Invers Laplace

of 21/21
MATEMATIKA LANJUT INVERS LAPLACE AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA BAB 3 INVERS LAPLACE Pokok Pembahasan : Prinsip Dasar Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Ekspansi Parsial Konvolusi
  • date post

    08-Nov-2014
  • Category

    Documents

  • view

    298
  • download

    23

Embed Size (px)

description

laplace

Transcript of Invers Laplace

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

BAB 3

INVERS LAPLACEPokok Pembahasan :Prinsip Dasar Invers Laplce Fungsi-Fungsi Dasar Ekspansi Parsial Konvolusi

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

1. PRINSIP DASAR Inverse Laplace adalah kebalikan dari transformasi Laplace, yaitu transformasi F(s) menjadi f(t). L-1 F(s) = f(t) Pernyataan invers Laplace dinyatakan dengan simbol L-1 Invers Laplace dapat dilakukan terhadap semua fungsi : Fungsi-fungsi Elementer Fungsi-fungsi Non Elementer 2. INVERS LAPLACE FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Invers Laplace fungsi-fungsi dasar dapat dilihat dalam Ikhtisar Transform. Laplace. Hasil invers merupakan kebalikan dari transformasinya.AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

( 3-1 )

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3. FRAKSI PARSIAL (PARTIAL FRACTION) Ekspansi Heaviside merupakan salah satu cara penyelesaian invers Laplace untuk fungsi-fungsi non elementer. Bila bentuk Transformasi Laplace merupakan pembagian 2 buah persamaan polinomial yang dinyatakan dengan :F(s) = A(s) B(s)

( 3-2 )

A(s) dan B(s) adalah polinomial dalam s Pangkat (orde) s pada A(s) < orde s pada B(s). A(s) = amsm + am-1sm-1 + ...... + a1s + a0 B(s) = bn sn + bn-1sn-1 + ....... + b1s + b0AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

B(s) dapat diuraikan menjadi : B(s) = bn(s-s1)(s-s2) ........(s-sk) ...... (s-sn) s1, s2, s3,.....sn = akar-akar B(s). Akar-akar B(s) dapat berupa : Bilangan nyata (riel) Bilangan imajiner (khayal) Bilangan kompleks. Akar-akar B(s) meliputi akar-akar : Berharga tak sama (berbeda). Berharga sama.AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 4

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh pembagian fungsi polinomial rasional (terukur) :3s 3 + 2s + 1 F(s) = s2 + s + 2

3s - 3(s 2 + s+ 2 ) 3s 3 + 2s + 1

3s3 + 3s2 + 6s

- 3s2 4s + 1 - 3 s 2 3s 6 - s + 7

Sehingga F(s) menjadi :

F(s) = 3s - 3 +

-s + 7 s2 + s + 25

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.1. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Tak Sama Bila akar-akar B(s) tak ada yang sama dan m < n, maka :

F (s) =

A (s) b (s -s 1 )(s -s 2 )....(s -s k ).....(s -s n ) k1 k k k 2 k n + + .... + + ... + s s1 s s2 s sk s s n

1 F (s) = bn

Besaran-besaran k1, k2, k3 ...kn dapat ditentukan dengan rumus : A (s) k k = b n (s s k ). B(s)

( 3-3 )S= S k

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

6

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh : L-11 s (s -2 )(s + 1 )

=

L-1

k1 k3 k2 + + (s -2 ) (s+ 1 ) s= 1 2

k1= s

1 {s ( s - 2 ) ( s + 1 ) } s = 0

1 1 = {s(s-2)(s+1) } s = 2 6 1 1 k 3 = (s+1) = {s(s-2)(s+1) } s = -1 3 k 2 = (s-2)L-11 s (s -2 )(s -1 )

= L-1

1 1 1 6 + 3 2 + s (s -2 ) (s+ 1

)

f(t) = - u(t) + 1/6 e2t u(t) + 1/3 e-t u(t)AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 7

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.2. Fraksi Parsial Dengan Akar-akar Sama Bila akar-akar B(s) ada yang sama dan m < n, pada :

F (s) =

A (s) b (s -s 1 )(s -s 2 )....(s -s k ).....(s -s n )

Bila terdapat p buah akar yang sama, maka :A (s) 1 = B (s) bn k 1p k 1 p -1 k 11 + + ...+ + .... p -1 ( s -s 1 ) p ( s -s 1 ) ( s -s 1 )

k n + +....+ + ......... + (s-s p+1 ) (s-s p+2 ) (s-s n ) k p+1 k p+2

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

8

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

dengan :

k

1p

= b

n

(s -s1 )

p

A (s) B (s)

( 3-4a )s = s1

k

1 p -1

= b

n

d (s -s1 ) d s

p

A (s) B (s)

s = s1

( 3-4b )

k

1k

=

b n d p -k (s -s1 ) p -k (p -k )! d s

p

A (s) B (s)

( 3-4c )s = s1

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

9

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh :

F(s) =F(s) = L-1

3 (s + 1) 2 (s + 2)

3 k1 = (s + 1) F(s) = (s + 1) 2 s=1 (s 1) (s 2) + + 2 2

k3 k1 k2 + + (s + 1) 2 s + 1 s + 2

=3s=1

k2=

d 3 (s + 1 ) 2 ds (s + 1 ) 2 (s + 2 )3 =3 2 (s + 1) (s + 2) s=2

= 3s= 1

k 3 = (s + 2)

3 3 3 3 = + (s +1) (s + 2) (s +1)2 (s +1) (s + 2)-1 L 2

f(t) = 3te-t 3e-t + 3e-2t = 3 [(t-1)e-t + e-2t]AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 10

