Pemodelan matematika di sekolah dasar, keuntungan dan tantangan

Abstrak

Karena pentingnya matematika di pasar global meningkat, berbagai pemerintah telah berfokus pada pelatihan

sumber daya manusia yang kreatif dan kompeten. Sebuah negara yang memiliki tenaga kerja yang kreatif dan

inovatif dalam industri dan teknologi perjalanan jalan pembangunan dan evolusi cepat yang mengarah ke pendidikan

yang lebih baik dan kesejahteraan, sanitasi yang layak, dan kehidupan umumnya lebih nyaman.

Dari ilmu yang merupakan dasar teknologi dan pengembangan matematika, dan cara yang paling tepat untuk

mengajar matematika menggunakan aplikasi dan pemodelan matematika. Dalam artikel ini saya memperkenalkan

model matematika dan aplikasinya, ulasan persamaan dan perbedaan dengan pemecahan masalah, dan

mempertimbangkan bagaimana untuk memperkenalkan tingkat dasar (karena saya percaya bahwa pemodelan

matematika dan aplikasi harus diajarkan pada tahun-tahun awal sekolah). Saya juga menyatakan beberapa

keuntungan dan tantangan untuk memperkenalkan model matematika untuk siswa sekolah dasar (dan umumnya

kepada siswa sekolah) .The Tujuan utama dari pasal ini adalah untuk mendorong negara-negara berkembang dan

Dunia Ketiga untuk memperkenalkan model matematika ke dalam sistem pedagogis mereka, terutama SD schools.I

percaya bahwa ini dapat menyebabkan negara-negara ini untuk berkembang lebih cepat.

Kata kunci: pemodelan matematika, pemecahan masalah, aplikasi

1 Pendahuluan e kerangka teoritis

Pengalaman pemecahan masalah bahwa anak-anak biasanya bertemu di sekolah tidak lagi memadai untuk dunia

sekarang ini. Pemecahan masalah matematika melibatkan lebih dari bekerja keluar bagaimana untuk pergi dari

situasi tertentu ke situasi akhir di mana "kodrat," tujuan, dan "langkah-langkah solusi hukum" ditentukan dengan

jelas. Aspek yang paling menantang dari masalah yang dihadapi dalam berbagai profesi saat ini melibatkan

mengembangkan cara-cara yang berguna berpikir matematis tentang hubungan yang relevan, pola, dan keteraturan

(Lesh & Zawojewski, Dalam pers). Di sekolah dasar yang khas di seluruh dunia, pengajaran aritmatika dini terutama

difokuskan pada kemampuan komputasi. Bahkan masalah kata bahwa matematika tautan putatively dan aspek

dunia nyata sering tidak lebih dari latihan tipis menyamar dalam empat operasi dasar (Greer, Verschaffel &

Mukhopadhyay, 2007) dan Dengan meningkatnya pentingnya matematika di pasar yang terus-mengubah global

kami, ada tuntutan yang lebih besar bagi pekerja yang memiliki kemampuan matematika dan teknologi yang lebih

fleksibel, kreatif, dan berorientasi pada masa depan, proses matematika Powerfull seperti membangun,

menggambarkan, menjelaskan, memprediksi, dan mewakili, bersama-sama dengan mengukur, koordinasi, dan

mengorganisasi data, memberikan landasan untuk pengembangan kemampuan ini, juga semakin penting adalah

kemampuan untuk bekerja sama pada proyek-proyek multi dimensi, di mana perencanaan, pemantauan, dan hasil

berkomunikasi sangat penting untuk keberhasilan (Lesh & Doerr, 2003) .Thereforea perspektif baru, atau setidaknya

perubahan dalam review, sangat penting. menurut pendapat saya, memperkenalkan model matematika dan aplikasi

ke sekolah dasar memiliki pengaruh positif untuk menghilangkan masalah ini dengan benar.

1.1 Mengapa termasuk model di tingkat SD?

Kesempatan untuk mengeksplorasi aplikasi kehidupan nyata membuat moremeaningful matematika bagi siswa dan

bantuan dalam pengembangan otherskills penting. Karena aplikasi melibatkan penggunaan model dan beberapa

aspek tersebut yang proses pemodelan, pemodelan tidak dapat diabaikan dalam primarycurriculum tersebut.

Dokumen kurikulum dari Departemen Pendidikan di Singapura menekankan pentingnya aplikasi dan pemodelan:

Aplikasi dan Pemodelan memainkan peran penting dalam pengembangan ofmathematical pemahaman dan

kompetensi. Adalah penting bahwa siswa menerapkan keterampilan pemecahan masalah matematika dan

reasoningskills untuk mengatasi berbagai masalah, termasuk masalah di dunia nyata. (Departemen Pendidikan,

2006, hal. 8)

1.2 Problem Solving, pemodelan matematika dan aplikasi

(Stanic & Kilpatrick 1989) memulai bab mereka pada pemecahan dari perspektif sejarah dengan kata-kata masalah

"masalah telah menduduki tempat sentral dalam matematika sekolah kurikulum sejak jaman dahulu, namun

pemecahan masalah belum." (Hal. 1), dan itu adalah pertama selama abad ke-19 bahwa pemecahan masalah mulai

mendapatkan perhatian lebih secara bertahap. Namun demikian, sejak saat itu, (Schoenfeld, 1992) mencatat bahwa

