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Lehrbuch der Mineralogie

Haüy, René Just

Paris und Leipzig, 1804-1810

ETH-Bibliothek Zürich

Shelf Mark: Rar 5803

Persistent Link: https://doi.org/10.3931/e-rara-22601

Von den sekundären Gestalten, deren Kern ein Würfel ist.

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— 525 —

Resultate , welche vielleicht Manchen stutzig machenkönnen , gewähren uns die Hoffnung , alle neue Kry-stallgestalten j sie mögen beschaffen seyn , wie sie wol-len , welche sich in der Folge den Beobachtungen derNaturforscher darbieten , mit Leichtigkeit zergliedernZtl können»

Von den sekundären Gestalten , deren Kernein Würfel ist,

104. Wir haben gesehen , dals die Decreszenzen,Wodurch die sekundären 1 Gestalten , welche vom Rhom¬boeder herrühren , entstehen , eine Richtung nehmen,die durch eine einzige Axe bestimmt wird , welchedurch die beiden Ecken gehen , die durch die dreigleichen Winkel gebildet werden . Beim Würfel hinge¬gen , wo alle Ecken einander ähnlich sind , kann mandrei auf einander senkrechte Axen , von denen einejede mitten durch zwei einander entgegengesetzte Flä¬chen geht , annehmen , so dals die Decreszenzen , wel-che sich auf diese verschiedene Axen beziejhen, ein¬ander ähnlich sind . Hieraus folgt , 1) dafs die sekun¬dären Gestalten sich in ihrer natürlichsten Ansichtzcigejj^ wenn sie eine solche Lage haben , dafs zweiv°n den entgegengesetzten Flächen ihrer Kerngestalthorizontal liegen ; 2 ) dafs die erwähntenKrystalle eineandere Lage erhalten können , ohne eine andere .An-

lc ht zu bekommen , weil auf den verschiedenen Flä-hßn der Kerngestalt dieselben Decreszenzen . statt fm-

**eiu Obgleich man alse den Würfel als die Gränze

— 520 —

ansehen kann , der sich die Rhomboeder immer »ie irund mehr nähern , je geringer nämlich der Unterschiedzwischen der oberen oder der unteren Ecke und de 11

Seitenecken wird ; so behauptet er doch bei den fte'suliaten der Krystallisation einen eigentümlichen d>e'sonderen Rang , und ich rnufste daher die nähe reI1Umstände , welche sich auf diesen Körper beziehe 11»zum Gegenstände einer besondern Untersuchung nja*chen ; vorzüglich weil dieser Körper uns mehrere ^a'rietäten darbietet , deren Gestalt in doppelter Hin sieh1'interessant wird , einmal , wenn man sie für sich a'"lein betrachtet , und zweitens wesen ihrer Analog*6

mit verschiedenen geometrischen Vielecken, won**1wir sie vergleichen wollen.

105. Die Fig . 52 XIII Taf . stellt eine kübis^*6Kerngestalt vor , deren Flächen durch die Linien / $*/ ' S 1»f " ß" » welche nach drei , sich unter einem rec "ten Winkel durchschneidenden Richtungen liegen , lflz\yei Theile getheilt sind. Wir wollen zwölf Decr fiS'zenzen nach der Richtung der Breite durch irgend e'lIiSgewisse Anzahl von Reihen annehmen , von dei* erlzwei auf der Fläche cdat mit fg parallel , zwei aJlr\ldere auf der Fläche bdcr mit fg' parallel , und 110zwei andere auf der Fläche bdah mit f " g" parad ^ 'statt finden . Die sechs übrigen korrespondiren je z" eund zwei den angeführten , und finden auf denchen statt , die den vorigen gerade entgegengesetzt siOWir wollen ferner annehmen , dafs die Wirkung e*r,e• , \rO&jeden Decreszenz auf der andern Seite der Kante,wo aus er entstand, fortdaure, so dafs also der zOJ

— 527 —s •Grunde liegende Würfel ganz und gar verlarvt wird p ) .^as Resultat dieser Decreszenzen wird daher im Allge¬meinen ein Dodecaeder mit fünfseitigen gleichen undGlichen flachen ( Fig . 53 ) seyn , von denen zwei*Uid 2we- gegen die Kanten pr , oni , erc, welche denLitii en gf , g 'f , g "f" (Fig . 52 ) korrespondiren wer-cleU, geneigt sind ’, diese Neigungen müssen aber bisltls Unendliche verschieden seyn , je nachdem nämlichdas Gesetz der Decreszenz selbst verschieden ist . Man8le ht ferner auch leicht ein , dafs bei einem jeden Fünf¬te , wie Rei pdnar (Fig . 55 ) die vier Seiten dp,d'J, an , ar einander gleich seyn müssen ; denn dieGrundflächen de , at , da der Dreiecke dpc , art , dnaSind einander gleich , weil sie mit dreien von den Kan¬ten des primitiven Würfels zusammen fallen , und dieSpitzen p, r , n dieser Dreiecke sind von den Grund¬flächen gleich weit entfernt , weil die Decreszenzen sosyuimetrisch vor sich gehen , und aus diesen GründensUid die Dreiecke einander selbst gleich ; weil sie auchüberdies gleichschenkelig sind , so sieht man deutlich,fläis dp — ar — An ~ an seyn inufs . Die Kantai,r > Welche wir hier als die Basis des Fünfecks ansehen,murs aber g röfger oder kleiner als eine jede von denVler andern Seitenlinien seyn , je nachdem die Decres-

er*z rascher oder langsamer vor sich geht.—— ' a ■

Wenn man annehmen wollte , dals die Verlängert «!-von ein eiT1 unmittelbaren Gesetze der Decreszenz lierrülir-tgv*

^ ’ So * st einleuchtend , dafs dies Gesetz nach der Richtung^miie statt finden mühte , und daher dem enteren gerade

§egengesetzt wäre.

■— 528 —

Wir wollen die Höhen nx , Ix der beiden Fül^ecke pdnar und pcltr ziehen . Es sey xx 1' (Fig - 5$ein Schnitt des Dodecaeders , das mit diesen Hö‘ieI1zusammenfällt , die hier mit eben denselben Buchstab eI1bezeichnet sind, Von den Linien en und il wird dJ

« Aßteine mit der Kante en (Fig . 53) > die andere nutder vorigen entgegengesetzten Kante zusammenftd^ 11’und die Linien ex 1, ix 1 (Fig . 54_) werden dieBdd el1der Fünfecke seyn , welche pdnar und pcltr ( ^‘ s53 ) entgegengesetzt sind. Es sey uky^ (Fig - &

ein Schnitt , der mit der kubischen Kerngestalt k° rrspondirt . Man ziehe xy dprch die Mitte von u Ä>1,11

f diödurch den Punkt l ziehe man Iz senkrecht aut-. jjl

hinlänglich verlängerte Linie xy. Es sey Ä9ä das 2Trapezium cf rp (Fig . 53 ) ?gehörige Messungsdre^ ’i $eund n die Anzahl der decrescirenden Reihen , aKante des Moleküls und a die des Kerns . Wirdann folgende Proportion

HkB : Bä — a ' n : a ' — an : a.

Wir müssen einen allgemeinen Ausdrucksuchen . Es ist li ~ hv — a ( gfc) — a —

, ty*Aber in den ähnlichen Dreiecken Igk un“

hat manky : yx ~ lg : gk.

Aber ky ~ |a ; yx zz lg.Es ist kB : Bä = ky : yx.

aOder an : a — %a : yx zz 2 n

Aus der Proportion ky : yx zz lg : gk vVJa a a

A H • - — “ • ß & —an an an Folg'

529

t a an 2 — a*°lglidi/j ;= a — —= - ^ - = pr (Fig . 53) .

