TURUNAN EDITAN

Click here to load reader

  • date post

    05-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    313
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of TURUNAN EDITAN

DEFINISI TURUNAN Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lambang f ( dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah :

f(c)

asalkan limit ini ada dan bukan

atau

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensiasikan di

c. pencarian turunan disebut diferensiasi.

Teorema Jika f(c) ada, maka f continue di c. Bukti : Misalkan f( c )= ada, akan dibuktikan

Perhatikan bahwa f(x)=f(c)+

. x-c , xc

+ f ( c ) + f ( c ) . ( c-c )

ATURAN MENCARI TURUNAN Teorema A

Jika f(x) = 0 , dengan k suatu konstanta, maka f (x) = 0,untuk setiap x. Bukti : f(x)=

= = = =0 Teorema B

Jika f(x) x, maka f(x) = 1. Bukti : f(x)= = = = =1

Teorema C Jika f(x) = k . f(x), maka f(x) = k . f(x) f(x + h) = k.f(x + h) Bukti : f(x)= = = = = k.f(x)

Teorema D Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdefinisikan, maka (f + g) (x)=f(x) g(x) Bukti : Misalkan f(x) = f(x) g(x)

f(x)= = = = = = = f(x) g(x)

Teorema E , dengan n bilangan bulat positif, maka f(x) = .

Jika f(x) = Bukti :

f(x)= = = = = =

ATURAN PERKALIANJika u dan v dalah fungsi yang dapat diturunkan, maka hasil kali u.v juga dapat diturunkan. Misalkan f(x) = u(x) . v(x) , maka f(x) = u(x) . v(x) + v(x) . u(x) Bukti : u(x) =

f(x)

= u(x) . v(x)

f(x+h) = u(x + h) . v(x + h)

f(x) = = = = = f(x) f(x)=

=

=

substitusikan h = 0 ke persamaan limit f(x)= = = = = =

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI1) Jika f(x) = sin x, maka f(x) = cos x Bukti : f(x) = sin x f(x+h) = sin (x + h) = sin x cos h + cos x sin h f(x) =

f(x) = f(x) = = = f(x) = substitusikan h = 0 ke persamaan limit, sehingga : f(x) =sin x.0 + cos x.1 f(x) =cos x 2) Jika f(x) = cos x, maka f(x) = -sin x Bukti : f(x) =cos x f(x+h) =cos (x + h) =cos x . cos h sin x . cos h f(x) = f(x) = f(x) = = = = Substitusikan h = 0 ke persamaan limit, sehingga : f(x) =cos x . 0 sin x . 1 f(x) =sin x 3) Jika f(x) = tan x, maka f(x) = Bukti : f(x) =tan x = f(x) =

= = = =

4) Jika f(x) = sec x, maka f(x) = sec x . tan x Bukti : f(x) =sec x = f(x) = = = = =tan x . sec x =sec x . tan x

5) Jika f(x) = cosec x, maka f(x) = -cosec x . cot x Bukti : f(x) = cosec x = f(x) = = = = =-cot x . cosec x =-cosec x . cot x

ATURAN RANTAIJika y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u = g(x), adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, ditulis y = f[ g(x) ], berlaku :

ATURAN PEMANGKATANd[in f(x) ] . d[ f(x) ] = n . [ Bukti : Misalkan z In z In z = =in =n . in f(x)

d(in z) =d[ n . in f(x) ] . dz d d in f(x) = e log =2,718 =n . log p = =n . z . = =

Cara lain dengan logaritma : d( in z ) =

Jika : z In z In z =u . v = in u . v =in u + in v

d(in z) =d ( in v + in u )

. dz

= =

=z =u . v . =u v + v u

ATURAN PEMBAGIANJika u dan v adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka pembagian Juga dapat diturunkan. Misal : f(x) = f(x) = maka

Bukti : Misal z =

In z = In z =f(x) . in a d(in z)=d[ f(x) . in a ] d(in z)=in a . d[ f(x) ] . dz d( =in a . d[ f(x )] =z . in a . d[ f(x) ] = .in a . d[ f(x) ]