DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Pengesahan................................................................................i

Kata Pengantar.......................................................................................... ii

Daftar isi ....................................................................................................1

Peta kedudukan modul ..............................................................................2

Glosarium ..................................................................................................4

Bab I Pendahuluan

A.Deskripsi.....................................................................................5

B.Prasyarat ....................................................................................5

C.Petunjuk Penggunaan Modul .....................................................5

D.Tujuan akhir ...............................................................................6

E.Cek Kemampuan .......................................................................6

Bab II Pembelajaran

A.Rencana Belajar Siswa ..............................................................

B.Kegiatan Pembelajaran

a.Kegiatan Pembelajaran 4.1 ....................................................

b.Kegiatan Pembelajaran 4.2.....................................................

c.Kegiatan Pembelajaran 4.3 ...................................................

Bab III Evaluasi

A. Sistem Penilaian .......................................................................

B.Naskah Soal Tes Kompetensi ....................................................

Bab IV Penutup.................................................................................

Daftar Pustaka............................................................................................

Peta Modul : MATRIKSKelompok Program Keahlian : TeknologiKelas / Program : X / Multymedia dan OtomotifMata Pelajaran : Matematika

Kode Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar Judul Modul Keterangan

1 Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

4.1.Mendeskripsikan macam-macam matriks

4.2.Menyelesaikan operasi matriks

4.3.Menentukan determinan dan invers

Matriks Modul 4

4.2

4.1

4.3

Peta Kedudukan Modul dalam Proses Pembelajaran di SMK

MATEMATIKA

KELAS X

Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi kesalahan

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat

Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan

dengan pernyataan

Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

Menyelesaikan masalah program linier

smt I

smt II

GLOSARIUM

Matriks : susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom.Ekuivalen: mempunyai nilai kebenaran yang sama

Konstanta: bilangan tetapVariabel: suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya

BAB I.PENDAHULUANA. DESKRIPSI

Modul siswa tentang matriks ini terdiri atas 3 kompetensi dasar yang meliputi:1. Kompetensi dasar (1) dan kompetensi dasar (2) pada Materi pembelajaran 1

mempelajari pengertian, notasi, ordo, jenis-jenis dan kesamaan matriks beserta opersasi matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.

2. Kompetensi dasar (3) pada Materi pembelajaran 2 mempelajari determinan dan invers matriks ordo 2 x 2 dan 3x3, serta pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linier(SPL).

3. Ulangan harian untuk standar kompetensi memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

Setelah mempelajari modul ini kompetensi yang diharapkan adalah peserta didik dapat mengaplikasikan konsep matriks dalam kehidupan sehari-hari.Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan siswa aktif dengan metode pemberian tugas,diskusi pemecahan masalah serta presentasi. Guru diharapkan memberikan kesempatan pada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri atau kelompok.

B. PRASYARATUntuk mempelajari modul ini, siswa harus sudah menguasai konsep bilangan

real, persamaan san pertidaksamaan.

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL1. Penjelasan Bagi Siswa

a. Bacalah modul ini secara berurutan dari pendahuluanb. Kerjakan semua tugas yang ada dalam modul agar kompetensi anda

berkembang sesuai standar.c. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai

pengetahuan pendukung (uraian materi) melaksanakan tugas-tugas kemudian mengerjakan latihan / tes formatif.

d. Dalam menyelesaikan tugas latihan jangan melihat kunci jawaban dahulue. Apabila mengalami kesulitan konsultasikan dengan guru.f. Selamat belajar semoga berhasil.Yakinlah diri Anda Insya Allah pasti akan

berhasil, apabila Anda memiliki semangat belajar yang tinggi. Jangan lupa berdoalah kepada Allah SWT agar senangtiasa diberikan pikiran yang jernih dan kemudahan dalam belajar.

2. Peran Gurua. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dikelaskan dalam

tahap belajar.c. Mengorganisasikan kegiatan kelompok siswa jika diperlukan.d. Melaksanakan penilaian.e. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian-bagian yang perlu diperbaiki

dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.f. Mencatat kemajuan belajar siswa.

D. TUJUAN AKHIRKompetensi peserta didik yang diharapkan setelah mempelajari modul ini

adalah peserta didik dapat :1. Menyebutkan elemen-elemen matriks pada baris dan kolom tertentu2. Menyebutkan dan menuliskan ordo suatu matriks3. Mengindentifikasi kesamaan matriks4. Memahami kesamaan matriks5. Menjumlahkan matriks tranpose6. Menjumlahkan dan mengurangi dua matriks atau lebih

7. Mengalikan matriks skalar maupun dengan matriks8. Menentukan determinan matriks ordo 2x2 dan 3x39. Menentukan invers matriks ordo 2x2 dan 3x310. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah(variabel) dengan konsep

matriks.

E. CEK KEMAMPUANPERTANYAAN YA TIDAK

1. Apakah Anda tahu yang dimaksud matriks?2. Tahukah Anda ordo suatu matriks?3. Dapatkah Anda menyebutkan jenis-jenis matriks?4. Dapatkah Anda menyelesaikan operasi pada

matriks yang berhubungan dengan kesamaan dua matriks, penjumlahan, pengurangan ataupun perkalian matriks?

