Determinan Dan Invers Matriks

of 19 /19
myblog4famouser.com

Embed Size (px)

Transcript of Determinan Dan Invers Matriks

Page 1: Determinan Dan Invers Matriks

myblog4famouser.com

Page 2: Determinan Dan Invers Matriks

Determinan MatriksDeterminan matriks 𝐴𝐴 di definisikan sebagai selisih

antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama

dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal

sekunder. Determinan dari matriks 𝐴𝐴 dinotasikan dengan

det𝐴𝐴 atau |𝐴𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks

berupa bilangan real.

myblog4famouser.com

Page 3: Determinan Dan Invers Matriks

Determinan Matriks Ordo 2Γ—2Jika matriks 𝐴𝐴 = οΏ½π‘Žπ‘Ž 𝑏𝑏

𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka det (𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = οΏ½π‘Žπ‘Ž 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� = π‘Žπ‘Žπ‘‘π‘‘ – 𝑏𝑏𝑐𝑐

Contoh :

1. 𝑃𝑃 = οΏ½ 2 1βˆ’6 3οΏ½ maka,

det (𝑃𝑃) = |𝑃𝑃| = οΏ½ 2 1βˆ’6 3οΏ½ = (2.3) βˆ’ οΏ½1. (βˆ’6)οΏ½ = 6 + 6 = 12

2. Tentukan nilai π‘₯π‘₯ jika οΏ½π‘₯π‘₯ βˆ’6π‘₯π‘₯ βˆ’3π‘₯π‘₯οΏ½ = 0.

Jawab : οΏ½π‘₯π‘₯ βˆ’6π‘₯π‘₯ βˆ’3π‘₯π‘₯οΏ½ = 0 ⟹ βˆ’3π‘₯π‘₯2 + 6π‘₯π‘₯ = 0

π‘₯π‘₯(βˆ’3π‘₯π‘₯ + 6) = 0

π‘₯π‘₯ = 0 atau βˆ’3π‘₯π‘₯ + 6 = 0

π‘₯π‘₯ = 2

Jadi nilai π‘₯π‘₯ = 0 atau π‘₯π‘₯ = 2. myblog4famouser.com

Page 4: Determinan Dan Invers Matriks

Determinan Matriks Ordo 3Γ—3Untuk mencari determinan matriks berordodapat digunakan dua metode, sebagai berikut :

1. Metode Sarrus2. Metode Ekspansi Kofaktor

myblog4famouser.com

Page 5: Determinan Dan Invers Matriks

Metode SarrusCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan

matriks ordo 3 Γ— 3.

Cara sarrus :

i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah

kanan setelah kolom ketiga.

ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom

diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal

pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama

dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan. myblog4famouser.com

Page 6: Determinan Dan Invers Matriks

Jika matrik 𝐡𝐡 = �𝑝𝑝 π‘žπ‘ž π‘Ÿπ‘Ÿπ‘ π‘  𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑣𝑣 𝑀𝑀 π‘₯π‘₯

οΏ½

Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐡𝐡) = |𝐡𝐡| = �𝑝𝑝 π‘žπ‘ž π‘Ÿπ‘Ÿπ‘ π‘  𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑣𝑣 𝑀𝑀 π‘₯π‘₯

�𝑝𝑝 π‘žπ‘žπ‘ π‘  𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑀𝑀

= 𝑝𝑝𝑑𝑑π‘₯π‘₯ + π‘žπ‘žπ‘’π‘’π‘£π‘£ + π‘Ÿπ‘Ÿπ‘ π‘ π‘€π‘€ βˆ’ π‘£π‘£π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ 𝑀𝑀𝑒𝑒𝑝𝑝 βˆ’ π‘₯π‘₯π‘ π‘ π‘žπ‘ž

myblog4famouser.com

Page 7: Determinan Dan Invers Matriks

Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila

matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

Contoh:

Misal 𝑄𝑄 = οΏ½3 2 41 7 57 2 3

οΏ½

Maka det(𝑄𝑄) = |𝑄𝑄|

= οΏ½3 2 41 7 57 2 3

οΏ½3 21 77 2

= (3.7.3) + (2.5.7) + (4.1.2) βˆ’ (4.7.7) βˆ’ (3.5.2) βˆ’ (2.1.3)

= 63 + 70 + 8 – 196 – 30 – 6

= βˆ’ 91 myblog4famouser.com

Page 8: Determinan Dan Invers Matriks

Metode Ekspansi Kofaktora. Pengertian Minor

Minor suatu matriks 𝐴𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah matriks bagian dari 𝐴𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑖𝑖. Contoh:

