Translet Hal 393-410 Mrz

25
393-410 0,3 m / s. Tabulasi dan plot hasilnya. Ulangi 8-89 Prob. 8-87 untuk pipa plastik. Alir dan Pengukuran Velocity 8-90C Apa pertimbangan utama ketika memilih sebuah flowmeter untuk mengukur laju aliran cairan? 8-91C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan Pitot- static tabung, dan mendiskusikan keuntungan dan kerugiannya dengan hormat biaya, penurunan tekanan, kehandalan, dan akurasi. 8-92C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan obstructiontype flowmeters. Bandingkan orifice meter, aliran nozel, dan Meter venturi sehubungan dengan biaya, ukuran, kehilangan kepala, dan akurasi. 8-93C Bagaimana flowmeters perpindahan positif beroperasi? Mengapa biasanya digunakan untuk meteran bensin, air, dan gas alam? 8-94C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan turbin flowmeter, dan mendiskusikan bagaimana mereka dibandingkan dengan jenis lain flowmeters sehubungan dengan biaya, kehilangan kepala, dan akurasi. 8-95C Apa prinsip operasi dari variabel-daerah flowmeters (rotameter)? Bagaimana mereka dibandingkan dengan yang lain jenis flowmeters sehubungan dengan biaya, kehilangan kepala, dan kehandalan? 8-96C Apa perbedaan antara prinsip-prinsip operasi dari anemometers termal dan laser Doppler?

description

translet pdf

Transcript of Translet Hal 393-410 Mrz

393-410 0,3 m / s. Tabulasi dan plot hasilnya. Ulangi 8-89 Prob. 8-87 untuk pipa plastik. Alir dan Pengukuran Velocity 8-90C Apa pertimbangan utama ketika memilih sebuah flowmeter untuk mengukur laju aliran cairan? 8-91C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan Pitot-static tabung, dan mendiskusikan keuntungan dan kerugiannya dengan hormat biaya, penurunan tekanan, kehandalan, dan akurasi. 8-92C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan obstructiontype flowmeters. Bandingkan orifice meter, aliran nozel, dan Meter venturi sehubungan dengan biaya, ukuran, kehilangan kepala, dan akurasi. 8-93C Bagaimana flowmeters perpindahan positif beroperasi? Mengapa biasanya digunakan untuk meteran bensin, air, dan gas alam? 8-94C Jelaskan bagaimana laju aliran diukur dengan turbin flowmeter, dan mendiskusikan bagaimana mereka dibandingkan dengan jenis lain flowmeters sehubungan dengan biaya, kehilangan kepala, dan akurasi. 8-95C Apa prinsip operasi dari variabel-daerah flowmeters (rotameter)? Bagaimana mereka dibandingkan dengan yang lain jenis flowmeters sehubungan dengan biaya, kehilangan kepala, dan kehandalan? 8-96C Apa perbedaan antara prinsip-prinsip operasi dari anemometers termal dan laser Doppler? 8-97c Apa perbedaan antara Doppler laser velocimetry (LDV) dan partikel velocimetry gambar (PIV)? 8-98 Laju aliran amonia pada 10 C (624,6 kg/m3 dan = 697. 10 -4 kg / m s) melalui 3-cm-diameter pipa harus diukur dengan nozzle aliran 1,5 cm-diameter dilengkapi dengan pengukur tekanan diferensial. Jika pengukur membaca perbedaan tekanan dari 4 kPa, menentukan laju alir amonia melalui pipa, dan kecepatan aliran rata-rata. 8-99 Laju aliran air melalui pipa 10-cm-diameter akan ditentukan dengan mengukur kecepatan air di beberapa lokasi di sepanjang penampang. Untuk set pengukuran diberikan dalam tabel, menentukan laju aliran. 8-100E .GAMBAR P8-103 8-101E Ulangi Prob. 8-100E untuk ketinggian diferensial 9 in 8-102 Laju aliran air pada 20 C ( =998 kg/m3 dan 1.002. 10 & 3 kg / m s) melalui pipa 50-cm-diameter diukur dengan orifice meter dengan 30-cm-diameter pembukaan menjadi 250 L / s. Tentukan perbedaan tekanan ditunjukkan oleh orifice meter dan hilangnya kepala. 8-103 A Venturi meter yang dilengkapi dengan tekanan diferensial pengukur digunakan untuk mengukur laju aliran air pada 15 C (999,1 kg/m3) melalui pipa horizontal 5-cm-diameter. Diameter leher Venturi adalah 3 cm, dan diukur pressure drop adalah 5 kPa. Mengambil koefisien debit untuk menjadi 0.98, menentukan laju aliran volume air dan rata-rata . kecepatan melalui pipa Jawaban: 2,35 L / s dan 1,20 m / s 8-104 Mempertimbangkan kembali Prob. 8-103. Membiarkan tekanan turun bervariasi dari 1 kPa sampai 10 kPa, mengevaluasi laju aliran pada interval dari 1 kPa, dan plot terhadap tekanan turun. 8-105 Laju aliran massa udara pada 20 C (1,204 kg/m3) melalui saluran 15-cm-diameter diukur dengan Venturi meteran dilengkapi dengan manometer air. The Venturi leher memiliki diameter 6 cm, dan manometer sudah maksimal ketinggian diferensial dari 40 cm. Mengambil koefisien debit menjadi 0,98, menentukan laju aliran massa maksimum udara ini Venturi meter dapat mengukur Jawaban:. 0.273 kg / s GAMBAR P8-107 8-106 Ulangi Prob. 8-105 untuk diameter leher Venturi dari 7,5 cm. 8-107 Argometer Venturi vertikal dilengkapi dengan sebuah diferensial tekanan pengukuran ditunjukkan pada Gambar. P8-107 digunakan untuk mengukur tingkat propana cair mengalir pada 10 C (514,7 kg/m3) melalui pipa vertikal 8-cm-diameter. Untuk koefisien debit dari 0,98, menentukan laju aliran volume propana melalui pipa. 8-108 A nozzle aliran dilengkapi dengan tekanan diferensial pengukur digunakan untuk mengukur laju aliran air pada 10 C (=999,7 kg/m3 dan 1.307. 10 -4 kg / m s) melalui 3 -cm-diameter pipa horisontal. Diameter exit nozzle 1.5 cm, dan penurunan tekanan yang diukur adalah 3 kPa. Tentukan laju aliran volume air, kecepatan rata-rata melalui pipa, dan hilangnya kepala. GAMBAR P8-108 8-109 Sebuah tangki minyak tanah 16-L ( 820 kg/m3) diisi dengan selang 2-cm-diameter dilengkapi dengan nozzle 1,5 cm-diameter meteran. Jika dibutuhkan 20 untuk mengisi tangki, menentukan tekanan Perbedaan yang ditunjukkan oleh meter nozzle. 