MATRIKS - arumprimandari.files.wordpress.com menentukan determinan dan invers untuk matriks dengan...
Transcript of MATRIKS - arumprimandari.files.wordpress.com menentukan determinan dan invers untuk matriks dengan...
MATRIKS Arum Handini Primandari
DEFINISI
Matriks adalah deretan bilangan dengan dimensi 𝑚 baris dan 𝑛 kolom.
Contoh:
𝑀 =−2 12 01 3 9
, 𝑀 merupakan matriks dengan dimensi 2 × 3 (banyak baris
adalah 2, banyak kolom adalah 3)
ELEMEN MATRIKS
Indeks elemen matriks:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32
TIPE MATRIKS
Matriks Identitas (I)
Contoh:
1 00 1
, 1 0 00 1 00 0 1
Matriks Diagonal
−1 00 1
, 2 0 00 11 00 0 −5
Matriks Simetris
𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓
,
Matriks yang elemennya berlaku𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
Contoh:
1 −5 10−5 2 2110 21 0
TIPE MATRIKS
Matriks segitiga atas
Contoh:
𝐷 =1 2 40 −1 −40 0 11
Matriks segitiga bawah
Contoh:
𝐷 =1 0 010 13 0−2 10 −1
OPERASI MATRIKS
Penjumlahan/Pengurangan Matriks harus memiliki ukuran yang sama
Melakukan operasi penjumlahan/pengurangan pada elemen yang seletak
Transpose Diketahui
𝐴 =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
, maka 𝐴𝑇 =
𝑎11 ⋯ 𝑎𝑚1
⋮ ⋱ ⋮𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Sifat 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇
OPERASI MATRIKS
Perkalian Matriks A dengan dimensi 𝑚 × 𝑛 dapat dikalikan dengan matriks B dimensi 𝑝 × 𝑞, dengan syarat𝑛 = 𝑝. Akan menghasilkan matriks C dengan dimensi 𝑚 × 𝑞 dengan 𝑐𝑖𝑗 = σ𝑘=1
𝑛 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗
𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (tidak bersifat komutatif). Walaupun 𝐴𝐵 dapat dikalikan, belum tentu 𝐵𝐴 juga dapatdikalikan.
Contoh:
1 2 4−3 0 0 2×3
2 14 05 −2 3×2
=30 −7−6 −3 2×2
Pada matriks identitas berlaku 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴
DETERMINAN
Determinan matriks 𝟐 × 𝟐:
Diketahui: matriks A
𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
, maka determinan matriks A adalah det 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
= 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12
Determinan matriks 3× 𝟑:
DETERMINAN
Determinan matriks 𝑛 × 𝑛
ATURAN SARRUS
Determinan matriks 3 × 3 dengan aturan sarrus:
INVERSE MATRIKS
Inverse matriks 𝐴 adalah 𝐴−1, dimana akan memenuhi 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼
Matriks 𝐴 akan memiliki invers apabila, det 𝐴 ≠ 0
Sifat inverse:
Bagaimana menentukan determinan dan invers untuk matriks dengandimensi lebih dari 3x3?
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): DETERMINAN
Teorema
Jika 𝐴 adalah matriks segitiga atas, maka determinan matriks 𝐴 adalah hasilperkalian pada diagonal 𝐴
Terdapat beberapa aturan dalam determinan menggunakan OBE
Tipe OBE Efek terhadap Determinan
1 Menambahkan perkalian baris terhadap baris lain Tidak mempengaruhi determinan
2 Mengalikan baris dengan suatu konstanta 𝑐 Determinan dikalikan dengan 𝑐
3 Menukar antara dua baris Determinan berganti tanda
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Contoh: tentukan determinan matriks A
Jadikan matriks A,
menjadi matriks segitiga
atas
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): DETERMINAN
Tentukan determinan matriks 𝐴
𝐴 =1 −1 −12 1 03 −2 1
LATIHAN: TENTUKAN DETERMINAN
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE): INVERSE
Tentukan determinan matriks 𝐴
𝐴 =1 2 32 5 31 0 8
OBE:
อ1 2 32 5 31 0 8
1 0 00 1 00 0 1
Jadikan matriks di sebelah
kiri menjadi matriks
identitas dengan OBE
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Contoh SPL:
ቊ2𝑥 + 3𝑦 = 1𝑥 − 5𝑦 = 20
Jadikan dalam bentuk matriks menjadi:
2 31 −5
𝑥𝑦 =
120
𝑥𝑦 =
2 31 −5
−1 120
ATURAN CRAMER UNTUK SPL
SPL:
Dalam bentuk matriks
Aturan cramer
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Contoh sistem persamaan linier:
ቐ
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1
Persamaan tersebut dalam bentuk matriks:
2 −1 11 −1 13 2 −1
𝑥𝑦𝑧
=86−1
ATURAN CRAMERS UNTUK SPLSPL:
Dalam bentuk ma
Aturan Cramers