1 ≥ y0

k+2 ≥ .. ≥ y0m, ρ0

0 ≥ .. ≥ ρ0k et %0

k+1 ≥ .. ≥ %0m et ou (ρ0

0, .., ρ0k)

et (y00, .., y

0k) sont paralleles, ainsi que (%0

k+1, .., %0m) et (y0

k+1, .., y0m). Trois cas


se presentent : ou bien l’un des y00, .., y

0k et l’un des y0

k, .., y0m sont non nuls,

ou bien tous les y00, .., y

0k sont nuls, ou bien enfin tous les y0

k, .., y0m. Ces deux

derniers casetant symetriques, ils se traitent de maniere similaire.

Cas A : l’un des y00, .., y

0k et l’un des y0

k, .., y0m sont non nuls. On se place alors

dans la carte de Y decrite par les points

([z0, .., zk, zk+1, .., zm], [ξ0, .., ξk], [ξk+1, .., ξm]) ∈ PmC× PkC× Pm−k−1C

tels que z0 6= 0, ξ0 6= 0. Ceci permet de reperer R0 par

R0 = ([1, x01, .., x

0k;x

0k+1, .., x

0m], [1, x0

1, .., x0k], [x

0k+1, .., x

0m]),

ou les reels positifs x0i verifient : 1 ≥ x0

1 ≥ .. ≥ x0k et x0

k+1 ≥ ... ≥ x0m.

Raisonnons par l’absurde, et supposons qu’il existe un point

R1 = ([1[k+1]; ζ[m−k]0 ], [1[k+1]], [1[m−k]])

tel que l’on ait ζ0 > 0 et

(ϕ− ψ)(R1) < 0. (4.1.14)

On envisage alors les deux sous-cas suivants : x0k+1 < ζ0 puis x0

k+1 ≥ ζ0.

– x0k+1 < ζ0.

On introduit alors la fonction auxiliaire

ψ0 = log| z0 |4| ξ0 |2k| ξk+1 |2(m−k−1)

(| z0 |2 +...+ | zm |2)2(| ξ0 |2 +...+ | ξk |2)k(| ξk+1 |2 +...+ | ξm |2)m−k−1.

D’une part, puisque ϕ ≤ 0,

(ϕ− ψ0)([1, 0[m]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) = ϕ([1, 0[m]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) ≤ 0.

(4.1.15)

De plus, sachant que ϕ(R0) = 0 et ψ0 ≤ 0, on a

(ϕ− ψ0)(R0) ≥ 0. (4.1.16)

Si R0 6= ([1, 0[m]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]), ψ0(R0) < 0 et l’inegalite (4.1.16) est

alors stricte. Si R0 = ([1, 0[m]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]), quitte a se placer en un

point R arbitrairement voisin de R0, on peut supposer (ϕ − ψ0)(R) > 0.


En effet, si dans un voisinage de R0 on avait (ϕ − ψ0) ≤ 0, comme

(ϕ − ψ0)(R0) = 0, (ϕ − ψ0) admettrait alors un maximun local en R0, ce

qui mettrait en defaut l’admissibilite de ϕ en ce point, sachant que

∂λµ(ϕ− ψ0)(R0) = (gλµ + ∂λµϕ)(R0).

Dans tous les cas, on peut donc affirmer qu’il existe un point

R′0 = ([1, a1, .., am], [1, a1, .., ak], [ak+1, .., am])

verifiant

(ϕ− ψ0)(R′0) > 0. (4.1.17)

Par continuite et G-invariance de ϕ, on peut supposer 1 > a1 > ... > ak > 0

et ζ0 > ak+1 > ... > am > 0. D’autre part, l’inegalite (4.1.14) jointe aux

definitions de R1, ψ0, ψ1 et ψ = inf(ψ1, ψ2) implique

(ϕ− ψ0)(R1) = (ϕ− ψ1)(R1) ≤ (ϕ− ψ)(R1) < 0. (4.1.18)

La courbe :