"memang, 'masalah' dan 'pemecahan masalah' memiliki beberapa dan sering bertentangan makna selama bertahun-

tahun -. Sebuah fakta yang membuat interpretasi dari literatur sulit" (. Hal 337) ,. Namun, setelah (Blum & Niss 1991)

masalah dapat didefinisikan sebagai "situasi yang disertai dengan pertanyaan terbuka tertentu yang menantang

seseorang intelektual yang tidak dalam kepemilikan langsung langsung metode / prosedur / algoritma dll cukup

untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan." (p. 37),. . [menurut (Kaur & Dindyal 2010)] (Polya, 1971) menyarankan

penggunaan tahapan proses pemecahan masalah yang ia beri nama sebagai: memahami masalah; menyusun

rencana; melaksanakan rencana; dan melihat ke belakang dan memeriksa solusi. Hal ini tidak berarti pemecahan

masalah adalah perkembangan linier dari 'kodrat gol' melainkan sebuah proses siklik dengan murid sering harus

mundur ke tahap sebelumnya untuk memeriksa informasi atau memperbaiki strategi (Verschaffel & De Corte,

1997) .A matematika masalah dianggap menjadi salah satu masalah yang murni jika situasi theproblem tersebut

tertanam sepenuhnya dalam 'alam semesta matematika' (domain matematika), atau di sisi lain, jika situasi masalah

alamat beberapa disiplin ilmu lain atau situasi dunia nyata (domain ekstra-matematis ) dimana notasi matematika

dan sintaks yang diizinkan untuk dipanggil dalam proses pemecahan masalah, masalah ini disebut masalah

diterapkan (Bergman, 2009).

Menggunakan matematika untuk memecahkan masalah dunia nyata sering disebut menerapkan matematika, dan

situasi dunia nyata yang dapat diatasi dengan cara matematika yang disebut aplikasi matematika. Kadang-kadang

gagasan "menerapkan" digunakan untuk setiap jenis menghubungkan dunia nyata dan matematika (ICMI Studi 14,

2002) ..

Penerapan matematika tidak dapat dipisahkan dari penggunaan model dan proses pemodelan. Karena kebanyakan

masalah aplikasi melibatkan diskusi tentang beberapa realitas atau "konteks realistis", penggunaan model untuk

mengakses realitas yang menjadi masalah aplikasi essential.In, anak-anak sangat sering harus berurusan dengan

masalah dalam konteks realistis yang hanya dapat diakses dan dimanipulasi jika model yang digunakan. Dengan

demikian, model memiliki peran penting dalam membuat matematika menjadi nyata bagi siswa (Kaur & Dindyal,

2010).

The Oxford Dictionary of English (2nd edition revisited) memberikan lima interpretasi berikut ketika 'model'

dimasukkan sebagai entri kata dasar: (1) representasi tiga dimensi dari seseorang atau sesuatu atau suatu struktur

yang diusulkan, biasanya pada skala yang lebih kecil daripada yang asli ... (2) hal yang digunakan sebagai contoh

untuk mengikuti atau meniru ... (3) deskripsi sederhana, terutama yang matematika, sistem atau proses, untuk

membantu perhitungan dan prediksi ... (4) orang yang dipekerjakan untuk menampilkan pakaian dengan

mengenakan mereka. (5) desain tertentu atau versi suatu produk ... dan kebanyakan orang mungkin bisa

berhubungan dengan semua makna ini dan memahami serta menggunakannya dalam percakapan sehari-hari. Model

Kata berasal dari kata Italia Modello, yang pada gilirannya berasal dari kata Latin mo'dulus, bentuk mungil modus,

yang diterjemahkan untuk mengukur atau ukuran. Dalam karya ilmiah dan debat model sering disamakan dengan

semacam representasi dari suatu objek, fenomena atau dan ide. Seperti yang terlihat dalam lima interpretasi model

kata. Model matematika dan pemodelan di atas, sering terjadi bahwa satu baik membahas model sebagai model

konkret seperti replika dibuat dalam ukuran atau ilustrasi dari ide yang berbeda, atau model abstrak seperti

konstruksi mental atau teori (NE).

Sebuah makna naif, langsung dan intuitif gagasan tentang model matematika adalah model di salah satu makna yang

dijelaskan di atas, kecuali dalam arti (4), yang diungkapkan dengan menggunakan nomenklatur matematika dan

sintaks. Namun, untuk memiliki diskusi ilmiah dan perdebatan penting untuk memiliki definisi yang jelas dan tepat

dari konsep-konsep yang terlibat dan gagasan mungkin. Dalam kasus model matematika dan pemodelan matematika

dari perspektif pendidikan matematika ini bukan masalah sepele, dan bab ini bertujuan untuk memberikan (tidak

komprehensif) ikhtisar dari beberapa aspek masa lalu dan perdebatan saat ini (Bergman, 2009)

(Ogborn, 1994), dikutip dalam Molyneux-Hodgson, Rojano, Sutherland dan (Ursini, 1999, hal. 176), menjelaskan

pemodelan secara umum sebagai "berpikir tentang satu hal dalam hal hal buatan sederhana". Dalam penelitian

pendidikan matematika ini 'hal-hal buatan meringis' sebagian besar waktu adalah kosakata matematika dan sintaks.

(Lingefjärd, 2006), menggambar pada (Swetz dan Hartzler, 1991) tidak hanya ini: "Model matematika dapat

didefinisikan sebagai proses matematis yang melibatkan mengamati fenomena, conjecturing hubungan, menerapkan

analisis matematika (persamaan, struktur simbolik, dll) , memperoleh hasil matematika, dan menafsirkan model.

"(hal. 96) (Ang, 2009) mengemukakan bahwa model matematika dapat dianggap" sebagai suatu proses inwhich ada

urutan tugas yang dilakukan dengan maksud untuk memperoleh wajar matematika representasi dari dunia nyata ".

Beberapa pendidik matematika mendefinisikan pemodelan matematika sebagai proses "menggunakan kekuatan

matematika untuk memecahkan masalah dunia nyata" (Hebborn, Parramore & Stephens, 1997, hal. 42).