106. Wenn man n — x annimmt , so findet manPr rr a , d . h . die Basis der Fünfecke verschwindetalsdann , und der Krystall wird ein Dodekaeder mitpichen und ähnlichen Rauten flächen.

107. Wenn man n ~ 2 annimmt , so findet manf r Zr | a ; dies ist heim dodekaedrischen Schwefelkiese^er Fall . Nach dieser Angabe kann man das Dodekae-

sehr leicht künstlich auseinander legen , wenn man( e Schnitte nach dem angezeigten Würfel ( Fig . 52)führt . Wenn man die Linien gf , g'f , g"f und dieihnen auf den entgegengesetzten Flächen korrespondi-renden zieht , so nimmt man auf einer jeden dieserLinien , z. B. auf fg, einen Theil om an , so dafs gmoder 0/ — -§(gf) wird . Hierauf legt man durch omZwei schneidende Ebenen , von denen die eine das Endeht" der Linie o" m" trifft , die andere aber das der an¬geführten korrespondirenden Linie , welchem der ' bdah

entgegengesetzten Fläche liegt . Ferner legt man auchdurch o' m' zwei Ebenen , von denen die eine das Ende171 der Linie om trifft , die andere aber das der korre-sPondirenden Linie auf der cd at entgegengesetzten^fäche. VVas nun noch zu thun übrig ist , ergiebtsich dann von selbst. Auf diese Weise ergeben sichzwölf schneidende Ebenen , welche das angeführte Do¬dekaeder zum Vorschein bringen.

108- Nun müssen wir zuvörderst da9 Verhältnifs

Aschen der Grundlinie pr (Fig . 55 ) eines jedenFünfecks und einer jeden der vier andern Seiten ,' z. B. It

Theil 1. [ 34 ]

\

— 53 ° —

aufsuchen . Wir wissen schon , dafs pr rr | fl. Aber ^

— V ytk ')1+ Ikl) 1 ; tk — — . und kl ~ +

-1 / a- u 2 ^ / ~a 2n2 + a‘(F .E- = K + = K

Es ist also

I . , - - + a znz +^\ a ~ n zn z + u z _t V 4 ärllA4 ;i 4

Folglich />r

4 71

It _ O'8

fl „ z'— — y £i . .

8— V~ 12 : 'V 7.

Die Bestimmung der Neigungswinkel der Fla0und der ebenen Winkel gegen einander ist so leiclt,dafs es überflüssig wäre , uns länger dabei zu verweil 11

b«*.•Jeü

109. Ich habe schon an einem andern Orte

merkt , dafs berühmte Naturforscher das Dodekae (lmit dem wir uns eben beschäftigen , für das geh*1haben , welches die Geometrie uns kennen lehrt , vv'in alle Fünfecke regelmäfsis sind.o O Man könnte

0('dieeflFrage aufwerfen , ob unter allen ersinnlichen Gesetz

der Decreszenz nicht eins aufzufinden wäre , we^ 6dieses letzte Dodekaeder her voi zubringen im Stande

Um diese Frage zu beantworten , darf manden Werth für die Grundlinie p r in irgend eü1'Fünfecke dem Werthe für It gleich setzen und n

eHlsn*

eil®*chen , das im Falle , wenn das regelmäfsige Dodek aßtmöglich ist , eine Rationalzahl wird . t

^an 2 — \ 1 _ a2nA+ fl ^ ^ t -"'~ 4 «'

Wir haben also

(man sehe 105 u. 105) . Hieraus folgt n4— $ n‘_1

531

Und n rr V "*% i i 'V' 5- Hieraus folgt , dafs die Exi¬stenz eines regelmäfsigen Dodekaeders mit allen De-Cr eszenzgesetzen unverträglich ist , wenn man denWürfel zur KerngeStalt annimmt.

Um besser einsehen zu können , was die beidenBerthe bedeuten , die wir für n gefunden haben , wol-len wir das Verhältnifs ly : yx untersuchen , von de«nen das eine Glied der Sinus und das andere der Co-s*nus des halben Neigungswinkels der beiden Fünf¬te pdnar und pcltr bedeutet . Nun ist ly : xy

«n ; a - n : i . Ferner oaufs man nun nach undUach für n seine beiden Werthe substituiren , und dannerhält man hy : yx ~ V5 + ■\ T 5 y Sj un d ky:yx- ••Va.

Dies letzte Verhältnifs findet in unserem Falle«eine Anwendung , das andere gilt nur daun , wennSk =z gl ist , welches der vorigen Annahme entgegen¬gesetzt ist.

Hieraus folgt 3 -+- 5 : 'V 2 —’V'2 • 3 — "J/ "5»'veil das Produkt der beiden äufseren Glieder dem derbeiden mittleren gleich ist . Der Kalkül giebt also einedoppelte Auflösung der Aufgabe an die Hand , undZei gt , dafs das Dodekaeder sowohl durch das Verhalt¬es ky yx als auch dirrch das Verhältnifs gk : glbestimmt wird . Dies wird man noch besser einsehenkönnen , wenn man sich vorstellt , dafs sich die ver¬miedenen Fünfecke um die Kanten cd , ct , ai , ad

s* f. ( Fig . 53) des primitiven Würfels gleich als11,11eben so viele Chamiere bewegen, so dafs die Tra-

— 533 —'

pezia cprt und dpra sich oberhalb des Viereckserheben ; dahingegen die Dreiecke clt und dna na^ 1der entgegengesetzten Richtung herunterweichen , u11so auch bei den andern Fünfecken . Man sieht leid1*1

euij, dafs die Kanten pr , om , en u . s. f. während <be'sen Bewegungen in Rücksicht der Länge immer ki*-fzer und kürzer werden , und sich endlich in eine!1einzigen Punkt verlieren . Wenn nun die Beweg 11*1gen über diese Gränze hinaus Fortdauern , so bil^ 11sich neue Kanten , die mit den vorigen einen rech teI1Winkel machen , d. h. es wird ein Zeitpunkt eint**ten , da das Dodekaeder noch regelmäfsig ist . DaI)l1wird man Finden, dafs jedes Trapezium cprt inDreieck , das clt- ähnlich ist , verwandelt worden 1 ’und umgekehrt . Hieraus folgt , dafs das Verhält”1gk : gl (Fig . 54 ) die Stelle des Verhältnisses ky '■$einnimmt.

Durch den Kalkül findet man gg° i6 ' 46 " fiir ’-eflWerth des Winkels kxy, im Falle , dafs das Dode^ e

Cd*der regelmäfsig ist , und die Fünfecke neigen sich vgen einander unter Winkeln von 1160 gg ' 32 ".

111. Wenn man das Verhältnifs von ky zuZahlen sucht , wenigstens bis auf Tausendtheilche ” ^

incre-

nau , so findet man ky : yx ~ 0,707 : 0,457* Hi«r'

aus sieht man , wie verwickelt die Gesetze der i-'etzenz seyn müssen , welche von einem Dodeka”das nur wenig vom regelmäfsigen abweicht , herrüh re

112. Dies letzte Dodekaeder kann man bei eu1gegebenen Würfel sehr leicht künstlich konstruiund zwar auf eine analoge Weise , wie wir es

Dodekaeder des Schwefelkieses ( 107) gesehen haben.