5. Dapatkah Anda menentukan menentukan determinan matriks ordo 2x2 dan 3x3?

6. Dapatkah Anda menentukan invers matriks ordo 2x2 dan 3x3?

7. Dapatkah Anda menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah(variabel) dengan konsep matriks?

Apabila anda menjawab TIDAK pada salah satu atau beberapa pertanyaan diatas, maka pelajarilah modul ini yang memuat materi-materi tersebut. Apabila anda menjawab YA pada semua pertanyaan, lanjutkan dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi lain yang ada pada modul ini.

BAB II. PEMBELAJARAN

A. RENCANA BELAJAR SISWA1. Format Rencana Belajar Siswa untuk menguasai kompetensi Konsep Operasi

Bilangan Real.No Kegiatan Pelaksanaan Tanda Tangan

Tgl Jam Tempat Siswa Guru

             Mengetahui,Guru Pembimbing Siswa

(...................................) (...............................)NIP. NIS.

2. Rumusan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.Buatlah ringkasan menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang anda pelajari

B. KEGIATAN PEMBELAJARAN

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 1.1Setelah mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat:1. pengertian matriks2. jenis – jenis matriks3. kesamaan dua matriks4. tranpose suatu matriks5. Operasi pada matriks

b. Materi Kegiatan Pembelajaran 1.1

A. PENGERTIAN MATRIKSMatriks didefinisikan sebagai susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom.1. Elemen dan notasi matriks

Notasi matriks ditulis dengan huruf capital seperti A, B, C dll. Sedangkan elemen matriks dengan huruf kecil

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen matriks. a ijadalah notasi matriks yang menyatakan elemen dari matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.Contoh:

Diketahui

A=[ 2 3 47 8 9

−1 −2 −3 ], maka

Ordo matriks A adalah 3×3 .a11=2 , a12=3 , a13=4a21=7 , a22=8 , a23=9a31=−1 , a32=−2 , a33=−3

Bentuk umum matriks dengan i baris dan j kolom sbb:

A=[a11 a12 a13 ⋯ a1 j

a21 a22 a23 ⋯ a2 j

a31 a32 a33 ⋯ a3 j⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ai1 ai2 ai 3 ⋯ aij

]

2. Ordo matriksOrdo atau ukuran suatu matris ditentukan oleh banyaknya baris dan kolomSuatu matriks A diatas yang terdiri atas i baris dan j kolom maka matriks A

tersebut mempunyai ordo i× j atau ditulis Ai× j

B. JENIS – JENIS MATRIKS1. Matriks baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.

Contoh : A=[ 4 −2 6 ]2. Matriks kolom

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom saja.

Contoh :

A=[ 5−37 ]

3. Matriks persegiMatriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya sama.

Contoh: B=[ 7 8

−9 −10 ] . Matrik B adalah matriks persegi yang ordonya 2×2.4. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol kecuali elemen pada diagonal utama.

Contoh :

C=[−1 0 00 2 00 0 10 ]

5. Matriks skalarMatriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya berupa skalar yang sama.

Contoh :

D=[3 0 00 3 00 0 3 ]

6. Matriks identitasMatriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen pada diagonal utamanya 1.

Contoh :

I 2×2=[1 00 1 ] , I 3×3=[1 0 0

0 1 00 0 1 ]

7. Matriks nolMatriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.

Contoh :

O=[0 0 00 0 00 0 0 ]

8. Matriks setangkup(simetris)Matriks setangkup adalah matriks persegi yang elemen – elemennya simetris terhadap diagonal utamanya.

Contoh :

P=[ 1 4 −94 2 5

−9 5 −5 ]9. Matriks segitiga atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bukan nol sedangkan elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Contoh :

T=[1 2 30 4 50 0 6 ]

10. Matriks segitiga bawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bukan nol sedangkan elemen di atas diagonal utamanya nol.

Contoh :

T=[1 0 02 4 03 5 6 ]

C. KESAMAAN MATRIKSDua matriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks tersebut sama dan elemen – elemen yang seletak nilainya sama.

Contoh : Diketahui matriks A=[ 2 2 x

−3 y 5 ] dan matriks B=[ 2 6

−12 5 ]. Jika A=B , tentukan nilai x dan y.Penyelesaian:A=B

[2 2x−3 y 5 ]=[2 6

−12 5 ]maka

2 x=6→ x=3 , −3 y=−12→ y=4

D. TRANSPOSE MATRIKS

Jika

A=[a11 a12 ⋯ a1 j

a21 a22 ⋯ a2 j

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ai1 ai2 ⋯ aij

], maka

AT=[ a11 a21 ⋯ ai1a12 a22 ⋯ ai2⋮ ⋮ ⋱ ⋮a1 j a2 j ⋯ aij

].

Ket.: baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks AT

.

