KELAS XII IPA

MASuK

HELMAHERI, MPd SMAN 1 BENAI

Gerakan dan arah

Gerakan Tanpa Arah

Kecepatan dan arah pesawat terbang

BAB IV. V E K T O R

3

4aaOA

Vektor di R2 dalam bentuk kolom :

a

O X

YA. Menggambar titik, vektor dan notasinya.

A(4,3)

Coba tentukan sembarang titik pada R2

di ke - empat kuadran, namakan vektorposisinya dan nyatakan dalam bentukvektor kolom.

Titik A(4,3), dengan vektor posisi =

Panjang (besar) vektor a = 52534 22 aOA

Jika titik P(x,y) maka vektor posisi titik P adalah

y

xppOP

dan panjang (besar) 22 yxpOPOP

Vektor di R3

i. Gambar titik A(3,4,12)

Z

Y

X

a =

12

4

3

ji

k

a = 3i + 4j + 12k

131691441691243 222 a

34

12

a

Dalam bentuk satuan i, j, k(amati gambar bawah)

Panjang (besar) a adalah :

A(3,4,12)

ii. Gambar titik B(-2,3,-6)

z

Y

X

b

B(-2,3,-6)

- 23

O

- 6

6

3

2

bOB

7)6(3)2( 222 b

b = - 2i + 3j – 6k

Coba gambarlah titik-titik :a. C(3,-4,7)b. D(2,-1,-5)c. E(-3,-6,-4)Nyatakan vektor posisi titik-titik itu dalam bentuk vektorkolom maupun dalam i, j, kserta hitung besarnya !

B. Operasi vektor

2

3a

2

1b

1. Penjumlahan

a

b b b

b a+

dan

4

2

2

1

2

3ba

2. Pengurangan

a

b

b

- b

a-b

Kurangkan vektor a dan b contoh di atas !

a – b = a + (- b)

OBABOA

A

B

o

a

b

OAOBAB

abAB

Contoh :

Diketahui titik A(-3,2,4) dan B(2,-1,6)

Tentukan vektor a, b dan AB dalam

bentuk kolom dan i, j, k

Penyelesaian :

4

2

3

OAa

6

1

2

OBb

= - 3i + 2j + 4k

= 2i - j + 6k

kjiabAB 235

2

3

5

4

2

3

6

1

2

Buat contoh sendiri

3. Perkalian bilangan real dengan vektor.

2

4a

6

123a

3

1

2

u

a

3a

Jika maka

Jika maka

6

2

4

2u

4. Pembagian vektor.

a. Pembagian ruas garis

A

B

P

Titik P membagi garis AB dengan perbandingan 3 : 2

C D Q

Titik Q membagi garis CD dengan perbandingan 7 : - 3

7

- 3

3

2

Vektor 3a ?

b. Pembagian vektor.

Titik P membagi vektor AB dengan perbandingan m : n

A

B

O

P

m

n

a

b

Vektor posisi titik P yaitu p dinyatakan dalam a dan b adalah :

p

Isilah titik-titik berikut ini :

nmPBAP ::

...:...:... mpp

np

p ...

...

...

...)...()(... ban

pmpn ......

...... bmpn

......)( bmpm

Jadi......

......

p bm an

m n

Contoh :

nm

anbmp

baab

p 53

52

23

23

1. Jika titik P membagi vektor AB dengan perbandingan 3 : 2 maka nyatakan vektor posisi titik P dalam vektor posisi titik A dan titik B !Jawab :

m : n = 3 : 2 m = 3 dan n = 2

2. Diketahui titik A(4,-6,2) dan B(- 3,1,2). Titik P membagi garis AB dengan perbandingan 4 : 3. Tentukan koodinat titik P !

2

2

0

7

14

14

0

7

6

18

12

8

4

12

34

2

6

4

3

2

1

3

4

34

34 abp

Jadi koordinat titik P adalah (0,-2,2)

5. Perkalian skalar dari vektor

cosbaba

a. Pengertian perkalian skalar

a

b

Yang dinmaksud dengan perkalian skalardari vektor a dan b, ditulis dengan notasi :

Contoh :1.