8-110 Laju aliran air pada 20 C (998 kg/m3 dan 1.002. 10 & 3 kg / m s) melalui pipa 4-cm-diameter diukur dengan nozzle meter 2-cm-diameter dilengkapi dengan sebuah manometer air-air terbalik. Jika manometer menunjukkan GAMBAR P8-110 ketinggian air diferensial dari 32 cm, tentukan volume laju aliran air dan hilangnya kepala yang disebabkan oleh nozzle meteran. 8-111E Laju aliran volume cairan pendingin-134a di 10 F (r= 83.31 lbm/ft3) harus diukur dengan horisontal Venturi meter dengan diameter 5 di pada inlet dan 2 di tenggorokan. Jika meter tekanan diferensial menunjukkan tekanan penurunan sebesar 7,4 psi, menentukan laju aliran refrigeran. Ambil koefisien debit dari meteran Venturi menjadi 0,98. ULASAN MASALAH 8-112 persyaratan udara tekan dari manufaktur fasilitas dipenuhi oleh kompresor 150-hp yang menarik di udara dari luar melalui 8-m panjang, 20-cm-diameter duct terbuat dari lembaran tipis besi galvanis. Kompresor mengambil dalam udara pada tingkat 0,27 m3 / s pada kondisi outdoor dari 15 C dan 95 kPa. Mengabaikan kerugian kecil, menentukan daya yang berguna yang digunakan oleh kompresor untuk mengatasi gesekan yang . kerugian dalam saluran Answer: 9,66 W 8-113 Sebuah rumah dibangun di atas sungai yang harus didinginkan di musim panas dengan memanfaatkan air dingin dari sungai. Sebuah sec-tion 15-m panjang saluran stainless steel lingkaran berdiameter 20 cm melewati air. Air mengalir melalui bawah laut bagian dari saluran di 3 m / s pada suhu rata-rata 15 C. Untuk efisiensi fan keseluruhan 62 persen, menentukan kekuatan fan yang diperlukan untuk mengatasi hambatan aliran dalam hal ini bagian dari saluran. 8-114 Profil kecepatan aliran laminar berkembang penuh dalam pipa melingkar, dalam m / s, diberikan oleh u (r)= 6 (1 & 100 r 2), dimana r adalah jarak radial dari sumbu pipa dalam m. Tentukan (a) jari-jari pipa, (b) rata-rata kecepatan melalui pipa, dan (c) kecepatan maksimum pipa. 8-115E Profil kecepatan dalam laminar sepenuhnya dikembangkan aliran air pada 40 F dalam pipa melingkar horisontal 80-ft-panjang, dalam ft / s, diberikan oleh u (r)= 0.8 (1 & 625 r 2), di mana r adalah radial jarak dari garis tengah pipa di ft Menentukan (A) laju aliran volume air melalui pipa, (b) penurunan tekanan di pipa, dan (c) memompa berguna daya yang diperlukan untuk mengatasi penurunan tekanan ini. 8-116E Ulangi Prob. 8-115E dengan asumsi pipa yang cenderung 12 dari horisontal dan aliran menanjak. 8-117 Pertimbangkan mengalir dari reservoir melalui horisontal pipa panjang L dan diameter D yang menembus ke samping dinding pada H jarak vertikal dari permukaan bebas. Aliran Tingkat melalui pipa yang sebenarnya dengan bagian reentrant (KL = 0,8) akan jauh lebih kecil dari laju aliran melalui lubang dihitung dengan asumsi "gesekan" aliran dan dengan demikian nol loss. Mendapatkan hubungan untuk "diameter setara" dari pipa reentrant untuk digunakan dalam hubungan untuk aliran gesekan melalui sebuah lubang dan menentukan nilai untuk faktor gesekan pipa, panjang, dan diameter 0.018,, 10 m, dan 0,04 m masing-masing. Asumsikan faktor gesekan pipa tetap konstan dan efek dari energi kinetik faktor koreksi untuk dapat diabaikan. 8-118 Air harus ditarik dari air 5-m-tinggi waduk dengan pengeboran sumur-bulat lubang 3-cm-diameter dengan kerugian diabaikan pada permukaan bawah dan melampirkan horisontal 90 tikungan panjang diabaikan. Mengambil energi kinetik faktor koreksi menjadi 1,05, menentukan laju aliran air melalui tikungan jika (a) tikungan adalah tikungan halus bergelang dan (b) tikungan adalah tikungan mitra tanpa baling-baling Answers.:(A) 0,00603 m3 / s, (b) 0,00478 m3 / s 8-119 Dalam sistem district heating panas bumi, 10.000 kg / s air panas harus disampaikan jarak dari 10 km dalam pipa horisontal. Kerugian kecil diabaikan, dan satu-satunya kehilangan energi yang signifikan akan muncul dari pipa gesekan. Faktor gesekan dapat diambil menjadi 0,015. Menentukan pipa berdiameter lebih besar akan mengurangi kecepatan air, head kecepatan, gesekan pipa, sehingga konsumsi daya. Tapi pipa yang lebih besar juga akan biaya lebih banyak uang pada awalnya untuk membeli dan menginstal. Dinyatakan lain, ada pipa optimum diameter yang akan meminimalkan jumlah biaya pipa dan masa depan biaya listrik. Asumsikan sistem akan berjalan 24 jam / hari, setiap hari, selama 30 tahun. Selama ini biaya listrik akan tetap konstan pada $ 0.06/kWh. Asumsikan kinerja sistem tetap konstan selama puluhan tahun (ini mungkin tidak benar, terutama jika air mineral yang sangat dilewatkan melalui pipa-the skala dapat membentuk). Pompa memiliki efisiensi keseluruhan 80 persen. Biaya untuk membeli, menginstal, dan melindungi 10-km pipa tergantung pada diameter D dan diberikan oleh Biaya = $ 106 D 2, di mana D adalah m. Dengan asumsi inflasi nol dan suku bunga untuk kesederhanaan dan nilai sisa nol dan nol biaya perawatan, menentukan diameter pipa optimum. 