SISTEM PERSAMAAN LINIER [PERKALIAN MATRIK]

PERTEMUAN 6OLEH NURUL SAILA

SISTEM PERSAMAAN LINIER[INVERS MATRIK]1PRODI MANAJEMEN FE UPMPRODI MANAJEMEN FE UPM2Definisi:Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A (B = A-1).Contoh:

A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I.

Invers Matrik

3PRODI MANAJEMEN FE UPMDefinisi:Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks:

Dinamakan matriks kofaktor dari A.

Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj (A).

PRODI MANAJEMEN FE UPMMenentukan Invers Matrik dg Adjoint

4Teorema:Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik maka:

Contoh:Tentukan A-1 menggunakan kofaktor, jika:

PRODI MANAJEMEN FE UPM

51. Matrik Elementer (E)Definisi:Sebuah matrik nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan nxn yakni In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.Contoh:

Menentukan Invers Matrik dengan OBE6PRODI MANAJEMEN FE UPMTeorema:Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada Im dan jika A adalah matrik mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.7PRODI MANAJEMEN FE UPMContoh:

EA = B3+3B1

8PRODI MANAJEMEN FE UPM2. Operasi InversJika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks elementer E maka ada OBE kedua yg apabila dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I. OBE kedua ini disebut operasi invers.

OBE pd IOperasi InversKalikan baris ke i dengan c 0Kalikan baris ke I dengan 1/cPertukarkan baris ke i dengan baris ke jPertukarkan baris ke j dengan baris ke iTambahkan c kali baris ke i ke baris ke jTambahkan c kali baris ke I ke baris ke j9PRODI MANAJEMEN FE UPMTiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks elementerBuktikan!Teorema:10PRODI MANAJEMEN FE UPMDefinisi:Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan serangkaian OBE maka A dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan A dan sebaliknya.

Contoh:

3. Matrik-matrik yg Ekuivalen Baris

11PRODI MANAJEMEN FE UPMJika A adalah sebuah matrik nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu.A dapat dibalikAX = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivialA ekuivalen baris kepada In.Buktikan!

Teorema:12PRODI MANAJEMEN FE UPM Urutan operasi baris yang mereduksi matriks A menjadi In akan mereduksi In kepada A-1 .

Contoh:

Tentukan A-1 dengan Operasi Baris Elementer.

13PRODI MANAJEMEN FE UPMMenyelesaikan system persamaan linier dengan Perkalian Matrik adalah:Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriksMenyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaanMenyelesaikan SPL dg Perkalian Matrik14PRODI MANAJEMEN FE UPMContoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik.

15PRODI MANAJEMEN FE UPMTUGAS MANDIRIPRODI MANAJEMEN FE UPM16Tugas Pertemuan 5Silahkan di download di blog, http://nsaila2fe.wordpress.com

A = dan B =

A-1 =

A =

E = dan A =A = , B = A =