Tugas Filsafat Kalkulus Final
-
Upload
ikhsan-magribi -
Category
Documents
-
view
796 -
download
12
Transcript of Tugas Filsafat Kalkulus Final
SEJARAH KALKULUS
FILSAFAT PENDIDIKAN MATEMATIKA
Oleh:
IKHSAN MAGRIBI 0907504
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKASEKOLAH PASCA SARJANA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2009
I. Definisi Kalkulus
Kalkulus mengkaji bagaimana sesuatu berubah, oleh karena itu kalkulus
sering disebut juga dengan “matematika perubahan”, yaitu cabang matematika
yang memfokuskan perhatian pada perubahan variabel yang diakibatkan oleh
perubahan variabel lainnya yang berkaitan. Berikut akan diuraikan tentang
pengertian kalkulus menurut beberapa sumber.
1. Definisi kalkulus menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah :
1) Proses pengerasan yang tidak normal pada tubuh, seperti batu ginjal.
2) metode menghitung dengan memakai lambang-lambang angka
khusus.
3) Endapan tidak normal garam-garam mineral dalam tubuh.
2. Pengertian kalkulus menurut arti kata dalam kamus Inggris- Indonesia John
N. Echols & Hasan Shadily mendefinisikan bahwa kalkulus adalah
hitungan
3. Kalkulus dalam bahasa Latin adalah calculus, artinya "batu kecil" untuk
menghitung adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan,
integral, dan deret takterhingga.
4. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah
ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang
luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik serta dapat
memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar
elementer.
(Wikipedia)
5. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus
integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran
kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang
lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.
(Wikipedia)
6. Branch of mathematics divided into parts, differential and integral, that
deals with variabel quantities, used to solve many mathematical problem.
Kalkulus adalah cabang dari matematika yang dibagi dalam dua bagian
yaitu diferensial dan integral yang membahas kuantitas peubah yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika.
(Oxford Learner’s Dictionary)
7. Calculus is a word used to describe a system of rules of reasoning that is
used for doing a certain type of calculation. There are different types of
calculus but the one that is ussualy meant when the word is used by itself is
the infinitesimal calculus.
(The Oxford Mathematics Studi Dictionary, Second Edition)
8. Calculus is the field of mathematics which deals with differentation and
integration of function an related concepts and aplication.
Bagian dari matematika yang membahas diferensial dan integrasi fungsi-
fungsi dan konsep-konsep yang berhubungan dengan aplikasi.
(Math Dictionary 4th edition. James / James)
9. Hasil perjuangan intelektual yang dramatic yang berlangsung selama dua
ribu lima ratus tahun.
Richard Courant
Sehingga didapat bahwa pengertian kalkulus secara umum adalah :
10. Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting
dan banyak diterapkan secara luas pada cabang-cabang ilmu pengetahuan
yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian,
kedokteran, perekonomian, dan sebagainya.
Eudoxus
Melanjutkan metode Exhautions
Euclid
Melanjutkan metode Exhautions
antiphon
Zeno
450 SMParadoks Zeno
Archimedes
287 SM – 217 SMmetode Exhautionsdan non Exhautions
TOKOH-TOKOH DALAM PERKEMBANGAN KALKULUS
ZAMAN KUNO
408 SM – 335 SM
ZAMAN PERTENGAHAN
Kalkulus pada zaman pertengahan tidak mengalami perkembangan yang signifikan dan cenderung stagnan.
