Tugas Filsafat Kalkulus Final

40
SEJARAH KALKULUS FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA Oleh: IKHSAN MAGRIBI 0907504 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH PASCA SARJANA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009

Transcript of Tugas Filsafat Kalkulus Final

Page 1: Tugas Filsafat Kalkulus Final

SEJARAH KALKULUS

FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA

Oleh:

IKHSAN MAGRIBI 0907504

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH PASCA SARJANA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2009

Page 2: Tugas Filsafat Kalkulus Final

I. Definisi Kalkulus

Kalkulus mengkaji bagaimana sesuatu berubah, oleh karena itu kalkulus

sering disebut juga dengan “matematika perubahan”, yaitu cabang matematika

yang memfokuskan perhatian pada perubahan variabel yang diakibatkan oleh

perubahan variabel lainnya yang berkaitan. Berikut akan diuraikan tentang

pengertian kalkulus menurut beberapa sumber.

1. Definisi kalkulus menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah :

1) Proses pengerasan yang tidak normal pada tubuh, seperti batu ginjal.

2) metode menghitung dengan memakai lambang-lambang angka

khusus.

3) Endapan tidak normal garam-garam mineral dalam tubuh.

2. Pengertian kalkulus menurut arti kata dalam kamus Inggris- Indonesia John

N. Echols & Hasan Shadily mendefinisikan bahwa kalkulus adalah

hitungan

3. Kalkulus dalam bahasa Latin adalah calculus, artinya "batu kecil" untuk

menghitung adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,

integral, dan deret takterhingga.

4. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah

ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk

memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang

luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik serta dapat

memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar

elementer.

(Wikipedia)

5. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus

integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran

kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang

lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum

dinamakan analisis matematika.

Page 3: Tugas Filsafat Kalkulus Final

(Wikipedia)

6. Branch of mathematics divided into parts, differential and integral, that

deals with variabel quantities, used to solve many mathematical problem.

Kalkulus adalah cabang dari matematika yang dibagi dalam dua bagian

yaitu diferensial dan integral yang membahas kuantitas peubah yang

digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika.

(Oxford Learner’s Dictionary)

7. Calculus is a word used to describe a system of rules of reasoning that is

used for doing a certain type of calculation. There are different types of

calculus but the one that is ussualy meant when the word is used by itself is

the infinitesimal calculus.

(The Oxford Mathematics Studi Dictionary, Second Edition)

8. Calculus is the field of mathematics which deals with differentation and

integration of function an related concepts and aplication.

Bagian dari matematika yang membahas diferensial dan integrasi fungsi-

fungsi dan konsep-konsep yang berhubungan dengan aplikasi.

(Math Dictionary 4th edition. James / James)

9. Hasil perjuangan intelektual yang dramatic yang berlangsung selama dua

ribu lima ratus tahun.

Richard Courant

Sehingga didapat bahwa pengertian kalkulus secara umum adalah :

10. Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting

dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan

yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian,

kedokteran, perekonomian, dan sebagainya.

Page 4: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Eudoxus

Melanjutkan metode Exhautions

Euclid

Melanjutkan metode Exhautions

antiphon

Zeno

450 SMParadoks Zeno

Archimedes

287 SM – 217 SMmetode Exhautionsdan non Exhautions

TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN KALKULUS

ZAMAN KUNO

408 SM – 335 SM

ZAMAN PERTENGAHAN

Kalkulus pada zaman pertengahan tidak mengalami perkembangan yang signifikan dan cenderung stagnan.