Meskipun banyak perbedaan pendapat di antara para peneliti pada istilah "model matematika", salah satu fitur

umum yang terjadi mencolok sepanjang opini beragam model matematika dapat diidentifikasi: pemodelan

matematika melibatkan masalah kehidupan nyata (Kaur & Dindyal, 2010) Model kegiatan memunculkan adalah

didefinisikan sebagai kegiatan pemecahan masalah yang dibangun menggunakan prinsip-prinsip tertentu dari desain

pembelajaran di mana siswa memahami situasi yang bermakna, dan menciptakan, memperluas, dan memperbaiki

konstruksi matematika mereka sendiri. Dengan kata lain, sementara tujuan pemecahan masalah tradisional untuk

memproses informasi dengan prosedur yang diberikan, Model memunculkan adalah proses itu sendiri. Tujuan dari

proses ini adalah bagi siswa untuk mengambil model mereka menimbulkan melalui pemecahan masalah asli dan

menerapkannya pada masalah baru (Kaiser & Sriraman, 2006).

1.3.Problem Solving dan Modelling - Persamaan dan Perbedaan

Stillman membuat perbedaan yang sangat baik dan bermakna antara aplikasi dan pemodelan. Dia menyatakan

bahwa Dalam aplikasi matematika setter tugas dimulai dengan matematika dan menjangkau realitas. Seorang guru

merancang seperti tugas secara efektif bertanya: Di mana saya dapat menggunakan khusus ini bagian dari

pengetahuan matematika? Hal ini menyebabkan tugas yang menggambarkan penggunaan konten matematika

tertentu.

Mereka adalah jembatan yang berguna dalam pemodelan tetapi tidak pemodelan dalam diri mereka. (p. 305)

Dengan pemodelan matematika di sisi lain, setter tugas dimulai dengan kenyataan dan terlihat untuk matematika

sebelum akhirnya kembali ke realitas untuk menilai kegunaan dan keinginan dari model matematika untuk deskripsi

atau analisis situasi nyata. (p. 306), (Departemen Pendidikan. 2006b) pemecahan .problem biasanya didefinisikan

sehubungan dengan pemecah masalah dan proses pemecahan masalah melibatkan mencari cara untuk

memecahkan masalah, biasanya dengan fokus pada prosedur dan benar solusi yang benar. Sedangkan dalam

pemodelan, sifat tugas yang ditimbulkan sekarang fokus sehingga tugas-tugas yang tepat memerlukan interpretasi

informasi dan interpretasi dari hasil yang diinginkan. Hal ini paling baik dicapai dalam kelompok kooperatif siswa saat

mereka merancang dan mengidentifikasi kelemahan dalam model yang diusulkan, memahami keterbatasan, serta

pengujian dan merevisi model mereka memilih untuk pemecahan task.Problem dan pemodelan adalah proses yang

kompleks, tetapi untuk mendukung siswa '(Zawojewski , 2007) pemecahan dan pemodelan upaya masalah,

pendekatan telah dikembangkan untuk memandu berpikir siswa dan mendorong proses metakognitif (Kaur &

Dindyal 2010) .suatu hubungan antara pemecahan masalah dan pemodelan sebagai: (Zawojewski, Lesh, & Inggris,

2003)

• tim yang bekerja pada situasi masalah; • partisi situasi yang kompleks menjadi beberapa bagian;

• mengkomunikasikan informasi; dan • perencanaan, pemantauan dan menilai hasil langsung

1.4. satu set tahapan untuk pemodelan yang juga dapat digunakan untuk membantu siswa

1 mengamati fenomena dan menggambarkan masalah; 2. conjecturing hubungan antara faktor-faktor dan

interpretingthem matematis (mathematizing); 3. menerapkan analisis matematis yang sesuai dengan model; and4.

mendapatkan hasil dan menafsirkan mereka dalam konteks thephenomenon (p. 3). (Swetz & Hartzler, 1991)

Proses pemodelan yang dijelaskan oleh (Verschaffel, Greer dan De Corte 2000) seemsmore tepat. Para penulis ini

menggambarkan tahap-tahap berikut dalam proses di sekolah dasar themodelling:

1 memahami situasi dijelaskan; 2. membangun model matematika yang menggambarkan esensi ofthose elemen dan

hubungan tertanam dalam situasi yang arerelevant; 3. bekerja melalui model matematis untuk mengidentifikasi apa

followsfrom itu; 4. menafsirkan hasil pekerjaan komputasi untuk tiba di situasi apractical yang memunculkan model;

5. mengevaluasi bahwa hasilnya ditafsirkan dalam kaitannya dengan originalsituation tersebut; and6.

mengkomunikasikan hasil diinterpretasikan. (p. xii)

Belajar 1.5.cooperative dan pemodelan matematika

Kegiatan Pemodelan akan memerlukan wacana kelas dan organisasi kelompok mahasiswa yang ortogonal terhadap

pekerjaan independen atau mendengarkan kuliah-gaya explanationsAnderson dalam bab nya: pemecahan masalah

kolaboratif sebagai model di tahun-tahun ofschooling utama menarik beberapa persamaan dan perbedaan antara

problemsolving dan modeling. Dia mengacu pada contoh-contoh yang sesuai dan menetapkan bahwa pemecahan

masalah kolaboratif yang memerlukan proses useof seperti pertanyaan, menganalisis, penalaran dan evaluatingto

memecahkan tugas-tugas tertentu mencerminkan pemodelan matematika. Teachersthemselves harus mengalami

pemodelan matematika sehingga understandthe kebutuhan siswa mereka terlibat dalam pemodelan matematika.

Ng inher bab: pengalaman awal guru sekolah dasar withmathematical pemodelan menunjukkan bahwa lebih

scaffolding perlu toease guru ke dalam pelaksanaan tugas-tugas seperti di primaryclassrooms, khususnya dalam

memelihara perubahan pola pikir guru towardsaccepting beberapa representasi dari masalah, solusi yang beragam,

andwhat merupakan sebagai matematika dalam representasi.

