Álgebra Linear

2ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dadas

1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 - 2A= 2 1 -3 B= 2 1 1 1 C= 3 -2 -1 -1

4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

Mostre que AB = AC.

AB=-3 -3 0 1

AC=-3 -3 0 1

1 15 0 -5 1 15 0 -5-3 15 0 -5 -3 15 0 -5

2. Explique por que, em geral, e Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade naoperação de multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicaçãonos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis, temos(a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Namultiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo nocaso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não serzero.

3. Dadas2 -3 -5 -1 3 5 2 -2 -4

A= -1 4 5 B= 1 -3 -5 C= -1 3 41 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3

a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.

AB=

00 0

BA=

0 0

0

AC=

2 -3 -5

CA=2 -2

-4

0 0 0 0 0 0 -1 4 5 -1 3 4

0 0 0 0 0 0 1 -3 -4 1 -2 -3

b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B)e (A + B)2 = A2 + B2.Solução. i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0.ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2.iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.

Repara que AB =AC não implica

3 -2-4 3A=4. Se , ache B tal que B2 = A.

Solução. A matriz B é da forma:

B= ab

B2 =

ab x

ab =

a2+ bc ab +bd

c d c d c dac +cd bc + d2

Igualando os termos com a matriz A, temos:

a2 + bc = 3 (*)bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.

Observamos ainda que:ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd = -2 ou bd = -1 implicandoque b = (-1/d)ac + cd = -4 Substituindo a = d, temos 2cd = -4ou cd = -2 implicandoque c = 2b.Substituindo em (*), temos: d2 + b(2b) = 3 ou d2 + 2b2 = 3 ou ainda, d2

+ 2(1/d2) = 3. Multiplicando todos os termos por d2, temos:d4 + 2 = 3d2. Substituindo o termo d2 = y, temos a solução de umaequação biquadrada.y2 – 3y + 2 = 0, onde pela fatoração temos y = 1 ou y = 2. Ou seja, d =+ ou d = + 1.

Possíveis matrizes:i) Se d = + , a = , b = -1/ e c = -2/

B=

-1/

-2/

ii) Se d = - , a = - , b = 1/ e c = 2/

B= - 1/2/ -

iii) Se d = -1, a = -1, b = -1/-1 e c = -2/-1

B= -1 12 -1

iv) Se d = 1, a = 1, b = -1/1 e c = -2/1

Verificando a condição de a = - d, que se ab + bd = -2 isso implicaria que –db + db = 0 = -2. Impossível.

B= 1 -1-2 1

04. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botõesgrandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pelatabela:

    Camisa A Camisa B Camisa C

Botões p 3 1 3

Botões G 6 5 5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:

    Maio JunhoCamisa A 100 50Camisa B 50 100Camisa C 50 50

  Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.   SOLUÇÃO: O problema se resume na multiplicação das matrizes:

X =

  Maio JunhoBotões p 500 400Botões G 1100 1050

  05. Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i .Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23

da matriz C.

Cada elemento é calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:

3 1 3

6 5 5

100 50

50 100

50 50

500 4001100

1050

1 2 3

2 4 6

3 6 9

4 8 12

1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12

A X B= X

SOLUÇÃO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84.

6. Sejam

A= 1 2 3 B= -2 0 1C=

-1D=2 -1 1 3 0 1 2 2 -1

4

a)

A+B= -1 2 45 -1 2

b)

AC= 150

c)

BC= 61

d)

CD=-2 14 -28 -4

e)

DA= 0 5 5

f)

DB= -7 0 1

Não é necessárioencontrar todos osresultados. Bastaprocurar o elemento c23

da matriz C que écalculado pela operação

Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a

Processo de multiplicar linha deA pela coluna de C. Repare que

Processo de multiplicar linha deB pela coluna de C. Repare que

Processo de multiplicar linha deC pela coluna de D. Repare que

Processo de multiplicar linha deD pela coluna de A. Repare que

Processo de multiplicar linha deD pela coluna de B. Repare que

2 x2 2 2x-12x-1 0 x2 0=

g)h)

3A= 3 6 9 - D= -2 16 -3 3

i)

D(2A+3B)= 2 -1 2 4 6 -6 0 3

4 -2 2 + 9 0 3

= - 2110 13

7. Seja A= 2 x2 . Se A = At encontre o valor de x. 2x-1 0

Solução. Se A = At (matriz transposta), então:

Duas matrizes são iguais, se cada elemento de Aij é igual a cada elemento deAt

ij. Logo, basta resolver a equação x2 = 2x – 1. Utilizando a fatoração,temos: x2 -2x +1 = 0 pode ser escrito como (x-1)2 = 0. A solução é a raizdupla x=1.

8. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torneverdadeira.

a) (-A)t = - (At). Verdadeira. Basta observar que a matriz está somentemultiplicada por (-1).

b) (A+B)t = Bt + At. Verdadeira. Observe que vale At + Bt, pois a adiçãoentre matrizes é comutativa.

c) (-A)(-B) = - (AB) Falso. Mesmo considerando as possibilidades de oproduto existir, isto é, número de linhas de A ser igual ao número de colunasde B, o resultado do produto indicado é positivo: (AB).

EXEMPLO.

1 2 3 -2 0 1

Basta multiplicar cada elemento pelo número quemultiplica a matriz. Nos

Aplicação da multiplicação de matriz por número e depois produtos

A= 2 -1 1 B= 3 0 15 8 2 4 2 1

-1 -2 -3 2 0 -1- A= -2 1 -1 - B= -3 0 -1

-5 -8 -2 -4 -2 -1

(- A)(-B)=

16 6 6(AB)=

16 6 6 -(AB)=

-16 -6 -6-3 2 2 -3 2 2 3 -2 -222 4 15 22 4 15 -22 -4 -15

d) Se A e B = AT são matrizes quadradas, então AB = BA. Falso. Matrizestranspostas podem comutar sob certas condições, mas não são todas. Veja oexemplo.

1 2 3 1 2 5A= 2 -1 1 B = At= 2 -1 8

5 8 2 3 1 2

(AB)14 3 27

(BA)30 40 15

3 6 4 40 69 2127 4 93 15 21 14

e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.Verdadeiro. Observe que pela condição da existência do produto (número delinhas da primeira matriz ser igual ao número de colunas da segunda matriz),sendo as matrizes iguais, não poderia haver matriz onde seu número de linhasfosse diferente do de colunas.

Observe que para havercomutatividade entre asmatrizes transpostas énecessário que sejamquadradas, mas não ésuficiente. Caso sejam

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Dadas as matrizes e Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

2) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes A e B.

e

3) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes A e B sejam iguais

e

4) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.

5) Verifique se a matriz A é oposta à matriz B.

e

6) Seja e

calcule o valor de k.

7) Seja e

existe k tal que P = kN?

Justifique a sua resposta.

8) Sendo , e

Resolva as equações matriciais abaixo, determinando o valor da matriz X.a) X + A = 2B – C.b) X – C = 2A + 3B.c) X + 2B = 3A – C.

9) Sendo e

a) Calcule AB b) Calcule BA c) Calcule A2

d) Calcule B2

10) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:

a) b)

11) Seja dada a equação matricial:

.a) Identifique o tipo da matriz X.b) Determine a matriz X.

12) Determine o produto da matriz pela matriz transposta em cada um dos itensabaixo.

a) b)

13) Determine as inversas das matrizes:

a) b) c)

d)

14) Dadas as matrizes:

; e a) Se for possível, atribua valores numéricos para a e para b da matriz B

para que A-1 = B. Justifique sua resposta.b) Se for possível, atribua valores numéricos para b e para d da matriz C

para que A-1 = C. Justifique sua resposta.

15) Dadas as matrizes: e determine amatriz X tal que X = A-1.B.

16) Verifique se existe o valor numérico para m da matriz ,

para que ela seja a matriz inversa de . Justifique suaresposta.

Resoluções dos exercícios propostos1) y =3, x = 7 ou x = -7.2) x = 1/3.3) x = -1, y = 2 e z = 1.4)

5) e

A matriz A é oposta à B e a matriz Bé oposta à A6) k = 37) Não existe k nas condições pedidas,pois 10 = 2k, logo k = 5, substituindo

verificamos que

8) a)

b)

c)

9) a)

12) a)

b)

13) a) b)

c)

d)

14) a) a = e b =

b) Não podemos determinar b e d.

15)

16) m = 8, logo, não existe valor de mna matriz M tal que ele seja a inversa

b)

c)

d)

10) a) x = -3, y = 2 e z = 1.

b) x = - , y = -1 e z = 31.

11) a) X é uma matriz quadrada de 2ª ordem.

b)

de N.