p2 Determinan Invers

download p2 Determinan Invers

If you can't read please download the document

  • date post

    13-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    43
  • download

    14

Embed Size (px)

Transcript of p2 Determinan Invers

3/25/2011DETERMINAN INVERS MATRIK SdanTranspose (1)Matrikst)Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (A adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Ex :A 2 1 5 3 0 3 At 2 3 1 0 5 313/25/2011SIFAT Transpose Matriks (2)Sifat : (At )t = A 1.2. 3. 4.(A t = At B B) t (ABt = Bt A ) t = kAt (kA)tInvers (1)MatriksJika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.23/25/2011Invers (2)Ex :B 3 5 1 2Matriksadalah dariAB 2 1 3 1 5 2inversA2 15 3karen a5 3 2 13 15 2 5 31 0 1 00 1 0 1IdanBAIInvers (3)MatriksCara mencari invers khusus matriks 2x2: Jika diketahui a b A matriks c d maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc 0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus d b d b 1 a b a b A1 c a d c d c a b c a d c a b a b d c d c33/25/2011Invers (4)Ex : Carilah dari Penyelesaia n:Matriksinvers2 1 5 3AA11 2( 3)35 21 3 1 15 23 15 2( 5 )( 1) 1jika matriksnya(Bagaimana 2x2???)tidakInvers (5)MatriksSifat : Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka: AB dapat dibalik(PUNYA 1.2.INVERS) -1 (AB-1 = B-1 A )43/25/2011Pangkat (1)MatriksJika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari sebagai A : A0 = I, An = A A A (n=0)n faktorJika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai A-n = (A-1 )n = A-1 A-1 A-1n faktorPangkat (2)MatriksJ ika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka: Ar As = Ar+s 1.2. r s = A rs (A)Sifat : A-1 dapat dibalik dan -1 )-1 = A 1.2. 3.(A An dapat dibalik dan n )-1 = (A-1 )n , n=0,1,2, (A Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan 1 (kA ) 1 A 1 k53/25/2011Invers DiagonalJika diketahui diagonalMatriksmatriksD d1 0 0 0 d2 0 ... ... 0 0 1 dn ... ... ... ... dn 0 0maka adalahinversnyaD11 d1 00 1 d2 00...Pangkat DiagonalJika diketahui diagonal matriksMatriksd D 0 d21... ... ... ...0 0 d0 00maka adalahpangkatnya Dknd1 k 0 00 d2k... ... ... ...0 0 dn k063/25/2011Invers Matriks dengan OBE (1)Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu eliminasi Gauss atau Gaussdengan Jordan) A-1 = Ek E E2 E I k-1 1 n dengan E adalah matriks dasar/ matriks (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I elementer dengan melakukan sekali OBE)Invers Matriks dengan OBE (2)Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A -1 . Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I]. Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. -1 , sehingga OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A -1 matriks akhir berbentuk [I | A ].73/25/2011Invers Matriks dengan OBE (3)Ex : Cari untuk Penyelesaia n:1 2 1inversA1 2 12 5 03 3 82 31 0 800 0 0 0 15 30 1b 2 b32b 1 b11 0 02 1 23 3 5100 0 12 1 1 0Invers Matriks dengan OBE (4)Penyelesaian Cont.1b32 1 0 0 13 3 1 14 51 2 5 6 5 20 1 2 30 0 1b31 0 0 1b12 1 0 0 1 03 3 1 0 11 2 5 40 50 1 2 16 5 20 0 1 9 3 12b20 0 1 0 0 2 1 0b 1 b23b 3 3b30 133 12b20 00 1383/25/2011Invers Matriks dengan OBE (6)Penyelesaian (2) Jad iA1Cont.40 13 5 16 5 2 9 3 1(Adakah lain???)caraDengan DETERMINANApa determinan? Bagaiman a menentukan determinan matriks ordo n? ituKONSEP93/25/2011Determinan Matriks 2x2 (1)Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. Jika diketahui matriks berukuran 2x2, maka determinan matriks A adalah: det (A) = |A| = ada b A bcc dDeterminan Matriks 2x2 (2)Ex : Jika matriks diketahuiP 2 3 4 5maka | P | = (2x5) (3x4) = -2 (Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)103/25/2011Determinan Matriks 3x3 (1)Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.Determinan Matriks 3x3 (2)Ex :1 4 32 5 23 1 4 4 1 32 5 2 1 (5 )(1) 2 (4 )( 3) 3( 4)( 2 ) 3(5)( 3) 2 (4 )(1) 1(4 )( 2)113/25/2011Determinan Matriks nxn (1)Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.Det (A)=Sum(a(i,j)*c(i,j)),ekspansi baris ke-i/kolom kejDeterminan Matriks nxn (2)Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda c Mij . Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan ij = (-1) i+j Mij . cij=123/25/2011Determinan Matriks nxn (3)Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertamaDeterminan Matriks nxn (4)Ex :133/25/2011Selanjutnya bagaimana determinan bisa digunakan untuk menentukan invers matriks..?Tentukan Adjoint Matriks (1)Jika diketahui matriks 3x3 Kofaktor adalah: c11 =9 c c21 =-3 c c31 =-6 c Matriks terbentuk dari matriks12 22 323 0 21 22 4 11tersebut=8 c 13 =-2 =-1c 23 =4 =-12 c yang33=3kofaktor9 3 68 1 122 4 3143/25/2011Adjoint (2)MatriksAdjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat : 9 8 2T 9 3 6 3 6 1 12 4 3 8 2 1 4 12 3Invers Matriks nxn (1)Rumus :dengan det(A) 0 Ex: Cari invers dariA3 0 21 1 22 4 1153/25/2011Invers Matriks nxn (2)Penyelesaia n: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4) (3)1(0)(-1) =3-7-0-4+24+0 =16 Adjoint A =9 8 2 3 1 49 8 2 3 1 46 12 36 12 3 9 / 16 1/ 2 1/ 8 3 / 16 1 / 16 1/4 3/8 3/ 4 3 / 16Maka A -1 =1 16Soa lBuktika na1 a1 t c1 b1 t b1 a2 a2 t c2 b2 t b2 a3 a3 t c3 b3 t b3 (12a1 t ) b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3Buktika n1 a a21 b b21 c c2(ba )( ca )( cb)163/25/2011Tuga sBuat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C+ + ! Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemenelemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan . Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinanny a.Kui sCari a,b,c simetris agara b a 8 c 8 5 2c 5 2b 1 4 3a c 0 2 1Cari dariinverscos sinsin cos A5 1 2 1 0 x 3 x 1 0 0 3 6 5 0 1 0 0 0 1Cari matriks supaya Cari nilai supayadiagonal xAx 3 1 1 x173/25/201118