Antiphon
430 SM Metode Exhautions
Keppler
1600an
Hukum Keppler
Luca Cavalireo
1552 – 1618
Penentuan luas daerah
Cavalieri
Fermat
1601 – 1665
Luas daerah yang dibatasi suatu kurva
Wallis
1616 – 1703
Aljabar Integral
Newton
1642 - 1727
Leibniz
1646 – 1716 Pengembang kalkulusNotasi-notasi kalkulus
Isac Burrow
1630 – 1677Metode garis singgung
Joseph Fourier
ZAMAN MODERN
1598 – 1647
Metode Indivisible
Pengembang kalkulus
Gauss
1777 – 1855Pengembang aplikasi
integral dalam matematika dan fisika
Cauchy
1789 - 1857
Fungsi dan limit fungsi
Riemenn
1826 – 1866
Integral Riemann
Lebesque
Integral lebesque
Hermite
1822 – 1901
Pengembang kalkulus integral
Otrowski
Integral Otrowski
II. Kalkulus dan Perkembangannya
Sejarah perkembangan kalkulus bisa diamati pada beberapa periode zaman,
yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Perkembangan
kalkulus integral mendahului perkembangan kalkulus diferensial. Kalkulus
diferensial muncul sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan penentuan garis singgung pada suatu kurva dan penentuan nilai
maksimum dan minimum suatu fungsi. Sedangkan kalkulus integral muncul
sebagai upaya untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penentuan
luas suatu daerah, volume dan panjang busur.
a. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Kuno
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus
integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan
sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari
kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (1800
SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari piramid terpancung.
Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan
heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan
kalkulus pada zaman kuno. Beberapa matematikawan Yunani yang dikenal
mengembangkan metode penemuan luas daerah yang menjadi dasar
penemuan kalkulus integral adalah Anthipon, Eudoxus, Euclid, dan
Archimedes.
1. Anthipon (430 SM)
Adalah orang yang pertama kali memperkenalkan “metode
exhaustions”, yaitu penggunaan poligon sederhana yang telah diketahui
luasnya, yang kemudian digunakan untuk mengaproksimasi luas
daerah yang lebih kompleks. Namun, Anthipon tidak merumuskan
metode ini secara tegas. Metode exhaustions ini secara lebih jelas dan
logis dilakukan dan dikembangkan oleh Eudoxus .
AB
O
C
2. Eudoxus (408 SM-335 SM).
Berikut contoh penerapan metode exhaustions oleh Eudoxus.
Berdasarkan gambar-1 menurut Eudoxus bahwa luas segi enam itu
mendekati luas lingkaran. Karena luas segi enam itu dapat ditentukan
maka luas lingkaran dapat ditentukan pula. Jika pada lingkaran dibuat
segi-n beraturan, dengan n adalah bilangan yang sangat besar maka luas
segi n tersebut akan semakin mendekati luas lingkaran. Dalam hal ini
sebenarnya Eudoxus telah menggunakan suatu konsep yang saat ini kita
kenal sebagai limit.
3. Euclid
Metode exhaustions juga kemudian dikembangkan oleh Euclid
sebagaimana tertuang dalam bukunya yang berjudul The Elements.
Misalnya, proposisi 2 yang terdapat dalam buku 12 Euclid menyatakan
bahwa luas lingkaran proporsional atau sebanding dengan kuadrat
diameternya. Apa yang dikemukakan Euclid tersebut sekarang
Gambar-1
A
C
P
B
Q
dituliskan dalam persamaan , tetapi para matematikawan
Yunani saat itu tidak menggunakan persamaan aljabar yang Euclid
kemukakan.
4. Archimedes (287 SM-217 SM)
Adalah matematikawan besar dan termasuk fisikawan besar pada
zaman tersebut, ia menggunakan metode exhaustions dan non
exhaustions secara lebih umum. Archimedes mengilustrasikan dengan
menggunakan orthotome atau disebut juga section of right cone
(gambar-2).
Archimedes mengkonstruksi suatu barisan takhingga yang dimulai dari
satu luas segitiga ABC yaitu .
Archimedes menyatakan bahwa jumlah deret tersebut sama dengan
. Ini adalah contoh pertama yang diketahui dalam sejarah terkait
dengan penjumlahan deret takhingga. Hal ini mengindikasikan
Gambar-2
Archimedes telah menggunakan konsep yang saat ini dikenal sebagai
kekonvergenan deret.
Berdasarkan uraian diatas bahwa metode exhaustions merupakan ide
yang kreatif yang mendasari perkembangan kalkulus integral modern.