8-120 dalam air pada 15 C harus dibuang dari reservoir di tingkat 18 L / s dengan menggunakan dua pipa besi cor horisontal terhubung secara seri dan pompa di antara mereka. Pipa pertama adalah 20 m panjang dan memiliki diameter 6 cm, sedangkan pipa kedua adalah 35 m panjang dan memiliki diameter 4 cm. Tingkat air di waduk adalah 30 m di atas garis tengah pipa. Pipa masuk adalah tajam, dan kerugian yang terkait dengan koneksi pompa dapat diabaikan. Mengabaikan pengaruh faktor koreksi energi kinetik, menentukan diperlukan memompa kepala dan daya pompa minimum untuk mempertahankan laju aliran yang ditunjukkan GAMBAR P8-120 8-121 Mempertimbangkan kembali Prob. 8-120. Menggunakan EES (atau lainnya) software, meneliti efek dari kedua diameter pipa di kepala pompa yang diperlukan untuk mempertahankan laju alir yang ditunjukkan. Biarkan diameter bervariasi dari 1 sampai 10 cm di penambahan sebesar 1 cm. Tabulasi dan plot hasilnya. 8-122 Dua pipa diameter identik dan material terhubung secara paralel. Panjang pipa A adalah dua kali panjang pipa B. Dengan asumsi aliran sepenuhnya bergolak di kedua pipa dan dengan demikian faktor gesekan tidak tergantung pada Reynolds jumlah dan mengabaikan kerugian kecil, menentukan rasio . kecepatan aliran dalam dua pipa Jawaban: 0,707 8-123 Sebuah pipa yang mengangkut minyak pada 40 C pada tingkat dari 3 m3 / s bercabang menjadi dua pipa paralel terbuat dari baja komersial yang menyambung kembali hilir. Pipa A adalah 500 m panjang dan memiliki diameter 30 cm, sementara pipa B adalah 800 m panjang dan memiliki diameter 45 cm. Kerugian kecil dianggap diabaikan. Tentukan laju alir melalui masing-masing pipa paralel. GAMBAR P8-123 8-124 Ulangi Prob. 8-123 untuk aliran air panas dari kabupaten sistem pemanasan pada 100 C. 8-125E A air mancur akan dipasang di lokasi yang jauh dengan melampirkan pipa besi cor langsung ke air utama di mana air mengalir pada suhu 70 F dan 60 psig. Itu masuk ke pipa yang tajam, dan pipa 50-ft-panjang sistem melibatkan tiga tikungan 90 mitra tanpa baling-baling, sepenuhnya gate valve terbuka, dan sudut katup dengan koefisien kehilangan 5 ketika terbuka penuh. Jika sistem ini adalah untuk menyediakan air pada tingkat dari 20 gal / menit dan perbedaan elevasi antara pipa dan air mancur diabaikan, menentukan diameter minimum . dari sistem perpipaan Jawaban: 0,76 di GAMBAR P8-125E 8-126E Ulangi Prob. 8-125E untuk pipa plastik. 8-127 Dalam pembangkit listrik tenaga air, air pada 20 C diberikan ke turbin pada tingkat 0,8 m3 / s melalui 200-mlong, 0,35-m-diameter pipa besi cor. Perbedaan elevasi antara permukaan bebas dari reservoir dan turbin debit adalah 70 m, dan efisiensi turbin-generator gabungan adalah 84 persen. Mengabaikan kerugian kecil karena dari besar rasio panjang-to-diameter, menentukan listrik output daya tanaman ini. 8-128 Dalam Prob. 8-127, diameter pipa tiga kali lipat dalam rangka untuk mengurangi kerugian pipa. Tentukan persen peningkatan dalam output daya bersih sebagai hasil dari modifikasi ini. 8-129E The kebutuhan air minum dari kantor dipenuhi oleh botol air besar. Salah satu ujung dari 0,35-in-diameter, 6-ft-panjang selang plastik dimasukkan ke dalam botol ditempatkan pada berdiri tinggi, sedangkan ujung yang lain dengan on / off valve dipertahankan 3 ft di bawah bagian bawah botol. Jika tingkat air dalam botol adalah 1 ft ketika penuh, menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengisi kaca 8-oz (= 0,00835 ft3) (a) ketika botol pertama dibuka dan (b) ketika botol hampir kosong. Ambil Total koefisien kehilangan minor, termasuk tombol on / off valve, untuk menjadi 2,8 ketika terbuka penuh. Asumsikan suhu air menjadi sama dengan suhu ruangan 70 F. Jawaban: (a) 2,4 s, (B) 2,8 s GAMBAR P8-129E 8-130E Mempertimbangkan kembali Prob. 8-129E. Menggunakan EES (atau perangkat lunak lain), menyelidiki efek dari diameter selang waktu yang diperlukan untuk mengisi gelas ketika botol penuh. Biarkan diameter bervariasi 0,2-2 in, secara bertahap dari 0,2 inci tabulasi dan plot hasil. 8-131e Mempertimbangkan kembali Prob. 8-129E. Para pekerja kantor yang mengatur sistem menyedot membeli reel 12-ft-panjang tabung plastik dan ingin menggunakan semuanya untuk menghindari pemotongan itu di potong, berpikir bahwa itu adalah perbedaan elevasi yang membuat menyedot pekerjaan, dan panjang tabung tidak penting. Jadi dia menggunakan seluruh tabung 12-ft-panjang. Dengan asumsi belokan atau konstriksi dalam tabung tidak signifikan (menjadi sangat optimis) dan elevasi yang sama dipertahankan, menentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengisi segelas air untuk kedua kasus. 8-132 Sebuah pipa air melingkar memiliki ekspansi mendadak dari diameter D 1= 15 cm sampai 2 D= 20 cm. Tekanan dan kecepatan air rata-rata dalam pipa yang lebih kecil P 1= 120 kPa dan 10 m / s, masing-masing, dan aliran turbulen. Dengan menerapkan persamaan kontinuitas, momentum, dan energi dan Mengesampingkan efek dari energi kinetik dan momentumflux faktor koreksi, menunjukkan bahwa koefisien kerugian bagi ekspansi mendadak adalah KL= (1 & D 1 2 / D 2 2) 2, dan menghitung KL dan P 2 untuk kasus yang diberikan. GAMBAR P8-132 8-133 Air pada 20 C dalam 10-m-diameter, 2-m-tinggi kolam renang atas tanah harus dikosongkan dengan mencabut 3-cm-diameter, pipa plastik horisontal 25-m panjang terpasang ke dasar kolam. Menentukan tingkat awal discharge air melalui pipa dan waktu yang diperlukan untuk mengosongkan kolam renang benar-benar asumsi pintu masuk ke pipa adalah baik-bulat dengan kerugian diabaikan. Ambil gesekan Faktor pipa menjadi 0,022. Menggunakan debit awal kecepatan, memeriksa apakah ini adalah nilai yang masuk akal untuk gesekan faktor. Jawaban: 1,01 L / s, 86,7 h GAMBAR P8-133 8-134 Mempertimbangkan kembali Prob. 8-133. Menggunakan EES (atau lainnya) software, menyelidiki pengaruh debit diameter pipa pada waktu yang diperlukan untuk mengosongkan kolam renang sepenuhnya. Biarkan diameter bervariasi dari 1 sampai 10 cm, secara bertahap dari 1 cm. Tabulasi dan plot hasilnya. 