Antiphon

430 SM Metode Exhautions

Page 5: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Keppler

1600an

Hukum Keppler

Luca Cavalireo

1552 – 1618

Penentuan luas daerah

Cavalieri

Fermat

1601 – 1665

Luas daerah yang dibatasi suatu kurva

Wallis

1616 – 1703

Aljabar Integral

Newton

1642 - 1727

Leibniz

1646 – 1716 Pengembang kalkulusNotasi-notasi kalkulus

Isac Burrow

1630 – 1677Metode garis singgung

Joseph Fourier

ZAMAN MODERN

1598 – 1647

Metode Indivisible

Pengembang kalkulus

Page 6: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Gauss

1777 – 1855Pengembang aplikasi

integral dalam matematika dan fisika

Cauchy

1789 - 1857

Fungsi dan limit fungsi

Riemenn

1826 – 1866

Integral Riemann

Lebesque

Integral lebesque

Hermite

1822 – 1901

Pengembang kalkulus integral

Otrowski

Integral Otrowski

II. Kalkulus dan Perkembangannya

Sejarah perkembangan kalkulus bisa diamati pada beberapa periode zaman,

yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Perkembangan

kalkulus integral mendahului perkembangan kalkulus diferensial. Kalkulus

diferensial muncul sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan penentuan garis singgung pada suatu kurva dan penentuan nilai

maksimum dan minimum suatu fungsi. Sedangkan kalkulus integral muncul

Page 7: Tugas Filsafat Kalkulus Final

sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penentuan

luas suatu daerah, volume dan panjang busur.

a. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Kuno

Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus

integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan

sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari

kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (1800

SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari piramid terpancung.

Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan

heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan

kalkulus pada zaman kuno. Beberapa matematikawan Yunani yang dikenal

mengembangkan metode penemuan luas daerah yang menjadi dasar

penemuan kalkulus integral adalah Anthipon, Eudoxus, Euclid, dan

Archimedes.

1. Anthipon (430 SM)

Adalah orang yang pertama kali memperkenalkan “metode

exhaustions”, yaitu penggunaan poligon sederhana yang telah diketahui

luasnya, yang kemudian digunakan untuk mengaproksimasi luas

daerah yang lebih kompleks. Namun, Anthipon tidak merumuskan

metode ini secara tegas. Metode exhaustions ini secara lebih jelas dan

logis dilakukan dan dikembangkan oleh Eudoxus .

Page 8: Tugas Filsafat Kalkulus Final

AB

O

C

2. Eudoxus (408 SM-335 SM).

Berikut contoh penerapan metode exhaustions oleh Eudoxus.

Berdasarkan gambar-1 menurut Eudoxus bahwa luas segi enam itu

mendekati luas lingkaran. Karena luas segi enam itu dapat ditentukan

maka luas lingkaran dapat ditentukan pula. Jika pada lingkaran dibuat

segi-n beraturan, dengan n adalah bilangan yang sangat besar maka luas

segi n tersebut akan semakin mendekati luas lingkaran. Dalam hal ini

sebenarnya Eudoxus telah menggunakan suatu konsep yang saat ini kita

kenal sebagai limit.

3. Euclid

Metode exhaustions juga kemudian dikembangkan oleh Euclid

sebagaimana tertuang dalam bukunya yang berjudul The Elements.

Misalnya, proposisi 2 yang terdapat dalam buku 12 Euclid menyatakan

bahwa luas lingkaran proporsional atau sebanding dengan kuadrat

diameternya. Apa yang dikemukakan Euclid tersebut sekarang

Gambar-1

Page 9: Tugas Filsafat Kalkulus Final

A

C

P

B

Q

dituliskan dalam persamaan , tetapi para matematikawan

Yunani saat itu tidak menggunakan persamaan aljabar yang Euclid

kemukakan.

4. Archimedes (287 SM-217 SM)

Adalah matematikawan besar dan termasuk fisikawan besar pada

zaman tersebut, ia menggunakan metode exhaustions dan non

exhaustions secara lebih umum. Archimedes mengilustrasikan dengan

menggunakan orthotome atau disebut juga section of right cone

(gambar-2).

Archimedes mengkonstruksi suatu barisan takhingga yang dimulai dari

satu luas segitiga ABC yaitu .

Archimedes menyatakan bahwa jumlah deret tersebut sama dengan

. Ini adalah contoh pertama yang diketahui dalam sejarah terkait

dengan penjumlahan deret takhingga. Hal ini mengindikasikan

Gambar-2

Page 10: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Archimedes telah menggunakan konsep yang saat ini dikenal sebagai

kekonvergenan deret.

Berdasarkan uraian diatas bahwa metode exhaustions merupakan ide

yang kreatif yang mendasari perkembangan kalkulus integral modern.