Namun demikian, tanpa menggunakan konsep ketakhinggaan atau
limit, yang tidak dimiliki oleh para matematikawan tersebut akan
sangat sulit bagi mereka untuk membuat metode exhaustions berlaku
secara ketat dan umum.
5. Zeno (490 SM - 420 SM).
Sebagaimana yang telah dikemukakan di atas, konsep ketakhinggaan
dan limit menjadi demikian penting untuk mengembangkan metode
exhaustions dalam penemuan luas suatu daerah. Salah satu filsuf
Yunani yang pertama kali mengemukakan konsep ketakhinggaan
adalah Zeno menurunkan paradox yang tidak dapat dijelaskan atau
diselesaikan pada saat itu (Anglin, 1994). Paradox tersebut adalah
misalkan seseorang akan berjalan menuju dinding yang berjarak 2
meter dari tempatnya berdiri. Sebelum orang tersebut mencapai
dinding, ia harus mencapai pertengahannya terlebih dahulu yang
berjarak 1 meter dari tempatnya berdiri. Untuk mencapai jarak 1 meter,
ia juga harus terlebih dahulu mencapai jarak setengahnya pula, yang
berjarak meter. Sebelum mencapai jarak tersebut ia pun harus terlebih
dahulu mencapai setengah jarak itu yaitu meter, demikian seterusnya.
Jadi, seseorang harus melakukan proses sebanyak takhingga langkah
untuk mencapai dinding tersebut, sehingga orang tersebut tidak akan
pernah mencapai dinding itu. Dengan kata lain pergerakan atau
perpindahan adalah sesuatu yang tidak mungkin terjadi. Jelas bahwa
pandangan ini salah, karena kita dapat bergerak mencapai suatu tempat
dengan jarak tertentu yang kita kehendaki. Kekeliruan itu baru dapat
dijelaskan setelah dikenal konsep kekonvergenan suatu barisan atau
deret. Jarak yang ditempuh orang itu untuk mencapai dinding dapat
dituliskan sebagai . Jumlah deret itu adalah
, yang sama dengan jarak orang tersebut ke dinding.
b. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Pertengahan
Pada zaman ini ilmu pengetahuan tidak ada suatu perkembangan yang
berarti. Perkembangan kalkulus pada zaman ini tidak ada perkembangan
yang berarti sampai abad ke-16 saat para matematikawan tertarik dalam
penyelesaian masalah, seperti penentuan pusat gravitasi.
c. Perkembangan Kalkulus pada Zaman Modern
Berikut akan diuraikan tokoh-tokoh yang berperan dalam perkembangan
kalkulus pada zaman modern.
1. Luca Valerio (1552-1618)
Mempublikasikan Dequadratura parabola di Roma pada tahun 1606
yang membahas tentang penentuan luas daerah. Kepler, dalam
karyanya yang terkait dengan pergerakan planet, telah menemukan cara
penentuan luas elips. Karya lain tentang integral oleh Galileo Galilei
(1564-1642) yang menunjukan bahwa luas yang dibatasi oleh kurva
kecepatan-waktu adalah sama dengan jarak tempuh.
Kontribusi berarti terhadap perkembangan integral pada abad ke-16
diberikan oleh matematikawan Cavalieri, Fermat, dan Wallis. Berikut
akan diuraikan penemuan-penemuan mereka.
2. Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Bonaventura Cavalieri adalah seorang matematikawan Italia yang
mengadopsi ide Keppler dan Galileo. Ia mengemukakan konsep
“indivisbles” yang menyatakan bahwa jika dua bangun geometri
mempunyai tinggi sama, maka luas masing-masing bangun tersebut
akan sebanding dengan panjang alasnya. Dia menggunakan prinsip ini
untuk menemukan luas segi empat dan lingkaran.
Penjelasan metode “indivisbles” adalah sebagai berikut. Jika suatu
kurva dapat dibentuk dari titik yang digerakkan, maka suatu kurva
dapat dipandang sebagai jumlah atau kumpulan titik-titik tersebut.