Wir wollen uns des in der Fig . 52 gezeichneten Wür¬fels noch einmal zu dieser Absicht bedienen . Man

Zeichne das gleichschenklige Dreieck sut (Fig .!55 )>

dessen Grundlinie st — fg (Fig . 52 ) , und dessen

Spitzenwinkel u zz 1 og° ist , in welchem Falle die Sei¬

tenlinien us und ut zu einem regelmäßigen Fünfecke

gehören. Auf einer jeden Linie , die eine Lage wie

(Fig . 52) hat , nehme man einen Theil om zz: us

oder n ut (Fig . 55 ) an , so daß die beiden übrig

bleibenden Theile mg und of (Fig . 52 ) einandergleich sind. Darauf läfst man durch jede Linie o m,

o' m ' u . s. f. zwei schneidende Ebenen gehen , [welchemit den Endpunkten der Linien zusammenfallen , dieeine ähnliche Lage auf den beiden angrenzenden Flä¬

chen haben , welche die mit om , o ' m' u . s. f. paral¬

lelen Kanten berühren ; z. B. so , daß von zwei durch

gelegten Ebenen die eine m" und die andere den

borrespondirenden Funkt auf der bdah entgegenge¬setzten Fläche berührt . Alle diese Ebenen , zwölf an

der Zahl , bestimmen die Flächen des verlangten Do¬dekaeders.

1rg , wir wollen zum Ikosaeder des Schwefelkieses

(p ig . 56 ) übergehen . Diesen Körper kann man geo¬metrisch als ein Dodekaeder ansehen ( Fig . 53 ) , bei

dem. an der Stelle der acht Ecken c , d , a , t u . s. f.

der Kerngestalt eben so viele gleichseitige Dreieke op l,rnq } Irs u . s. f. befindlich sind ( Fig . 5^ ) > 80

dar« die Ueberbleibsel der zwölf Fünfecke gleichseitige

Dreiecke mp o , emn , eqn u . s. f. werden . In mine-

534ralogischer Rücksicht untersucht , entsteht diese Gesta^

durch eine Verbindung des Gesetzes , wodurch das regelmäfsige Octaeder entsteht , mit der Decreszenz , we*che zur Hervorbringung des Dodekaeders erfordertMan mufs .indefs bemerken , dafs die Keijngestalt 1

]rhßdiesem Falle derjenigen nicht mehr gleich ist,

das für vollkommen gehaltene Dodekaeder besi tie^würde . Sie ist nothwendiger Weise viel kleiner , uJldie Ecken liegen um die Mittelpunkte der gleichst 1

litögen Dreiecke herum . Man mufs also zwei Zeitpul1für die Gesetze der Decreszenz annehmen , und 2vV'3so , dafs man voraussetzt , dafs das , welches das utaeder hervorbringt , bis zu einer gewissen Zeit all elgewirkt haben mufs , über welche hinaus das aflaGesetz gleichzeitig mit dem vorigen zu wirken anWir müssen hier die beiden Zeitpunkte genauerstimmen.

So lange als das erste Gesetz nur noch allein ^rief

tig war , mufste es an der Stelle einer jeden Ecke^ / . ß.kubischen Kerngestalt ein gleichseitiges Dreieck,

fu#

oe* (Fig . 56 ) hervorbringen , woraus durch H,rlkunft des zweiten Gesetzes das Dreieck mnp ent 3Wir wollen die Art und Weise an geben , wie dasDreieck im groben enthalten ist , und dieses scsich blofs

tan“kleine

hrän^zvri*auf die Bestimmung des Verhältnisse3

,thv 'sehen p 1 und sm ein. Die Linie ag Hegt notdiger Weise auf einer Fläche , welche mit einer

vonehb

’ den Flächen der Kerngestalt des Ikosaeders paral^ $ ^weil sie die Seitenkante vou einem der aUfge9chi cl

qten Blättchen ist , durch deren Decreszenz dem

— 535 —

der zur Entstehung Gelegenheit gegeben ward . Wennlf>an also *9- mit mo parallel zieht , so wird die Fläche

£9 mit der , wovon wir eben reden , zusannnenfal-F'n. £ s ig t aber sehr einleuchtend , dafs eben diese^äche auch mit einer von den Flächen der Kernge-

, die zu dem für vollkommen angenommenen Do¬dekaeder ( Fig . 53 ) gehört , zusammenfallen mufs;"eil die Decreszenz , wenn man sie allein annimmt,

dies Dodekaeder hervorgebracht haben würde , dessenAnschufslinie b t ist , als wovon sich die Wirkung nachbeiden Seiten verbreitet ; diese Linie mufs also noth-" endiger Weise einen Theil von einer der Kanten derkubischen Kerngestalt , von welcher wir reden , aus¬machen , . 3" ist also eben die Linie , wie in der Fi—gur 53 , oder , welches einerlei ist , sie ist = : Jy . Esist also ps (Fig . 56 ) — ly (Fig - 53 ) und im — yr.Aber ly ; yr - - lk (Fig . 55 und 54 ) : hx

lg : gz ( zz ky ) — 1 : 2. Es ist also pi (Fig.56) — l ( £m). Die Winkel des Dreiecks £*$ lie¬gen demnach im dritten Theile der Seitenlinien des

^teiecks pmn.Man kann die beiden Epochen , welche in Anse¬

hung der Decreszenzen statt gefunden haben , sehrle icht unterscheiden . Utn dabin zu gelangen , ziehe

111ari vom Punkte p die Linie ps £, die durch denMittelpunkt s des Dreiecks pmn geht . />£ wird mits'4 parallel laufen , weil der Winkel p £m eben sowohlein rechter Winkel ist wie der Winkel rfrn, indem

— i sm und J ä7n ~ 50 ° ist.Wenn man also die Linie p « zieht , welche eben-

— 536 —

falls einen rechten Winkel mit ol macht , so wird dieEbene <?p & mit der Ebene "Ss 9- parallel gehen ; die letztere ist aber ebenfalls wieder mit einer von den F a

chen der Kerngestalt des Icosaeders parallel . Die £benewird also mit der Ebene eben dieser Fläche zU

sammenfallen , weil sie durch den Winkel s der Kerngestalt geht . Der Punkt p befindet sich daher in 0Ebene der Fläche , worauf es hier ankommt , und ^erPunkt r liegt in der Ebene der entgegengesetztenche. Weil mm pr auf beiden Ebenen senkrechtso mufs diese Linie auch eine Kante der Kernge staseyn . Daher ist om dieser Kante ebenfalls gleich , 1111sS- ist so grofs als der dritte Theil dieser Kante . ^sieht aber leicht , dafs das aufgeschichtete Blättcb®11’dessen Seitenkante durch die Punkte s, 9- geht , esowohl wie alle vorhergehende Blättchen die Geseines Achtecks hat . Die zweite Epoche tritt also d3l)I1ein , wenn die Seite des Achtecks , welche mit ^Kante der Kerngestalt parallel geht , den dritten e>dieser Kante ausmacht.

Aus dem Gesagten folgt hinreichend , dafs die ^Ordnung der beiden Dreiecke J £x und pmn gerade -ist , wie sie bei den Dreiecken dbx und gqz (Fig - ^

i statt findet , welche beim Durchschnitt des sekund^ 11|Rhomboeders durch eine mittlere Decreszenz v'oJ1kU"

Reihen doppelter Moleküls auf den Flächen ein erbischen Kerngestalt entstehen . Dies kann dazu di eIieI>’die Struktur des gesammtdecreszirenden (pant°SenSchwefelkieses zu erklären , welcher nichts anders

als ein Ikosaeder , wovon jedes gleichseitige Dreieck e>il

,$ 0 '

taB

dl

— 537 —

dreiseitige Pyramide über sich trägt . Diese Pyramidekann nämlich als der obere Theil des Rhomboeders,U’Ovon jetzt die Rede ist , angesehen werden , welchesdurch die Grundfläche gqz (Fig . 58 ) mit dem Drei-®cke des Icosaeders in Verbindung steht.