8-135 Ulangi Prob. 8-133 untuk masuk tajam untuk pipa dengan KL=0.5. Apakah ini "kerugian kecil" benar-benar "kecil" atau tidak? Page 298 8-136 Sebuah sistem yang terdiri dari dua silinder yang saling berhubungan tangki dengan D 1= 30 cm dan D 2= 12 cm yang akan digunakan untuk menentukan koefisien debit dari D pendek 0= 5 mm orifice diameter. Pada awal (t= 0 s), ketinggian fluida di tank h-1= 50 cm dan h 2= 15 cm, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. P8-136. Jika dibutuhkan 170 s untuk tingkat cairan dalam dua tangki untuk menyamakan dan aliran berhenti, menentukan koefisien debit dari lubang itu. Mengabaikan kerugian lain yang terkait dengan aliran ini. GAMBAR P8-136 GAMBAR P8-137 8-137 A pembuangan cairan sangat kental dari wadah besar melalui tabung berdiameter kecil dalam aliran laminar. Mengabaikan efek masuk dan kepala kecepatan, memperoleh relasi untuk variasi kedalaman cairan di dalam tangki dengan waktu. 8-138 Seorang siswa adalah untuk menentukan viskositas kinematik minyak menggunakan sistem yang ditunjukkan pada Prob. 8-137. Awal tinggi cairan dalam tangki adalah H= 40 cm, diameter tabung adalah d = 6 mm, panjang tabung adalah L= 0,65 m, dan diameter tangki adalah D= 0,63 m. Siswa mengamati bahwa dibutuhkan 2.842 s untuk tingkat cairan dalam tangki turun menjadi 36 cm. Cari cairan viskositas. Desain dan Esai Masalah 8-139 kotak elektronik seperti komputer umumnya didinginkan oleh kipas angin. Menulis sebuah esai tentang dipaksa pendingin udara elektronik kotak dan pada pemilihan kipas untuk elektronik perangkat. 8-140 Rancanglah sebuah percobaan untuk mengukur viskositas cairan menggunakan corong vertikal dengan reservoir silinder ketinggian h dan bagian aliran sempit diameter D dan panjang L. Membuat asumsi yang tepat, mendapatkan hubungan viskositas dalam hal jumlah mudah diukur seperti kepadatan dan laju aliran volume. Apakah ada kebutuhan untuk penggunaan koreksi faktor? 8-141 pompa A harus dipilih untuk air terjun di taman. Air mengumpulkan di kolam di bagian bawah, dan elevasi perbedaan antara permukaan bebas dari kolam dan lokasi di mana air dibuang adalah 3 m. Laju aliran dari air setidaknya 8 L / s. Pilih motor yang sesuai memompa satuan untuk pekerjaan ini dan mengidentifikasi tiga produsen dengan nomor model produk dan harga. Membuat pilihan dan menjelaskan mengapa Anda memilih produk tertentu. Memperkirakan Juga biaya konsumsi daya tahunan unit ini dengan asumsi operasi terus-menerus. 8-142 Selama perjalanan berkemah Anda melihat bahwa air dibuang dari reservoir tinggi ke sungai di lembah melalui pipa plastik 30-cm-diameter. Perbedaan elevasi antara permukaan bebas dari waduk dan sungai adalah 70 m. Anda memahami gagasan menghasilkan listrik dari ini air. Desain pembangkit listrik yang akan menghasilkan kekuatan yang paling dari sumber daya ini. Juga, meneliti efek dari pembangkit listrik pada tingkat debit air. Apa tingkat debit akan memaksimalkan produksi listrik?

Bab 9 ANALISIS DIFERENSIAL OFFLUID FLOW Aku n bab ini kita memperoleh persamaan diferensial gerakan fluida, yaitu, kekekalan massa (persamaan kontinuitas) dan hukum kedua Newton (Persamaan Navier-Stokes). Persamaan ini berlaku untuk setiap titik di bidang aliran dan dengan demikian memungkinkan kita untuk memecahkan semua rincian aliran di mana-mana dalam domain aliran. Sayangnya, sebagian persamaan diferensial ditemui dalam cairan mekanik sangat sulit untuk memecahkan dan sering membutuhkan bantuan dari komputer. Juga, persamaan ini harus dikombinasikan bila diperlukan dengan persamaan tambahan, seperti persamaan negara dan persamaan untuk energi dan / atau transportasi spesies. Kami menyediakan langkah-demi-langkah prosedur untuk memecahkan set persamaan diferensial gerakan fluida dan mendapatkan solusi analitis untuk beberapa contoh sederhana. Kami juga memperkenalkan konsep fungsi aliran; kurva fungsi konstan berubah menjadi arus yang dalam medan aliran dua dimensi. 9-1= PENDAHULUAN Di Chap. 5, kami berasal kontrol versi volume hukum konservasi massa dan energi, dan Chap. 6 kita melakukan hal yang sama untuk momentum. Itu teknik kontrol volume berguna ketika kita tertarik pada fitur keseluruhan dari aliran, seperti laju aliran massa masuk dan keluar dari volume kontrol atau Pasukan net diterapkan pada tubuh. Sebuah contoh yang digambarkan pada Gambar. 