1 2 3 4 5
6
5
1 2 3 4 5
6
5
Dengan pemikiran ini maka setiap kurva dibentuk dari sejumlah
takberhingga titik. Demikian juga suatu daerah dapat dipandang
sebagai kumpulan sejumlah takhingga garis. Sebenarnya Cavalieri
bukanlah orang pertama yang menggunakan gambar geometri terkait
konsep infitisimal karena Kepler telah melakukan hal ini sebelumnya.
Namun, Cavalieri merupakan orang pertama yang menggunakan ide itu
untuk menghitung luas daerah.
Berikut diberikan ilustrasi penggunaan metode “indivisbles” untuk
menentukan luas daerah segitiga. Berdasarkan gambar-3 persegi
panjang mempunyai alas 6 satuan dan tinggi 5 satuan, sehingga luasnya
adalah 30 satuan luas.
Akan diperoleh perbandingan luas sebagai berikut.
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan perbandigan untuk persegi
panjang dengan ukuran berbeda misalnya:
Gambar-3
m + 1
m^2
x
y
Perhatikan bahwa total luas daerah persegi panjang - persegi panjang
kecil/dalam selalu sama dengan setengah luas persegi panjang – persegi
panjang besar/luar. Cavalieri menggunakan formula berikut untuk
mengembangkan metodenya.
Dengan menggunakan rumus ini akan diperoleh:
Cavalieri juga mengembangkan metode ini untuk menentukan luas
daerah yang dibatasi oleh kurva, misalnya parabola (gambar-4).
Misal banyaknya persegi panjang itu adalah m. Pada gambar-4 persegi
panjang luar mempunyai panjang m+1 dan lebar (tinggi) m2. Diperoleh
perbandingan sebagai berikut.
Gambar-4
Selanjutnya, Cavalieri menggunakan prinsip “indivisibles” untuk
membuat langkah penting dalam perkembangan kalkulus. Ia
menyatakan bahwa jika m semakin besar, maka berapapun besarnya
tidak akan mempengaruhi hasil atau nilai perbandingan itu. Dalam
istilah modern, sesungguhnya ia sedang menyatakan
Dari persamaan terkahir itu dapat pula diinterpretasikan bahwa jika
persegi panjang-persegi panjang kecil/dalam semakin banyak
(takhingga), maka perbandingan luas persegi panjang-persegi panjang
dalam dan luas persegi panjang luar adalah . dalam hal ini, secara
informal Cavalieri telah menggunakan konsep limit. Dari hal tersebut
akan diperoleh ekspresi aljabar untuk menyatakan luas daerah di bawah
parabola. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa luas persegi panjang
luar adalah . Dengan demikian, luas daerah di bawah
parabola itu sama dengan luas persegi panjang yang membatasinya,
yaitu . Dengan teknik itu, Cavalieri telah memberikan dasar bagi
perkembangan kalkulus integral.
3. John Wallis (1616 – 1703)
x
y
kx
10
10
x
y
y = x^(p/q)
e^4x e^3x e^2x e^x
John Wallis menurunkan suatu hukum aljabar integral, salah satunya
adalah fungsi berbentuk (gambar-5)
Luasnya adalah . Perhatikan gambar di samping. Secara
umum, Wallis menyajikan hubungan anjabar antara fungsi dan luasnya,
yaitu luas daerah di bawah fungsi adalah
4. Pierre De Fermat (1601 – 1665)
Pierre De Fermat menggunakan metode yang unik dalam menentukan
luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva. Fermat memberikan
ilustrasi penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
(gambar-6).
Gambar-5
Dalam hal ini ia menggunakan notasi e, 0<e<1, untuk membuat persegi
panjang persegi panjang kecil di bawah luas kurva tersebut. Luas
persegi panjang-persegi panjang yang kecil itu berturut-turut adalah
sebagai berikut:
. . . dst
Jumlah luas seluruh persegi panjang – persegi panjang itu adalah
sebagai berikut.
yang sama dengan
Bentuk adalah deret geometri
yang jumlahnya , sehingga luas daerah itu adalah
Gambar-6
. Selanjutnya, Fermat memisalkan e =
sebagai berikut.
