UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

Facultad de Ciencias Exactas,

Ingeniería y Agrimensura

Escuela de formación básicaDepartamento de física y química

Cátedra de física IV

Tema: Modelos de potencial

Prof.: Susana Marchisio

Alumnos: Schulze Jonathan S-4848/8

Naldini Lucas N-1069/3

Gambandé Julio César G-4866/6

Colman Ezequiel C-5968/4

Abril de

20131) Modelar un pozo de potencial infinito, un átomo; una molécula;

una estructura cristalina sin y con impurezas, el borde de un material, el efecto túnel,... (todas las posibles configuraciones depotencial que se puedan con esas simulaciones). Analizar en cada uno de los casos lo que ocurre con la E y con la

función de onda.  Explicar en cada caso lo observado, interpretándolo físicamente.2) Simular efecto de temperatura; usando la simulación de las

impurezas.

Introducción.Conocida la función de onda de Schrödinger, la forma de dicha

quedará definida por la forma de la función potencial U que seconsidere. De esta manera, para resolver problemas cuánticos de lamateria, es necesario plantear la representación de la funciónpotencial más aproximada a la situación concreta en estudio. Esdecir, se requiere trabajar con modelos de potencial representadospor la función U de la ecuación de Schrödinger. Es así como a travésde una selección adecuada de la función potencial podremos modelarel átomo, una molécula, una estructura cristalina, el borde de unmaterial, etc. En el presente informe nos introducimos en la aplicación de modelos

simples de potencial en los que se ponen en evidencia losprincipales fenómenos que se presentan en la física moderna.Este modelo de potencial es un método de análisis a partir de la

función de onda de Schrödinger.

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Resolución de la ecuación Schrödinger para unelectrón en una casilla de potencial

estacionaria.

La resolución de esta ecuación en problemas atómicos y moleculares es muy dificultosa y no tiene interpretación física real sin embargopara entender el carácter de los resultados del estudio mecánico cuántico vale la pena la resolución de la ecuación para un caso simple de para estados estacionarios.

∇2=−8π2mh2 . (E−U).

Este es el caso unidimensional, en el que un electrón puede moversesolamente en una dirección por ejemplo en el eje x.

Modelos de potencial:

Pozo infinito de un átomo.

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El pozo de potencial infinito modela el comportamiento de unelectrón que se desplaza por el átomo cuya posición exacta no puedeser predicha debido al principio de incertidumbre de Heisenberg. Enél se observa un pozo de anchura x que puede interpretarse comoradio del átomo cuyos extremos de potencial infinito son lugaresdonde el electrón no puede acceder por falta de energía. Es decir, éste está confinado entre el núcleo y el exterior del

átomo y a través de la resolución de la ecuación de Schrödinger sepueden saber los niveles permitido que pueden tener los electronespara satisfacer la ecuación de onda confinada cuyo modulo alcuadrado da como resultado la función de probabilidad de encontrarseel electrón en las distintas zonas del espacio.Nota: En las siguientes modelizaciones, debido a las limitaciones

del programa no se logra la correcta aproximación de condiciones de

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contorno de potencial infinito, por lo tanto, se puede observar queel electrón penetra levemente en zonas de potencial inalcanzable(infinito) y en cuyo caso tendría energía cinética negativa(absurdo).

Molécula.

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En el nivel de energía seleccionado (el fundamental) en este pozo de potencial muestra la distribución probabilística de loselectrones dentro de la molécula, la cual es máxima dentro del radio de cada átomo.Esto se debe a que

los electrones en este nivel no tienen la energía suficientepara atravesar la barrera de potencial y pasar al otro

En este nivel n de energía, que supera la barrera de potencial interior, los electrones puedenorbitar libremente entre los atomos de la molecula formando asi un enlace entre ellos y la máxima probabilidad espacialdel electrón esta fuera de los átomos.

Red cristalina con bordes infinitos sin impurezas.

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Se ve claramente la existencia de un gran salto energético para pasar de un nivel a otro. Por lo tanto es necesaria una gran cantidad de energía para producir el

En el nivel energético seleccionado en la figura es posible ver que la probabilidad de encontrar los electrones libres, implicando que esos electrones no tienenla energía suficiente para desanclarse del átomo.La distribución de

niveles energéticos obtenida es el

Red cristalina con bordes infinitos con impurezas

Borde de material.

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En esta red dopada se puede contemplar la acción de las impurezas que provoca la aparición de niveles energéticos intermedios lo quepermite evitar el gran salto visto en la imagen anterior de la redno dopada, necesitando fotones de menor

En este caso existe un punto enel cual la energía potencial esdiscontinua. A cada lado dedicho punto hay dos zonas (I yII) donde se debe aplicar lascondiciones de contorno de laecuación de Schrödinger.

Para el medio I

Cuya solución es

Y para el medio II

Efecto túnel.

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Para el medio I

Cuya solución es

Y para el medio II

La función que determina la probabilidad de encontrar los

electrones en el medio II es: Implicando que, por más de ser la energía potencial mayor que

la del nivel en el que se encuentra el electrón, hayprobabilidades que los electrones se encuentren en dicho medio,esto implica que dichos electrones tengan energía cinética

Debido a la existencia de una barra de potencial de un espesor suficientemente delgado donde de ambos lados a ésta existen niveles permitidos de energía, podemos observar en la gráfica que la función de onda muestra la probabilidad que los electrones atraviesen la

Simulacion del efecto de la temperatura (conimpurezas).

Es conocido que el calor es la expresión macroscópica de la vibración de las moléculas de un material, estas a su vez presentan dos tipos de vibraciones: de flexión y de tensión. Una vibración tipo flexión se caracteriza por un cambio en el ángulo entre dos enlaces. Las vibraciones de tensión suponen un cambio continuo en la distancia interatómica a lo largo del eje del enlace entre dos átomos. En estas últimas, aplicando la teoría de mecánica cuántica, se observa que el ancho de potencial que se interpreta como aquella región del espacio que corresponde a la separación entre los átomos varía en función de la distancia, permitiendo así que en determinados momentos sea posible que un electrón se "filtre" a través de esa barrera de potencial mayor debido al efecto túnel.También es correcto interpretar que la temperatura está relacionada

con la materia a partir de que a mayor energía cinética media de laspartículas constitutivas (mayor movimiento de las partículas) mayor choque entre ellas, mayor temperatura. De modo que si aumentamos la temperatura de un cuerpo, sus partículas constitutivas adquirirán mayor energía. De esta manera llegamos al hecho de que los átomos alsumergirse en el efecto de la temperatura, adquirirán mayor energía.Involucrándonos en el ejemplo del modelo de potencial de una molécula visto anteriormente, si los átomos reciben Calor, aumenta su temperatura, aumenta su energía cinética, por lo que se necesitará entregarle una menor cantidad de energía radiada para quesupere la barrera de potencial.En el siguiente link: http://picasion.com/pic68/1ca8cf78a2c67a494f54a468b339ef7c.gifse puede apreciar simulado con impureza una animación del efecto de la temperatura, donde se ve claramente la aparición posibles

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estados intermedios de acceso para los electrones, permitiendo queel material se convierta en conductor con menor energía aplicada.

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