9-1 a untuk kasus angin mengalir di sekitar parabola. Sebuah volume control persegi panjang adalah diambil sekitar sekitar parabola, seperti sketsa. Jika kita tahu udara kecepatan sepanjang seluruh permukaan kontrol, kita dapat menghitung reaksi bersih memaksa pada parabola tanpa pernah mengetahui rincian apapun tentang geometri. Interior volume kontrol pada kenyataannya diperlakukan seperti "kotak hitam" dalam analisis kita kontrol volume tidak dapat memperoleh pengetahuan yang terperinci tentang aliran sifat seperti kecepatan atau tekanan pada titik-titik di dalam volume atur. Analisis diferensial, di sisi lain, melibatkan penerapan diferensial persamaan gerak fluida untuk setiap dan setiap titik di medan aliran atas daerah disebut domain aliran. Anda dapat menganggap teknik diferensial sebagai analisis jutaan volume control kecil ditumpuk ujung ke ujung dan di atas satu sama lain di seluruh medan aliran. Dalam batas sebagai jumlah control kecil volume pergi ke infinity, dan ukuran masing-masing volume control menyusut ke titik, persamaan konservasi menyederhanakan ke satu set persamaan diferensial parsial yang berlaku pada setiap titik dalam aliran. Ketika dipecahkan, diferensial ini persamaan menghasilkan rincian tentang kecepatan, kepadatan, tekanan, dll, di setiap titik di seluruh domain aliran. Dalam Gambar. 9-1 b, misalnya, diferensial analisis aliran udara di sekitar hasil satelit hidangan merampingkan bentuk, rinci distribusi tekanan di sekitar piring, dll Dari rincian ini, kita dapat mengintegrasikan untuk menemukan fitur kotor aliran seperti gaya total pada parabola. Dalam masalah aliran fluida seperti yang diilustrasikan pada Gambar. 9-1 di mana udara density dan perubahan suhu tidak signifikan, itu sudah cukup untuk memecahkan dua persamaan diferensial gerak-kekekalan massa dan Newton Hukum kedua (kekekalan momentum linear). Selama tiga-dimensi aliran mampat, ada empat yang tidak diketahui (komponen kecepatan u, v, w, dan tekanan P) dan empat persamaan (salah satu dari kekekalan massa, yang adalah persamaan skalar, dan tiga dari hukum kedua Newton, yang merupakan vektor persamaan). Seperti yang akan kita lihat, persamaan yang digabungkan, yang berarti bahwa beberapa variabel muncul di semua empat persamaan, himpunan persamaan diferensial Oleh karena itu harus diselesaikan secara simultan untuk semua empat yang tidak diketahui. Selain itu, kondisi batas untuk variabel harus ditentukan pada semua batas dari domain aliran, termasuk inlet, outlet, dan dinding. Akhirnya, jika alirannya goyah, kita harus berbaris solusi kami bersama dalam waktu sebagai medan aliran perubahan. Anda dapat melihat bagaimana analisis diferensial aliran fluida dapat menjadi cukup rumit dan sulit. Komputer adalah bantuan yang luar biasa di sini, seperti dibahas dalam Bab. 15. Namun demikian, ada banyak yang bisa kita lakukan secara analitis, dan kita mulai dengan menurunkan persamaan diferensial untuk konservasi massa. 9-2= KONSERVASI MASS- THE KONTINUITAS PERSAMAAN Melalui penerapan teorema transport Reynolds (Bab 4), kita memiliki ekspresi umum berikut untuk konservasi massa sebagai diterapkan ke kontrol volume: Kekekalan massa untuk CV: (9-1)Ingat bahwa Pers. 9-1 berlaku untuk kedua tetap dan bergerak volume control, disediakan bahwa vektor kecepatan adalah kecepatan absolut (seperti yang terlihat oleh tetap observer). Bila ada lubang yang terdefinisi dengan baik dan outlet, Eq. 9-1 bisa ditulis kembali sebagai Dengan kata lain, tingkat bersih perubahan massa di dalam volume atur sama ke tingkat di mana massa mengalir ke volume control dikurangi tingkat di yang arus massa dari volume control. Persamaan 9-2 berlaku untuk setiap kontrol volume, terlepas dari ukurannya. Untuk menghasilkan persamaan diferensial untuk kekekalan massa, kita bayangkan volume control menyusut untuk sangat kecil ukuran, dengan dimensi dx, dy, dan dz (Gambar 9-2). Dalam batas, seluruh yang Volume control menyusut ke titik dalam aliran. Derivasi Menggunakan Teorema Divergence Cara tercepat dan paling mudah cara untuk mendapatkan bentuk diferensial kekekalan massa adalah untuk menerapkan teorema divergensi ke Persamaan. 9-1. Itu teorema divergensi Gauss juga disebut teorema, dinamai Jerman matematikawan Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Divergensi teorema memungkinkan kita untuk mengubah terpisahkan volume divergensi vektor ke suatu daerah yang tidak terpisahkan atas permukaan yang mendefinisikan volume. Untuk setiap vektor G, perbedaan dari G didefinisikan sebagai G dan divergensi teorema dapat ditulis sebagai Lingkaran pada integral area digunakan untuk menekankan bahwa integral harus dievaluasi sekitar area tertutup A seluruh yang mengelilingi Volume V. Catatan bahwa permukaan kontrol Eq. 9-1 merupakan daerah tertutup, meskipun kita tidak selalu menambahkan lingkaran untuk simbol yang tidak terpisahkan. Persamaan 9-3 berlaku untuk setiap volume, jadi kami memilih volume kontrol Eq. 9-1. Kami juga membiarkan G = V sejak G = Bisa vektor apapun. Pergantian Persamaan. 9-3 ke Pers. 9-1 mengubah daerah yang tidak terpisahkan ke dalam volume integral, Kita sekarang menggabungkan dua integral volume yang menjadi satu, Akhirnya, kami berpendapat bahwa Pers. 9-4 harus berlaku untuk setiap volume control terlepas dari ukuran atau bentuk. Hal ini dimungkinkan hanya jika integran (istilah dalam tanda kurung siku) sama dengan nol. Oleh karena itu, kami memiliki diferensial umum Persamaan untuk kekekalan massa, yang lebih dikenal sebagai persamaan kontinuitas: Persamaan 9-5 adalah bentuk kompresibel dari persamaan kontinuitas karena kita belum dianggap aliran mampat. Hal ini berlaku pada setiap titik dalam aliran domain. Derivasi Menggunakan Volume Terkecil Kontrol Kami menurunkan persamaan kontinuitas dengan cara yang berbeda, dengan memulai dengan kontrol volume di mana kita menerapkan kekekalan massa. Pertimbangkan infinitesimal berbentuk kotak kontrol volume