ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

MATRIKS(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

Macam Matriks Matriks Nol (0)

Matriks yang semua entrinya nol.Ex:

Matriks Identitas (I)Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.Ex:

100

010

001

3I

000

000

000

,00

00

Matriks Diagonal Matriks yang semua entri non diagonal

utamanya nol.Secara umum:

Ex:

8000

0000

0040

0006

,

100

010

001

,50

02

nd

d

d

D

...00

...

0...0

0...0

2

1

Matriks Segitiga Matriks persegi yang

semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

A

44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

A

Matriks Simetris Matriks persegi A disebut simetris jika

A = At

Ex:

4

3

2

1

000

000

000

000

,

705

034

541

,53

37

d

d

d

d

Transpose Matriks (1) Jika A matriks mxn, maka transpose dari

matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.Ex:

303

512

35

01

32tAA

Invers Matriks (1)

Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.

Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Invers Matriks (2) Ex:

adalah invers dari

karena

dan

21

53B

31

52A

IAB

10

01

21

53

31

52

IBA

10

01

31

52

21

53

Invers Matriks (3) Cara mencari invers khusus matriks 2x2:

Jika diketahui matriks

maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus

dc

baA

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

ac

bd

bcadA

11

Invers Matriks (4) Ex:

Carilah invers dari

Penyelesaian:

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)

31

52A

21

53

21

53

11

21

53

)1)(5()3(211A

Invers Matriks (5)

Sifat:Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:1. AB dapat dibalik2. (AB)-1 = B-1 A-1

Pangkat Matriks (1) Jika A adalah suatu matriks persegi,

maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:A0 = I, An = A A … A (n≥0)

n faktor

Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagaiA-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1

n faktor

Pangkat Matriks (2) Jika A adalah matriks persegi dan r, s

adalah bilangan bulat, maka:1. Ar As = Ar+s

2. (Ar)s = Ars

Sifat:1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA

dapat dibalik dan 11 1)( A

kkA

Invers Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal

maka inversnya adalah

nd

d

d

D

...00

...

0...0

0...0

2

1

nd

d

d

D

1...00

0...1

0

0...01

2

1

1

Pangkat Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal

maka pangkatnya adalah

kn

k

k

k

d

d

d

D

...00

...

0...0

0...0

2

1

nd

d

d

D

...00

...

0...0

0...0

2

1

Invers Matriks dengan OBE (1) Caranya hampir sama dengan

mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)

A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 Indengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)

Invers Matriks dengan OBE (2) Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka

cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.

Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].

Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].

Invers Matriks dengan OBE (3) Ex:

Cari invers untuk

Penyelesaian:

801

352

321

A

101

012

001

520

310

321

100

010

001

801

352

32113

12 2bbbb

Invers Matriks dengan OBE (4) Penyelesaian Cont.

125

012

001

100

310

321

125

012

001

100

310

321323 2 bbb

125

3513

91640

100

010

001

125

3513

3614

100

010

0212132

3123

3bbbb

bb

Invers Matriks dengan OBE (6) Penyelesaian Cont. (2)

Jadi

(Adakah cara lain???)

125

3513

916401A

Determinan Matriks 2x2 (1)

Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.

Jika diketahui matriks berukuran 2x2,maka determinan matriks Aadalah: det (A) = |A| = ad-

bc

dc

baA

Determinan Matriks 2x2 (2) Ex:

Jika diketahui matriks

maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2

(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)

54

32P

Determinan Matriks 3x3 (1)

Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.

Determinan Matriks 3x3 (2) Ex:

)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1

23

54

21

123

454

321

Determinan Matriks nxn (1) Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi

kofaktor.

Determinan Matriks nxn (2) Kofaktor dan minor hanya berbeda

tanda cij = Mij. Untuk membedakan apakah kofator

pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.

Determinan Matriks nxn (3)

Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama

Determinan Matriks nxn (4)

Ex:

Adjoint Matriks (1) Jika diketahui matriks 3x3

Kofaktor dari matriks tersebut adalah:c11=9 c12=8c13=-2

c21=-3 c22=-1 c23=4

c31=-6 c32=-12 c33=3 Matriks kofaktor yang terbentuk

122

410

213

3126

413

289

Adjoint Matriks (2) Adjoint matriks didapat dari transpose

matriks kofaktor, didapat:

342

1218

639

3126

413

289T

Properties of determinantsProperty 1: If one row of a matrix consists entirely of zeros, then the determinant is zero.

Property 2: If two rows of a matrix are interchanged, the determinant changes sign.

Property 3: If two rows of a matrix are identical, the determinant is zero.

Property 4: If the matrix B is obtained from the matrix A by multiplying every element in one row of A by the scalar λ, then |B|= λ|A|.

Property 5: For an n n matrix A and any scalar λ, det(λA)= λndet(A).

Properties of determinantsProperty 6: If a matrix B is obtained from a matrix A by adding to one row of A, a scalar times another row of A, then |A|=|B|.

Property 7: det(A) = det(AT).

Property 8: The determinant of a triangular matrix, either upper or lower, is the product of the elements on the main diagonal.

Property 9: If A and B are of the same order, then det(AB)=det(A) det(B).

Pivotal condensation

Properties 2, 4, 6 of the previous section describe the effects on the determinant when applying row operations.

These properties comprise part of an efficient algorithm for computing determinants, technique known as pivotal condensation.

-A given matrix is transformed into row-reduced form using elementary row operations

-A record is kept of the changes to the determinant as a result of properties 2, 4, 6.

-Once the transformation is complete, the row-reduced matrix is in upper triangular form, and its determinant is easily found by property 8.

Example in the next slide

Pivotal condensation Find the determinant of

310

1032

221

310

221

1032

A

310

221

1032

310

1470

221

(2

b1)

Factor 7 out of the 2nd row

310

210

221

7

(1)b2 100

210

221

7

7)1)(1)(1(7

Invers Matriks nxn (1) Rumus:

dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari

122

410

213

A

Invers Matriks nxn (2)

Penyelesaian: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-

2)(4)(3)-1(0)(-1)=3-7-0-4+24+0 =16

Adjoint A =

Maka A-1 =

342

1218

639

16/34/18/1

4/316/12/1

8/316/316/9

342

1218

639

161

Metode Cramer (1)

Digunakan untuk mencari penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.

Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.

Metode Cramer (2) Diketahui SPL dengan n persamaan dan n

variabela11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2

…………………

an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn

dibentuk matriks

nnnnn

n

n

b

b

b

B

aaa

aaa

aaa

A2

1

21

22221

11211

,

...

...

...

Metode Cramer (3) Syaratnya |A|0 Penyelesaian untuk variabel-variabelnya

adalah:

dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.

A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n ,...,, 22

11

Metode Cramer (4)

Dimana

nnnn

n

n

aab

aab

aab

A

...

...

...

2

2222

1121

1

nnnn

n

n

aba

aba

aba

A

...

...

...

1

2212

1111

2

Metode Cramer (4)

Ex:Carilah penyelesaian dari:2x+3y-z = 5x+2z = -4-x+4y-z = 6

Soal Buktikan

Buktikan

321

321

3212

321

332211

332211

)1(

ccc

bbb

aaa

t

ccc

btabtabta

tbatbatba

))()((

111

222

bcacab

cba

cba

Kuis Cari a,b,c agar simetris

Cari invers dari

Cari matriks diagonal A supaya

Cari nilai x supaya

0428

115

23258

ca

ccba

ab

cossin

sincos

100

010

0015A

531

62

301

13

1

x

xx

x