Namun demikian, tanpa menggunakan konsep ketakhinggaan atau

limit, yang tidak dimiliki oleh para matematikawan tersebut akan

sangat sulit bagi mereka untuk membuat metode exhaustions berlaku

secara ketat dan umum.

5. Zeno (490 SM - 420 SM).

Sebagaimana yang telah dikemukakan di atas, konsep ketakhinggaan

dan limit menjadi demikian penting untuk mengembangkan metode

exhaustions dalam penemuan luas suatu daerah. Salah satu filsuf

Yunani yang pertama kali mengemukakan konsep ketakhinggaan

adalah Zeno menurunkan paradox yang tidak dapat dijelaskan atau

diselesaikan pada saat itu (Anglin, 1994). Paradox tersebut adalah

misalkan seseorang akan berjalan menuju dinding yang berjarak 2

meter dari tempatnya berdiri. Sebelum orang tersebut mencapai

dinding, ia harus mencapai pertengahannya terlebih dahulu yang

berjarak 1 meter dari tempatnya berdiri. Untuk mencapai jarak 1 meter,

ia juga harus terlebih dahulu mencapai jarak setengahnya pula, yang

berjarak meter. Sebelum mencapai jarak tersebut ia pun harus terlebih

Page 11: Tugas Filsafat Kalkulus Final

dahulu mencapai setengah jarak itu yaitu meter, demikian seterusnya.

Jadi, seseorang harus melakukan proses sebanyak takhingga langkah

untuk mencapai dinding tersebut, sehingga orang tersebut tidak akan

pernah mencapai dinding itu. Dengan kata lain pergerakan atau

perpindahan adalah sesuatu yang tidak mungkin terjadi. Jelas bahwa

pandangan ini salah, karena kita dapat bergerak mencapai suatu tempat

dengan jarak tertentu yang kita kehendaki. Kekeliruan itu baru dapat

dijelaskan setelah dikenal konsep kekonvergenan suatu barisan atau

deret. Jarak yang ditempuh orang itu untuk mencapai dinding dapat

dituliskan sebagai . Jumlah deret itu adalah

, yang sama dengan jarak orang tersebut ke dinding.

b. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Pertengahan

Pada zaman ini ilmu pengetahuan tidak ada suatu perkembangan yang

berarti. Perkembangan kalkulus pada zaman ini tidak ada perkembangan

yang berarti sampai abad ke-16 saat para matematikawan tertarik dalam

penyelesaian masalah, seperti penentuan pusat gravitasi.

c. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Modern

Page 12: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan

kalkulus pada zaman modern.

1. Luca Valerio (1552-1618)

Mempublikasikan Dequadratura parabola di Roma pada tahun 1606

yang membahas tentang penentuan luas daerah. Kepler, dalam

karyanya yang terkait dengan pergerakan planet, telah menemukan cara

penentuan luas elips. Karya lain tentang integral oleh Galileo Galilei

(1564-1642) yang menunjukan bahwa luas yang dibatasi oleh kurva

kecepatan-waktu adalah sama dengan jarak tempuh.

Kontribusi berarti terhadap perkembangan integral pada abad ke-16

diberikan oleh matematikawan Cavalieri, Fermat, dan Wallis. Berikut

akan diuraikan penemuan-penemuan mereka.

2. Bonaventura Cavalieri (1598-1647)

Bonaventura Cavalieri adalah seorang matematikawan Italia yang

mengadopsi ide Keppler dan Galileo. Ia mengemukakan konsep

“indivisbles” yang menyatakan bahwa jika dua bangun geometri

mempunyai tinggi sama, maka luas masing-masing bangun tersebut

akan sebanding dengan panjang alasnya. Dia menggunakan prinsip ini

untuk menemukan luas segi empat dan lingkaran.

Penjelasan metode “indivisbles” adalah sebagai berikut. Jika suatu

kurva dapat dibentuk dari titik yang digerakkan, maka suatu kurva

dapat dipandang sebagai jumlah atau kumpulan titik-titik tersebut.