sejajar dengan sumbu koordinat Cartesian (Gambar 9-3). Dimensi kotak adalah dx, dy, dan dz, dan tengah kotak ditampilkan di beberapa titik P sewenang-wenang dari titik asal (yang Kotak dapat ditempatkan dimana saja di medan aliran). Di tengah-tengah kotak yang kita menentukan kepadatan dan sebagai komponen kecepatan u, v, dan w, sebagai ditampilkan. Pada lokasi jauh dari pusat kotak, kami menggunakan Taylor seri ekspansi tentang pusat dari kotak (titik P). [Ekspansi seri dinamai untuk menghormati penciptanya, Inggris matematikawan Brook Taylor (1685-1731).] Sebagai contoh, pusat wajah kanan sebagian besar kotak terletak jarak dx / 2 dari tengah kotak dalam arah x; nilai r u pada saat itu adalah Sebagai kotak mewakili volume control menyusut ke titik, namun, kedua- memesan dan istilah yang lebih tinggi menjadi diabaikan. Misalnya, dx / L = 10 -3, di mana L adalah beberapa skala panjang karakteristik dari domain aliran. Kemudian (dx / L) 2 "10 -6, faktor seribu kurang dari dx / L. Bahkan, dx kecil, semakin baik asumsi bahwa istilah orde kedua dapat diabaikan. Menerapkan ekspansi Taylor seri terpotong ini untuk kali kepadatan normal komponen kecepatan pada titik pusat dari masing-masing enam wajah para kotak, kita memiliki Laju aliran massa masuk atau keluar dari salah satu wajah adalah sama dengan densitas kali komponen kecepatan normal pada titik pusat dari kali wajah luas permukaan wajah. Dengan kata lain, m. "R VNA pada setiap wajah, di mana Vn adalah besarnya kecepatan normal melalui wajah dan A adalah permukaan daerah wajah (Gambar 9-4). Laju aliran massa melalui setiap wajah kami kontrol volume sangat kecil diilustrasikan pada Gambar. 9-5. Kita bisa membangun dipotong ekspansi deret Taylor di pusat wajah masing-masing untuk sisa (Tidak normal) komponen kecepatan juga, tapi ini tidak perlu karena komponen ini adalah tangensial ke wajah sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, nilai r v di tengah wajah yang tepat dapat diperkirakan oleh sejenis ekspansi, tapi karena v adalah tangensial ke wajah kanan kotak, memberikan kontribusi apa-apa untuk laju aliran massa masuk atau keluar dari wajah itu. Sebagai volume control menyusut ke titik, nilai volume integral di sisi kiri dari Pers. 9-2 menjadi Laju perubahan massa di dalam CV: karena volume kotak adalah dx dy dz. Kita sekarang menerapkan pendekatan Gambar. 9-5 ke sisi kanan persamaan. 9-2. Kami menjumlahkan semua aliran massa tarif masuk dan keluar dari volume kontrol melalui wajah. Kiri, bawah, dan wajah kembali berkontribusi terhadap inflow massa, dan istilah pertama di sebelah kanan yang sisi Eq. 9-2 menjadi Laju alir massa Bersih ke CV: Demikian pula, kanan, atas, dan wajah depan berkontribusi terhadap aliran massa, dan Istilah kedua di sisi kanan persamaan. 9-2 menjadi Laju aliran massa Bersih dari CV: Kami mengganti Eq. 9-7 dan dua persamaan untuk laju aliran massa ke dalam persamaan. 9-2. Banyak istilah membatalkan satu sama lain, setelah menggabungkan dan menyederhanakan istilah yang tersisa, kita dibiarkan dengan Volume kotak, dx dy dz, muncul dalam setiap istilah dan dapat dihilangkan. Setelah penataan ulang kita berakhir dengan persamaan diferensial berikut untuk konservasi massa dalam koordinat Cartesian: Persamaan 9-8 adalah bentuk kompresibel dari persamaan kontinuitas dalam Cartesian koordinat. Hal ini dapat ditulis dalam bentuk yang lebih kompak dengan mengakui divergensi operasi (Gambar 9-6), menghasilkan persis persamaan yang sama dengan Persamaan. 9-5. CONTOH 9-1 Kompresi dari Campuran Air-Fuel Sebuah campuran udara-bahan bakar dikompresi oleh piston di dalam silinder internal mesin pembakaran (Gambar 9-7). Asal koordinat y adalah di bagian atas silinder, dan y titik lurus ke bawah seperti yang ditunjukkan. Piston diasumsikan bergerak ke atas dengan kecepatan konstan VP. Jarak L antara bagian atas silinder dan piston berkurang dengan waktu sesuai dengan pendekatan linear L "L & VPT bawah, di mana L bawah adalah lokasi piston ketika berada di bawah siklus pada waktu t "0, seperti sketsa pada Gambar. 9-7. Pada t" 0, densitas campuran udara-bahan bakar di dalam silinder di mana-mana sama dengan r (0). Memperkirakan kepadatan campuran udara-bahan bakar sebagai fungsi waktu dan parameter yang diberikan selama sampai stroke piston. SOLUSI Kepadatan campuran udara-bahan bakar yang akan diperkirakan sebagai fungsi waktu dan parameter yang diberikan dalam pernyataan masalah. Asumsi 1 Kepadatan bervariasi dengan waktu, tapi tidak ruang, dengan kata lain, density adalah seragam di seluruh silinder pada waktu tertentu, tetapi perubahan dengan waktu:. r "r (t) 2 Velocity komponen v bervariasi dengan y dan t, tapi tidak dengan x atau z, dengan kata lain v "v (y, t) hanya 3 u." w "0 4 Tidak lolos massa. dari silinder selama kompresi. Analisis Pertama kita perlu membangun sebuah ekspresi untuk kecepatan komponen v sebagai fungsi dari y dan t . Jelas v "0 pada y "0 (bagian atas silinder), dan v "& VP at y " L . Untuk mempermudah, kita mengasumsikan bahwa v bervariasi secara linear antara kedua kondisi ini batas, Komponen kecepatan vertikal : v = nantiaja Hal 406 di mana L adalah fungsi waktu, seperti yang diberikan. Persamaan kontinuitas The kompresibel dalam koordinat Cartesian (Persamaan 9-8) cocok untuk solusi ini masalah. Dengan asumsi 1, bagaimanapun, kepadatan bukan merupakan fungsi