114. Jetzt wollen wir untersuchen , ob nicht,'Ve nn wir irgend zwei und zwei Decreszenzgesetze miteuiander verbinden , eins auszumitteln sey , welchesZt,r Entstehung des regelmäfsigen Ikosaeders bei; ei-ner zum Grunde gelegten kubischen Kerngestalt An-lafg geben könnte . Ich habe gesagt , dafs man dasIkosaeder des Schwefelkieses für ein Dodekaeder vonderselben Substanz ansehen könnte , dessen acht mitdenen der]Kerngestalt korrespondirende Ecken wegge¬schnitten sind , so dafs an der Stelle der Ecken ebenso viel gleichseitige Dreiecke zum Vorschein kommen,Und die Rückstände von den Fünfecken gleichschen¬klige Dreiecke werden . Wenn man dieselbe Ope-ra Üon mit dem regelmäfsigen Dodekaeder , das dieGeometrie kennen lehrt , vornähme , so würden vonden Fünfecken ebenfalls gleichscbenkelige Dreieckeübrig bleiben . Man könnte aber annehmen , dafs dieDimensionen des zum Grunde gelegten Dodekaedersv°u der Art wären , dafs die rückständigen FigurenSelbst gleichseitige Dreiecke würden , und in diesem

aÜe ist es sehr einleuchtend , dafs das Dodekaeder^Ul'ch die angeführten Schnitte in ein regelmäfsigeskosaeder verwandelt werden würde.

Die ganze Untersuchuug schränkt sich daher dar-auf ein , zu finden , ob ein Gesetz der Decreszenz in

— 538 —

dem Falle zulässig ist , wenn man pl ~ pr (Fig - 55)annimmt . In diesem Falle müssen wir auch das Ver-

hältnifs zwischen ky und yx oder zwischen 12 UI1zx, welches nichts anders als die verlängerte Linie $1bis zum Zusammentreffen mit der mit ku parallel 11Linie Iz ist , zu bestimmen bemüht seyn.

Der Voraussetzung zufolge haben wir px '•. Ix

zz i : Wir müssen für das Verhältnifs pxeinen andern Werth suchen , in welchem blos lz ü ßtl

4zx vorkommt , und zu dem Ende wollen wir Ix 111,1px besonders bestimmen.

1) Für7x . ix ~ vr ^ FTI ^ r.

2 ) Für px . px — ? {pr ) ~ ( li ) ( Fig . 5$= I C/g ) = I Ov ) - gk = ky - gk . ^ky ~ lz — lg und gk zz zx — y’x. Wenn man^

£für ky und gk ihre Werthe in der Gleichung t— ky — . gk substituirt , so hat man px ~ lz —

— zx + yx — lz — yx — zx -f yx ~ lz —

Folglich ist px : Ix ~ lz — zx : V ( lz) z+ (zx)

lo

Es sey lz ~ y , zx ~ u. Also y — u : V y‘r i • Oder yz — <zuy+ u 2 : yz + u1 — 1Wenn man die Produkte der äufseren und mitd ere

Glieder nimmt , und hernach yz — $uy — —- u2 te-

so et'. 2ducirt , woraus man erhält y zz + f 5 >

hält man die beiden Verhältnisse y u ~ 5 +1 ^ 3und y : u = 3 — Y5 •’ 2.

Weil diese Verhältnisse aber inkommensurabel S,JJ

so folgt daraus , dafs die beiden Seitenlinien dessungsdreiecks , die durch Izx bezeichnet werden

4»

jyjes'

539 —^n , es ebenfalls seyn müssen , und dafs daher in derMineralogie eben so wenig ein regelmäfsiges Ikosaeder''de ein regelmäfsiges Dodekaeder vorhanden ist.

Man wird leicht einsehen können , was die beidenBerthe für y in diesem Falle bedeuten , wenn man.Mer eben das Raisonnement zum Grunde legt , welche*lch beim regelmäßigen Dodekaeder geführt habe.

Wen man den Werth für den Winkel Ixn (Fig.53) oder den Einfallungswinkel der Flächen des Do-’Mkaeders an der Stelle der Kante pr suchen will , soMidet man nach derselben Voraussetzung , dafs er

tSS 0 10 ' ist.115. Es ist merkwürdig , dafs die Glieder der bei¬

den Verhältnisse 5 + Vg : 2 und g — V 'g : 2 ge-hau die Quadrate der Glieder sind , woraus die Ver¬hältnisse bestehen , die wir oben ( 110.) zwischen denLinien ky und yx beim regelmäßigen Dodekaeder ge-hihden haben.

116. Die eben angeführten Resultate geben un*leichtes Mittel an die Hand , das regelmäfsige Iko-

8a eder bei einem gegebenen Würfel künstlich darzu-Sl ellen , we nn man die Methode befolgt , die ich ( 107uhd 112) bei Gelegenheit des mineralogischen und8e°itietrischen Dodekaeders aus einander gesetzt habe,

kommt also blofs darauf an, denTheil gm oder 0f52) , der von einer jeden Linie, z. B. von gf

^geschnitten werden mufs , zu bestimmen , weil erIe den Punkt , z. B. m , angiebt , in welchen die schnei-^eitde Ebene fällt , die durch o' m' geht , indem er mitCrnte cd zusammenfällt.

540 —

Wenn man sich den Punkt b (Fig . 54-) ^ ^Mitte der Linie kv gemerkt hat , so mufs man ^aSVerhältnifs zwischen bk und gk suchen . Wir b^ eIi

folgende Proportionkg : yx — 5 + 'K '5 : 2.

Es sey ky — 3 4- 'V'$ und yx ~ 1. Ferner ist aUclg : gk =: 5 + Vs : 2-

Aber lg ~ y x ~ 2 . Also gk — - - FerP^0 + \ 5

ist bk ~ ky. Man hat also

bk : gk = 5 + Vg : ■ - 7 + 5 V $ ■*

Hieraus ist es einleuchtend , dafs dies Verhältnifs ^

selbe ist , wie das von f ( g/ ) ( Fig . 5a ) zu gm.Unter diesen Voraussetzungen kann man nach

kiihr ein rechtwinkeliges Dreieck m s t (Fig - 5JjS

zeichnen , dessen Seite ms doppelt so grofs ist alsSeite ts. Hernach zieht man noch besonders eine

nie np ( Fig. 58 ) = 3 ms + st + ^ mt (Fig . 5^’und eine zweite Linie nl (Fig . 58 ) , die irgendWinkel mit der ersteren macht , und gleich ms57 ") ist . Wenn man das Dreieck npl (Fig . 57 ) ^

gjll

vollständig gezeichnet hat , so nimmt man auf Pr ^Stück nc ~ | (gJ ') ( Fig . 52 ) an , zieht hierauf £uJ ^den Punkt c ( Fig . 58) eine Linie cg mit pl‘ paraund macht nj so grofs als das Stück gm oder J

(Fig . 52 ) , welches man von der Linie fg abschPden mufs.

117. Jetzt bleibt uns noch übrig , das Tr»ataeder genauer zu untersuchen , welches ebenfallsvon den Varietäten des Schwefelkieses ist . Ff*11

ko«'eihesiel*

— 54 * —

die Struktur dieses Vielecks deutlich machen zu kön¬nen , mufs man sich vorstellen , dafs die acht Eckendes primitiven Würfels alle mit einmal mittlere De-«teszenzen erlitten , die denen ähnlich sind, welche wiroben untersucht haben , wobei man aber voraussetzt,dar* nur zwei vorhanden sind , welche sich auf eine ein¬ige Axe beziehen , wie dies beim Rhomboeder derPall ;gt. Der sekundäre Krystall wird also ebenfallsein Rhomboeder seyn . Wenn wir uns die acht Decres-zenzen nun aber mit einem Mahle thätig denken , uncl^ns ferner vorstellen , dafs ihre Wirkungen sich mitden Flächen vereinigen , welche mit denen der Kern¬gestalt parallel laufen , so werden wir einen Körper ky(Fig . 5g) von dreifsig Flächen erhalten , der folgendemit der Kerngestalt ( Fig 60 ) analoge Bezeichnungbekommt

3

Ä B 1 C 1, A* B 1 G 4, *A G 1 C * P.

lig . Wir wollen jetzt die Methode aus einandersetzen , dies Vieleck bei einem gegebenen Winkel künst¬lich 2U konstruiren , weil es in der Folge dazu dienenkann, die Untersuchung der Winkel .zu erleichtern.