4

3

60o

a

b

6.1260cos.3.4cos 21 obaba

2. Jika /a/ = 6 dan (a,b) = 30o serta a o b = 12V3 maka tentukan /b/ !

Jawab : a o b = 12V3 /a/./b/.cos 30o = 12V3

6 . /b/ . ½ V3 = 12V3

3V3 . /b/ = 12V3

/b/ = 4

3. Jika /a/ = 3, /b/ = 4 dan a o b = - 6V2 maka tentukan sudut antara a dan b [<(a , b)]

Jawab : a o b = - 6V2

/a/ . /b/ . cos < (a , b) = - 6V2

3 . 4 . cos < (a , b) = - 6V2

12 . cos < (a , b) = - 6V2

cos < (a , b) = (- 6V2)/12

= - ½ V2

< (a , b) = 135o

Jadi sudut antara vektor a dan vektor b adalah 135o

b. Perkalian skalar dari vektor yang diketahui komponennya.

cos2222

OBOAOBOAAB

babaab 2)(222

Jika a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k maka a o b = ….

A

B

o

babbbaaa

ab

ab

ab

.2

)(

)(

)(2

32

22

12

32

22

1

2

33

22

11

(b1-a1)2+(b2-a2)2+(b3-a3)2 = a12+a2

2+a32+b1

2+b22+b3

2 – 2 . a o b

b12 - 2b1a1 + a1

2+b22 – 2b1a2+a2

2+b3 2 – 2b3a3+a3

2 = a12+a2

2+a32+b1

2+b22+b3

2 – 2 . a o b

- 2b1a1 – 2b1a2

– 2b3a3 = – 2 . a o b

- 2 . (b1a1 + b1a2 + b3a3 ) = – 2 . a o b

a o b = b1a1 + b2a2 + b3a3

a o b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Contoh.

2

3

mv AB

4

6

2

2

2

1

2

4

3

abABu

1. Diketahui a = 2i +3j - 4k dan b = i – 2j – 5k

Hitunglah a o b !

Jawab :

a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4 dan b1 = 1, b2 = -2, b3 = -5

a o b = a1b1 + a2b2 + a3b3

= 2.1 + 3.(-2) + (-4).(-5)

= 2 - 6 + 20

= 16

2. Titik A(1,-2,2) dan B(3,4,-2) serta Jika u merupakan wakil dari

dan u o v = 2 maka hitung nilai m !

Penyelesaian :

2

3

4

6

2

mvu

2 = 6 + 6m + 8 6m = -12

m = - 2

c. Sudut antara dua vektor

ba

bababa

.coscos..

1

2

3

,

2

3

1

bdana

ba

ba

.cos

Dari

Contoh :

1. Diketahui

Hitunglah besar sudut antara a dan b !

Jawab :

2

1

14

7

14.14

263

)1(23.231

1

2

3

2

3

1

cos222222

060

2. Jika a = ti +tj – 3k dan b = -2i + tj +k dan a tegak lurus b maka tertukan nilai t

Penyelesaian :

Karena a ! b berarti cos 90o = 0 sehingga a o b = 0

t . -2 + t . t + -3 . 1 = 0

t2 – 2t -3 = 0

(t + 1)(t – 3) = 0

t = -1 atau t = 3

3. Suatu segitiga PQR dengan P(4,4,1), Q(2,2,1) dan R(2,0,5) Hitung besar sudut-sudut dalam segitiga itu.

P(4,4,1)

Q(2,2,1)

R(2,0,5)

2212

12

8.36

084

044.16164

0

2

2

4

4

2

.cos 2

1

PQPR

PQPRP

Besar sudut P adalah 450

Coba hitunglah besar

sudut Q dan sudut R !!

d. Sifat-sifat perkalian skalar dari vektor

a. Jika a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k dan c = c1i + c2j + c3k

maka a o b = a1b1 + a2b2 + a3b3

b o a = b1a1 + b2a2 + b3 a3

= a1b1 + a2b2 + a3b3 = a o b

Jadi a o b = b o a (bersifat komutatip)

b. b + c = (b1 + c1)i + (b2 + c2)j + (b3 + c3)k

a o (b + c) = a1 (b1+c1) +a2 (b2+c2) +a3 (b3+ c3)