dari y dan oleh karena itu dapat keluar dari y -derivatif. Mengganti Eq. 1 untuk v dan ekspresi yang diberikan untuk L , membedakan, dan menyederhanakan, kita memperoleh Dengan asumsi 1, bagaimanapun, kepadatan bukan merupakan fungsi dari y dan oleh karena itu dapat keluar dari y -derivatif. Mengganti Eq. 1 untuk v dan ekspresi yang diberikan untuk L , membedakan, dan menyederhanakan, kita memperoleh Dengan asumsi 1 lagi, kita ganti # r / # t oleh dr / dt dalam Pers. 2. Setelah memisahkan variabel kita memperoleh ekspresi yang dapat diintegrasikan secara analitis, Akhirnya kemudian, kita memiliki ekspresi yang diinginkan untuk r sebagai fungsi waktu, Sesuai dengan konvensi hasil nondimensionalizing, Eq. 4 dapat ditulis kembali sebagai dimana r * "r / r (0) dan t * " VPT / L bawah. Persamaan 5 diplot pada Gambar. 9-8. Diskusi Pada t * = 1, piston hits bagian atas silinder dan r pergi ke infinity. Dalam sebuah mesin pembakaran internal yang sebenarnya, piston berhenti sebelum mencapai bagian atas silinder, membentuk apa yang disebut Volume clearance, yang biasanya merupakan 4 sampai 12 persen dari silinder maksimum volume. Asumsi kepadatan yang seragam dalam silinder adalah yang paling lemah link dalam analisis sederhana ini. Pada kenyataannya, mungkin merupakan fungsi dari kedua ruang dan waktu. Bentuk alternatif dari Continuity Persamaan Kami memperluas Eq. 9-5 dengan menggunakan aturan produk pada istilah divergence, Menyadari turunan material dalam Pers. 9-9 (lihat Bab. 4), dan membaginya dengan r, kita menulis persamaan kontinuitas kompresibel dalam bentuk alternatif, Persamaan 9-10 menunjukkan bahwa ketika kita mengikuti elemen fluida melalui aliran lapangan (kita sebut ini sebuah elemen materi ), perubahan densitas sebagai perubahan Gambar. 9-9). Di sisi lain, jika perubahan dalam kepadatan elemen bahan yang diabaikan kecil dibandingkan dengan besaran gradien kecepatan dalam = V = sebagai elemen bergerak di sekitar, r & 1 D r / Dt $ 0, dan aliran didekati sebagai mampat . Kontinuitas Persamaan di silinder Koordinat Banyak masalah dalam mekanika fluida lebih mudah diselesaikan dalam silinder koordinat ( r , u, z ) (sering disebut koordinat polar silinder ), bukan di koordinat Cartesian. Untuk mempermudah, kami memperkenalkan silinder koordinat dalam dua dimensi pertama (Gambar 9-10 a ). Dengan konvensi, r adalah jarak radial dari titik asal ke beberapa titik ( P ), dan u adalah sudut yang diukur dari x -axis (u selalu didefinisikan sebagai matematis positif dalam arah berlawanan). Komponen kecepatan, ur dan u u, dan vektor satuan, e = r dan e = u, juga ditampilkan pada Gambar. 9-10 a . Dalam tiga dimensi, bayangkan geser segala sesuatu pada Gambar. 9-10 a keluar dari halaman sepanjang z -sumbu (normal untuk the xy -pesawat) oleh beberapa jarak z . Kami telah berusaha untuk menggambar ini pada Gambar. 9-10 b . Dalam tiga dimensi, kita memiliki komponen kecepatan ketiga, uz , dan unit ketiga vektor, e = z , juga sketsa pada Gambar. 9-10 b . The transformasi koordinat berikut diperoleh dari Gambar. 9-10: Transformasi koordinat : Mengkoordinasikan z adalah sama dalam koordinat silinder dan Cartesian. Untuk memperoleh pernyataan untuk persamaan kontinuitas dalam koordinat silinder, kita memiliki dua pilihan. Pertama, kita bisa menggunakan Persamaan. 9-5 langsung, karena itu diturunkan tanpa memperhatikan pilihan kami untuk sistem koordinat. Kami hanya melihat up ekspresi untuk operator divergensi dalam koordinat silinder dalam vektor buku kalkulus (misalnya, Spiegel, 1968; lihat juga Gambar 9-6.). Kedua, kita dapat menarik elemen fluida sangat kecil tiga dimensi dalam koordinat silinder dan menganalisis tingkat aliran massa masuk dan keluar dari elemen, mirip dengan apa yang kita lakukan sebelumnya dalam koordinat Cartesian. Either way, kita berakhir dengan Rincian metode kedua dapat ditemukan di Fox dan McDonald (1998). Kasus Khusus Kontinuitas Persamaan Kita sekarang melihat dua kasus khusus, atau penyederhanaan, dari persamaan kontinuitas. Secara khusus, kita pertama mempertimbangkan aliran kompresibel stabil, dan kemudian aliran mampat. Kasus Khusus 1: Steady Aliran kompresibel Jika aliran kompresibel tapi stabil, # / # t dari setiap variabel sama dengan nol. Dengan demikian, Eq. 9-5 untuk mengurangi Kasus Khusus 2: Aliran mampat Jika aliran ini diperkirakan sebagai mampat, kepadatan bukan merupakan fungsi dari waktu atau ruang. Jadi # r / # t $ 0 Persamaan. 9-5, dan r dapat diambil di luar Operator divergence. Oleh karena itu Persamaan 9-5 tereduksi menjadi Persamaan kontinuitas mampat : (9-16) Hasil yang sama diperoleh jika kita mulai dengan Persamaan. 9-10 dan mengakui bahwa untuk aliran mampat, kepadatan tidak berubah lumayan mengikuti partikel fluida, seperti yang ditunjukkan sebelumnya. Jadi turunan material r adalah sekitar nol, dan Eq. 9-10 mengurangi segera Eq. 9-16. Anda mungkin telah memperhatikan bahwa tidak ada derivatif waktu tetap dalam Pers. 9-16 . Kami menyimpulkan dari sini bahwa bahkan jika aliran goyah, Eq. 9-16 berlaku pada setiap instan saat . Secara fisik, ini berarti bahwa sebagai perubahan medan kecepatan di salah satu bagian dari medan aliran mampat, seluruh sisa medan aliran segera menyesuaikan dengan perubahan tersebut bahwa Pers. 9-16 puas sama sekali kali. Untuk aliran kompresibel ini tidak terjadi. Bahkan, gangguan dalam salah satu bagian dari aliran bahkan tidak dirasakan oleh partikel fluida agak jauh sampai gelombang suara dari gangguan mencapai jarak itu. Sangat keras suara, seperti yang dari senjata atau ledakan, menghasilkan gelombang kejut yang benar-benar perjalanan lebih cepat dari kecepatan suara. (Gelombang kejut yang dihasilkan oleh ledakan diilustrasikan pada Gambar. 