1 VEKTOR

KULIAHMATEMATIKA TEKNIK

1. VEKTORDosenSYISKA YANA, ST., MT.

Departemen Teknik Elektro, Fakultas TeknikUniversitas Sumatera UtaraMedan, IndonesiaSemester GenapTA 2012/2013

1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

Silabus1. Vektor2. Matrik3. Bilangan komplek4. Persamaan diferensial orde 15. Persamaan diferensial orde 26. Transformasi laplace7. Deret fourier8. Transformasi fourier


Referensi Anthony Croft , “Engineering Mathematics, a foundation for electronic, electrical, communications and systems engineers, 3rd edition”,Prentice Hall, 2001

Jhon Bird, "Higher Engineering Mathematic fifth edition",Elsevier Ltd., 2006


Evaluasi Tugas 20% (pokok bahasan 1-8) Quiz 10% (2 kali) UTS 35% (1-3) UAS 35% (4-8) Penilaian PAP


1. VEKTOR1.1 Pengantar Vektor1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.3 Komponen Cartesian1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor1.5 Produk Skalar1.6 Produk Vektor1.7 Vektor n Dimensi


1.1 Pengantar Vektor Kuantitas fisik sesuatu biasanya dinyatakan dalam bentuk angka atau besar, contoh : massa sebuah batu, kecepatan sebuah kendaraan dll. Akan tetapi kuantitas fisik sesuatu tidak hanya memiliki besaran atau angka tapi juga memiliki arah, contoh : kecepatan angin 30 m/s arah utara.

Kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka atau bilangan tunggal disebut dengan skalar.

Sedangkan kuantitas fisik yang dinyatakan dalam angka dan memiliki arah disebut dengan vektor.


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Vektor : kuantitas fisik yang memiliki besar dan arah

Skalar : kuantitas fisik yang hanya memiliki besar


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Simbol vektor ditandai dengan a atau

Vektor ≠ dari A ke B sedangkan dari B ke A

Simbol a = simbol vektor Simbol |a|= simbol skalar


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.1 Vektor Negatif Vektor –a adalah vektor a dengan arah yang berlawanan, tapi memiliki besar yang sama dengan vektor a

= -a1.2.2 Dua vektor yang sama Dua vektor dikatakan sama jika memiliki besar dan arah yang sama.

Perhatikan gambar 1 (b), vektor dan adalah sama walaupun berbeda posisi9 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.3 Penjumlahan Vektor Dalam penjumlahan dua vektor berlaku hukum segitiga

Perhatikan Gambar 2, ditambah , dimana ujung diposisikan pada ujung titik B sesuai arah panah, translasi tidak mengubah arah dan besar .


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Dari Gambar 2 diperoleh :

Contoh 1 :Sebuah kendaraan otomatis di suatu perusahaan berfungsi memindahkan komponen-komponen peralatan listrik dari tempat A ke pekerja di tempat C, ilustrasi pada Gambar 3.Kendaraan ini bisa langsung menuju C, tapi bisa juga menuju C melalui titik B (displacement vektor/ pemindahan vektor), dengan panjang dari A sampai B,

cbaADCDAB


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Perpindahan dari B ke C dinyatakan dengan

Ujung dari menyentuh ujung , berlaku hukum segitiga dan diperoleh :

Dan adalah resultant dari dan

ACBCAB


1.2 Konsep Dasar Vektor dan SkalarContoh 2 : Penjumlahan dua gayaGaya F1 sebesar 2 N bergerak vertikal ke bawah dan F2 sebesar 3 N bergerak horizontal ke kanan (Gambar 4)


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Resultan F1 dan F2 diperoleh dengan translasi F1 pada ujung F2 sehingga diperoleh :

R = vektor jumlah dari F2 dan F1 dengan sudut sebesar :

Besar vektor R adalah :

RFF 21

23tan

N1332 22


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.4 Pengurangan VektorPengurangan vektor berarti penjumlahan vektor dengan vektor negatif misalnya a-b diperoleh dari a + (-b).

Contoh : Perhatikan Gambar 5


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar1.2.5 Perkalian vektor dengan skalar Diketahui k dan l adalah skalar positif a= vektor a, b = vektor b ka= vektor a dengan panjang ka dan arah yang sama

lb = vektor b dengan panjang lb dan arah yang sama


1.2 Konsep Dasar Vektor dan SkalarUntuk sembarang nilai k dan l, vektor a dan b,maka :

1.2.6 Unit Vektor Vektor yang memiliki panjang 1 satuan disebut unit vektor

Jika a memiliki panjang 3 maka unit vektor pada arah a adalah (1/3)a.

