Ruang Vektor

Adri Priadana

ilkomadri.com

MEDAN SKLAR

Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan

didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian

(*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi 10 aksioma

berikut:

1. Untuk setiap α, β K maka α + β K dan α * β K

2. Untuk setiap α, β, γ K maka (α + β) + γ = α + ( β

+ γ )

3. Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikiansehingga 0 + α = α + 0 = α, untuk setiap α K

4. Untuk masing-masing α K, terdapat – α K disebutnegatif dari α sedemikian sehingga

(-α) + α = α + (-α) = 0

5. Untuk setiap α, β K maka α + β = β + α

MEDAN SKLAR

6. Untuk setiap α, β, γ K maka (α * β) * γ = α *( β * γ )

7. Untuk setiap α, β, γ K

a. α * ( β + γ ) = α * β + α * γ

b. ( β + γ ) * α = β * α + γ * α

8. Untuk setiap α, β K maka α * β = β * α

9. Terdapat 1 K disebut elemen satuan, sedemikiansehingga 1 * α = α * 1, untuk setiap α K

10. Untuk masing-masing α ≠ 0 K, terdapat α-1 Kdisebut invers dari α sedemikian sehingga

α-1 * α = α * α-1 = 1

Dalam hal ini semua anggota dari Field adalah skalar

MEDAN SKLAR

Contoh

Himpunan bilangan riil R adalah medan skalarterhadap operasi penjumlahan dan perkalian.Berikut adalah pembuktiannya :

misal 1, 2, 3 R

1. 1 + 2 = 3, 3 R dan 1 * 2 = 2, 2 R

2. (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) => 6 = 6

3. Elemen 0 dari R adalah “0”, dan 0 + 1 = 1 + 0 =

1, dimana 1 R

4. (-1) + 1 = 1 + (-1) = 0

5. 1 + 2 = 2 + 1

MEDAN SKLAR

6. (1 * 2)*3 = 1*(2*3) => 6 = 6

7. Untuk setiap 1, 2, 3 R

a. 1 * ( 2 + 3 ) = 1 * 2 + 1 * 3 => 6 = 6

b. ( 2 + 3 ) * 1 = 2 * 1 + 3 * 1 => 6 = 6

8. 1 * 2 = 2 * 1 => 2 = 2

9. Elemen “1” dari R adalah “1”, dan 1*1 = 1*1 =

1

10. 1-1 * 1 = 1 * 1-1 = 1

Tidak hanya pada 1, 2, 3, semua bagian dari Rharus terpenuhi semua aksioma tersebut agardapat dikatakan medan skalar.

RUANG VEKTOR

Ada 8 syarat agar V (himpunan vektor) disebut sebagai

ruang vektor, yaitu:

1. Jika vektor-vektor u, v V , maka vektor u + v V dan jika α K , maka α u V

2. Jika vektor-vektor u, v, w V, maka

(u + v) + w = u + (v + w)

3. Untuk setiap u, v V dan α K maka α * (u + v)= α*u + α*v

4. Ada 0 V (vektor 0) sehingga 0 + u = u + 0,untuk semua u V

RUANG VEKTOR

5. Untuk semua u V terdapat - u V sehingga

u + (-u) = 0

6. Untik setiap u, v V , maka u + v = v + u

7. Untuk setiap u, v V dan α , β K berlaku

a. (α + β) * u = α*u + β*u

b. (α β) * u = α (β*u)8. Untuk setiap u V berlaku 1 * u = u , dimana 1

adalah elemen satuan dari K

RUANG VEKTOR

Contoh

Terdapat himpunan vektor V = { [1, 2, 3] , [2, 3, 4], [3, 5, 7], [2, 6, 12] } dan himpunan skalar R {1, 2, 3} . Apakah himpunan vektor V adalah ruang vektor?

