MATRIK INVERS

A. PENGERTIAN MATRIKS INVERS

Definisi:

Sebuah matrik bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks

B sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A ditulis A-1, merupakan matriks

bujur sangkar berordo n × n. Invers dari sebuah matriks adalah unik (tunggal atau hanya

satu) dan berlaku sifat: ( A−1 )−1=A .

Contoh 1:

Buktikan bahwa invers dari matriks A = [3 2 12 2 11 1 1] adalah A

−1=[ 1 −1 0−1 2 −10 −1 2 ]

A A−1=[3 2 12 2 11 1 1][ 1 −1 0

−1 2 −10 −1 2 ]=[1 0 0

0 1 00 0 1]=I ( terbukti )

Contoh 2:

Buktikan bahwa invers dari matriks A = [−3 −15 2 ] adalah B = [−2 −1

5 3 ]Bukti:

AB=[−3 −15 2 ] [−2 −1

5 3 ] = [ 6−5 3−3

−10+10 −5+6] = [1 0

0 1] = I (terbukti)

B. MENGHITUNG MATRIK INVERS

Ada banyak cara untuk menghitung matriks invers

1. Cara Perkalian MAtriks

Contoh 3:

Carilah invers dari matriks A = [2 10 3 ]

Misalkan invers dari matriks tersebut adalah A-1 = [a1 a2

a3 a4]

AA-1 = [1 00 1]

[2 10 3 ][a1 a2

a3 a4]=[1 0

0 1 ][2 a1+a3 2 a1+a4

3 a3 3 a4]=¿ [1 0

0 1]Diperoleh 4 buah persamaan:

2a1 + a3 = 1 …………………(1)

3a3 = 0 ……………………...(2)

2a2 + a4 = 0 …………………(3)

3a4 = 1 ……………………...(4)

Dari 4 persamaan tersebut diperoleh:

a1=12

;a2=−16

; a3=0 ;a4=13

Jika A-1 = [ 12

−16

013

]Cara ini cocok dilakukan bila ordo matriks 2 × 2

2. Menggunakan Matriks Adjoint

Misalkan diketahui matriks A = (a ij). Kofaktor dari elemen a ij adalah Aij, maka transpose

dari matriks ( Aij ) disebut matriks Adjoint dari A

Adj . A=[ A11 A21… An 1

A12 A22… An 2

… …… …A1n A2n … Ann

]

Dalam mencari matriks adjoin, kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk

semua elemen. Tidak seperti dalam mencari determinan di mana hanya satu baris atau

kolom yang diekspansi. Misalkan ada matriks bujur sangkar berorde 3, maka akan ada 9

elemen yang harus dicari kofaktornya.

Invers suatu matriks A didefiniskan sebagai

A−1=adj . ( A )det ( A )

dengan catatan det (A) ≠ 0

Contoh 4:

Diketahui matriks A sebagai berikut:

A=[1 0 02 3 54 1 3 ]

Tentukan invers matrik tersebut

Jawab:

Kofaktor – kofaktor dari matriks A:

A11¿=(−1 )1+1[3 5

1 3]=4 A12¿=(−1 )1+2[2 5

4 3]=14

A13¿=(−1 )1+3[ 2 3

4 1]=−10 A21¿=(−1 )2+1[0 0

1 3]=0

A22¿=(−1 )2+2[1 0

4 3 ]=3 A23¿=(−1 )2+3[ 1 0

4 1]=−1

A31¿=(−1 )3+1[0 0

3 5]=0 A32¿=(−1 )3+2[1 0

2 5 ]=−5

A33¿=(−1 )3+3[1 0

2 3]=3

Matriks Adjoint A adalah:

Adj ( A )=[ 4 0 014 3 −5

−10 −1 3 ]Determinan matriks A:

det ( A )=|1 0 02 3 54 1 3|

Ekspansi baris ke -1

det ( A )=1 .[3 51 3]=4

Invers matriks A adalah:

A−1=adj . ( A )det ( A )

¿14 [ 4 0 0

14 3 −5−10 −1 3 ]

= [ 1 0 07/2 3 /4 −5/4

−5/2 −1 /4 3/4 ]3. Menggunakan Transformasi Elementer Baris

Cara lain mencari invers suatu matriks adalah dengan melakukan transformasi elementer

baris sedemikian rupa sehingga dipenuhi skema berikut:

[ A|I ] H ij→

[ I|A−1 ]

Contoh 5:

Carilah invers matriks pada contoh 4 diatas, dikerjakan menggunakan transformasi

elementer baris

Jawab:

A=[1 0 02 3 54 1 3 ]

[1 0 02 3 54 1 3

¿¿¿

1 0 00 1 00 0 1]H 21

(−2 )

H 31(−4 )⇒ [1 0 0

0 3 50 1 3

¿¿¿

1 0 0−2 1 0−4 0 1]H 23

(−2)⇒

[1 0 00 1 −10 1 3

¿¿¿

1 0 06 1 −2

−4 0 1 ]H 32(−1 )⇒ [1 0 0

0 1 −10 0 4

¿¿¿

1 0 06 1 −2

−10 −1 3 ]H 3(1 /4)⇒

[1 0 00 1 −10 0 1

¿¿¿

1 0 06 1 −2

−5/2 −1/4 3/ 4]H 23(1 )⇒

[1 0 00 1 00 0 0

¿¿¿

1 0 07 /2 3/4 −5 /4

−5 /2 −1/4 3 /4 ]H 3( 1/4 )

A−1=[ 1 0 07 /2 3/4 −5 /4

−5 /2 −1/4 3 /4 ]