Kemudian Fermat memisalkan E = 1, sehingga dan
karena , maka e haruslah sama dengan 1. Dengan
mensubstitusikan 1 untuk E dalam ekspresi diatas diperoleh
Meskipun metode itu memberikan hasil yang sesuai untuk luas di
bawah kurva, tetapi penentuan nilai E = 1 belum dapat dijelaskan
secara rasional. Apa yang dikerjakan Fermat sesungguhnya adalah
mengambil limit E mendekati 1 dan E mendekati 1 berarti e juga
mendekati 1. Jika e mendekati 1, maka jumlah takhingga luas daerah
di bawah kurva dapat ditentukan.
Kareana Willis dan Fermat telah memberikan dasar bagi konsep
integral modern. Bahkan Lagrange menyebut Fermat sebagai penemu
kalkulus.
5. Newton dan Leibniz
Ketika membicarakan konsep kalkulus terjadi perdebatan siapakah
yang pertama kali mengembangkan kalkulus ? Leibniz (1646 – 1716)
atau Newton (1642 – 1727). Leibniz adalah orang yang pertama kali
mempublikasikan penemuannya, sementara Newton telah
menghasilkan karya tentang kalkulus beberapa tahun sebelumnya.
Banyak orang yang mempertanyakan apakah Leibniz telah melihat
tulisan Newton terlebih dahulu sebelum ia mempublikasikan karyanya.
Newton telah menghasilkan karyanya tidak lebih dari tahun 1666,
sementara Leibniz tidak memulai kerjanya sampai tahun 1673. Leibniz
mengunjungi Inggris pada tahun 1673 dan pada tahun 1676.
dimungkinkan ia melihat beberapa tulisan Newton yang tidak
dipublikasikan. Ia juga berkorespondensi dengan beberapa ilmuwan
Inggris danmungkin memperoleh akses terhadap tulisan Newton. Tidak
diketahui secara pasti seberapa banyak hal itu mempengaruhi karya
Leibniz.
Perdebatan dan saling tuduh terjadi di antara murid – murid kedua
matematikawan tersebut mengenai siapa yang telah melakukan
tindakan plagiat. Perdebatan itu telah mempunyai pengaruh pada
menurunnya perkembangan matematika saat itu. Baru pada tahun 1820,
kalkulus Leibnizian dapat diterima di Inggris. Saat ini, mereka
mengakui bahwa baik Newton maupun Leibniz secara independen telah
mengembangkan dasar-dasar kalkulus. Leibniz yang memberi nama
kalkulus untuk disiplin ilmu tersebut, sementara Newton memberi
nama dengan “The Science of Fluents and Fluxions”.
Pada tahun 1669, Newton menyajikan metode penentuan luas daerah
di bawah suatu kurva dalam karyanya yang berjudul “On the Analysis
of Equations Unlimited in the Number of Their Terms. Sayangnya pada
saat itu karya tersebut tidak dipublikasikan, melainkan hanya diedarkan
secara individual dan terbatas. Pada tahun 1670, Issac Burrow, dengan
menggunakan metode serupa dengan kalkulus, menggambar garis
singgung pada suatu kurva dan menentukan luas daerah yang dibatasi
oleh suatu kurva.
Leibniz belajar banyak dalam perjalannya di Eropa ketika ia bertemu
dengan Huygens di Paris pada tahun 1672. Ia juga bertemu dengan
Hooke dan Boyle di London pada tahun 1673 ketika dia membeli
beberapa buku matematika, termasuk karya Burrow. Leibniz juga
melakukan korespondensi dengan Burrow. Ketika dia kembali ke Paris,
Leibniz mengerjakan beberapa karya yang memberikan dasar-dasar
yang berbeda dengan yang dihasilkan Newton.