Es sey bt (Fig . 6i ) der primitive Würfel . Wenn^an die Flächen , wie gewöhnlich , durch die Limen£/ , g'j '1} g"f " , welche unter drei auf einander senk¬rechten Richtungen gezogen sind , in zwei gleiche TheiieSetheilt hat , so nimmt man z. B. auf g 'j' zwei Theiie

j ®tn' und f o' an , von denen ein jeder den viertenPheil der ganzen Linie beträgt . Auf dem mittleren

I Pbeile o' m' zeichne man einen Rhombus o' l' nik , des-

I— 542 —

sen grofse Diagonale eben diese Linie ist , und dessen

Kleine Diagonale k' V die Hälfte der grofsen beträgtHierauf legt man durch eine jede Seite , z. B. dur^o' /' eine schneidende Ebene o' i np , welche den klein eI1

Winkel m des auf der benachbarten Fläche geleg enerIRhombus berührt . Auf diese Weise bekommt

vier und zwanzig schneidende Ebenen , woraus e efl

so viele Trapezoiden entspringen , die in Verbind 1111?

mit den angeführten sechs Rhomben die Oberlid 6des Triakontaeders bestimmen.

Um zu beweisen , dafs diese Vorstellungsart]cl>e

lieh gegründet sey , ziehe man df, darauf de , \ve ^Linie aber eine solche Lage hat , dafs man ce — i 1erhält . Man sieht leicht ein, dafs die Ebene edf

der Fläche parallel seyn mufs , welche durch die ger

i iffi

eflm

den Winkel der gerichtete Decreszenz hervorgebr3wird , weil nämlich de ~ 2 cf , so mufs die Linie ^mit den Seitenkanten der aufgeschichteten Blatte^ 11

Astparallel gehen , und die Linie ce , welche ■§ von 0Linie cf beträgt , steht mit der Höhe dieser Blättch erlim Verhältnisse , indem die Decreszenz | - zumnenten hat.

Wir wollen uns eine Ebene vorstellen , vVIelcb«U»1d

durch die Seite o' V des Rhombus Vo' k' m' geht»

mit edf parallel läuft . Man mufs beweisen , dafs di eSäFläche den Rhombus lokm im Punkte m berührt

30

di®'dendafs die Linie np, wenn sie die Durchschnittslin* e

ses Rhombus mit dem Quadrate edat ist , durchPunkt m geht.

Man verlängere io ' bis sie er schneidet , u»d

543dann o' y senkrecht auf g 'f- Die Linien ef 1, ps und11 i müssen ebenfalls gezogen werden.

Weil die beiden Ebenen edf und ispn mit ein¬ander parallel sind , und die Flächen des Würfels , durchWelche die Durchschnitte in , ef und ps gehen , eben¬es mit einander parallel laufen , so folgt , dafs diedrei Dreiecke ecf pcs und n di einander ähnlich sevnMüssen , weil die Linien ef ps und in unter einan-dfcr parallel sind.

Nun müssen wir beweisen , dafs pe — dn. Aberdrc•• d i — ce : cf. Folglich dn zz § di — | -f ' s — f o'y.Aber o'y ~ io 'f zz icf >. Folglich dn = f . f cf

i cf- Auf der andern Seite ist pe = cp — ce.Aber cp = | cs zz f ( c/ ' + / ' s ) zz t ( c/ ' + £ c/ ' )Cr J-c/ ' , und ce ~ cf. Folglich pe zz %cf — * cf= | c/ ' - dn.

Weil nun aber um mit pe und dn parallel läuft,bnd man die Gleichheit dieser Linien zeigen kann , sollmr3 pn nothwendiger Weise durch den Punkt m ge-**en. Aber um “ gm — gu. Allein gm zr f cfUnd gu zz \ ce — f . ,fc/' = \cf. Folglich um^ ( -J — i) cf — ~ cf zz dn. Die Rhomben olmk,

u . s. f. haben daher die erforderlichen Dirnen-Slc’ben, damit die schneidenden Ebenen ihre spitzenKinkel treffen , ohne darüber wegzugehen , oder dar-Illlter stehen zu bleiben , sondern sie bleiben vielmehr

der Oberfläche dieser Rhomben stehen.

^ ll 9- Wir wollen jetzt zur Berechnung der Win-des Triakontaeders übersehen , und alsdenn denN * oe, gUngswinkel eines jeden Rhombus , z. B. o’Vm' W

544

(Fig . 59) > gegen irgend eins der angrenzenden Trapezoiden m' l' me bestimmen . Es sey arz (Fig-

das Messungsdreieck , und agst (Fig . 63 ) eine ^ erbindung von zwei Molekülsflächen . Man ziehe diDiagonale gt, und setze dann ar senkrecht auf di eSDiagonale , oder , welches einerlei ist , auf die hor^ 011tale Seite ar (Fig , 64 ) des Messungsdreiecks . F-sag — 1 ( Fig . 63 ). Alsdenn hat man

ag + o.t _~~ gt V5

Aber rz ( Fig . 64 ) ~ -| . Folglich ar : rz ~ 3 :Dies giebt zar — 36 ° 4^ &]"• Aber der Neig ul,‘5winkel von o' l' m' kf (Fig . 59) gegen m' l' me i st

öS'

Supplement des eben angeführten , und betragtlieh 1430 iß ' 13".

120. Nun wollen wir die ebenen Winkel bes

men . Die zu den Rhomben okjnl , o' k' m' l' U

0*(oVe

den Diagonalen das Verhältnifs 2gehörigen lassen sich leicht bestimmen , weil zWt sC>

0 1'1 statt findet . „/ jO

wird finden , dafs der grofse Winkel ~ 126° 0" ^ist , woraus folgt , dafs er so grofs ist als die weC5 ,

seitigen Neigungswinkel der Fünfecke des dode **6sehen Schwefelkieses aegen einander , an den D cder Kanten , die wir für die Grundlinien dieser

e%°11ecke angenommen haben.Jetzt sind noch die Winkel irgend eines Trap

z. B. von m' l’me (Fig . 59 ) zu finden übrig - .iwjj . m

wir die Diagonalen m' m , mm" und m' m" der 1. ’ ,ir£i d*s

die Ecke e gelegenen Trapezoiden ziehen , so vV ^Dreieck mm ' m" gleichseitig , weil die Punkte Trl>

— 545 —

die man auf dem primitiven Würfel (Fig . 61) anneh«frten kann , unter denselben Bedingungen gestellt sind.Das Dreieck mni ' m" (Fig - 59) » welches an die Stelledes festen Körpers getreten ist , kann also als die Hälfte*ines Rhomboeders angesehen werden , worin alles be¬tont ist . Wir werden den Nutzen dieser Bemerkung8o gleich einsehen.