1.6 masalah .Word

Dalam pengajaran umum praktek kebiasaan menghubungkan kegiatan kelas matematika dengan sehari-hari-Dia

pengalaman masih substansial didelegasikan kepada masalah kata. Tapi selain mewakili interaksi antara matematika

formal dan kenyataan, masalah kata sering satu-satunya cara memberikan siswa dengan pengalaman rasa dasar

dalam mathematisation dan pemodelan matematika.

Penelitian terbaru telah mendokumentasikan bahwa praktek masalah kata pemecahan dalam matematika sekolah

mempromosikan siswa pengecualian pertimbangan realistis dan "suspensi" akal-keputusan, dan jarang mencapai ide

pemodelan matematika dan mathematisation (lihat Verschaffel et al., 2000 , untuk review dari studi ini). Beberapa

studi menunjukkan dua alasan untuk kurangnya penggunaan pengetahuan kehidupan sehari-hari: faktor tekstual

yang berkaitan dengan sifat stereotip masalah buku teks yang paling sering digunakan, dan faktor-faktor presentasi

atau kontekstual yang terkait dengan practicesenvironments dan harapan terkait dengan budaya kelas masalah

matematika pemecahan. Selain penggunaan masalah stereotip dan iklim kelas yang menyertainya berhubungan

dengan keyakinan guru tentang tujuan pendidikan matematika. Hal ini menunjukkan perbedaan pandangan tentang

fungsi pendidikan masalah kata inmathematics. Para peneliti menghubungkan masalah kata untuk pemecahan

masalah dan aplikasi, sementara siswa-guru (dan mungkin guru pada umumnya) melihat masalah kata sebagai tidak

lebih, dan tidak kurang, dibanding latihan dalam empat operasi dasar yang juga memiliki pembenaran dan tempat

yang sesuai dalam pengajaran matematika, meskipun tentu tidak memihak pemodelan matematika (Blum & Niss,

1991).

Masalah kata (masalah juga disebut cerita atau masalah verbal) memiliki bersama sejarah dalam mengajar

matematika, terutama pada level.Verschaffel primer, Greer dan De Corte (2000) menjelaskan masalah kata deskripsi

asverbal situasi masalah, biasanya disajikan dalam sebuah schoolcontext, dimana satu atau pertanyaan yang lebih

dibangkitkan, jawaban yang dapat diperhitungkan diperoleh oleh aplikasi data operasi matematika tonumerical

tersedia dalam deskripsi soal. Masalah-masalah ini aregenerally digunakan oleh guru untuk menguji kemampuan

berpikir tingkat tinggi dan areusually dianggap sebagai lebih sulit oleh siswa. Kata problemsdescribe semacam

realitas atau konteks yang realistis untuk memecahkan problems.It dipahami bahwa aspek realistis adalah dari

perspektif thestudent yang akan terlibat dalam memecahkan masalah.

Masalah Word atau masalah cerita melibatkan beberapa jenis aplikasi matematika, Karena aplikasi melibatkan

penggunaan model dan beberapa aspek dari proses pemodelan, pemodelan tidak dapat diabaikan dalam kurikulum

primer (Kaur & Dindyal, 2010) Oleh karena itu; Masalah kata umumnya digunakan untuk mengajar tentang

theapplications matematika dan mereka menyediakan siswa sekolah dasar yang sangat baik avenuefor untuk terlibat

dalam kegiatan modeling. (Kaur & Dindyal 2010) (Reusser & STEBLER, 1997), mengidentifikasi beberapa aturan

kontekstual andassumptions pada bagian dari siswa yang tampaknya mempengaruhi keputusan mereka, untuk

memecahkan masalah matematika:

. Asumsikan bahwa setiap masalah yang disampaikan oleh guru atau buku teks masuk akal.

. Jangan mempertanyakan kebenaran atau kelengkapan masalah.

. Asumsikan bahwa hanya ada satu jawaban "benar" untuk setiap masalah.

. Berikan jawaban untuk setiap masalah yang disajikan kepada Anda.

. Gunakan semua nomor yang merupakan bagian dari masalah untuk menghitung solusi.

. Jika operasi matematika yang dipilih bekerja keluar tanpa sisa (merata), Anda mungkin di jalur yang benar.

. Jika masalah yang dianggap tak tentu, samar-samar, atau terpecahkan, pergi untuk interpretasi yang jelas

mengingat informasi dalam teks masalah dan pengetahuan Anda tentang operasi matematika.

. Jika Anda tidak mengerti masalah, melihat kata kunci, atau masalah diselesaikan sebelumnya dalam rangka untuk

menentukan operasi matematika.

1.7.Some poin yang perlu diperhatikan oleh guru tentang masalah kata yang digunakan sebagai tugas pemodelan

meliputi sebagai berikut: (Dindyal, 2009)

1 Sebuah konteks yang asing dapat menjadi rintangan utama bagi seorang anak yang ingin memodelkan situasi yang

dijelaskan dalam masalah. Dengan demikian, penting untuk memulai dengan situasi pemodelan yang tidak terlalu

rumit untuk child.2 tersebut. Masalah kata sangat bergantung pada bahasa yang digunakan dalam teks untuk

menggambarkan realitas atau konteks yang realistis. Semantik dapat menjadi hambatan yang besar untuk anak-anak

mendapatkan pemahaman yang baik dari realitas yang dijelaskan dalam teks masalah. Hal ini dapat mematikan

anak-anak dengan latar belakang bahasa yang buruk atau melukis gambar yang berbeda untuk beberapa anak. 3.

