myblog4famouser.com

Determinan MatriksDeterminan matriks 𝐴𝐴 di definisikan sebagai selisih

antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama

dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal

sekunder. Determinan dari matriks 𝐴𝐴 dinotasikan dengan

det𝐴𝐴 atau |𝐴𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks

berupa bilangan real.

myblog4famouser.com

Determinan Matriks Ordo 2×2Jika matriks 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka det (𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� = 𝑎𝑎𝑑𝑑 – 𝑏𝑏𝑐𝑐

Contoh :

1. 𝑃𝑃 = � 2 1−6 3� maka,

det (𝑃𝑃) = |𝑃𝑃| = � 2 1−6 3� = (2.3) − �1. (−6)� = 6 + 6 = 12

2. Tentukan nilai 𝑥𝑥 jika �𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −3𝑥𝑥� = 0.

Jawab : �𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −3𝑥𝑥� = 0 ⟹ −3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥(−3𝑥𝑥 + 6) = 0

𝑥𝑥 = 0 atau −3𝑥𝑥 + 6 = 0

𝑥𝑥 = 2

Jadi nilai 𝑥𝑥 = 0 atau 𝑥𝑥 = 2. myblog4famouser.com

Determinan Matriks Ordo 3×3Untuk mencari determinan matriks berordodapat digunakan dua metode, sebagai berikut :

1. Metode Sarrus2. Metode Ekspansi Kofaktor

myblog4famouser.com

Metode SarrusCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan

matriks ordo 3 × 3.

Cara sarrus :

i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah

kanan setelah kolom ketiga.

ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom

diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal

pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama

dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan. myblog4famouser.com

Jika matrik 𝐵𝐵 = �𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑤𝑤 𝑥𝑥

�

Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡(𝐵𝐵) = |𝐵𝐵| = �𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑣𝑣 𝑤𝑤 𝑥𝑥

�𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑣𝑣 𝑤𝑤

= 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑣𝑣 + 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑤𝑤 − 𝑣𝑣𝑡𝑡𝑟𝑟 − 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑝𝑝 − 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑞𝑞

myblog4famouser.com

Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila

matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

Contoh:

Misal 𝑄𝑄 = �3 2 41 7 57 2 3

�

Maka det(𝑄𝑄) = |𝑄𝑄|

= �3 2 41 7 57 2 3

�3 21 77 2

= (3.7.3) + (2.5.7) + (4.1.2) − (4.7.7) − (3.5.2) − (2.1.3)

= 63 + 70 + 8 – 196 – 30 – 6

= − 91 myblog4famouser.com

Metode Ekspansi Kofaktora. Pengertian Minor

Minor suatu matriks 𝐴𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah matriks bagian dari 𝐴𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑖𝑖. Contoh:

Q =�3 2 41 7 57 2 3

�

Maka M11=�7 52 3�

M12=�1 57 3�

M13=�1 77 2�

𝑀𝑀11,𝑀𝑀12 dan 𝑀𝑀13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q.

myblog4famouser.com

b. Pengertian Kofaktor

Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖𝑖 dan kolom ke-𝑖𝑖 dari matriks 𝐴𝐴

dilambangkan dengan

𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖 = (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . �𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖� = (−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 . det�𝑀𝑀𝑖𝑖,𝑖𝑖 �

Penentuan tanda dari determinan matriks persegi berordo 3 × 3:

�+ − +− + −+ − +

�

Untuk mencari det(𝐴𝐴) dengan metode ekspansi kofaktor

cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1

myblog4famouser.com

c. Menentukan determinan dengan ekspansi kofaktor

Contoh:

𝑄𝑄 = �3 2 41 7 57 2 3

�

Untuk mendapatkan det(𝑄𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu

determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :

M11=�7 52 3�, det(𝑀𝑀11) = 11

M12=�1 57 3�, det(𝑀𝑀12) = − 32

M13=�1 77 2�, det(𝑀𝑀13) = − 47

det(𝑄𝑄) = 𝑘𝑘11. 𝑞𝑞11 + 𝑘𝑘12. 𝑞𝑞12 + 𝑘𝑘13. 𝑞𝑞13

= (−1)1+1. |𝑀𝑀11|. 𝑞𝑞11 + (−1)1+2. |𝑀𝑀12|.𝑞𝑞12 + (−1)1+3. |𝑀𝑀13|. 𝑞𝑞13

= 11.3 − (−32). 2 + (−47). 4

= 33 + 64 − 188 = −91 myblog4famouser.com

Adjoin MatriksAdjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut,

dilambangkan dengan adj A = (kij)T

Contoh

Q =�3 2 41 7 57 2 3

�

k11= (-1)1+1�7 52 3� = 11

k12= (-1)1+2�1 57 3� = 32

k13= (-1)1+3�1 77 2� = −47

k21= (-1)2+1�2 42 3� = 2

k22= (-1)2+2�3 47 3� = −19

k23= (-1)2+3�3 27 2� = 8

k31= (-1)3+1�2 47 5� = −18

k32= (-1)3+2�3 41 5� = −11

k33= (-1)3+3�2 47 5� = −18

adj Q = �𝑘𝑘11 𝑘𝑘21 𝑘𝑘31𝑘𝑘12 𝑘𝑘22 𝑘𝑘32𝑘𝑘13 𝑘𝑘23 𝑘𝑘33

� = �11 2 −1832 −19 −11−47 8 −18

�

myblog4famouser.com

Jika A= �𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = −

c, k 21= − b dan k 22 = a. Kemudian Adj A=�𝑘𝑘11 𝑘𝑘21𝑘𝑘12 𝑘𝑘22

� = � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �

Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada

diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen

pada diagonal lainnya.

myblog4famouser.com

Invers MatriksInvers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks

dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1.

Definisi:

Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I

matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B.

Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku:

A x A-1 = A-1 x A= I

Dimana I adalah matrik identitas.

myblog4famouser.com

Invers matriks ordo 2×2Jika A = �𝑎𝑎 𝑏𝑏

𝑐𝑐 𝑑𝑑� maka A-1 = 1det (𝐴𝐴)

.𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐴𝐴)

A-1 = 1𝑎𝑎𝑑𝑑−𝑏𝑏𝑐𝑐

. � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑎𝑎 �, syarat det(A) ≠ 0

Contoh: A =�5 33 2�, tentukan A-1!

Jawab:

A-1= 15.2−3.3

. � 2 −3−3 5 � = 1

1� 2 −3−3 5 � = � 2 −3

−3 5 �

myblog4famouser.com

Invers matriks berordo 3x3Jika B3 x 3 maka B-1 = 1

det (𝐵𝐵).𝐴𝐴𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐵𝐵) ,syarat det(A) ≠ 0

Contoh: B =�1 2 30 4 50 0 6

�, tentukan B-1!

Jawab:

Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode

kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :

Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . b33

= (-1)3+1�2 34 5� . 0+(-1)3+2�1 3

0 5� . 0 +(-1)3+3�1 20 4� . 6

= 0 + 0 + 24 = 24

myblog4famouser.com

Adj (B) = �𝑘𝑘11 𝑘𝑘21 𝑘𝑘31𝑘𝑘12 𝑘𝑘22 𝑘𝑘32𝑘𝑘13 𝑘𝑘23 𝑘𝑘33

� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡+ �4 5

0 6� − �2 30 6� + �2 3

4 5�

− �0 50 6� + �1 3

0 6� − �1 30 5�

+ �0 40 0� − �1 2

0 0� + �1 20 4�⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

= �24 −12 −20 6 −50 0 4

�

B-1 = 124�24 −12 −20 6 −50 0 4

� =

⎣⎢⎢⎢⎡1 − 1

2− 1

12

0 14

− 524

0 0 16 ⎦⎥⎥⎥⎤

myblog4famouser.com

Sifat-sifat invers matriks :

1. (AB)-1= B – 1 A – 1

2. Jika AB = BA = I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks yang

saling invers karena A = B- 1 dan B = A- 1.

Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0

maka matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang

tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) ≠0,

maka matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi

yang mempunyai invers disebut matriks non singular.

myblog4famouser.com

LKS1. Tentukan nilai determinan dari

matriks-matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = �3 −7

5 1 �

b. 𝐵𝐵 = � 6 2−5 7�

c. 𝐶𝐶 = � 5 −2−3 4 �

2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :

a. 𝐴𝐴 = �2 −6 13 −7 −45 1 5

� dengan Metode

Sarrus

b. M=

−

−

120452531

dengan Kofaktor

3. Tentukan invers matriks berikut : a. 𝐴𝐴 = � 4 5

−2 3�

b. 𝐾𝐾 = �1 2 3−2 1 3−1 1 2

�

4. Diketahui matriks A=

1032 dan

B=

3152

Hitunglah.

a. AB-1

b. A-1 B

5. Tentukan adjoin matriks berikut :

𝑁𝑁 = �4 2 1

10 6 33 2 2

�

myblog4famouser.com

Author: PPL UMP 2010

education

myblog4famouser.com