Page 13: Tugas Filsafat Kalkulus Final

1 2 3 4 5

6

5

1 2 3 4 5

6

5

Dengan pemikiran ini maka setiap kurva dibentuk dari sejumlah

takberhingga titik. Demikian juga suatu daerah dapat dipandang

sebagai kumpulan sejumlah takhingga garis. Sebenarnya Cavalieri

bukanlah orang pertama yang menggunakan gambar geometri terkait

konsep infitisimal karena Kepler telah melakukan hal ini sebelumnya.

Namun, Cavalieri merupakan orang pertama yang menggunakan ide itu

untuk menghitung luas daerah.

Berikut diberikan ilustrasi penggunaan metode “indivisbles” untuk

menentukan luas daerah segitiga. Berdasarkan gambar-3 persegi

panjang mempunyai alas 6 satuan dan tinggi 5 satuan, sehingga luasnya

adalah 30 satuan luas.

Akan diperoleh perbandingan luas sebagai berikut.

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan perbandigan untuk persegi

panjang dengan ukuran berbeda misalnya:

Gambar-3

Page 14: Tugas Filsafat Kalkulus Final

m + 1

m^2

x

y

Perhatikan bahwa total luas daerah persegi panjang - persegi panjang

kecil/dalam selalu sama dengan setengah luas persegi panjang – persegi

panjang besar/luar. Cavalieri menggunakan formula berikut untuk

mengembangkan metodenya.

Dengan menggunakan rumus ini akan diperoleh:

Cavalieri juga mengembangkan metode ini untuk menentukan luas

daerah yang dibatasi oleh kurva, misalnya parabola (gambar-4).

Misal banyaknya persegi panjang itu adalah m. Pada gambar-4 persegi

panjang luar mempunyai panjang m+1 dan lebar (tinggi) m2. Diperoleh

perbandingan sebagai berikut.

Gambar-4

Page 15: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Selanjutnya, Cavalieri menggunakan prinsip “indivisibles” untuk

membuat langkah penting dalam perkembangan kalkulus. Ia

menyatakan bahwa jika m semakin besar, maka berapapun besarnya

tidak akan mempengaruhi hasil atau nilai perbandingan itu. Dalam

istilah modern, sesungguhnya ia sedang menyatakan

Dari persamaan terkahir itu dapat pula diinterpretasikan bahwa jika

persegi panjang-persegi panjang kecil/dalam semakin banyak

(takhingga), maka perbandingan luas persegi panjang-persegi panjang

dalam dan luas persegi panjang luar adalah . dalam hal ini, secara

informal Cavalieri telah menggunakan konsep limit. Dari hal tersebut

akan diperoleh ekspresi aljabar untuk menyatakan luas daerah di bawah

parabola. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa luas persegi panjang

luar adalah . Dengan demikian, luas daerah di bawah

parabola itu sama dengan luas persegi panjang yang membatasinya,

yaitu . Dengan teknik itu, Cavalieri telah memberikan dasar bagi

perkembangan kalkulus integral.

3. John Wallis (1616 – 1703)

Page 16: Tugas Filsafat Kalkulus Final

x

y

kx

10

10

x

y

y = x^(p/q)

e^4x e^3x e^2x e^x

John Wallis menurunkan suatu hukum aljabar integral, salah satunya

adalah fungsi berbentuk (gambar-5)

Luasnya adalah . Perhatikan gambar di samping. Secara

umum, Wallis menyajikan hubungan anjabar antara fungsi dan luasnya,

yaitu luas daerah di bawah fungsi adalah

4. Pierre De Fermat (1601 – 1665)

Pierre De Fermat menggunakan metode yang unik dalam menentukan

luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva. Fermat memberikan

ilustrasi penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

(gambar-6).

Gambar-5

Page 17: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Dalam hal ini ia menggunakan notasi e, 0<e<1, untuk membuat persegi

panjang persegi panjang kecil di bawah luas kurva tersebut. Luas

persegi panjang-persegi panjang yang kecil itu berturut-turut adalah

sebagai berikut:

. . . dst

Jumlah luas seluruh persegi panjang – persegi panjang itu adalah

sebagai berikut.

yang sama dengan

Bentuk adalah deret geometri

yang jumlahnya , sehingga luas daerah itu adalah

Gambar-6

Page 18: Tugas Filsafat Kalkulus Final

. Selanjutnya, Fermat memisalkan e =

sebagai berikut.