Jawab

untuk membuktikannya harus dicari apakah himpunan vektor tersebut memenuhi aksioma

1. u + v V

[1, 2, 3] + [3, 5, 7] = [4, 7, 10]

karena [4, 7, 10] ∉ V , aksioma pertama tidak

terpenuhi

maka himpunan vektor tersebut bukan ruang vektor

RUANG BAGIAN (SUBSPACE)

• Ruang bagian atau sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus

• Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku :

1. W ≠ Ø (W tidak kosong) atau W ≠ { }

2. Untuk setiap u, v W maka u + v W

3. Untuk setiap u W dan α K , maka αu W

RUANG BAGIAN (SUBSPACE)

Contoh

Apakah ruang nol, O, merupakan sub ruang? O = {0}

Jawab

Bukti:1. Ada 0 ∈ O, jadi O ≠ ∅

2. Ambil u, v ∈ O, berarti u = 0 dan v = 0, akibatnya u + v = 0 + 0 = 0, jadi u + v ∈ O

3. Ambil u ∈ O, berarti u = 0, akibatnya ku = k0 = 0, jadi ku ∈ O

Jadi O merupakan sub ruang dari setiap ruang vektor yang melingkupinya.

VEKTOR YANG BEBAS LINIER

DAN BERGANTUNG LINIER

• Himpunan m buah vektor {u1, u2, ..., um } disebut bergantung linier (linearly dependent) bila terdapat skalar-skalar λ1, λ2, ..., λm yang tidak

semuanya nol sedemikian rupa sehingga :

λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um = 0

(0 adalah vektor nol)

Sebaliknya, himpunan vektor {u1, u2, ..., um} disebut bebas linier (linearly independent) jika

λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um = 0

hanya dipenuhi oleh λ1 = λ2 = ... = λm = 0

VEKTOR YANG BEBAS LINIER

DAN BERGANTUNG LINIER

Contoh

Selidiki apakah

1. a = [8, 18, 13], b = [1, 3, 2] , c = [2, 4, 3]

2. a = [2, 3] dan b [7, 1]

bebas linier atau bergantung linier?

1. λ1 [8, 18, 13] + λ2 [1, 3, 2] + λ3 [2, 4, 3] = 0

Misalnya λ1 = 1, λ2 = -2, λ3 = -3, maka persamaan tersebut menjadi

1 [8, 18, 13] - 2 [1, 3, 2] - 3 [2, 4, 3] = 0karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor tersebut bergantung linier

VEKTOR YANG BEBAS LINIER

DAN BERGANTUNG LINIER

2. Untuk a = [2, 3] dan b [7, 1] maka

λ1 [2, 3] + λ2 [7, 1] = 0 sehingga

2 λ1 + 7 λ2 = 0

3 λ1 + 1 λ2 = 0

persamaan tersebut hanya dipenuhi bila λ1 = 0 dan λ2 = 0. Jadi vektor tersebut bebas linier.

KOMBINASI LINIER

• Suatu vektor v dikatakan kombinasi liner dari himpunan vektor {u1, u2, ..., um } bila terdapat skalar-skalar λ1, λ2, ..., λm sedemikian hingga

v = λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λm um

KOMBINASI LINIER

Contoh

1. Apakah a = [5, 15, 16] merupakan kombinasi linier dari b = [3, 3, 2] dan c = [1, 6, 7]

2. Apakah a = [5, 3] merupakan kombinasi linier dari b = [4, 3] dan c = [3, 7]

KOMBINASI LINIER

Jawab

Kita akan menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

1. Kita hitung λ1 dan λ2 yang memenuhi

[5, 15, 16] = λ1 [3, 3, 2] + λ2 [1, 6, 7]

5 = 3λ1 + λ2

15 = 3λ1 + 6λ2

16 = 2λ1 + 7λ2

Dengan subtitusi, diperoleh λ1 = 1 dan λ2 = 2,

jadi a merupakan kombinasi linier dari b dan c, dimana komposisi a = b + 2c

KOMBINASI LINIER

2. Kita hitung λ1 dan λ2 yang memenuhi

[5, 3] = λ1 [4, 3] + λ2 [3, 7]

5 = 4λ1 + 3λ2

3 = 3λ1 + 7λ2

Dengan subtitusi, tidak diperoleh nilai λ1 dan λ2

yang memenuhi. Jadi a bukan kombinasi linier dari b dan c.