Leibniz sangat sadar bahwa menemukan suatu notasi yang tepat
merupakan hal yang penting dan mendasar dan ia mencurahkan waktu
untuk hal tersebut. Sementara Newton lebih banyak menulis untuk
dirinya sendiri. Ia lebih cenderung menggunakan notasi apa saja yang
ia pikirkan pada saat itu. Notasi Leibniz dan Lebih
familiar digunakan dalam perkembangan kalkulus berikutnya.
Notasi “ diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1675 untuk integral
yang merupakan modifikasi atau perpanjangan bentuk huruf S dan
kependekan dari summa (dalam bahasa Latin berarti jumlah atau total).
Sedangkan notasi modern untuk integral tertentu, dengan tanda batas
bawah dan batas atas pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Fourier
sekitar tahun 1819 – 1820.
Newton dan Leibniz telah meletakan dasar-dasar perkembangan
kalkulus meskipun terdapat fakta bahwa diferensial dan integral telah
ditemukan oleh Fermat, tetapi Newton dan Leibniz yang memberikan
formulasi umum untuk konsep-konsep tersebut. Selain itu, tidak ada
orang sebelum mereka yang menjelaskan kemanfaatan kalkulus sebagai
alat hitung matematika secara umum. Salah satu karya penting Newton
dan Lebniz adalah teorema dasar kalkulus yang menyatakan terdapat
keterhubungan antara proses integral dan diferensial.
6. Perkembangan Kalkulus Integral setelah Newton-Leibniz
Setelah Newton dan Leibniz, kalkulus integral dikembangkan oleh
banyak matematikawan dan ditunjukan banyak aplikasinya dalam
berbagai bidang. Berikut diuraikan beberapa perkembangan lebih lanjut
tentang kalkulus.
Gauss (1777 – 1855) telah mengembangkan aplikasi integral dan fisika.
Cauchy (1789 – 1857) mengembangkan integral untuk fungsi dengan
domain himpunan bilangan kompleks. Definisi integral secara
matematis juga diberikan oleh Bernhard Riemann (1826 – 1866). Ia
mendasarkan pada prosedur limit yang mengaproksimasikan luas
daerah yang dibatasi oleh kurva liniear dengan membagi daerah itu
menjadi beberapa bagian yang berupa persegipanjang. Pada awal abad
19, konsep yang lebih kompleks tentang integral mulai muncul. Suatu
integral garis didefinisikan untuk fungsi dengan dua variabel atau tiga
variabel dan interval integrasi digantikan dengan suatu kurva
tertentu yang menghubungkan dua titik pada bidang atau ruang. Dalam
integral permukaan, kurva digantikan dengan sebidang permukaan pada
ruang dimensi tiga. Generalisasi dari integral ini pertama kali muncul
dari kebutuhan dalam fisika dan memainkan peran penting dalam
formulasi hukum-hukum fisika, seperti dalam bidang elektromagnetik.
Konsep modern integral didasarkan pada teori matematika abstrak yang
dikenal dengan integral Lebesque yang dikembangkan oleh Henri
Lebesque. Integral ini memperumum dari integral Riemenn. Hermite
(1822 – 1901) mengembangkan kalkulus integral Untuk fungsi
rasional. Pada tahun 1940 Ostrowski memperluas hal itu untuk integral
yang melibatkan fungsi logaritma.
Kemampuan untuk menentukan integral tertentu menjadi semakin
meningkat setelah dikembangkan program Mathematica yang
dikenalkan pertama kali pada 1988. Program itu memungkinkan untuk
menentukan integral suatu fungsi dengan lebih akurat.
III. Aplikasi Kalkulus
Kalkulus sangat bermanfaat dalam pengembangan berbagai bidang. Berikut
diberikan beberapa contoh penerapan kalkulus
1. Prediksi cuaca
Meteorologi modern merupakan cabang ilmu yang mengawinkan fisika
dan matematika. Salah satu fokus bahasan meteorologi adalah prediksi
perubahan cuaca. Penelitian yang dilakukan dalam bidang ini terkait
dengan pemanasan global, lubang pada lapisan ozon, dan pola cuaca di
planet lain. Pada tahun 1904 ahli meteorology Norwegia, Wilhelm
Bjerknes (1862-1951) menyatakan bahwa keadan atmosfer dapat
diprediksi dengan memperhatikan variabel waktu yang melibatkan
persamaan hidrodinamik menggunakan metode kalkulus.