Kemudian Fermat memisalkan E = 1, sehingga dan

karena , maka e haruslah sama dengan 1. Dengan

mensubstitusikan 1 untuk E dalam ekspresi diatas diperoleh

Meskipun metode itu memberikan hasil yang sesuai untuk luas di

bawah kurva, tetapi penentuan nilai E = 1 belum dapat dijelaskan

secara rasional. Apa yang dikerjakan Fermat sesungguhnya adalah

mengambil limit E mendekati 1 dan E mendekati 1 berarti e juga

mendekati 1. Jika e mendekati 1, maka jumlah takhingga luas daerah

di bawah kurva dapat ditentukan.

Page 19: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Kareana Willis dan Fermat telah memberikan dasar bagi konsep

integral modern. Bahkan Lagrange menyebut Fermat sebagai penemu

kalkulus.

5. Newton dan Leibniz

Ketika membicarakan konsep kalkulus terjadi perdebatan siapakah

yang pertama kali mengembangkan kalkulus ? Leibniz (1646 – 1716)

atau Newton (1642 – 1727). Leibniz adalah orang yang pertama kali

mempublikasikan penemuannya, sementara Newton telah

menghasilkan karya tentang kalkulus beberapa tahun sebelumnya.

Banyak orang yang mempertanyakan apakah Leibniz telah melihat

tulisan Newton terlebih dahulu sebelum ia mempublikasikan karyanya.

Newton telah menghasilkan karyanya tidak lebih dari tahun 1666,

sementara Leibniz tidak memulai kerjanya sampai tahun 1673. Leibniz

mengunjungi Inggris pada tahun 1673 dan pada tahun 1676.

dimungkinkan ia melihat beberapa tulisan Newton yang tidak

dipublikasikan. Ia juga berkorespondensi dengan beberapa ilmuwan

Inggris danmungkin memperoleh akses terhadap tulisan Newton. Tidak

diketahui secara pasti seberapa banyak hal itu mempengaruhi karya

Leibniz.

Perdebatan dan saling tuduh terjadi di antara murid – murid kedua

matematikawan tersebut mengenai siapa yang telah melakukan

tindakan plagiat. Perdebatan itu telah mempunyai pengaruh pada

menurunnya perkembangan matematika saat itu. Baru pada tahun 1820,

Page 20: Tugas Filsafat Kalkulus Final

kalkulus Leibnizian dapat diterima di Inggris. Saat ini, mereka

mengakui bahwa baik Newton maupun Leibniz secara independen telah

mengembangkan dasar-dasar kalkulus. Leibniz yang memberi nama

kalkulus untuk disiplin ilmu tersebut, sementara Newton memberi

nama dengan “The Science of Fluents and Fluxions”.

Pada tahun 1669, Newton menyajikan metode penentuan luas daerah

di bawah suatu kurva dalam karyanya yang berjudul “On the Analysis

of Equations Unlimited in the Number of Their Terms. Sayangnya pada

saat itu karya tersebut tidak dipublikasikan, melainkan hanya diedarkan

secara individual dan terbatas. Pada tahun 1670, Issac Burrow, dengan

menggunakan metode serupa dengan kalkulus, menggambar garis

singgung pada suatu kurva dan menentukan luas daerah yang dibatasi

oleh suatu kurva.

Leibniz belajar banyak dalam perjalannya di Eropa ketika ia bertemu

dengan Huygens di Paris pada tahun 1672. Ia juga bertemu dengan

Hooke dan Boyle di London pada tahun 1673 ketika dia membeli

beberapa buku matematika, termasuk karya Burrow. Leibniz juga

melakukan korespondensi dengan Burrow. Ketika dia kembali ke Paris,

Leibniz mengerjakan beberapa karya yang memberikan dasar-dasar

yang berbeda dengan yang dihasilkan Newton.

Leibniz sangat sadar bahwa menemukan suatu notasi yang tepat

merupakan hal yang penting dan mendasar dan ia mencurahkan waktu

untuk hal tersebut. Sementara Newton lebih banyak menulis untuk

Page 21: Tugas Filsafat Kalkulus Final

dirinya sendiri. Ia lebih cenderung menggunakan notasi apa saja yang

ia pikirkan pada saat itu. Notasi Leibniz dan Lebih

familiar digunakan dalam perkembangan kalkulus berikutnya.