Q =οΏ½3 2 41 7 57 2 3

οΏ½

Maka M11=οΏ½7 52 3οΏ½

M12=οΏ½1 57 3οΏ½

M13=οΏ½1 77 2οΏ½

𝑀𝑀11,𝑀𝑀12 dan 𝑀𝑀13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q.

myblog4famouser.com

Page 9: Determinan Dan Invers Matriks

b. Pengertian Kofaktor

Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖𝑖 dan kolom ke-𝑖𝑖 dari matriks 𝐴𝐴

dilambangkan dengan

𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖 = (βˆ’1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . �𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖� = (βˆ’1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . det�𝑀𝑀𝑖𝑖,𝑖𝑖 οΏ½

Penentuan tanda dari determinan matriks persegi berordo 3 Γ— 3:

οΏ½+ βˆ’ +βˆ’ + βˆ’+ βˆ’ +

οΏ½

Untuk mencari det(𝐴𝐴) dengan metode ekspansi kofaktor

cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1

myblog4famouser.com

Page 10: Determinan Dan Invers Matriks

c. Menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor

Contoh:

𝑄𝑄 = οΏ½3 2 41 7 57 2 3

οΏ½

Untuk mendapatkan det(𝑄𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu

determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :

M11=οΏ½7 52 3οΏ½, det(𝑀𝑀11) = 11

M12=οΏ½1 57 3οΏ½, det(𝑀𝑀12) = βˆ’ 32

M13=οΏ½1 77 2οΏ½, det(𝑀𝑀13) = βˆ’ 47

det(𝑄𝑄) = π‘˜π‘˜11. π‘žπ‘ž11 + π‘˜π‘˜12. π‘žπ‘ž12 + π‘˜π‘˜13. π‘žπ‘ž13

= (βˆ’1)1+1. |𝑀𝑀11|. π‘žπ‘ž11 + (βˆ’1)1+2. |𝑀𝑀12|.π‘žπ‘ž12 + (βˆ’1)1+3. |𝑀𝑀13|. π‘žπ‘ž13

= 11.3 βˆ’ (βˆ’32). 2 + (βˆ’47). 4

= 33 + 64 βˆ’ 188 = βˆ’91 myblog4famouser.com

Page 11: Determinan Dan Invers Matriks

Adjoin MatriksAdjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut,

dilambangkan dengan adj A = (kij)T

Contoh

Q =οΏ½3 2 41 7 57 2 3

οΏ½

k11= (-1)1+1οΏ½7 52 3οΏ½ = 11

k12= (-1)1+2οΏ½1 57 3οΏ½ = 32

k13= (-1)1+3οΏ½1 77 2οΏ½ = βˆ’47

k21= (-1)2+1οΏ½2 42 3οΏ½ = 2

k22= (-1)2+2οΏ½3 47 3οΏ½ = βˆ’19

k23= (-1)2+3οΏ½3 27 2οΏ½ = 8

k31= (-1)3+1οΏ½2 47 5οΏ½ = βˆ’18

k32= (-1)3+2οΏ½3 41 5οΏ½ = βˆ’11

k33= (-1)3+3οΏ½2 47 5οΏ½ = βˆ’18

adj Q = οΏ½π‘˜π‘˜11 π‘˜π‘˜21 π‘˜π‘˜31π‘˜π‘˜12 π‘˜π‘˜22 π‘˜π‘˜32π‘˜π‘˜13 π‘˜π‘˜23 π‘˜π‘˜33

οΏ½ = οΏ½11 2 βˆ’1832 βˆ’19 βˆ’11βˆ’47 8 βˆ’18

οΏ½

myblog4famouser.com

Page 12: Determinan Dan Invers Matriks

Jika A= οΏ½π‘Žπ‘Ž 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = βˆ’

c, k 21= βˆ’ b dan k 22 = a. Kemudian Adj A=οΏ½π‘˜π‘˜11 π‘˜π‘˜21π‘˜π‘˜12 π‘˜π‘˜22

οΏ½ = οΏ½ 𝑑𝑑 βˆ’π‘π‘βˆ’π‘π‘ π‘Žπ‘Ž οΏ½

Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada

diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen

pada diagonal lainnya.

myblog4famouser.com

Page 13: Determinan Dan Invers Matriks

Invers MatriksInvers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks

dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1.

Definisi:

Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I

matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B.

Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku:

A x A-1 = A-1 x A= I

Dimana I adalah matrik identitas.

myblog4famouser.com

Page 14: Determinan Dan Invers Matriks

Invers matriks ordo 2Γ—2Jika A = οΏ½π‘Žπ‘Ž 𝑏𝑏

𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka A-1 = 1det (𝐴𝐴)

.𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐴𝐴)

A-1 = 1π‘Žπ‘Žπ‘‘π‘‘βˆ’π‘π‘π‘π‘

. οΏ½ 𝑑𝑑 βˆ’π‘π‘βˆ’π‘π‘ π‘Žπ‘Ž οΏ½, syarat det(A) β‰  0

Contoh: A =οΏ½5 33 2οΏ½, tentukan A-1!

Jawab:

A-1= 15.2βˆ’3.3

. οΏ½ 2 βˆ’3βˆ’3 5 οΏ½ = 1

1οΏ½ 2 βˆ’3βˆ’3 5 οΏ½ = οΏ½ 2 βˆ’3

βˆ’3 5 οΏ½

myblog4famouser.com

Page 15: Determinan Dan Invers Matriks

Invers matriks berordo 3x3Jika B3 x 3 maka B-1 = 1

det (𝐡𝐡).𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐡𝐡) ,syarat det(A) β‰  0

Contoh: B =οΏ½1 2 30 4 50 0 6

οΏ½, tentukan B-1!

Jawab:

Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode

kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :

Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . b33

= (-1)3+1οΏ½2 34 5οΏ½ . 0+(-1)3+2οΏ½1 3

0 5οΏ½ . 0 +(-1)3+3οΏ½1 20 4οΏ½ . 6

= 0 + 0 + 24 = 24

myblog4famouser.com

Page 16: Determinan Dan Invers Matriks

Adj (B) = οΏ½π‘˜π‘˜11 π‘˜π‘˜21 π‘˜π‘˜31π‘˜π‘˜12 π‘˜π‘˜22 π‘˜π‘˜32π‘˜π‘˜13 π‘˜π‘˜23 π‘˜π‘˜33

οΏ½ =

⎣⎒⎒⎒⎒⎑+ �4 5

0 6οΏ½ βˆ’ οΏ½2 30 6οΏ½ + οΏ½2 3

4 5οΏ½

βˆ’ οΏ½0 50 6οΏ½ + οΏ½1 3

0 6οΏ½ βˆ’ οΏ½1 30 5οΏ½

+ οΏ½0 40 0οΏ½ βˆ’ οΏ½1 2

0 0� + �1 20 4�⎦

βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎀

= οΏ½24 βˆ’12 βˆ’20 6 βˆ’50 0 4

οΏ½

B-1 = 124οΏ½24 βˆ’12 βˆ’20 6 βˆ’50 0 4

οΏ½ =

⎣⎒⎒⎒⎑1 βˆ’ 1

2βˆ’ 1

12

0 14

βˆ’ 524

0 0 16 ⎦βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎀

myblog4famouser.com

Page 17: Determinan Dan Invers Matriks

Sifat-sifat invers matriks :

1. (AB)-1= B – 1 A – 1

2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang

saling invers karena A = B- 1 dan B = A- 1.

Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0

maka matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang

tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) β‰ 0,

maka matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi

yang mempunyai invers disebut matriks non singular.

myblog4famouser.com

Page 18: Determinan Dan Invers Matriks

LKS1. Tentukan nilai determinan dari

matriks-matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = οΏ½3 βˆ’7

5 1 οΏ½

b. 𝐡𝐡 = οΏ½ 6 2βˆ’5 7οΏ½

c. 𝐢𝐢 = οΏ½ 5 βˆ’2βˆ’3 4 οΏ½

2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :

a. 𝐴𝐴 = οΏ½2 βˆ’6 13 βˆ’7 βˆ’45 1 5

οΏ½ dengan Metode

Sarrus

b. M=

βˆ’

βˆ’

120452531

dengan Kofaktor

3. Tentukan invers matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = � 4 5

βˆ’2 3οΏ½

b. 𝐾𝐾 = οΏ½1 2 3βˆ’2 1 3βˆ’1 1 2

οΏ½

4. Diketahui matriks A=

1032 dan

B=

3152

Hitunglah.

a. AB-1

b. A-1 B

5. Tentukan adjoin matriks berikut :

𝑁𝑁 = οΏ½4 2 1

10 6 33 2 2

οΏ½

myblog4famouser.com