[0, 1] 3 t→ ([1, t, t(ln a2)/(ln a1), .., t(ln ak)/(ln a1); ζ0tln(ak+1/ζ0)

ln a1 , .., ζ0tln(am/ζ0)

ln a1 ],

[1, t, t(ln a2)/(ln a1), .., t(ln ak)/(ln a1)], [1, tln(ak+2/ak+1)

ln a1 , .., tln(am/ak+1)

ln a1 ])

passe par ([1, 0[m]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) en t = 0 puis par R′0 en t = a1 et

enfin par le point R1 en t = 1, valeurs en lesquelles, d’apres (4.1.15), (4.1.17)

et (4.1.18), (ϕ − ψ0) est respectivement negative, positive puis a nouveau

negative. L’invariance de cette fonction par l’action des exp(iθ), permet donc

de deduire que (ϕ − ψ0) atteint un maximum sur la courbe holomorphe,

complexifiee de la courbe decrite plus haut, ce qui contredit encore une fois

l’admissibilite de ϕ.

– x0k+1 ≥ ζ0.

Designons dans ce cas par p ∈ {1, ..,m− k} l’entier pour lequel on a

x0k+1 ≥ ... ≥ x0

k+p > ζ0 et ζ0 ≥ x0k+p+1 ≥ ... ≥ x0

m,


et considerons la fonction auxiliaire

ψk+1 = log| zk+1 |4| ξ0 |2k| ξk+1 |2(m−k−1)

(| z0 |2 +...+ | zm |2)2(| ξ0 |2 +...+ | ξk |2)k(| ξk+1 |2 +...+ | ξm |2)m−k−1.

On a

(ϕ− ψk+1)(R0) > 0. (4.1.19)

La fonction (ϕ − ψk+1) etant continue, quitte a se placer en un point voisin

de R0, on peut supposer tous les x0i non nuls. Posons alors :

α2 =lnx0

2

lnx01

, .., αk =lnx0

k

lnx01

;αk+1 =ln(x0

k+1/ζ0)

lnx01

, .., αm =ln(x0

m/ζ0)

lnx01

.

Sachant que l’on a 1 ≥ x01 ≥ .. ≥ x0

k ; x0k+1 ≥ .. ≥ x0

k+p ≥ ζ0 et

ζ0 ≥ x0k+p+1 ≥ .. ≥ x0

m, on en deduit que α2, .., αk ≥ 0, αk+1 ≤ ... ≤ αp+k ≤ 0

et αp+k+1, .., αm ≥ 0, d’ou, en notant

Rε = ([1, ε, εα2 , .., εαk ; ζ0εαk+1 , .., ζ0ε

αm ], [1, ε, εα2 , .., εαk ], [εαk+1 , .., εαm ]),

on a

limε→0

ψk+1(Rε) = limε→0{ln ζ4

0ε4αk+1

[1 + ε2 + ε2α2 + ..+ ε2αk + ζ20 (ε2αk+1 + ..+ ε2αm)]2

× ε2(m−k−1)αk+1

(ε2αk+1 + ..+ ε2αm)m−k−1}

= ln limt→∞

t−2αk+1(m+1−k)

(t−2αk+1 + t−2αk+2 + ..+ t−2αp)(m+1−k)= ln 1 = 0,

−αk+1 etant la plus grande puissance intervenant au denominateur. Sachant

que ϕ([Rε]) ≤ 0 et compte tenu de (4.1.19) il existe ε0 tel que l’on ait

(ϕ− ψk+1)(Rε0) ≤ −ψk+1(Rε0) < (ϕ− ψk+1)(R0). (4.1.20)

D’autre part, l’inegalite (4.1.14), jointe aux definitions de R1, ψk+1, ψ2 et

ψ = inf(ψ1, ψ2) donne :

(ϕ− ψk+1)(R1) = (ϕ− ψ2)(R1) ≤ (ϕ− ψ)(R1) < 0. (4.1.21)