Notasi “ diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1675 untuk integral

yang merupakan modifikasi atau perpanjangan bentuk huruf S dan

kependekan dari summa (dalam bahasa Latin berarti jumlah atau total).

Sedangkan notasi modern untuk integral tertentu, dengan tanda batas

bawah dan batas atas pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier

sekitar tahun 1819 – 1820.

Newton dan Leibniz telah meletakan dasar-dasar perkembangan

kalkulus meskipun terdapat fakta bahwa diferensial dan integral telah

ditemukan oleh Fermat, tetapi Newton dan Leibniz yang memberikan

formulasi umum untuk konsep-konsep tersebut. Selain itu, tidak ada

orang sebelum mereka yang menjelaskan kemanfaatan kalkulus sebagai

alat hitung matematika secara umum. Salah satu karya penting Newton

dan Lebniz adalah teorema dasar kalkulus yang menyatakan terdapat

keterhubungan antara proses integral dan diferensial.

6. Perkembangan Kalkulus Integral setelah Newton-Leibniz

Setelah Newton dan Leibniz, kalkulus integral dikembangkan oleh

banyak matematikawan dan ditunjukan banyak aplikasinya dalam

berbagai bidang. Berikut diuraikan beberapa perkembangan lebih lanjut

tentang kalkulus.

Page 22: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Gauss (1777 – 1855) telah mengembangkan aplikasi integral dan fisika.

Cauchy (1789 – 1857) mengembangkan integral untuk fungsi dengan

domain himpunan bilangan kompleks. Definisi integral secara

matematis juga diberikan oleh Bernhard Riemann (1826 – 1866). Ia

mendasarkan pada prosedur limit yang mengaproksimasikan luas

daerah yang dibatasi oleh kurva liniear dengan membagi daerah itu

menjadi beberapa bagian yang berupa persegipanjang. Pada awal abad

19, konsep yang lebih kompleks tentang integral mulai muncul. Suatu

integral garis didefinisikan untuk fungsi dengan dua variabel atau tiga

variabel dan interval integrasi digantikan dengan suatu kurva

tertentu yang menghubungkan dua titik pada bidang atau ruang. Dalam

integral permukaan, kurva digantikan dengan sebidang permukaan pada

ruang dimensi tiga. Generalisasi dari integral ini pertama kali muncul

dari kebutuhan dalam fisika dan memainkan peran penting dalam

formulasi hukum-hukum fisika, seperti dalam bidang elektromagnetik.

Konsep modern integral didasarkan pada teori matematika abstrak yang

dikenal dengan integral Lebesque yang dikembangkan oleh Henri

Lebesque. Integral ini memperumum dari integral Riemenn. Hermite

(1822 – 1901) mengembangkan kalkulus integral Untuk fungsi

rasional. Pada tahun 1940 Ostrowski memperluas hal itu untuk integral

yang melibatkan fungsi logaritma.

Kemampuan untuk menentukan integral tertentu menjadi semakin

meningkat setelah dikembangkan program Mathematica yang

Page 23: Tugas Filsafat Kalkulus Final

dikenalkan pertama kali pada 1988. Program itu memungkinkan untuk

menentukan integral suatu fungsi dengan lebih akurat.

III. Aplikasi Kalkulus

Kalkulus sangat bermanfaat dalam pengembangan berbagai bidang. Berikut

diberikan beberapa contoh penerapan kalkulus

1. Prediksi cuaca

Meteorologi modern merupakan cabang ilmu yang mengawinkan fisika

dan matematika. Salah satu fokus bahasan meteorologi adalah prediksi

perubahan cuaca. Penelitian yang dilakukan dalam bidang ini terkait

dengan pemanasan global, lubang pada lapisan ozon, dan pola cuaca di

planet lain. Pada tahun 1904 ahli meteorology Norwegia, Wilhelm

Bjerknes (1862-1951) menyatakan bahwa keadan atmosfer dapat

diprediksi dengan memperhatikan variabel waktu yang melibatkan

persamaan hidrodinamik menggunakan metode kalkulus.