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Cara lain untuk mencari nilai k2 : Substitusikan harga k1 yang telah di dapat. Pindahkan ke ruas kiri. Hitung k2 dengan metode fraksi parsial dengan akar berbeda.k1 = (s + 1) 2 F(s) 3 = (s + 1) 2 =3 2 s=1 (s + 1) (s + 2) s=1

k3 k2 3 3 = + + (s + 1) 2 (s + 2) (s + 1) 2 (s + 1) (s + 2) k3 3 3 k2 = + (s +1)2 (s + 2) (s +1)2 (s +1) (s + 2) k3 k2 3 = + (s + 1)(s + 2) (s + 1) (s + 2)

k 2 = (s + 1 )

3 (s + 1 ) (s + 2 )

= 3s= 1

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

11

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

3.3. Ekspansi Parsial Dengan Akar-akar Kompleks

Akar-akar kompleks terjadi dalam pasangan konjugasinya Bila F (s ) = j

( 3-5 ) ( 3-6 )

F (s) =

k1 k2 + s - - j s - + j= + j

k 1 = ( s - - j ) F ( s ) |s

( 3-7a )

k 2 = ( s - + j ) F ( s )|s = -j

( 3-7b )

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

12

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

BilaAr A r-1 A1 N(s) ... = + + + + F1 (s) r r r 1 D 1 (s)(s p) (s p) (s p) (s p)

F(s) =

( 3-8 )

d d (s p)r F(s) = [Ar +(s p)Ar1 +(s p)2 Ar2 +....) ds dsd d (s p) r F(s) = [A r1 + 2(s p)A r2 + ....] ds ds

( 3-9 )

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

13

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh : 1.

F(s) = F(s) =

s (s + 1)(s 2 + 2s + 2)

s (s + 1)(s + 1 j1)(s + 1)(s + 1 + j1)

F(s) =A=

A B B* + + (s +1) (s +1 j1) (s +1 + j1)

s = 1 2 s + 2s + 2 s=1

B=

s 1 j1 1 = = 45o (s +1)(s +1+ j1) s=1+j1 2 2

f (t) = et + 2 et cos (t 45o )14

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

2.F(s) =

F(s) =

1 (s + 1)(s 2 + 2s + 2) 2

A B A* B* C + + + + (s p) 2 s p (s p*) 2 s p * s + 1=s= p

A=

1 (s + 1)(s p*) 2

1 1 1 = = j (p + 1)(p p*) 2 (+ j)(2 j) 2 4

d 1 [(s p*)2 + 2(s +1)(S p*)] = ds (s +1)(s p*)2 (S +1)2 (S p*)4

[(p p*) 2 + 2(p + 1)(p p*)] B= (p + 1) 2 (p p*) 4Bila p p*=2j dan p+1 = j, maka :B = [ 4 + 2 ( j) ( 2 j) ] 1 = ( 1) (1 6 ) 215

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

SelanjutnyaC= 1 =1 s 2 + 2s + 2 s=1

f(t) = Atept + Bept + A* tep*t + B*ep*t + Ce-t Bila A = (1/4) 90o dan B = 0o

f(t) = te-t cos( t + 90o ) + e-t cos t + e-t

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

16

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

4. KONVOLUSI Bila f(t) merupakan inverse F(S) dan g(t) merupakan inverse G(S), maka h(t) merupakan invers dari produk H(S) = F(S) G(S). h(t) disebut konvolusi dan dituliskan dengan :

h(t) = (f *g)(t) = f ( )g(t )d0

t

( 3-10 )

Untuk > 0. Dengan definisi G(S) dan teori pergeseran, didapatkan :

es G(S) = e st g(t ) dt0AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

( 3-11 )17

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Sehingga : t

H(S) = F(S) G(S) = e st f ()g(t )d dt0 0

( 3-12 )

Sifat-sifat dasar operasi aritmatik konvolusi a. b. c. Komutatif Distributif Asosiatif f*g=g*f f *( g1 + g2 ) = f * g1 + f * g2 (f*g)*v=f*(g*v) f*0=0*f=0

Demikian pula halnya perkalian dengan bilangan lain kecuali 1, karena Khusus untuk 1 * g gAGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 18

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

Contoh Soal dan Penylesaian H(S) = 1/[(S2)(S- )] ; tentukan h(t) ! Jawab :

1 F(S) = 2 S

dan

1 G(S) = S-

f (t) = t

dant

g(t) = et

h(t) = t *et = f ()g(t )d dt

h(t) = t *et = e(t ) d0

0 t

h(t) = t *e

t

=e

t

e0

t

)

d

;

1 t h(t) = 2 (e 1) 19

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan f(t) dari persamaan berikut dengan metode konvolusi

1 1. (s-) 2 1 3. s(s 2 + 2 ) 1 5. 2 2 s (s - ) s 7. 2 (s + ) 2 6s 9. s(s + 1)2 + 1

1 2. s(s-)(s-) s 4. 2 2 2 (s + ) 1 6. s (s 2 +5) 2 1 8. (s - 3)(s 2 +5) 2s + 1 10. 2 (s + 4s + 13) 220

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

MATEMATIKA LANJUT

INVERS LAPLACE

SOAL-SOAL TAMBAHAN Tentukan f(t) dari persamaan-persamaan berikut :

s 1. 2 (s + 1)(s + 2) s 3. 2 (s + 5s + 5) 5. t cos(t+)

1 2. 2 (s +3s+1) s+2 4. s (s 2 - 2 ) 6. eat sin(t+)

Selesaikan transformasi Laplace persamaan-persamaan berikut :

7. ( 4t 3 + t 2 + 3 ) cos(t + ) 8. sin(t + ) cos(t + )Bila diketahui Z1 ( t + ) dan Z2 ( t - ) , maka hitung :

1 1 9. + z1 z2

10. eat ( z1 + z 2 )21

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA