MODUL 5

INVERS MATRIK

PRAYUDI STT PLN

PENGERTIAN INVERS MATRIK

Matrik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat

matrik B sedemikian rupa sehingga :

AB = BA = I

dimana I matrik identitas

B dikatakan invers matrik A ditulis A–1

, maka, AA–1

= A–1

A = I

A dikatakan invers matrik B ditulis B–1

, maka, B–1

B= BB–1

= I

Contoh ; AB = BA = I

111

230

132

653

432

321

111

230

132

100

010

001

653

432

321

TEKNIK MENGHITUNG INVERS

Metode Adjoint matrik

Metode operasi elementer baris

Metode Perkalian Invers Matrik Elementer

Metode partisi matrik

Program Komputer – MATCADS, MATLAB

WS OFICE EXCELL

Metode Adjoint Matrik

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktorelemen matrik aij, dan andaikan pula det(A)≠0 maka A mempunyaiinvers yaitu :

adj(A)det(A)

1A 1

dimana,

ijji

ij

nnnnn

n

n

n

MC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

Aadj

)1(

...

...............

...

...

...

)(

321

3332313

2322212

1312111

Kasus, n = 2 : maka

2221

1211

aa

aaA

1121

1222

21122211

1 1

aa

aa

aaaaA

Kasus, n = 3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

332313

322212

312111

332313

322212

3121111-

MM-M

M-MM-

MM-M

det(A)

1

CCC

CCC

CCC

det(A)

1A

CONTOH :

554

543

432

A det(A)= 1

1-21-

26-5

1-55-

9)-(812)-(10-16)-(15

12)-(10-)16-10(20)-(15-

16)-(1520)-(15-25)-(20

43

32

54

32-

54

43

53

42-

54

42

54

53-

54

43

55

43-

55

54

(1)

1A 1-

KASUS : n = 4

44342414

43332313

42322212

41312111

1-

44434241

34333231

24232221

14131211

MM-MM-

M-MM-M

MM-MM-

M-MM-M

det(A)

1 A

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

CONTOH :

Hitunglah invers matrik berikut ini :

Ekspansi baris -1 :

det(a)=M11-2M12+3M13-4M14

=-10 – 2(5) + 3(9) – 4(2)= –1

6863

4753

5532

4321

A

Ekspansi baris-2 :

det(A)=-2M21+3M22-5M23+5M24

=-2(-6) –3(4) + 5(-6) –5(-1)= –1

Ekspansi baris-3 :

det(A)=3M31-5M32+7M33-4M34

=3(-8) –5(3) + 7(6) –4(1)= –1

Ekspansi baris-4 :

det(A)=-3M41+6M42-8M43+6M44

=-3(-7) +6(2) - 8(5) + 6(1)= –1

INVERS : OPERASI ELEMENTER BARIS

Operasi Elementer baris yang

digunakan adalah :

(1). Hj kHj

(2). Hj Hi

(3). Hj Hj + kHj

1000

...1......

0010

0001

...

.........

...

...

21

22221

11211

nnnn

ii

n

n

aaa

a

aaa

aaa

Langkah-langkah sebagai berikut

(1). Bentuk matrik lengkap [A,I]

(2). Dengan serangkain operasi

elelemter baris reduksilah [A,I]

menjadi matrik berbentuk [I,B]

(3). A–1 = B

nnnn

ii

n

n

bbb

b

bbb

bbb

...

.........

...

...

1000

...1......

0010

0001

21

22221

11211

nnnn

ii

n

n

bbb

b

bbb

bbb

...

.........

...

...

AJadi,

21

22221

11211

1-Operasi elementer baris

Gaouss-Jordan

CONTOH :

M.Asal

2 3 4 1 0 0

3 4 5 0 1 0

4 5 5 0 0 1

Iterasi-1

1 1.5 2 0.5 0 0 H1=(1/a11)H1

0 -0.5 -1 -1.5 1 0 H2=H2-(a21/a11)H1

0 -1 -3 -2 0 1 H3=H3-(a31/a11)H1

Iterasi-2

1 1.5 2 0.5 0 0

0 1 2 3 -2 0 H2=(1/a22)H2

0 0 -1 1 -2 1 H3=H3-(a32/a22)H2

Iterasi-3

1 1.5 2 0.5 0 0

0 1 2 3 -2 0

0 0 1 -1 2 -1 H3=(1/a33)H3

Iterasi-4

1 1.5 0 2.5 -4 2 H1=H1-(a13/a33)H3

0 1 0 5 -6 2 H2=H2-(a23/a33)H3

0 0 1 -1 2 -1

Iterasi-5

1 0 0 -5 5 -1 H1=H1-(a12/a22)H2

0 1 0 5 -6 2

0 0 1 -1 2 -1

Lanjutan :