Man stelle sich vor , dafs sich die vier Trapezoidenrn ’l1 me , o' l' mr u . s. f. , welche den Rhombus l' o' k' m'(fig . 59 ) umgeben , so weit ausdehnten , bis sie sich

der 'Gestalt einer geraden Pyramide vereinigen , de-ren Grundfläche durch den Punkt m gellt . Es seyPmyzs (Fig . 62 ) diese Pyramide . Man ziehe die Dia¬gonalen p y , rnz des Rhombus der Grundfläche , dar¬auf die Höhe s u, dann die auf pm senkrechte Liniesx , und verbinde die Punkte u und x durch einegerade Linie.

Der Rhombus l' o' k' m' stimmt ferner vollkommenhiit dem in der F ig. 59 überein . Man ziehe die Linienttl'rn ' , mö‘ (Fig . 62 ) , welche ebenfalls die in derfig. 59 angegebenen sind , darauf die Diagonale o'm1^es Rhombus l ' o ' Ji' m 1 und endlich die Linie mf,Welchem ' o' an der Stelle schneidet , wo diese durch

Höhe der Pyramide su geschnitten wird. Unterl'lesen Voraussetzungen suche man nach und nach die'hei Winkel m'em (Fig . 59 ) , m'l 'm und l 'me, de-*eri Summe von 360° abgezogen die Gröfse des vier-eh Winkels l 'm'e giebt.

1) Für m ' em. Weil man die Pyramide mm ' m" t^ die obere Hälfte eines Rhomboeders ansehen kann,I Theil [353

, — 546 —

•worin das Verhältnifs zwischen den beiden halben Dia'

gonalen g ' und p ' , wie wir oben gefunden habe*1»gleich V iß : V "7 ist , so folgt daraus , dafs m' ein~ n6 ° 6 ' 13" seyn mufs.

2) Für m ' l ' m. Weil dieser Winkel das SupP^ment von m ' l ' s 'oder prris (Fig . 62 ) ist , so darfnur diesen letzteren aufsuchen.

Es sey pu — 2 . Dann hat man friu ~ 1.pu X tu«Es ist ux

V'(pu) 2 + (muy= V

Das Dreieck xus ist aber dem Messungsdrei eC

arz (Fig . 64 ) ähnlich . Folglich ux : us (Fig.6t)

r 3 : V 5. Weil nun ux — V f , so ist us ~

Aber auf der einen Seite ist sx ~ V^( ux ) 2 + ( uS)

45Auf der andern Seite ist

sm V*(mu;2 + (ws )1 r Ki + | r j/"

Folglich sm : sx = j/ " : ] / ^ ^ = ^ 65 s ^Dies giebt smx ~ 6ß0 9 ' 16". Folglich m ' l 'm6a und 59) ~ m ° 50 ' 44 ",

deflz) Für l ' me. Dieser Winkel besteht au»^ ^ fo\*0

beiden Winkeln emm ' , m ' ml ' ; der erste >sti t tni

lieh halb So grofs wie das Supplement von mu m,rl1 *

also ist emm ' ~ 31° 56 ' 53 ". Man suche noch «Weil die Dreiecke mm ' m" und o ' mq diese:1b«

tae-Lage in Rücksicht auf die Kerngestalt des Triak 0ders haben als die Dreiecke pmn , opl (Fig - 5°)

— 547 —

Rücksicht auf die Kerngestalt des Ikosaeders , so ist esv°n selbst einleuchtend , dafs die Lage der Ebene , wel-che durch die Punkte m ' , m, *o ' ( Fig . 59 und 62)gehen würde , gerade eben so ist , wie bei der Fläche

(Fig . 56 )- Das Dreieck mut (Fig . 62 ) ist folg¬lich dem Messungsdreiecke ähnlich , wodurch die Flächerri po (Fig . 56 ) hervorgebracht wird . Weil diese Flä-che nun aber der Rückstand von irgend einer Flächedes Dodekaeders ist , so hat man mu (Fig . 62 ) : tu® : 1 » Aber mu ~ 1. Folglich tu 2= ■§. Weil alsoUs — f , so drückt ^ den Werth für st aus.

Aber st ; m ' t ~ us : pu. Oder -}: m ' t r : f : 2.Folglich m' t ~ § ; rnt~ V (mu) 2 -+- (tu) 1 — . -j-

mm' K ( mt ) 2 -f - ( m 't) 2 —

Aber sm

4 4

Folglich mm ' ; sm

]/ ^ -5- : j/ ” = VV] : V &6. , Wenn man also

1111 Dreiecke s x p den Winkel s p x vermittelst s p

' ■- ^ Cpu) 2 -f - ( us) 2 — 4/_4 + f = | / ^ — und9durch sx =/:

5645

sucht , und der mehreren Ein-

^chheit wegen sp — Y' 25 und Sx ~Y' rj setzt , sofindet man spx ~ 51 ° 56 ' 55 ". Wenn -man nun'Px ZU111 Wi nkel smx ~ 6g° g ' 16" addirt , so®rhält man ioo ° 6 ' 9 " , welche von lßo Graden abge-*°gen 7qo 53 / 5l " für den Werth des Winkels m’smSeben.

— 548 —

In dem Dreiecke smm' kennt man also den Wh*“

kel s und die Seiten sm und mm 1. Durch diese Ah'

gaben findet man den Winkel m ' ml ' — 25 0 3* 57Addirt man zu diesem Werthe den von emm ' ( F1»'

59) ~ 31 * 56 ' 5o" t 30 findet man l ' me “ 5"

o ; 50 " Ferner ist m ' ern ~ 1160 6 ' 13".

:=. iix ° 50' 44"- Folglich l' m' e ~ 750 2 ' 13".121 . In der Geometrie kennen wir ebenfalls eilt

Triakontaeder . Wir werden die Untersuchungen ^

den Würfel , als Kerngestalt betrachtet , mit dem ü^ 1'

einstimmenden Phänomen schliefsen , welche das ”! 113

■lltfkontaeder der Mineralogen mit jenen darbietet.

zweite Triakontaeder , welches Fig. 65 XIV Taf . aufs tel

ist symmetrisch , indem seine Flächen gleiche und ^

liehe Rhomben sind . Es hat zwei und dreifsig

wovon zwanzig ^ wiea , durch drei , und die zwölf 3deren , wie s , durch fünf Flächen gebildet werdet1'4

Dieses Körpers , mit dem sich die Mathem atlN

bis jetzt blofs beschäftigt zu haben schienen , erinh ert

sich Rome de l ’ Isle bei Gelegenheit des triakoh t3

drischen Schwefelkieses , indem er glaubte , da Cs4 eS

' eben so regelmäfsig sey. Er glaubte es dadurch

struiren zu können , wenn er im regelmäfsigen va zh

caeder Schnitte machte , die durch alle Kanten 1111\V0"

gleicher Zeit auch durch den Mittelpunkt ginge 11»

durch zwölf fünfseitige Pyramiden abgeschnittendie hernach auf die Flächen eines zweiten , dem

ren ähnlichen Dodecaeder aufgesetzt wurden q )•

y ) Crystallogr . T , III , S. 234- Anna. »05«

549 —

Geometer , die den Kalkül anstellen wollen , werdenfinden, dafs die Pyramiden unter diesen Voraussetzun¬gen zu lang sind , als dafs die Flächen einer jeden sichfidt denen der angränzenden Pyramiden in einerlei£bene befinden könnten , so dafs die sechzig Dreiecke®ich auE dreifsig Rhomben zurückbringen lassen könn-ten. Alle diese Dreiecke würden im Gegentheile nur

einspringende Winkel bilden.122. Es ist indefs möglich , das symmetrische Tria¬

kontaeder durch ein regelmäfsiges Dodekaeder zu kon-struiren . Uni dies zu bewerkstelligen , mufs man alleseine Kanten durch Flächen zuschärfen , welche gegenbeide Fiinfecke , die sie begrenzen , auf eine gleicheWeise geneigt sind , sa dafs gar nichts von der Ober¬fläche des Dodekaeders mehr übrig bleibt . Da nämlichjede Kante dieses Körpers zweien angränzenden Fünf¬

ecken gemeinschaftlich angehört , so sieht man leicht®in, dafs sich die sechzig Kanten , welche die zwölfFünfecke für sich betrachtet begränzen , durch die Ver-

®inigung dieser Fünfecke auf dreifsig redlichen lassenMüssen. Weil nun aber die Punkte , welche an allendiesen Kanten mit einander korrespondiren , gleich weit

vom Mittelpunkte entfernt sind , so mufs der Körper,der durch die Zuschärfung derselben entsteht , lauter

ähnliche und regelmäfsig um einen und denselben Mit-te*Punkt befindliche Flächen besitzen.