La courbe

[ε0, 1] 3 t→ ([1, t, tα2 , .., tαk , ζ0tαk+1 , .., ζ0t

αm ], [1, t, tα2 , .., tαk ], [tαk+1 , .., tαm ]),

passe par Rε0 en t = ε0 puis par R0 en t = x01 et enfin par R1 en t = 1, ce qui,

en vertu de (4.1.20), (4.1.19) et (4.1.21) prouve l’existence d’un maximum

local pour la fonction (ϕ − ψk+1) sur la courbe precitee. Ceci contredit, a

l’instar du cas precedent, l’hypothese d’admissibilite de la fonction ϕ.

Cas B : y00 = ... = y0

k = 0. On peut alors se placer dans la carte de Y decrite

par les points

([z0, .., zk; zk+1, .., zm], [ξ0, .., ξk], [ξk+1, .., ξm]) ∈ PmC× PkC× Pm−k−1C

tels que zk+1 6= 0 et ξ0 6= 0, de sorte que le point R0 ou ϕ atteint son

maximum egal a zero puisse s’ecrire sous la forme

R0 = ([0, 0, .., 0; 1, x0k+2, .., x

0m], [1, u0

1, .., u0k], [1, x

0k+2, .., x

0m]).

On peut aussi supposer, en utilisant la G-invariance de ϕ, que 1 ≥ x0k+2 ≥

.. ≥ x0m et 1 ≥ u0

1 ≥ .. ≥ u0k. On montrera une version equivalente du lemme

7, a savoir que

(ϕ− ψ)([ζ [k+1]; 1[m−k]], [1[k+1]], [1[m−k]]) ≥ 0 (4.1.22)

pour tout ζ > 0.

Raisonnons par l’absurde, et supposons qu’il existe un point

Rk+1 = ([ζ[k+1]0 ; 1[m−k]], [1[k+1]], [1[m−k]])

de Y tel que l’on ait ζ0 > 0 et

(ϕ− ψ)(Rk+1) < 0. (4.1.23)

On considere alors la fonction auxiliaire ψk+1. Sachant que ϕ ≤ 0, on a

(ϕ− ψk+1)([0[k+1]; 1, 0, .., 0], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) =

ϕ([0[k+1]; 1, 0, .., 0], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) ≤ 0. (4.1.24)


D’autre part, sachant que ϕ(R0) = 0 et ψk+1 ≤ 0, on a

(ϕ− ψk+1)(R0) = −ψk+1(R0) ≥ 0, (4.1.25)

inegalite stricte des que

R0 6= ([0[k+1]; 1, 0, .., 0], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]).

Si R0 = ([0[k+1]; 1, 0, .., 0], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]), quitte a se placer en un point

arbitrairement voisin de R0, on peut supposer la derniere inegalite stricte.

En effet, si dans un voisinage de R0, on avait ϕ − ψk+1 ≤ 0, alors ϕ − ψk+1

admettrait un maximum local en R0, ce qui contredirait l’admissibilite de ϕ

en R0. A l’instar du cas A, il existe donc un point

R′0 = ([c0, .., ck; 1, ck+2, .., cm], [c0, .., ck], [1, ck+2, .., cm])

verifiant

(ϕ− ψk+1)(R′0) > 0. (4.1.26)

Par continuite et G-invariance de ϕ, on peut supposer ζ0 > c0 > ... > ck > 0

et 1 > ck+2 > ... > cm > 0. D’autre part, l’inegalite (4.1.23) jointe aux

definitions de Rk+1, ψk+1, ψ2 et ψ = inf(ψ1, ψ2) implique

(ϕ− ψk+1)(Rk+1) = (ϕ− ψ2)(Rk+1) ≤ (ϕ− ψ)(Rk+1) < 0. (4.1.27)

La courbe de Y :

[0, 1] 3 t→ ([ζ0tln(c0/ζ0)ln ck+2 , .., ζ0t

ln(ck/ζ0)

ln ck+2 ; 1, t, t(ln ck+3)/(ln ck+2), .., t(ln cm)/(ln ck+2)],

[1, tln(c1/c0)ln ck+2 , .., t

ln(ck/c0)

ln ck+2 ], [1, t, t(ln ck+3)/(ln ck+2), .., t(ln cm)/(ln ck+2)])

passe par ([0[k+1], 1, 0, .., 0], [1, 0[k]]) en t = 0 puis par R0 en t = ck+2 et

enfin par le point Rk+1 en t = 1, valeurs en lesquelles, d’apres (4.1.24),

(4.1.26) et (4.1.27), (ϕ − ψk+1) est respectivement negative, positive puis




deduite de la courbe decrite plus haut, ce qui contredit l’admissibilite de ϕ,

d’ou (4.1.22).

Cas C : Les y00, .., y

0k sont tous nuls. On peut alors se placer dans la carte de

Y decrite par les points

([z0, .., zk; zk+1, .., zm], [ξ0, .., ξk], [ξk+1, .., ξm]) ∈ PmC× PkC× Pm−k−1C

tels que z0 6= 0 et ξk+1 6= 0, de sorte que le point R0 ou ϕ atteint son

maximum egal a zero puisse s’ecrire sous la forme

R0 = ([1, x01, .., x

0k; 0, 0, .., 0], [1, x0

1, .., x0k], [1, u

0k+2, .., u

0m]).

On peut aussi supposer, en utilisant la G-invariance de ϕ, que 1 ≥ x01 ≥ .. ≥

x0k et 1 ≥ u0

k+2 ≥ .. ≥ u0m.

Raisonnons par l’absurde, et supposons qu’il existe un point que l’on notera

encore

Rk+1 = ([1[k+1]; ζ[m−k]0 ], [1[k+1]], [1[m−k]])

de Y tel que l’on ait ζ0 > 0 et

(ϕ− ψ)(Rk+1) < 0. (4.1.28)

On considere alors la fonction auxiliaire ψ0 definie plus haut. Sachant que

ϕ ≤ 0, on a

(ϕ− ψ0)([1, 0, .., 0; 0[m−k]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) =

ϕ([1, 0[k]; 0[m−k]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]) ≤ 0. (4.1.29)

D’autre part, sachant que ϕ(R0) = 0 et ψk+1 ≤ 0, on a

(ϕ− ψ0)(R0) = −ψk+1(R0) ≥ 0, (4.1.30)

inegalite stricte des que

R0 6= ([1, 0[k]; 0[m−k]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]).

Si ([1, 0[k]; 0[m−k]], [1, 0[k]], [1, 0[m−k−1]]), quitte a se placer en un point arbi-

trairement voisin de R0, on peut supposer la derniere inegalite stricte. En


effet, si dans un voisinage de R0, on avait ϕ − ψk+1 ≤ 0, alors ϕ − ψk+1

admettrait un maximum local en R0, ce qui contredirait l’admissibilite de ϕ

en R0. Il existe donc un point

R′0 = ([1, c1, .., ck; ck+1, .., cm], [1, c1, .., ck], [ck+1, .., cm])

verifiant

(ϕ− ψ0)(R′0) > 0. (4.1.31)

Par continuite et G-invariance de ϕ, on peut supposer ζ0 > ck+1 > ... >

cm > 0 et 1 > c1 > ... > ck > 0. D’autre part, l’inegalite (4.1.28) jointe aux

definitions de Rk+1, ψ0, ψ1 et ψ = inf(ψ1, ψ2) implique

(ϕ− ψ0)(Rk+1) = (ϕ− ψ1)(Rk+1) ≤ (ϕ− ψ)(Rk+1) < 0. (4.1.32)

La courbe de Y :