Dalam proses solusi, adalah penting bahwa guru tidak mengarahkan siswa untuk jenis matematika yang mereka akan

gunakan saat pemodelan situasi masalah. Lebih baik membiarkan siswa menggunakan prosedur matematika bahwa

mereka lebih percaya diri untuk use.4. Jika masalah kata yang serupa diulang untuk kelompok yang sama anak-anak

maka kita menjalankan risiko routinisingthe prosedur pemodelan yang mengalahkan tujuan menggunakan masalah

kata di tempat pertama. Masalah-masalah ini dapat menjadi tersamar praktek problems.5. Terlalu banyak masalah

kata dapat menyebabkan ketakutan umum pada bagian dari anak-anak bahkan termotivasi sangat tinggi. Juga, jika

masalah yang digunakan dalam kelas tidak sesuai dengan tingkat kemampuan anak-anak, maka mereka mungkin

mendapatkan tertarik dan kita dapat menjalankan risiko meremehkan perspektif pemodelan dan aplikasi yang kita

ingin menyorot untuk them.6. Karena kegiatan pemodelan selalu melibatkan beberapa jenis laporan, disarankan

untuk menginformasikan siswa tentang potensi pemirsa laporan. Siswa harus disarankan untuk menulis sebuah

pernyataan dari beberapa macam di akhir dari proses solusi.

1.7.1. klasifikasi masalah kata dari perspektif pemodelan (Galbraith & Stillman, 2001).

Masalah gegabah. Ini adalah masalah yang agak terpisah dari realitas. Sebagai contoh: Satu orang dapat menggali

lubang di tanah di 6 jam. 10 orang yang bekerja pada tingkat yang sama dapat menggali Lubang di berapa banyak

waktu?

Meskipun, itu adalah mungkin untuk menemukan jawaban numerik untuk masalah ini, itu tidak masuk akal untuk 10

orang yang akan menggali lubang yang sama pada tingkat yang sama dan pada waktu yang sama. Masalah Context-

dipisahkan. Dalam masalah ini konteksnya adalah cukup buatan dan dapat dilucuti untuk mengekspos murni

mathematicalproblem. Sebagai contoh: Kevin pergi ke toko dengan 10 koin, yang antara lain includesome 10 sen, 20

sen, dan koin 50 sen. Apakah uang amountof terbesar bahwa ia dapat menghabiskan di toko?

Konteks pergi ke toko tidak benar-benar penting dan dapat beignored. Kami hanya dapat meminta untuk jumlah

terbesar dari uang yang bisa bespent. Masalah aplikasi standar. Dalam masalah ini matematika iscontext-terkait dan

situasi yang realistis. Namun, prosedur isstandard sebagai solver yang cued beberapa informasi penting.

Sebagai contoh:

Satu bus bisa duduk 30 penumpang. Cari jumlah bus yang dibutuhkan totake 250 orang ke pusat perbelanjaan (tidak

ada orang yang bisa ditinggalkan).

Ada isyarat bahwa tidak ada orang bisa ditinggalkan. Cukup sering alasan whysuch masalah ditetapkan adalah bahwa

kita berharap anak-anak untuk memahami bahwa nobodycan ditinggalkan. Masalah Modelling. Ini adalah masalah

pemodelan khas di mana tidak ada matematika muncul dalam pernyataan masalah, di mana rumusan masalah,

dalam istilah matematika, harus dipasok oleh modeller tersebut. Sebagai contoh:

Tom ingin mengetahui berapa banyak apel yang dimakan oleh para mahasiswa di sekolah dalam sebulan. Jelaskan

bagaimana ia bisa melakukan masalah sehingga Pemodelan di tingkat sekolah dasar juga dapat diklasifikasikan sesuai

dengan sejauh mana beberapa struktur disediakan dalam masalah. Dari perspektif ini, klasifikasi luas dari masalah

kata dapat mencakup tiga jenis masalah: masalah terstruktur, masalah semi-terstruktur dan tidak terstruktur

masalah. Deskripsi dan contoh dari masing-masing berikut: (Kaur & Dindyal 2010) masalah terstruktur: terstruktur

masalah masalah kata tradisional di mana konteks nyata masuk akal dijelaskan dan semua informasi yang

dibutuhkan tersedia. Para siswa tidak perlu mengumpulkan data atau membuat jenis pengukuran. Mereka sudah

tahu apa angka yang terlibat. Masalahnya ditutup sebagai data yang tersedia dalam masalah meninggalkan

tanggapan kreatif sedikit ruang. Tom memiliki 24 kelereng. Jerry memiliki 18 kelereng. Berapa banyak kelereng dari

Tom Jerry tidak miliki? Masalah semi-terstruktur: Dalam jenis masalah, konteks kehidupan nyata dijelaskan dan

beberapa data biasanya tersedia, umumnya dalam sebuah tabel. Siswa harus menginterpretasikan data yang

diberikan untuk menyelesaikan tugas pemodelan. Pertanyaan-pertanyaan terbuka dan siswa memiliki kesempatan

untuk memberikan beberapa tanggapan kreatif. Masalah Unstructured: Jenis ini masalah disebut sebagai masalah

pemodelan khas oleh Galbraith dan Stillman (2001). Bandara pemodelan masalah di mana tidak ada matematika

muncul dalam pernyataan masalah, di mana rumusan masalah, dalam istilah matematika, harus dipasok oleh

modeller tersebut. Cari jumlah koin yang siswa di sekolah Anda membawa pada hari tertentu.

Masalah ini sangat berbeda dari masalah lain dan akan lebih menuntut pada rata-rata anak karena ada sedikit

dukungan atau struktur yang tersedia untuk memecahkan masalah. Beberapa estimasi perlu dibuat dan beberapa

data perlu dikumpulkan. Siswa dapat memodelkan masalah tersebut dengan berbagai cara dan dapat memberikan

respon kreatif.