Unit vektor = â

akllak

lakaalkkbkabak


1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar Panjang a = |a|, sehinga unit vektor adalah :

Exercises 7.2

skalara1dan a

aaa


1.3 Komponen CartesianPerhatikan Gambar 7. Titik P dengan koordinat (x,y), garis OP merupakanvektor r

Panjang OP adalah |r| Jika x=I dan y=j maka :

Vektor I dan j adalah vektor orthogonal (tegak lurus θ=900 )

yjxiMPOMOPryjMPdanxiOM


1.3 Komponen Cartesian Menggunakan teorema phytagoras dapat dihitung panjang r :

Dapat juga ditulis dalam bentuk :

Contoh : Dua titik A dan B memiliki koordinat (5,4) dan (-3,2). Tentukan posisi vektor A dan B, vektor AB dan |AB|

22 yxr

barisvektoryxOPr

kolomvektoryxOPr

,


1.3 Komponen Cartesian Penyelesaian :

28

45

23

AB

abABbABaOBABOA

2323

4545

jib

jia


1.3 Komponen Cartesian Vektor nol : semua komponen vektor bernilai 0, skalar=0 dan panjang =0.

Kombinasi linier, dependence dan independenceDua vektor a dan b, dikali dengan skalar k1 dan k2 (k1a dan k2b) menghasilkan vektor baru yaitu vektor c = k1a+k2b.vektor c : kombinasi linier dari a dan bvektor c linier dengan a dan b, dapat dibuat persamaan :

Sehingga b linier dengan c dan a

akkc

kb

2

1

2

1


1.3 Komponen Cartesian Vektor a, b dan c dikatakan linier dependent (terhubung linier)

Salah satu dari vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari 2 vektor lainnya

Sekumpulan n vektor (a1,a2,…..,an) linier dependent jika :

Konstanta k1, k2,..,kn tidak bernilai nol

Jika kis=0, maka kumpulan vektor dikatakan linier independen

s=kumpulan vektor

0.....2211 nnakakak


1.3 Komponen Cartesian Contoh :

000

211

131

321

2915

3

: karenadependent linier adalah 211

13

915

321

:Vektor


1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan skalar : Suhu ruanganSuhu disebuah ruangan yang diukur pada sembarang titik P sebesar Φ. Tinggi suhu dalam ruangan tergantung pada posisi titik mengukur suhu. Jika diukur disekitar radiator maka suhu yang terukur akan lebih tinggi dari pada suhu yang diukur di sekitar jendela. Sehingga dapat dinyatakan bahwa Φ merupakan fungsi posisi Φ(x,y,z). Φ dapat juga sebagai fungsi waktu. Temperatur / suhu adalah skalar, sehingga dapat dibuat skala pada titik P (x,y,z) dalam ruangan.


1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor Contoh medan vektor : FluidaFluida pada sebuah titik akan berpindah dengan kecepatan dan arah tertentu. Elemen dari fluida adalah kecepatan v (merupakan sebuah vektor), sehingga diperoleh sebuah fungsi vektor (medan vektor) :

vx,vy dan vz merupakan fungsi skalar x,y dan z

kvjvivv

vvvv

zyx

zyx

,,


1.5 Produk Skalar (perkalian skalar) Perkalian skalar dari vektor a dan b :

Exercises 7.5


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Hasil perkalian vektor a dan b adalah :

Aturan perkalian vektor :

Contoh : a. Jika :

runit vektoˆˆsin eebaba

skalar :k fdistributi

komutatifak tid

kbabkabakcabacba

abbaabba

kbabajbabaibababakbjbibbkajaiaa

122113312332

321321

:buktikan dan


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)b. Jika :Penyelesaian :a.

Syarat :

bakjibkjia an tentuk,23dan 32

kkbajkbaikba

kjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkakbjbibjakbjbibia

kbjbibkajaiaba

332313

322212312111

321332123211

321321

jkiijkkijjikikjkji

kkjjii

0

kbabajbabaibababa 122113312332


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)b.

kjikji

kkjkikkjjjijkijiii

kjikkjijkjiikjikjiba

75349261

132333112131122232

2332323223 32


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor) Penyelesaian menggunakan determinanVektor a dan b dituliskan dalam bentuk matrik :

Untuk memperoleh komponen i maka :

321

321

bbbaaakji

2332

321

321baba

bbbaaakji


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)komponen j :

komponen k :

1331

321

321baba

bbbaaakji

1221

321

321baba

bbbaaakji


1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)Contoh : Tentukan perkalian vektor dari :Penyelesaian :

Exercises 7.6

kjibkjia 2dan 732

kjikji

kji

kjiba

5113472143

132217122713121732


1.7 Vektor n Dimensi Vektor yang sering dibahas adalah vektor 2 dimensi dan 3 dimensi. Vektor n dimensi yaitu vektor >3 dimensi.

Contoh : vektor 4 dimensi

Contoh : vektor arus mesh

1301

dan

4213

ba

4

3

2

1

4321 :vektor ,

IIII

IIIII


1 VEKTOR

Documents

Transcript of 1 VEKTOR