INVERS (PEMBALIKAN)

MATRIKS

1

SILABI

• Pembalikan matriks

• Cara pembalikan matriks berordo dua

• Matriks transpos

• Kofaktor

• Adjoin matriks

• Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua

2

PEMBALIKAN Matriks (Matriks Inverse)

12212211

1122

12212211

2121

12212211

1212

12212211

2211

2221

1211

2221

1211

2221

12111

2221

1211

10

01

I AB difinismenurut maka

dengan an dilambangk balikannyadan

A :Andaikan

aaaa

ab

aaaa

ab

aaaa

ab

aaaa

ab

bb

bb

aa

aa

bb

bbBA

aa

aa

-

Berorde 2x2

Determinan

|A|

3

Cara Pembalikan Matriks Berordo DuaMatriks A apabila dibalik disimbolkan dengan A-1

A . A-1 = I Hanya terdapat pada matriks bujur sangkar,

determinan ≠ 0 A = a11 a12 A-1 = b11 b 12

a21 a22 b21 b22

b11 = 1 0

b21 0 1

a11b11 + a12b21 = 1

a21 b11 + a22 b21 = 0

a11 b12 + a12 b22 = 0

a21b12 + a22b22 =1

a11 a12

a21 a22b22

b12

b11 = a22 b11 = a22

a11a22 – a21a12 A b12 = -a12 b12 = -a12

a11a22 – a21a12 A b21 = -a21 b12 = -a21

a11a22 – a21a12 A b22 = a11 b22 = a11

a11a22 – a21a12 A Tentukan balikan matriks A = 4 A = 24 – 20 = 5 b11 = 3 = 0,75 4 b21 = -5 = -1,25 A-1 = 0,75 -1 4 -1,25 2 b12 = -4 = -1 4 b22 = 8 = 2 4

483

Matriks transpos

Jika matriks B diperoleh dari matriks Amxn dengan menukar baris – baris menjadi kolom – kolom atau sebaliknya, maka B sisebut transpos matriks A yang dinyatakan dengan A+ atau A’

A = a11 a12 ……. …….a1n A’ = a11 a21…………………………………..am1

a21 a22 …………. a2n a12 a22…………………………………..am2

am1 am2………………… amn a1n a2n….. …………………amn

Contoh :

A = 2 3 1 A’ = 2 5

5 0 4 3 0

1 4

• Tanda kofaktor minor

ijji

ij MC 17

Kofaktor

Jika A matriks bujur sangkar dengan ordo n dan aij elemen pada bujur ke i kolom ke j , maka Kij adalah kofaktor dari aij.

Jika dibentuk maktriks baru K dengan elemen-elemen kofaktor dari senua elemen A maka :

K : (Kij) = K11 K12……………K1n

K21 K22……….….K2n

Kn1 Kn2…………..Knn

Kofaktor dapat dicari dengan cara

Nilai dari elemen Kij diperoleh dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j sehingga tersisa nilai yang tidak tercoret

Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3

4 1 K12 = -4 K22 = 2

K= 1 -4

-3 2

Adjoin matriks

Adjoin dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj (A) adalah matriks dengan elemen-elemen sama dengan tranpos matriks kofaktor dari aij :

Jadi Adj (A) = K’ = K11 K21 ………..….. Kn1

K12 K22………………Kn2

K1n K2n……………….Knn

Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3

4 1 K12 = -4 K22 = 2

K 1 -4 Adj A = K’ = 1 -3

-3 2 -4 2

A = 1 2 3

3 0 2

2 1 1

K11 = 0 2 = -2 K21 = - 2 3 = 1 K31 = 2 3 = 4

1 1 1 1 0 2

K12 =- 3 2 = 1 K22 = + 1 3 = -5 K32 = - 1 3 = 7

2 1 2 1 3 2

K13 = 3 0 = 3 K23 = - 1 2 = 3 K33 = 1 2 = -6

2 1 2 1 3 0

K = -2 1 3 Adj A = K’ = -2 1 4

1 5 3 1 5 7

4 7 -6 3 3 -6

Menentukan Kebalikan (Invers) Matriks Dengan Matriks Adjoin, jika A matriks bujur sangkar ordo n yang non singular dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka invers matriks A adalah A-1 dengan

A-1 = Adj (A)

A

Contoh :

1. A = 8 4 K11 = 3 K21 = -5

5 3 K12 = -4 K22 = 8

Adj A = 3 -4 A = 24 – 20 = 4 Jadi A-1 = 3 -4 = 3/4 -1

-5 8 -5 8 -5/4 2

4

Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua

2. A = 0 1 2

1 2 3

2 1 1

K11 = 2 3 = -1 K21 = - 1 2 = 1 K31 = 1 2 = -1

1 1 1 1 2 3

K12 = - 1 3 = +5 K22 = 0 2 = -4 K32 = - 0 2 = 2

2 1 2 1 1 3

K13 = 1 2 = -3 K23 = - 0 1 = 2 K33 = 0 1 = -1

2 1 2 1 1 2

Adj A = -1 1 -1 A = 0 1 2 0 1 A = 0+6+2 – 8-0-1

5 -4 2 1 2 3 1 2 = -1

-3 2 -1 2 1 1 2 1

A-1 = Adj (A) -1 1 -1

A = 5 -4 2

-3 2 -1

-1

= 1 -1 1

-5 4 -2

3 -2 1

+ + + - - -

Minor dan Kofaktor• Kofaktor Laplace Expansion ;

jika |A| = 0, kemudian |A| adalah tunggal,maka tidak dapat diidentifikasi

3231

222113

3331

232112

3332

232211

aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

ijji

ij MC 1

n

jjj CaA

111

12

AC'

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

21

22212

12111

13

Matriks AC'

n

jnjnj

n

jjnj

n

jjnj

n

jnjj

n

jjj

n

jjj

n

jnjj

n

jjj

n

jjj

nxn

CaCaCa

CaCaCa

CaCaCa

CA

112

11

12

122

112

11

121

111

14

A

A

A

CA

00

00

00

nIAA

100

010

001

15

Inverse Matriks A

nIACA

IA

CA

IA

CA

IAA

CAA 11

1A

A

C

16

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

• Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk notasi Matriks.

• Bentuk umumnya :

A m x n X n x 1 = c m x 1

• Jika m = n dan A mempunyai inverse Matriks bujursangkar yang non-singular, maka :

A n x n X n x 1 = c n x 1

17

• Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan membalik Matriks A :

X n x 1 = A-1 n x n c n x 1

• Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer

18

Aturan Cramer

n

iinin

n

iii

n

iii

CdA

x

CdA

x

CdA

x

1

*

12

*2

11

*1

1

1

1

19

n

iiCdA

1111

n

iii CdA

x1

1*1

1

n

iii

n

iijij

CaA

CaA

111

1

A

Ax

A

Ax

nn

*

1*1

20

A

A

aad

aad

aad

Ax

nnnn

n

n

1

2

2222

1121

*1

1

1212111*1

1nn CdCdCd

Ax

21

Latihan

Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linier berikut dengan menggunakan matrix balikan (inverse matriz) dan kaídah Cramer

31235

3746

732

321

321

321

xxx

xxx

xxx

22