Man kann das Triakontaeder auch vom re-

Sdhnäfsigen Ikosaeder ableiten , wenn man alle seineanten unter denselben Bedingungen wegschneidet . In

^er Folge will ich eine andere Konstruktion von eben

— 55 ° —

diesem Vielecke beibringen , wobei ich aber den Wurfei zur Grundform annehme.

124 ' Die Untersuchung der Winkel des symW etri

sehen Triakontaeders , womit wir uns jetzt beschäftighaben , kann dazu dienen , mehrere interessante Eig enschäften dieses Körpers zu entwickeln . Vorher 11111ich aber ein Verhältnis bestimmen , welches uns zUdieser Untersuchung nothwendig ist . Es sey biahP(Fig . 66) ein regelmäßiges Fünfeck , und in die Se' tedes regelinäfsigen in diesem Fünfecke beschriebe 11611Zehnecks . Man ziehe die Diagonale ap , die Linie ^ fI*welche durch den Mittelpunkt geht , dann den Ha 'messer ci, der durch den Tunkt d in ein mittleres u11äufseres Verhältnis getheilt wird , und endlich die k1'nie cf senkrecht auf in. Das Verhältnis , welches 'f,linun bestimmen müssen , ist ci zu in.

Es sey ci ~ r. cd ~ in ~ x. Man hat ^— r— x, und r : x ~ x : r— x. Folglich x 2 ~ r 2— l''C‘Hieraus folgt x ~ — |r + | r Y~5- Nimmt man ^Zeichen positiv , so findet man x — f r 'Y 5 ~ | r'

Hieraus schliefsen wir ci : in ~ r : §r Y ~5— *~2r : rV ^ 5 — r ~ 2 : 'V' 5 — i , und dies ist eh6*1das Verhältnis , welches wir bestimmen wollten.

125. Nun wollen wir die Winkel eines jeden Rho 111bus des Triakontaeders finden . Man stelle sich eltie

schneidende Ebene ab ’pbi (Fig . 65 ) vor , worauf elliefünfseitige Pyramide befindlich ist , deren Spitze s he’YEs sey b ' sb (Fig. 67 ) eben diese Pyramide.ziehe die Höhe sc , die beiden Halbmesser ci , cb,nach sr senkrecht auf bi und endlich er.

55i

Das Dreieck isb ist ganz offenbar die Hälfte vonhinein der Rhomben des Triakontaeders . Die Fragem also blofs , das Verhältnifs zwischen rs und ir zufinden.

Aber rs — V ' ( er) 2 -J - ( cs) 1.Man kann indefs leicht sehen , dafs man zur Kon-

struirung des Triakontaeders auch auf allen Kanten des° •

re gelmäfsigen Dodekaeders nur solche Flächen zu setzennöthig hätte , die gegen die beiden augränzenden Flä¬zen unter gleichen Winkeln geneigt sind . Alle dieseRächen würden beim Durchschneiden die Oberfläche

des Triakontaeders hervorbringen . Die Neigung einerjeden Fläche gegen die beiden , wovon ich eben geredethabe , z. B. der an der Kante pr (Fig . 53 ) stofsendenFläche gegen die beiden Fünfecke pdnar und pcltr ,Wird einem Winkel ykx gleich seyn , dessen Comple«ment kxy die Gröfse des halben Neigungswinkels derbeiden Fünfecke gegen einander ausmacht . Wenn wiralso aibpb 1 (F,ig . 67 ) als eins von den Fünfeckendes Dodekaeders ansehen , welches in dem jetzt ange¬führten Falle im Triakontaeder befindlich ist , so wirdder Winkel crs dem Winkel ykx (Fig . 55 ) gleich

seyn, unci folglich wird das Verhältnifs zwischen er’md cs als bekannt angenommen . Wenn man also den^erth von er kennt , so kann man den von rs leicht

finden. Die Untersuchung beschränkt sich also blofsdarauf , er und ir zu finden . Wir wollen mit dieser

letzten Gröfse den Anfang machen.Wir haben ( 124) ( Fig . 66 ) folgende Proportion

§ehabt ci : in zz 2 : 1/ "5 — t-

— 552 —Man mache ci ~ 2 , in welchem Falle wir lfl

Z- V 5 — i haben werden . Wenn ferner cf senkreri1*auf in ist , so hat man ( ir) a = X ^ .nl . Wi*(cn)kennen aber nicht allein schon i n sondern auch cn'denn diese Linie ist gleich ci . Es ist daher nur no0'11cf zu suchen übrig , ( cf) 2 zz. (ci) J — (i/)= (.ciy — i (iny = 4 — 1 (6— 2V ' 5) zr4 -r. | + | l^

Folglich ( ir) 1 = v VJ l Jj Zk .. , -L-Q; —2—

npd ir Nun ist es leicht , den_^für er zu finden. Denn er ~ V ( ci ) * — ( »r)

- ]/ 4 _ ^ _Vj5 ^ _ Y Na<*dem , was ich oben angeführt habe , ist aber er ■cS(Fig . 67 ) = ky (Fig . 53 ) ; yx = V3 + : / '*

(pi . sehe 110). Demnacht — ^: cs~ 3j 1/ "2. Folglich cs — 1 ri l (ci ) . Dies ist eine gemerkwürdige Eigenschaft , die sehr nützlich wefd***kann , wenn man vom Triakontaeder eine Pro )^ °nentwerfen will . Man darf nur das regelmäfsige V°^ekaeder zeichnen , hernach auf dem Mittelpunkt e*nejeden Fläche eine Perpendikellinie cs zu £ ci aufr* cten , dann die Linien si , sb , sp u . s. f. ziehen , welcdie Seitenlinien der Rhomben des Triakontaeders se nwerden,

— 553

Nunistaberrs zz \ ^ (cs) 2 + (er) 2— i + ^--

Es ist also rs : ir = Y ^ -p-

: 1/äj = j £ 5 = VJTVö =^E ^ Vs - Q‘ es

Terhältnifs stimmt aber mit dem von Sy : yx (Fig,

53) oder von ^ 5 -VV 5 : V "2 gänzlich überein,^enn wenn man aus diesen beiden Verhältnissen eineProportion zusammensetzt , und die Produkte der bei-,^ e U äufseren und mittleren Glieder nimmt , SO findet

ftlan äuf beiden Seiten 10 + 2 5.

Hieraus müssen wir schliefsen , da Ts der grofseWinkel des Rhombus so grofs ist , wie der Neigungs»Winkel der Flächen des regeltnäfsigen Dodekaeders ge»gen einander , welches , wie wir oben gesehen haben,als der Körper angesehen werden kann , woraus dasTriakontaeder entstand , d. h . also , da[3 dieser Winkel^ 1160 33 ' 32 " ist,

12,6. Noch müssen wir den Neigungswinkel einerjeden Fläche gegen die ihr angränzende bestimmen,Wenn wir iu (Fig . 67 ) senkrecht auf b.c , il senkrechtaüf 6S nnd darauf ul ziehen , so wird der Winkel ilu^er halbe gesuchte Neigungswinkel seyn.