2. Pemamfatan data
US Federal Bureau Investigation (FBI) telah mengumpulkan sidik jari
sejak tahun 1924 dan saat ini telah terkumpul sebanyak 30 juta sidik jari
yang harus disimpan secara digital dalam memori komputer. Untuk
mengorganisasi dan sekaligus menghemat penyimpanan data tersebut
digunakan metode pemampatan yang didasarkan pada Wavelets yang
menggunakan ide-ide kalkulus. Metode ini dapat memampatkan data
dengan perbandingan 26:1 dari data semula.
3. Bidang Ekonomi
Kalkulus yang berhubungan dengan bidang ekonomi adalah dalam hal
Elastisitas permintaan, yang ditunjukkan dengan seberapa besar
kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap poerubahan
harga. Semakin besar permintaan barang, maka harga suatu barang
tersebut akan turun, begitu juga sebaliknya, semakin langka permintaan
barang, maka harga barang tersebut cenderung tinggi/naik. Permintaan
pada sebuah barang dapat dikatakan stagnan/inelastis bila permintaan
terhadap suatu barang tidak mempengaruhi terhadap harga barang
tersebut.
4. Kalkulus dari bidang fisika,
kita mengenalnya dengan kecapatan dan percepatan. Kecapatan adalah
turunan posisi benda terhadap waktu, sedangkan percepatan adalah
turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua
benda terhadap waktu.
ds
V =
dt
dv
a =
dt
5. Bidang Astronomi
Dalam bidang astronomi ini, kalkulus erat hubungannya dengan
gravitasi, dimana tenaga yang diradiasikan oleh sistem bumi-matahari
( power radiated by the earth- sun system), jika dua massa M1 dan M2
dalam orbit keplerian terpisah dalam jarak R, tenaga yang dikeluarka
atau dihasilkan atau diradiasikan oleh sistem ini adalah :
32G4 (M1M2)2 (M1+M2)
P = dE/dt = ≈ 27 M1/M2 ( v/c) 5 Ekin, 1/T
5.C5 R5
Dimana :
G = Gravitasi konstan dan Ekin, 1 , T dan v adalah energy kinetik,
perode waktu da velocity dari massa pertama
( makalah presentasi Mahasiswa UPI Angkatan 2008)
6. Bidang Biologi
Dalam bidang biologi, kalkulus sangat berkaitan erat dengan tingkat
pertumbuhan dalam suatu populasi, yaitu ( Makalah Persentasi Filsafat
Pendidikan Matematika, mahasiswa angkatan 2008) :
dP/dt = k P,
dimana k adalah tingkat produktifitas, ratio yang konstan dari tingkat
pertumbuhan pada populasi.
P = Po ekt,
Dimana Po adalah populasi pada waktu diteliti,dipandang sebagai
t = 0
Pada tahun 1960 Heinz Von Foester, Patricia Mora & Larry Amiot
memperkenalkan model pertumbuhan koalisi dimana tingkat
produktifitas tidak konsta tetapi adalah sama dengan kPr , dimana
pangkat r adalah positip dan kecil. Karena tingkat produktifitas
adalah rasio dP/dt = to P, model persamaan differensialnya adalah
dP/dt = k Pr+1 .
IV. Penutup
Tulisan ini mungkin belum menggambarkan perkembangan kalkulus
secara menyeluruh, masih banyak konstribusi matematikawan lain yang
belum disajikan baik karena keterbatasan sumber yang didapat penyusun
ataupun karena tidak tercatat dalam sejarah yang tertuliskan pada buku-buku
yang berkaitan dengan materi yang dibahas. Oleh karena itu, kritik dan saran
kami harapkan guna perbaikan makalah selanjutnya.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg
Kamus Inggris- Indonesia John N. Echols & Hasan Shadily
Kamus Besar Bahasa Indonesia
Wikipedia