RENTANGAN (SPAN)

• Misalkan S = {v1, v2, ..., vk } adalah himpunan vektor dalam ruang vektor real V dan span (S), adalah himpunan yang berisi semua vektor kombinasi linier dari v1, v2, ..., vk , yaitu

span (S) = {c1v1 + c2v2 + ... + ckvk | c1, c2, c3, ..., ck R }

jika span (S) = V , maka dikatakan bahwa V dibangun / dibentuk oleh S atau S membentuk V

RENTANGAN (SPAN)

Contoh

Tentukan apakah v1=(-2,1,2), v2=(0,1,3),

v3=(-1,0,1) span dari ruang vektor R3

Jawab :

Untuk menentukan span di ruang vektor R3, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R3 adalah kombinasi linier dari v1, v2dan v3. Misalkan vektor a = (a1,a2,a3) di ruang vektor R3, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v1,v2,dan v3

RENTANGAN (SPAN)

Agar supaya ada nilai k1,k2 dan k3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k1,k2dan k3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v1,v2dan v3 merupakan span dari ruang vektor R3

1 1 1

2 1 2 3 2 2

3 3 3

-2 0 -1 -2 0 -1

1 1 0 1 1 0

2 3 1 2 3 1

a a k

a k k k a k

a a k

BASIS DAN DIMENSI

Vektor-vektor v1, v2, ..., vk dalam ruang vektor V dikatakan membentuk basis dimensi V, jika

1. v1, v2, ..., vk membangun V atau

span (v1, v2, ..., vk) = V

2. v1, v2, ..., vk adalah bebas linier

Dimensi dari ruang vektor V adalah jumlah vektor-vektor yang membentuk basis pada V

BASIS DAN DIMENSI

Contoh

Tentukan apakah vektor V = {a, b, c} basis dalam R3 dan tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh:

1. a = [2, 3, 6] , b = [5, 7, 2] , c = [7, 10, 8]

2. a = [1, 3, 5] , b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1]

BASIS DAN DIMENSI

Jawab

1. λ1 [2, 3, 6] + λ2 [5, 7, 2] + λ3 [7, 10, 8] = 0

Misalnya λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = -1, maka persamaan

tersebut menjadi

1 [2, 3, 6] + 1 [5, 7, 2] - 1 [7, 10, 8] = 0

karena ada λ yang ≠ 0, maka ketiga vektor

tersebut bergantung linier dan vektor a, b, cbukan basis dalam R3 dan dimensi ruang vektor V adalah 2, (c = a + b) -> {a, b} bebas linier karena tidak berkelipatan.

BASIS DAN DIMENSI

2. λ1 [1, 3, 5] + λ2 [2, -3, 1] + λ3 [-3, 0, 1] = 0

sehingga

[1, 3, 5] + [2, -3, 1] + [-3, 0, 1] = [0 , 0, 0]

maka

λ1 + 2λ2 - 3λ3 = 0,

3λ1 - 3λ2 = 0,

5λ1 + λ2 + λ3 = 0

persamaan kedua menyebabkan λ1 = λ2, kalau hasil

ini disubstitusikan ke persamaan pertama menyebabkan λ1 = λ2 = λ3. Karena tidak ada λ yang ≠

0, maka ketiga vektor tersebut bebas linier.

BASIS DAN DIMENSI

2. a = [1, 3, 5] , b = [2, -3, 1] , c = [-3, 0, 1]

Jika kita jadikan matriks

dari matrik tersebut didapatkan determinan yaitu -99

maka kedua syarat terpenuhi sehingga vektor a, b, c basis dalam R3 dan dimensi ruang vektor V adalah 3.

1 2 -3

3 -3 0

5 1 1

Matur Nuwun