1-21-

26-5

1-55-

AJadi, 1-

Matrik Awal

1 2 3 4 1 0 0 0

2 3 5 5 0 1 0 0

3 5 7 4 0 0 1 0

3 6 8 6 0 0 0 1Iterasi - 1

1 2 3 4 1 0 0 0 H1=(1/a11)H1

0 -1 -1 -3 -2 1 0 0 H2=H2-(a21/a11)H1

0 -1 -2 -8 -3 0 1 0 H3=H3-(a21/a11)H1

0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a41/a11)H1

Iterasi - 2

1 2 3 4 1 0 0 0

0 1 1 3 2 -1 0 0 H2=(1/a22)H2

0 0 -1 -5 -1 -1 1 0 H3=H3-(a32/a22)H2

0 0 -1 -6 -3 0 0 1 H4=H4-(a42/a22)H2

Iterasi-4

1 2 3 4 1 0 0 0

0 1 1 3 2 -1 0 0

0 0 1 5 1 1 -1 0 H3=(1/a33)H3

0 0 0 -1 -2 1 -1 1 H4=H4-(a43/a33)H3

Iterasi-5

1 2 3 4 1 0 0 0

0 1 1 3 2 -1 0 0

0 0 1 5 1 1 -1 0

0 0 0 1 2 -1 1 -1 H4=(1/a44)H4Iterasi-6

1 2 3 0 -7 4 -4 4 H1=H1-a14*H4

0 1 1 0 -4 2 -3 3 H2=H2-a24*H4

0 0 1 0 -9 6 -6 5 H3=H3-a34*H4

0 0 0 1 2 -1 1 -1Iterasi-7

1 2 0 0 20 -14 14 -11 H1=H1-a13*H3

0 1 0 0 5 -4 3 -2 H2=H2-a23*H3

0 0 1 0 -9 6 -6 5

0 0 0 1 2 -1 1 -1

Iterasi-8

1 0 0 0 10 -6 8 -7 H1=H1-a12*H2

0 1 0 0 5 -4 3 -2

0 0 1 0 -9 6 -6 5

0 0 0 1 2 -1 1 -1

1-112

56-69-

2-34-5

7-86-10

AJadi, 1-

PERKALIAN MATRIK ELEMENTER

(1). Matrik elementer adalah

matrik yang diperoleh dari

operasi elementer yang

dikenakan pada matrik

identitas.

(2). Setiap matrik elementer

mempunyai invers, dan setiap

matrik bujur sangkar berordo

(nxn) yang mempunyai invers

ekivalen baris terhadap matrik

identitas I.

(3). Akibatnya, jika :

EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I,

maka,

A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1

Matrik elementer E diperoleh dari

transformasi matrik identitas dimana

pada kolom ke-I diganti dengan

normalitas vektor kolom :

1......00

...................

0......00

...................

0......10

0......01

.

.

.

.

ik

ik

ik

ik

i

N

N

N

N

E

iiin

aii

iii

ik

aa

aa

N

/

...

/1

...

/

,

,1

,

iiiik IAEEEN 121, ...

: dimana

CONTOHHitung invers matrik A

Jawab :

Menghitung E1

554

543

432

A

5

5

4

A;

5

4

3

A;

4

3

2

A 321

102-

011.5-

000.5

10/aa-

01/aa-

001/a

E

1131

1121

11

1

Menghitung E2

12-1

02-3

034-

102

011.5-

000.5

12-0

02-0

031

EE

12-0

02-0

031

1)(-1)/(-0.5-0

00.5-1/0

00.5-1.5/-1

E

1-

0.5-

1.5

5

4

3

102-

011.5-

000.5

AEN

12

2

212

Menghitung E3 dan Invers Matrik

1-21-

26-5

1-55-

12-1

02-3

034-

1-00

210

1-01

EEE

1-00

210

1-01

1/(-1)00

(2)/(-1)-10

(-1)/(-1)-01

E

1-

2

1-

5

5

4

12-1

02-3

034-

AEEN

123

3

3123

Jadi Invers Matrik

1-21-

26-5

1-55-

A 1-

CONTOHHitung invers matrik A

Jawab :

Menghitung E1

6863

4753

5532

4321

A

1003-

0103-

0012-

0001

E

3

3

2

1

AN

1

11

Menghitung E2

1003-

011-1-

001-2

0023-

1003-

0103-

0012-

0001

1000

011-0

001-0

0021

EE

1000

011-0

001-0

0021

100/(-1)-0

01(-1)/(-1)-0

001-1/0

002/(-1)-1

E

0

1-

1-

2

6

5

3

2

1003-

0103-

0012-

0001

AEN

12

2

212

Menghitung E3

11-12-

01-11

012-1

0113-

1003-

011-1-

001-2

0023-

1000

0100

0010

0001

EEE

11-00

01-00

0110

0101

1(-1)/(-1)-00

01/(-1)00

01/(-1)-10

01/(-1)-01

E

1-

1-

1

1

8

7

5

3

1003-

011-1-

001-2

0023-

AEEN

123

3

3123

Menghitung E4 dan Invers Matrik

1-11-2

56-69-

2-34-5

7-86-10

11-12-

01-11

012-1

0114-

1-000

5100

2-010

7-001

EEEEA

1-000

5100

2-010

7-001

1/(-1)000

5/(-1)-100

(-2)/(-1)-010

(-7)/(-1)-001

E

1-

5

2-

7-

6

4

5

4

11-12-

01-11

012-1

0113-

AEEEN

12341-

3

41234

INVERS : PARTISI MATRIK (1)Partisi matrik A yang berordo (mxn)

adalah sub matrik-sub matrik yang

diperoleh dari A dengan cara

memberikan batasan-batasan garis

horisontal diantara dua baris dan

atau memberikan batasan-batasan

garis vertikal diantara dua kolom.

CONTOH

6863

4753

5532

4321

A

68

47 A

63

53A

55

43 A

32

21A

: adalah A matrik Partisi

2221

1211

31554

13343

53632

23443

34532

A

CONTOH

INVERS : PARTISI MATRIK (2)Andaikan A matrik bujur sangkar

berordo (nxn) yang mempunyai

invers, yaitu : A–1 = B, dan

partisinya masing-masing adalah :

Karena, AB=BA=I maka diperoleh

:

2221

1211

2221

1211

BB

BBB ;

AA

AAA

I0

0I

AA

AA

BB

BB

I0

0I

BB

BB

AA

AA

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Dari perkalian matrik diperoleh hasil :

(1). A11 B11 + A12 B21 = I

(2). A11 B12 + A12 B22 = 0

(3). B21 A11 + B22 A21 = 0

(4). B21 A12 + B22 A22 = I

Dengan asumsi, A11–1 ada, dan

B22 = L–1 ada

Maka rumus untuk menghitung inver

matriknya adalah :

(1). B12 = –(A 11–1 A12)L–1

(2). B21 = – L–1(A21 A11–1)

(3). B11 = A11–1+(A11

–1A12)L–1(A21 A11–1)

(4). L = A22 – (A21A11–1A12)

CONTOH : Kasus n=4. Hitunglah invers

matrik berikut ini

Jawab :

6863

4753

5532

4321

A

68

47 A

63

53A

55

43 A

32

21A

: adalah A matrik Partisi

2221

1211

Menghitung L

1-1

56-

1-(-1)-

(-5)-6-

5-6

1L Jadi,

6-1-

5-1-

129

98 -

68

47

31

2-1

63

53-

68

47

AAAAL

03

11

1-2

23-

63

53AA

31

2-1

55

43

1-2

23-AA

1-2

23-

12-

2-3

)43(

1A

1-

121-

112122

1-1121

121-

11

1-11

Menghitung Invers Matrik

4-5

6-13

3-3

8-13

1-2

23-

12-

6-9

31

2-1

1-2

23-

)A(AL)AA(AB

1-2

69-

03

11

1-1

56- -

)A(A-LB

2-3

7-8

1-1

56-

31

2-1 -

L)A-(AB

1-1121

1-12

1-11

1-1111

1-1121

1-21

1-12

1-1112

1-112

56-69-

2-34-5

7-86-10

BB

BB A

2221

12111-

CONTOH :

Hitung invers matrik A berikut :

Jawab : Partisi matrik A

31554

13343

53632

23443

34532

A

315

133

536

A

54

43

32

A

234

345 A

43

32A

2221

1211

Menghitung L

21-

10

01

2-3

34-

54

43

32

AA

567

6-7-8-

234

345

2-3

34-A A

2-3

34-

23-

3-4

98

1A

1-1121

121-

11

1-11

1-1-1

1-2-0

101-

1)-(02)(-1-0)-(1

2)(-1-4)-(22)(-2-

0)-(12)(-2-1)-(0

1

1L

Jadi,

21-2

1-01-

21-1

123

234

345

-

315

133

536

567

6-7-8-

54

43

32

-

315

133

536

AAAAL

1-

121-

112122

Menghitung Invers Matrik

27-5

337-

25-2

303-

2-3

34-

3-2

4-1

22-

567

6-7-8-

2-3

34-

)A(AL)AA(AB

32-

41-

2-2

21-

10

01

1-1-1

1-2-0

101-

-

)A(A-LB

4172

5-20-2-

1-1-1

1-2-0

101-

567

6-7-8- -

L)A-(AB

1-1121

1-12

1-11

1-1111

1-1121

1-21

1-12

1-1112

1-1-132-

1-2-041-

101-2-2

417227-5

5-20-2-337-

BB

BB AJadi,

2221

12111-

SOAL TUGAS IV

Hitung invers matrik A berikut ini dengan cara :

111

4112

221

111

bbaa

bbaa

aabb

aabb

A

a. Metode Adjoint

b. Perkalian matrik elementer

c. Operasi elementer baris

d. Metode partisi matrik

Hitung invers matrik A berikut ini dengan 2 cara partisi yang berbeda:

13112

31123

11234

4321

32112

aaabb

aaabb

aaabb

bbbaa

bbbaa

A

4432

12121

31

131

1221

aaabb

aaabb

aaabb

bbbaa

bbbaa

A