= a1 b1 + a1c1 + a2 b2 + a2 c2 + a3 b3 + a3 c3

a o c = a1 c1 + a2 c2 + a3 c3

a o b + a o c = a1b1+ a2b2 + a3b3 + a1c1+ a2c2 + a3c3

a o (b + c) = a o b + a o c (bersifat distributip thd penjumlahan)

c. (a o b) o c = (a1b1+ a2b2 + a3b3) o c = bil. skalar o vektor = tidak didefinisikan

a o (b o c) = a o (b1c1 + b2c2 + b3c3 ) = vektor o bil. skalar = tidak didefinisikan

(tidak bersifat asosiatip)

Coba dengan contoh

perhitungan vektor

sama

Contoh :

1. Diketahui : Panjang vektor a = 4, panjang vektor b = 3 dan sudut antara a dan b adalah 60o. Hitunglah a o (a + b) !

Penyelesaian : a o a + a o b = /a/./a/.cos < (a , a) + /a/. /b/. cos < (a , b)

= 4 . 4. cos oo + 4 . 3 . cos 60o

= 16 . 1 + 12 . ½

= 16 + 6

= 22

2. Diketahui :

x

dancba 4

0

3

2

1

,

1

1

1

Jika a o (b + c) = a o a maka hitunglah nila x !

Penyelesaian : a o (b + c) = a o a a o b + a o c = /a/ 2

1 - 2 + 3 + 0 - 4 + x = 3

x = 5

D. Proyeksi vektor

OP

OA

OPOPAPandang cos:

1. Panjang proyeksi (proyeksi skalar orthogonal)

b

a

Panjang proyeksi (proyeksi skalar) dari

vektor a pada vektor b adalah

LO P

A

a

p

OA

OP

ba

ba

.

b

bap

Contoh :

Jika a = 4i – 5j + 6k dan b = 2i + j - 2k maka hitung proyeksi skalar a pada b !

33

9

9

1258

)2(12

)2.(61).5(2.4222

b

bap

Jadi panjang proyeksi a pada b adalah /-3/ = 3

Coba buat contoh sendiri !

( Mengapa harga mutlak ? )

Tentukan proyeksi skalar

b pada a

p

b

p

b

p

b

p

2. Vektor proyeksi (proyeksi vektor orthogonal)

b

a

Vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b

adalah

LO P

A

b

bap

Contoh :

Jika a = 4i – 5j + 3k dan b = i - j + 2k maka hitung proyeksi vektor a pada b !

52

1

1

.6

15

2

1

1

.)6(

654

2

1

1

.)2)1(1(

2.3)1).(5(1.4. 6

15

615

222222 bb

bap

Jadi vektor proyeksi a pada b adalah 5/2i – 5/2j + 5k

Kemudian buat contoh sendiri !

bb

bab

b

b

ba

bb

pp ...

2

sebab

p

( Coba cari vektor proyeksi b pada a )

Asyiiii ..k

Latihan :

Diketahui vektor a = 6x i + 2x j – 8k, b = - 4 i + 8 j + 10 k dan c = - 2i + 3j – 5k

Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = ….

a. – 58 i – 20 j – 3 k d. – 62 i – 23 j – 3 k

b. – 58 i – 23 j – 3 k e. 62 i – 23 j – 3 k

c. – 62 i – 20 j – 3 k

Ulangan Harian

1. Diketahui titik-titik A(2,-1,4), B(1,0,3) dan C(2,0,3). Tentukan kosinus sudut antara

BCdanAC

2. Diketahui segitiga PQR dengan P(4,-1,2), Q(1,3,-2) dan R(1,4,6). Tentukan koor-

dinat titik berat segitiga PQR

5. Diketahui a = i +2j + 3k dan b = 2i - 3j + 6k.

Tentukan : a. Proyeksi skalar a pada b

b. Vektor proyeksi b pada a

3. Tentukan vektor satuan searah vektor 2i – j – 2k

4. Jika /a/ = 2 dan /b/ = 3 dan sudut antara a dan b adalah 600 maka hitunglah :

a). a . (a + b)

b). b . (a – b)