[0, 1] 3 t→ ([1, t, t(ln c2)/(ln c1), .., t(ln ck)/(ln c1); ζ0tln(ck+1/ζ0)

ln c1 , .., ζ0tln(cm/ζ0)

ln c1 ],

[1, t, t(ln c2)/(ln c1), .., t(ln ck)/(ln c1)], [1, tln(ck+2/ck+1)

ln c1 , .., tln(cm/ck+1)

ln c1 ])

passe par ([1, 0, .., 0], [1, 0[k]], [1, 0[m−k]]) en t = 0 puis par R0 en t = c1 et

enfin par le point Rk+1 en t = 1, valeurs en lesquelles, d’apres (4.1.29),

(4.1.31) et (4.1.32), (ϕ − ψk+1) est respectivement negative, positive puis



deduite de la courbe decrite plus haut, ce qui contredit l’admissibilite de ϕ,

d’ou et le lemme 7.

4.2 Preuve du corollaire 3

.

Soit ϕ ∈ C∞(Y ) une fonction g-admissible et G-invariante, dont le sup sur

Y est nul. D’apres le theoreme 9, on a ϕ ≥ ψ et par suite, pour tout α ≥ 0,∫Y

exp(−αϕ)dv ≤∫Y

exp(−αψ)dv.

4.2. PREUVE DU COROLLAIRE 3 57

Afin d’obtenir les valeurs de α pour lesquelles cette derniere integrale

converge, on estimera∫Y

exp(−αψ1)dv et∫Y

exp(−αψ2)dv dans la carte dense

correspondant a la parametrisation

([1, z1, .., zm], [1, z1, .., zk], [zk+1, .., zm]).

Dans cette carte, l’element de volume est donne par (c.f. [7]) :

dv = det((gλµ))dz1 ∧ dz1 ∧ ... ∧ dzm ∧ dzm,

ou

det((gλµ)) = 2(−1)m[(k + 2)(1+ | z1 |2 +...+ | zk |2) + k(| zk+1 |2 +...+ | zm |2)]k

(1+ | z1 |2 +...+ | zk |2)k(| zk+1 |2 +...+ | zm |2)m−k−1

× [(m− k − 1)(1+ | z1 |2 +...+ | zk |2) + (m− k + 1)(| zk+1 |2 +...+ | zm |2)]m−k−1

(1+ | z1 |2 +...+ | zm |2)m+1.

Si up =| zp |2, en zero et en l’infini on a l’equivalence :

dv ∼ Cst(> 0)

(1 + u1 + ..+ uk)k(uk+1 + ..+ um)m−k−1(1 + u1 + ..+ um)2.

La convergence de∫Y

exp(−αψ1)dv est donc equivalente a celle de∫ +∞

0

..

∫ +∞

0

(u1...uk)−α(k+2)/(k+1)(uk+1...um)−α(m−k−1)/(m−k)

(1 + u1 + ...+ um)2(1−α)(1 + u1 + ..+ uk)(1−α)k

× du1...dum(uk+1 + ..+ um)(1−α)(m−k−1)

, (4.2.1)

qui converge en zero pour α < (k + 1)/(k + 2). En l’infini en effectuant en

changement de coordonnees spheriques on ramene l’etude a celle de∫ +∞

a>0

r−αk(k+2)/(k+1)r−α(m−1−k)rm−1

r2(1−α)rk(1−α)r(1−α)(m−k−1)dr, (4.2.2)

qui converge pour α < (k + 1)/(k + 2). De meme, la convergence de∫Y

exp(−αψ2)dv est equivalente a celle de∫ +∞

0

..

∫ +∞

0

(u1...uk)−αk/(k+1)(uk+1...um)−α(m−k+1)/(m−k)

(1 + u1 + ...+ um)2(1−α)(1 + u1 + ..+ uk)(1−α)k

× du1...dum(uk+1 + ..+ um)(1−α)(m−k−1)

, (4.2.3)


qui converge en zero pour α < 1/2. En l’infini, cela revient a etudier la

convergence de∫ +∞

a>0

r−αk2/(k+1)r−α(m−k+1)r−(1−α)(m+1)rm−1dr, (4.2.4)

qui converge pour α < (k+1)/k, condition toujours verifiee, d’ou le corollaire

2.

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