Ah,r(i0, _ fcöixwü . „ . - ä + n,(6s) 2 2

( 6i)* = 4 ( ir )2 = 4 =ra (5—

554

(äs) s — (is) 2 — (cf) 2 -f - ( cs) 2 — 4 ~i~ 1 ~~

Folglich (iiy ~ V- - -- - :- J = 4>Also il ~ 2 ~ cf.

Wenn wir nun aber die Dreiecke cui und *!mit einander vergleichen, so finden wir : i ) daß elfljedes bei u einen rechten Winkel hat , 2) dafs e’Jievon den diesem Winkel anliegenden Seiten , nämlich* 1/1beiden gemeinschaftlich zug ehört, 3 ) dafs die H)rP°”thenuse f/ der Ilypothenuse ct gleich ist. -Die beide!lDreiecke sind daher einander gleich und ähnlich. F<d£lieh ilu ~ icu * dieser VYinkel ist aber 72° , d. h. ^halbe Neigungswinkel der Flächen des Triakontaed efSgegen einander ist so grofs, als der Centriwinkel ^regulären Fünfecks, welches eine von den Flächen e>zum Grunde gelegten Dodecaeders ausmacht. Hie r3llä

z/ 0folgt , dafs der verlangte Neigungswinkel genaubetragen mufs.

127. In der Mineralogie kennt man eben so v'enig ein symetrisches Triakontaeder, als ein solchesdekaeder oder Ikosaeder; denn man könnte dieses1 <l3

Jajrfkontaeder nur von einer kubischen Kerngestalt berlten , indem man dabei annähme , dafs die Krystah1'*1tion einen analogen Weg wie beim TriakontaederSchwefelkieses genommen hätte. Allein das Verbal* 111zwischen den beiden halben Diagonalen der Rli 0111sm , s'm!-, s"m", welches heim symetrischen Trßk0taeder inkommensurabel ist ( Fig . 65 ) , schließ*jedes erdenkliches- Gesetz der Decreszenz aus.

555löß . Ich habe versprochen , eine Methode aufzu¬

führen , um das symetrische Triakontaeder künstlichFei einem gegebenen Würfel zu konstruiren . Es sey^A ( Fig . 68) dieser zum Grunde gelegte Würfel,dessen Flächen , wie gewöhnlich , durch die Linien / 'g,f 'g' , f ' g" u . s. f. in zwei Theile getheilt sind. Es8ey auf der andern Seite Fig . 66 ein regelmäfsigesFünfeck , das jede beliebige Gröfse haben kann . Wennftlan im auf ag senkrecht gesetzt hat , so zieht manehie Linie g ' k' (Fig . 69 ) ~ am (Fig . 66 ) . Auf demcinen Ende von g ' k' (Fig . 69 ) errichtet man einel 'erpendikellinie g ' p von unbestimmter Länge , unddurch das andere Ende legt man k' l1— gb’ (Fig . 66 ) , .80 dars diese Linie die Linie g 'p (Fig . 69 ) trifft . Hier¬auf theilt man die Hälfte gn (Fig . 68 ) von irgendeiner Linie , welche mitten durch die Flächen des Wür¬fels geht , in zwei Theile gs und sn, welche untere*nander im Verhältnisse der Linien g ' k' und g ' l'(Fig . 69 ) stehen . Man nimmt nm (Fig . 68 ; — snund zeichnet über ms ein Rhombus misb, dessenSüffse Diagonale ms und dessen halbe kleine Diago¬nale in gs ist . AYenn man nun auch auf denändern Flächen unter denselben Umständen RhombenZeichnet hat , läfst man durch eine jede Seite , z. ß.durch b' s1, eine schneidende Ebene gehen , welche densP>tzen Winkel s des auf der benachbarten Fläche be¬ziehen Rhombus berührt . Die vier und zwanzigcFnei;lenden Ebenen nebst den sechs auf,-den Flächen

des AVütfels befindlichen Rhomben bestimmen dieVerflache des Triakontaeders.

Um dies zu beweisen , bemerke ich zuerst,g ' k' (Fig . 69 ) oder am (Fig . 66 ) gk (Fig > ^oder die Differenz zwischen der Kante des regelniäfsl'gen Dodekaeders und der des darin befindlichen Wür''fels vorstellt ( <y) .

Ferner bedeutet k' l' (Fig . 69 ) oder die eben s°grofse Linie gb' (Fig . 66) die Linie kl (Fig . 53 u-Hieraus folgt , dafs das Dreieck g ' k1 V (Fig . 69 ) ^el!*Dreiecke gkl (Fig . 54 ) ähnlich ist . Folglich ist(Fig . 69 ) : g' k' r : gl (Fig . 54 ) : gk = ky ■1*

— V 3 + y '5 : 'V'2. Dies ist nämlich das Verh^nifs , welches die beiden halben Diagonalen eines je eitRhombus des Triakontaeders unter sich habensen , und welches sie der (Konstruktion zufolge auCwirklich haben.

Man ziehe b' s (Fig . 63 ) . Nun ilt b' g — n Sund gs ~ b' n ferner ist der Winkel b' gs ein ^terWmkeJ , folglich sind die beiden Dreiecke b' gs üfls'n' b' einander gleich , also b' s — b' s' , wie dies ^

•11|*fsevn mufs , weil b' s mit dieser Linie korresp OI1(

(Fig . 65 ) . ^Eben so mufs man auch beweisen , dafs die F»9* 11**

welche beim Würfel ( Fig . 6ß ) der Linie is" ( Fi^korrespondirt , derjenigen gleich ist , welcher is K ^ ,spondirt , und dafs eben so auch die Linien , welch®*und i">s" korrespondiren , einander gleich sind.

an««*(9 ) Ich bemerke , dafs die Fig . 54 in dem york 01den Falle den Durchschnitt eines regelmäfsigen D°

ders ror ; tellt.

557Um den Beweis auch für die andern Linien zu

fahren , welche nicht mit denen im Würfel korrespon-*faen, sieht man leicht ein , dafs b' s' in einer Ebenehegt, welche mit b"m" i" s" parallel läuft . Weil fernern>/s" (Fig . 6ß) : n" i" zz b' g : gs, und weil auf derefaen Seite die vorhergehenden auf der andern aberhie nachfolgenden Glieder parallel sind , so vereinigen6lch die beiden Ebenen b' sas' und i"s' as" in einerKante as ' , die mit den Linien b' s und i" s" parallelläuft . Eben so mufs man auch beweisen , dafs b' s' asünd i" s' as sich in einer Kante as vereinigen , welchemit b' s' und is" parallel läuft , und dafs die Ebenenasis" und as ' i" s" sich in der Kante as" schneiden,die mit is und i" s' parallel ist . Die drei Flächen,welche um den Winkel a liegen , sind also Rhomben.Wenn man eben diese Untersuchungen auch bei denandern Linien angestellt hat , so mufs man schliefsen,hafs die Oberfläche des Vielecks aus dreifsig gleichen undähnlichen Rhomben zusammengesetzt ist.

^ °n den Parallelepipeden , welche vom Würfelttnd Rhomboeder verschieden sind.

129. Die Symetrie der Gestalten , unter welchersich die bis jetzt betrachteten Körper uns darboten , hatUns Gelegenheit an die Hand gegeben , die Gesetze derKecreszeriz, welchen diese Körper fähig seyn können,*farch einfache Formeln auszudrücken , die den doppel-ten Vonheil haben , dafs sie die Bestimmung der se¬kundären Krystalle erleichtern , und alle ihre Eigen-