MATRIKS INVERS

Untuk Mahasiswa Semester 3

MATRIKS INVERS

Untuk A matriks persegi, A-1 adalah invers dari A jika berlaku :

A A-1 = A-1 A = I

Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :

1. Metode matriks adjoint

2. Metode OBE

Mencari Invers dengan Matriks Adjoint

Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :

A adj(A) = adj(A) A = |A| I

Jika |A| ≠ 0, maka :

A = A = I

||

)(

A

Aadj

||

)(

A

Aadj

||

)(

A

Aadj

Menurut definisi matriks invers :

A A-1 = A-1 A = I

Ini berarti bahwa :

A-1 = dengan |A| ≠ 0

Carilah invers dari A =

dc

ba

Solusi :

C11 = M11 = d

C12 = - M12 = - c

C21 = - M21 = - b

C22 = M22 = a

adj(A) =

2212

2111

CC

CC=

ac

bd

| A | = ad – bc

A-1 = ||

)(

A

Aadj=

ac

bd

bcad 1

Contoh soal : matrik ordo 2x2

Ingat kembali pertemuan yang lalu Minor dan Kofaktor

Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor.

Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.

Andaikan A =

a11a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

M11 = a22 a23

a32 a33

= a22 a33 – a23 a32

M32 = a11 a13

a21 a23

= a11a23 – a13a21

Matriks tersebut mempunyai 9 minor

Ingat kembali pertemuan yang lalu : Kofaktor

Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mij adalah Cij = (-1)i+j Mij.

A =

112

431

112

C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 11

43

= 1 (7) = 7

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 12

41

= (-1) (9) = -9

C13 = (-1)4 M13 = M13 = 12

31

= 5

C21 = (-1)3 M21 = - M21 = - 11

11

= 0

C22 = M22 = 0

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = 7

C32 = - M32 = - 9

C33 = M33 = 5

Carilah invers dari A =

321

231

442

Solusi : C11 = M11 = - 5

C12 = - M12 = 1

C13 = M13 = 1

C21 = - M21 = 4

C22 = M22 = - 2

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = - 4

C32 = - M32 = 0

C33 = M33 = 2

adj(A) =

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

=

201

021

445

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

A-1 = ||

)(

A

Aadj=

2

1

201

021

445

=

10

01

22

21

21

25

Contoh soal 1

Contoh soal 2

Jawab :Ingat !!Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mij adalah Cij = (-1)i+j Mij.

Mencari invers dengan OBE

Jika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :

P A = I

dengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).

Selanjutnya, P A = IP-1 P A = P-1 II A = P-1

A = P-1

Ini berarti A-1 = P

Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.

Teknis pencarian invers dengan OBE :

(A | I) ~ (I | A-1)

Carilah invers dari A =

321

231

442dengan melakukan OBE !

Solusi :

(A | I) =

100321

010231

001442 b13

001442

010231

100321 b21(1)

201200

110110

100321

b31(2)

b1(-1)

b3(-1/2)

10100

110110

100321

21

b13(-3)

b23(1)

10100

01010

20021

21

21

23 b12(-2)

10100

01010

22001

21

21

25

= (I | A-1)

Jadi A-1 =

10

01

22

21

21

25

~ ~ ~

~~

Sifat-sifat Matriks Invers

(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)

Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)

BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.

(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.

Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.

Sifat-sifat Matriks Invers

(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )

det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :

det (A-1) =

ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).)det(

1

A

(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1

(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)

Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .

Sifat-sifat Matriks Invers

(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .

Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T AT

IT= (A-1)T AT

(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .

Latihan Soal :

003

211

225

A

Hitung invers matrik menggunakan: (a)Metode matriks adjoint(b)Metode OBE

Diketahui :

Selamat mengerjakan

Sampai Jumpa di pertemuan berikutnya

Terus Semangat Belajar

Wassalam