9-11.) Gelombang Shock dan manifestasi lainnya aliran kompresibel dibahas dalam Bab. 12. Dalam koordinat Cartesian, Eq. 9-16 adalah Persamaan kontinuitas mampat dalam koordinat Cartesian : Persamaan 9-17 adalah bentuk persamaan kontinuitas Anda mungkin akan menemukan paling sering. Ini berlaku untuk stabil atau tidak stabil, mampat, aliran tiga-dimensi, dan Anda akan melakukannya dengan baik untuk mengingatnya. Dalam koordinat silinder, Eq. 9-16 adalah Persamaan kontinuitas mampat dalam koordinat silinder : CONTOH 9-2 Desain dari kompresibel Konvergensi Duct Sebuah saluran konvergen dua dimensi sedang dirancang untuk kecepatan angin tinggi terowongan. Dinding bawah saluran adalah menjadi datar dan horisontal, dan bagian atas dinding harus melengkung sedemikian rupa bahwa angin aksial kecepatan u meningkat hampir linier dari v1 = 100 m / s pada ayat (1) ke v2 = 300 m / s pada ayat (2) (Gambar 9-12). Sementara itu, kerapatan udara r adalah dengan menurunkan sekitar linear dari r1 "1,2 kg/m3 pada ayat (1) ke r2" 0,85 kg/m3 pada ayat (2). The konvergen saluran adalah 2,0 m panjang dan 2,0 m tinggi pada bagian (1). ( a ) Memprediksi y-komponen kecepatan, v ( x , y ), di saluran. ( b ) Plot Bentuk perkiraan saluran, mengabaikan gesekan di dinding. ( c ) Seberapa tinggi harus saluran berada di bagian (2), keluar dari saluran? SOLUSI Untuk komponen kecepatan diberikan u dan kepadatan r, kita untuk memprediksi kecepatan komponen v , merencanakan bentuk perkiraan saluran, dan memprediksi nya ketinggian di pintu keluar saluran. Asumsi 1 Aliran stabil dan dua dimensi dalam xy -pesawat. 2 Gesekan di dinding diabaikan. 3 Axial kecepatan u meningkat secara linear dengan x , dan kepadatan r menurun secara linear dengan x . Properti fluida adalah udara pada suhu kamar (25 C). Kecepatan suara adalah sekitar 346 m / s, sehingga alirannya subsonic, tapi kompresibel. Analisis ( a ) Kami menulis ekspresi untuk u dan r, memaksa mereka untuk linier dalam x , Persamaan kontinuitas stabil (Persamaan 9-14) untuk ini kompresibel dua dimensi aliran disederhanakan menjadi Mengganti Pers. 1 dan 2 ke dalam persamaan. 3 dan mencatat bahwa Cu dan C r adalah konstanta, Perhatikan bahwa sejak integrasi adalah parsial integrasi, kami telah menambahkan fungsi sewenang-wenang x , bukan hanya sebuah konstanta integrasi. Selanjutnya, kita menerapkan kondisi batas. Kami berpendapat bahwa karena dinding bagian bawah datar dan horisontal, v harus sama dengan nol di y "0 untuk setiap x . Hal ini dimungkinkan hanya jika f ( x ) "0. Memecahkan Persamaan. 4 untuk v memberi ( b ) Menggunakan Pers. 1 dan 5 dan teknik yang dijelaskan di Chap. 4, kami merencanakan beberapa arus antara x "0 dan x "2,0 m pada Gambar. 9-13. Merampingkan The mulai dari x "0, y "2,0 m mendekati dinding atas saluran. Kondisi untuk inkompresibilitas : Selanjutnya kita mengintegrasikan sehubungan dengan y . Karena integrasi adalah parsial integrasi, kita menambahkan beberapa fungsi sewenang-wenang x dan z bukannya konstan sederhana integrasi: Solusi: Diskusi Setiap fungsi dari x dan z menghasilkan v yang memenuhi mampat persamaan kontinuitas, karena tidak ada turunan dari v terhadap x atau z dalam persamaan kontinuitas. Contoh 9-5 Dua-Dimensi, mampat, yg berpusar Arus Pertimbangkan dua dimensi, aliran mampat dalam koordinat silinder; komponen kecepatan tangensial adalah u u " K / r , di mana K adalah. ini konstan merupakan kelas arus yg berpusar. Menghasilkan sebuah ekspresi untuk lainnya komponen kecepatan, ur . SOLUSI Untuk komponen kecepatan tangensial yang diberikan, kita harus menghasilkan ekspresi untuk komponen kecepatan radial. Asumsi 1 aliran adalah dua dimensi dalam xy - ( r u-) pesawat (kecepatan adalah bukan merupakan fungsi dari z , dan uz "0 di mana-mana). 2 Aliran mampat. Analisis Persamaan kontinuitas mampat (Persamaan 9-18) untuk dua dimensi ini kasus disederhanakan menjadi :Ekspresi diberikan untuk u u bukan merupakan fungsi dari u, dan karena itu Pers. 1 tereduksi menjadi : di mana kita telah memperkenalkan fungsi sewenang-wenang u dan t bukannya konstan integrasi, karena kami melakukan parsial integrasi terhadap r . Pemecahan untuk ur :Dengan demikian, setiap komponen kecepatan radial dari bentuk yang diberikan oleh Persamaan. 3 menghasilkan dua dimensi a, medan kecepatan mampat yang memenuhi persamaan kontinuitas . Kami membahas beberapa kasus tertentu. Kasus yang paling sederhana adalah ketika f (u, t ) "0 ( ur "0, u u " K / r ). Ini menghasilkan pusaran garis dibahas dalam Bab. 4, sebagai sketsa pada Gambar. 9-15 a . Kasus sederhana lainnya adalah ketika f (u, t ) " C , di mana C adalah konstan. Ini menghasilkan kecepatan radial yang besarnya meluruh sebagai 1 / r . Untuk negatif C , bayangkan aliran vortex / wastafel garis spiral, di mana elemen fluida tidak hanya berputar di sekitar titik asal, tetapi terjebak dalam wastafel di titik asal (Sebenarnya wastafel garis sepanjang z -axis). Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 9-15 b .