Tugas Moreve rmodelling di sekolah dasar dapat berupa tipe generalisasi, visualisasi mental yang

2 Diskusi dan Kesimpulan

Dalam beberapa dekade terakhir, pemecahan masalah anak-anak mereka telah terlibat dalam situasi di mana

"kodrat," yang "tujuan," dan "hukum" langkah-langkah solusi telah ditetapkan dengan jelas; yaitu, proses

interpretasi untuk anak telah diminimalkan atau dihilangkan. Kesulitan untuk pemecah hanya bekerja keluar

bagaimana untuk mendapatkan dari negara diberikan kepada negara tujuan. Solusi untuk masalah ini biasanya

jawaban singkat yang diperoleh dari penerapan strategi solusi diajarkan sebelumnya, seperti "rasa dan periksa," atau

"menggambar diagram." Selain itu, meskipun masalah ini bisa merujuk ke situasi kehidupan nyata, matematika

terlibat dalam memecahkan mereka sering tidak dunia nyata dan jarang mengerjakan soal memberikan kesempatan

eksplisit untuk peserta didik untuk menggeneralisasi dan menerapkan ulang pembelajaran mereka (Inggris & Lesh,

2003). Meskipun tidak menyangkal pentingnya pengalaman masalah ini, mereka tidak menyikapi secara memadai

pengetahuan, proses, dan perkembangan sosial yang siswa butuhkan dalam berurusan dengan sistem yang semakin

canggih dari masyarakat kita. Kegiatan pemodelan matematika, dalam bentuk studi kasus yang berarti bagi anak-

anak, menyediakan satu cara di mana kita dapat mengatasi kekurangan ini

Kami ingin semua siswa terlibat dalam tugas-tugas matematika yang kaya untuk percaya pada diri mereka sebagai

pemikir matematika, dan untuk dapat membangun pengetahuan mereka, keterampilan, dan identitas mahasiswa

matematika yang sukses. Untuk melakukannya, mengharuskan guru dan siswa mengembangkan harapan bersama

untuk berpartisipasi dalam diskusi matematika dan guru memberikan petunjuk yang jelas dan eksplisit dan

pemodelan matematika yang berhubungan dengan praktik argumentasi.

Pemodelan tujuan, antara lain, menyediakan siswa dengan ketakutan yang lebih baik dari konsep-konsep

matematika, mengajar mereka untuk merumuskan dan memecahkan situasi-masalah tertentu, terjaga indra kritis

dan kreatif, dan membentuk sikap mereka terhadap matematika dan gambar mereka itu (ICMI Jenjang 14, 2002)

Di antara masalah yang diberikan kepada siswa masalah pemodelan terstruktur tentu jenis yang paling menuntut

kegiatan karena melibatkan beberapa jenis pengumpulan data dan analisis. Masalah tersebut mungkin tidak berada

dalam jangkauan semua murid, meskipun mungkin ada beberapa pengecualian. Lebih baik bagi guru untuk memulai

dengan masalah pemodelan terstruktur dan kemudian dilanjutkan ke masalah pemodelan semi-terstruktur akhirnya

mengarah pada masalah pemodelan terstruktur bagi siswa yang lebih mampu (Kaur & Dindyal, 2010)

Kami menekankan bahwa proses membawa "dunia nyata ke dalam matematika" dengan memulai dari siswa sehari-

hari (Bonotto, 2001) pengalaman hidup, adalah praktik inschool mendasar bagi pengembangan pengetahuan

matematika baru. Howeverit ternyata diperlukan, tetapi tidak cukup, untuk mendorong misalnya sikap apositive

terhadap matematika, dimaksudkan baik sebagai deviceto efektif tahu dan kritis menafsirkan realitas, dan sebagai

pemikiran activity.We menarik berpendapat bahwa tujuan pendidikan ini hanya bisa sepenuhnya fulfilledif siswa dan

guru dapat membawa matematika menjadi kenyataan. Dengan kata lain, selain "mathematising pengalaman sehari-

hari" itu perlu untuk menjadi "everydaying matematika" (Bonotto, 2001). Hal ini dapat diimplementasikan di kelas

dengan mendorong siswa untuk menganalisis tertanam 'fakta matematika' dalam 'artefak budaya' yang sesuai;

memang ada banyak matematika tertanam dalam kehidupan sehari-hari (Bonotto, 2007).

Menurut (Blum & Niss, 1991) lima argumen prinsip berikut dipanggil dalam literatur untuk penyertaan pemodelan

matematika dalam pendidikan matematika: 1 Argumen formatif berfokus pada pengembangan siswa dari

kemampuan umum dan sikap seperti mendorong masalah eksploratif dan kreatif memecahkan kompetensi serta

keterbukaan pikiran dan kepercayaan diri; 2. kompetensi kritis 'argumen menekankan pentingnya untuk membuat

siswa sadar penggunaan dan kemungkinan penyalahgunaan matematika dalam masyarakat; 3 Argumen utilitas

menekankan penggunaan matematika di luar matematika domain profesional dan pribadi; 4. 'gambaran

matematika' argumen bertujuan untuk memberikan para siswa dengan gambar facetted kaya matematika sebagai

ilmu pengetahuan dan merupakan bagian integral dari masyarakat dan budaya; 5. The 'mempromosikan belajar

matematika' argumen menekankan aspek instrumental pemodelan pada siswa belajar pengetahuan matematika.