2. Pemamfatan data

US Federal Bureau Investigation (FBI) telah mengumpulkan sidik jari

sejak tahun 1924 dan saat ini telah terkumpul sebanyak 30 juta sidik jari

yang harus disimpan secara digital dalam memori komputer. Untuk

mengorganisasi dan sekaligus menghemat penyimpanan data tersebut

digunakan metode pemampatan yang didasarkan pada Wavelets yang

menggunakan ide-ide kalkulus. Metode ini dapat memampatkan data

dengan perbandingan 26:1 dari data semula.

Page 24: Tugas Filsafat Kalkulus Final

3. Bidang Ekonomi

Kalkulus yang berhubungan dengan bidang ekonomi adalah dalam hal

Elastisitas permintaan, yang ditunjukkan dengan seberapa besar

kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap poerubahan

harga. Semakin besar permintaan barang, maka harga suatu barang

tersebut akan turun, begitu juga sebaliknya, semakin langka permintaan

barang, maka harga barang tersebut cenderung tinggi/naik. Permintaan

pada sebuah barang dapat dikatakan stagnan/inelastis bila permintaan

terhadap suatu barang tidak mempengaruhi terhadap harga barang

tersebut.

4. Kalkulus dari bidang fisika,

kita mengenalnya dengan kecapatan dan percepatan. Kecapatan adalah

turunan posisi benda terhadap waktu, sedangkan percepatan adalah

turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua

benda terhadap waktu.

ds

V =

dt

dv

a =

dt

Page 25: Tugas Filsafat Kalkulus Final

5. Bidang Astronomi

Dalam bidang astronomi ini, kalkulus erat hubungannya dengan

gravitasi, dimana tenaga yang diradiasikan oleh sistem bumi-matahari

( power radiated by the earth- sun system), jika dua massa M1 dan M2

dalam orbit keplerian terpisah dalam jarak R, tenaga yang dikeluarka

atau dihasilkan atau diradiasikan oleh sistem ini adalah :

32G4 (M1M2)2 (M1+M2)

P = dE/dt = ≈ 27 M1/M2 ( v/c) 5 Ekin, 1/T

5.C5 R5

Dimana :

G = Gravitasi konstan dan Ekin, 1 , T dan v adalah energy kinetik,

perode waktu da velocity dari massa pertama

( makalah presentasi Mahasiswa UPI Angkatan 2008)

6. Bidang Biologi

Dalam bidang biologi, kalkulus sangat berkaitan erat dengan tingkat

pertumbuhan dalam suatu populasi, yaitu ( Makalah Persentasi Filsafat

Pendidikan Matematika, mahasiswa angkatan 2008) :

Page 26: Tugas Filsafat Kalkulus Final

dP/dt = k P,

dimana k adalah tingkat produktifitas, ratio yang konstan dari tingkat

pertumbuhan pada populasi.

P = Po ekt,

Dimana Po adalah populasi pada waktu diteliti,dipandang sebagai

t = 0

Pada tahun 1960 Heinz Von Foester, Patricia Mora & Larry Amiot

memperkenalkan model pertumbuhan koalisi dimana tingkat

produktifitas tidak konsta tetapi adalah sama dengan kPr , dimana

pangkat r adalah positip dan kecil. Karena tingkat produktifitas

adalah rasio dP/dt = to P, model persamaan differensialnya adalah

dP/dt = k Pr+1 .

IV. Penutup

Tulisan ini mungkin belum menggambarkan perkembangan kalkulus

secara menyeluruh, masih banyak konstribusi matematikawan lain yang

belum disajikan baik karena keterbatasan sumber yang didapat penyusun

ataupun karena tidak tercatat dalam sejarah yang tertuliskan pada buku-buku

yang berkaitan dengan materi yang dibahas. Oleh karena itu, kritik dan saran

kami harapkan guna perbaikan makalah selanjutnya.

Page 27: Tugas Filsafat Kalkulus Final

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg

Kamus Inggris- Indonesia John N. Echols & Hasan Shadily

Kamus Besar Bahasa Indonesia

Wikipedia