Beberapa poin lain yang perlu diperhatikan oleh guru tentang masalah kata yang digunakan sebagai tugas

pemodelan termasuk berikut: (Dindyal, 2009)

1 Sebuah konteks yang asing dapat menjadi rintangan utama bagi seorang anak yang ingin memodelkan situasi yang

dijelaskan dalam masalah. Dengan demikian, penting untuk memulai dengan situasi pemodelan yang tidak terlalu

rumit untuk child.2 tersebut. Masalah kata sangat bergantung pada bahasa yang digunakan dalam teks untuk

menggambarkan realitas atau konteks yang realistis. Semantik dapat menjadi hambatan yang besar untuk anak-anak

mendapatkan pemahaman yang baik dari thereality dijelaskan dalam teks masalah. Hal ini dapat mematikan anak-

anak withpoor latar belakang bahasa atau melukis gambar yang berbeda untuk somechildren.3. Dalam proses solusi,

adalah penting bahwa guru tidak directthe siswa dengan jenis matematika yang mereka akan menggunakan

whilemodelling situasi masalah. Lebih baik membiarkan prosedur siswa usemathematical bahwa mereka lebih

percaya diri untuk use.4. Jika masalah kata yang serupa diulang untuk anak-anak groupof sama maka kita

menjalankan risiko routinisingthe modellingprocedure yang mengalahkan tujuan menggunakan masalah kata inthe

tempat pertama. Masalah-masalah ini dapat menjadi practiceproblems.5 terselubung. Terlalu banyak masalah kata

dapat menyebabkan ketakutan umum tentang thepart anak bahkan termotivasi sangat tinggi. Juga, jika

problemsused di kelas tidak sesuai dengan tingkat kemampuan anak-anak, maka theymay mendapatkan tertarik dan

kita dapat menjalankan risiko meremehkan themodelling dan perspektif aplikasi yang kita ingin menyorot forthem.6.

Karena kegiatan pemodelan selalu melibatkan beberapa jenis laporan, itis dianjurkan untuk menginformasikan siswa

tentang potensi pemirsa dari thereport. Siswa harus disarankan untuk menulis sebuah pernyataan dari beberapa

macam di akhir dari proses solusi.

Untuk kemungkinan nyata untuk menerapkan semacam ini kegiatan kelas, ada juga perlu menjadi

perubahan radikal pada bagian dari guru. Mereka harus mencoba: i) untuk mengubah sikap mereka terhadap

matematika yang dipengaruhi oleh cara itu dipelajari; ii) untuk merevisi keyakinan mereka tentang peran

pengetahuan sehari-hari dalam memecahkan masalah matematika; iii) untuk melihat matematika dimasukkan ke

dalam dunia nyata sebagai titik awal untuk kegiatan matematika di kelas, sehingga merevisi praktek kelas mereka

saat ini, dan iv) menyelidiki ide-ide matematika dan praktek budaya, etnis, komunitas linguistik pupils.Only mereka

dengan cara ini dapat budaya kelas yang berbeda menjadi attained.Finally guru harus siap untuk membuat dan

mengelola situasi terbuka, yang terus-menerus mengubah dan yang ia / dia tidak bisa meramalkan evolusi formal

maupun hasil (Bonotto, 2007) a) hambatan inersia sistemik, hambatan yang berkaitan dengan kebiasaan guru dan

keyakinan, serta keterampilan mengajar guru dan pendidik guru, tetapi juga keseimbangan kekuatan di dalam ..

subjek tentang keterampilan contoh dasar v pemecahan masalah, atau v murni diterapkan mathematics.b)

hambatan dunia nyata, memperkenalkan dunia nyata di kelas matematika membuat tugas sudah menuntut

mengajar matematika (matematika dalam arti sebagai abstraksi murni ) bahkan lebih menuntut dan penambahan

complicated.In, adalah model 'matematika yang tepat' c) penghalang terbatas pengembangan profesional;?

kurikulum berubah panggilan untuk pengembangan profesional guru melalui berlatih misalnya program pendidikan

yang memadai in-service guru penambahan courses.In harus up-to-date dan mencakup aspek pengajaran dan

pembelajaran matematika modelling.Generally kursus dan program seperti rare.d) peran dan sifat penelitian dan

pengembangan di bidang pendidikan, argumen adalah bahwa penelitian pendidikan "tidak terorganisasi dengan baik

untuk mengubah wawasan penelitian meningkatkan praktek "(hal. (Burkhardt 192)., 2006).

Kita harus tahu bahwa lebih jarang siswa bekerja sama dalam kelompok-kelompok kecil, semakin tinggi prestasi

matematika. Tampaknya bahwa penggunaan berlebihan dari praktek ini tidak selalu meningkatkan prestasi

matematika (Jurdak, 2009) .and Ini tidak akan mungkin menuliskan daftar semua keterampilan yang mungkin

diperlukan dalam mengembangkan model matematika. Mereka banyak dan beragam: beberapa dari mereka

mungkin dapat digambarkan sebagai intuitif, yang lain berasal dari pengalaman panjang dan praktek, dan beberapa

bisa digambarkan sebagai hanya akal sehat

Manfaat pemodelan pengenalan di sekolah, yang bera:

Pemodelan matematika memungkinkan siswa untuk menghubungkan matematika kelas dengan dunia nyata, yang

menunjukkan penerapan ide-ide matematika (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009). Mengingat masalah dunia

nyata, siswa perlu memahami situasi dunia nyata dan membuat asumsi untuk merancang metode matematika untuk

mengatasi masalah itu. Dengan demikian, pemodelan matematika memperdalam pemahaman dan memperkaya

siswa siswa belajar matematika. Ketika siswa bekerja dalam kelompok untuk mengatasi masalah itu, mereka juga

mengembangkan keterampilan abad ke-21 penting seperti kemampuan belajar kolaboratif dan keterampilan

metakognitif (Tanner & Jones, 2002; McClure & Sircar, 2008).

Saya percaya bahwa merendam siswa dalam situasi yang dapat berhubungan dengan pengalaman langsung mereka

sendiri dan lebih konsisten dengan disposisi rasa pembuatan, memungkinkan mereka untuk memperdalam dan

memperluas pemahaman mereka tentang ruang lingkup dan kegunaan matematika serta cara berpikir matematis

belajar yang didukung oleh mathematising situasi. Selanjutnya dengan cara ini kita dapat merancang kesempatan

yang lebih baik bagi anak-anak untuk mengembangkan pengetahuan matematika yang lebih lebar dari mereka akan

mengembangkan di luar sekolah, tetapi juga menjaga fokus pada makna yang ditemukan dalam situasi sehari-hari

(Bonotto, 2007)

siswa belajar untuk meminta jenis tertentu pertanyaan yang hanya dapat dijawab dengan cara matematika (Swan,

Turner, Yoon & Muller, 2007) Pemodelan memfasilitasi pengembangan kompetensi dalam penggunaan sistem

matematika simbolik dan formal. Kesempatan Powerfull muncul bagi siswa untuk memperkuat pemahaman mereka

tentang sistem tersebut dengan:

• penempaan hubungan antara konteks dan ekspresi matematis formal terkait dengan konteks tersebut, •

memotivasi studi aplikasi formulasi matematika abstrak (P280) (Swan, Turner, Yoon & Muller, 2007).

Modelling adalah promotor kuat makna dan pemahaman dalam matematika. Ketika disajikan dengan masalah diatur

dalam beberapa konteks dunia nyata, siswa merumuskan pertanyaan tentang konteks dan berpikir tentang

kegunaan pengetahuan matematika mereka untuk menyelidiki pertanyaan. Mereka inmiediately didorong untuk

menghubungkan pengetahuan matematika mereka dengan konteks eksternal. Pemikiran matematika dipromosikan,

dan keterampilan penalaran itu dilakukan, sebagai siswa berusaha untuk membuat koneksi tersebut. (P282) (Swan,

Turner, Yoon & Muller, 2007)

Pemodelan mendorong penalaran melalui proses melengkapi penyederhanaan dan elaborasi. Penyederhanaan

meliputi: menganalisis unsur-unsur situasi masalah; mengidentifikasi fitur yang lebih atau kurang penting; membuat

asumsi yang mungkin membantu dalam membuat masalah lebih setuju untuk analisis; mengidentifikasi sub-masalah;

melanggar masalah ke komponen esensialnya; memperluas komponen dan mencari representasi yang cocok untuk

membantu memperjelas dan mengeksplorasi komponen yang dipilih dan bekerja menuju mathematisation berguna

dari masalah; dan mendefinisikan cara yang jelas mendekati masalah yang harus diselesaikan. Elaborasi bekerja

melalui meninjau dan menyempurnakan hasil awal pemodelan, untuk memungkinkan kemajuan pengembangan

lebih lanjut dari model yang lebih lengkap dan solusi yang lebih umumnya berlaku untuk masalah asli. Rocesses ini

melibatkan siswa dalam rantai panjang penalaran. (P281) (Swan, Turner, Yoon & Muller, 2007)

Berbeda dengan masalah sekolah khas, tugas pemodelan tidak menyajikan ide-ide kunci matematika "di depan."

Sebaliknya, konstruksi matematika penting yang tertanam dalam konteks masalah dan ditimbulkan oleh anak-anak

saat mereka bekerja masalah pemodelan. (English & air, 2005)

Masalah pemodelan adalah situasi realistis kompleks di mana siswa terlibat dalam

pemikiran matematika (di luar itu masalah sekolah tradisional) dan menghasilkan alat-alat konseptual yang

diperlukan untuk beberapa tujuan (Lesh & Zawojewski, Dalam pers). Pemodelan masalah asuh dan mengungkapkan

pemikiran matematika anak-anak sehingga memungkinkan guru untuk memanfaatkan wawasan yang diperoleh

dalam perkembangan matematika anak-anak mereka (Inggris & air, 2005) Jika kita ingin membangun situasi

pemodelan matematika realistik, dalam arti "baik dunia nyata berdasarkan dan kuantitatif dibatasi sensemaking

"dalam kegiatan pemecahan masalah, kita haveto: i) mengubah jenis kegiatan yang ditujukan untuk menciptakan

interaksi antara dunia nyata dan matematika terhadap situasi masalah yang lebih realistis dan kurang stereotip; ii)

'konsepsi keyakinan tentang dan sikap terhadap matematika (ini berarti mengubah guru perubahan siswa konsepsi,

keyakinan dan sikap juga); dan iii) budaya kelas perubahan dengan membangun ruang kelas baru norma sosial

matematika (Reusser & STEBLER, 1997).

Dalam pemodelan, siswa mengalami perwujudan konkret dari konsep-konsep matematika baru. . (p284) (Swan,

Turner, Yoon & Muller, 2007) Dari perspektif teoretis, baik bantuan pemberi dan penerima bantuan-dapat

mengambil manfaat dari berbagi informasi, khususnya penjelasan atau deskripsi rinci tentang bagaimana untuk

memecahkan masalah atau melaksanakan tasks.Gibing penjelasan dapat membantu explainer untuk mengenali dan

bahan kejelasan, mengakui kesalahpahaman, mengisi kesenjangan dalam pemahaman sendiri, menginternalisasi dan

memperoleh strategi baru dan pengetahuan, dan mengembangkan perspektif baru dan pemahaman (Bargh & Schul

190; Raja 1992; Peterson et al.1981 ; Rogoff 1991; Saxe et al.1993; Valsiner 1987; Webb 1991; acoording ke (Noreen

& Webb, 2008) .. masalah memungkinkan beberapa pendekatan untuk solusi dan dapat diselesaikan pada tingkat

yang berbeda dari kecanggihan, sehingga memungkinkan semua anak untuk memiliki akses ke konten penting

matematika (perairan Inggris & 2005).