Contoh : Jika diketahui A=[1 2 3

4 5 6 ] , maka

AT=[1 42 53 6 ]

E. OPERASI MATRIKS1. Penjumlahan

Operasi penjumlahan dua matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen – elemen yang seletak. Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordo kedua matriks tersebut sama.Contoh :

Jika diketahui matriks A=[ 2 3

4 −7 ] dan B=[1 −5

7 3 ] , maka

A+B=[2 34 −7 ]+[1 −5

7 3 ]=[2+1 3+(−5 )4+7 −7+3 ]=

[ 3 −211 −4 ]

2. PenguranganOperasi pengurangan dua matriks dilakukan dengan cara mengurangkan elemen – elemen yang seletak. Dua matriks dapat dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut sama.Contoh:

Jika [ 2

4−6]+N=[413 ]

, tentukan N.Penyelesaian:

[ 24

−6]+N=[413 ]→N=[413 ]−[ 24

−6]=[ 4−21−4

3−(−6)]=[ 2−3

9 ]3. Perkalian

a) Perkalian matriks dengan skalar Operasi perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan cara mengalikan skalar dengan tiap elemen dari matriks. Contoh:

Jika P=[ 2 3

−2 −3 ], maka 3 P=[ 3×2 3×3

3×(−2 ) 3×(−3 ) ]=[ 6 9−6 −9 ]

b) Perkalian matrik dengan matriks Perkalian matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan hasil kali baris matriks A dengan kolom matriks B.

Am×n×Bn×p=Cm×p

Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Contoh :

Jika diketahui A=[1 2

4 5 ] dan B=[ 3

−4 ], maka

A×B=[1 24 5 ]×[ 3

−4]=[1⋅3+2⋅(−4 )4⋅3+5⋅(−4 )]=[ 3−8

12−20]=[−5−8 ]

A2×2×B2×1=C2×1

c. Rangkuman Kegiatan Pembelajaran 4.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi

panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom Ordo matriks adalah ukuran suatu matris ditentukan oleh banyaknya baris dan

kolom Dua matriks dapat dijumlahkan, dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut

sama. Operasi perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan cara mengalikan

skalar dengan tiap elemen dari matriks Perkalian matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan

hasil kali baris matriks A dengan kolom matriks B. Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Am×n×Bn× p=Cm× p

d. Lembar Kerja Siswa 4.1

1. Diketahui matriks A =[ a 0−1 b ] dan B =[2b 0

c 3c ]. Jika A = B, tentukan nilai –nilai

dari a, b dan c.Penyelesaian:A = B

[ a 0−1 b ]=…a=¿...b=¿...c=¿−1

2. Diketahui matriks:

A =[2 0 31 4 5 ] dan B =[3 5

1 20 −4 ]

Tentukan matriks AB dan matriks BA, Apakah AB=BA.

Penyelesaian:

AB = [2 0 31 4 5 ] [3 5

1 20 −4 ]

=[2.3+0.1+3.0 …… 1.5+4.2+5.−4]

=...

BA = [3 51 20 −4 ][2 0 3

1 4 5 ]

= [3.2+5.1 … …… 1.0+2.4 …… … 0.3±−4.5]

=...

Tes Kompetensi Dasar 4.1

1. Diketahui A =(2 34 7 ) B = (

−12 36 −17 ) tentukan nilai matriks-matriks dibawah ini!

a. A + B b. B –A c. A + 2B d. -2A + 3B

2. Jika (4 92 6 )+(3 −1

4 2 )=(7 a 2b3 c 4 d ) tentukan nilai a, b.c, d

3. Tentukan elemen-elemen dari suatu matriks G2x2 !

G+(−5 −215 49 )=(26 −8

−23 7 )

4. Diketahui 2 .¿ (1 ¿ ) (−2¿ )¿

¿¿tentukan nilai p !

5. Tentukan hasil dari perkalian

a. (4 0

−1 7 )¿ (−5 ¿ )¿¿

¿b.

(32 6−12 0 )( 1

2−2

−3 −5 ) c. (

−2 01 7 )(−1 3 −6

2 −5 −3 )6. Tentukan niali x + y dari perkalian matriks dibawah inin !

a. (9 32 6 )(x 5

2 y )=(15 5414 28 )

b. (2 −36 5 )¿ ( x ¿ ) ¿

¿¿

7. Perhatikan matriks dibawah ini!

R=(−52

4−6

3−7 ) P=(−3

010−1

0−2 ) L=(−1 −4

2 −5 ) A=(0 −1

4 −2 ) Y=(20)

Tentukan nilai dari

a. 2 R−P c. (L×A )T e. R×PT

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)

b. LT + A d. AT×Y

e. Kunci Jawaban Tes Kegiatan Pembelajaran 4.1Terlampir pada himpunan kunci jawaban

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 4.2

Setelah mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat:1) Menghitung determinan matriks ordo 2×22) Menghitung determinan matriks ordo 3 x 33) Menentukan invers matriks ordo 2×2

4) Menentukan invers matriks ordo 3×35) Menyebut pengertian matriks singular dan non-singular6) Menunjukan dua matriks saling invers7) Menyelesaian persamaan matriks8) Menyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks

b. Materi Kegiatan Pembelajaran 4.21) DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

a) Determinan matriks ordo 2×2

Jika A=[a b

c d ] , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut.

det A=|A|=|a bc d

|=a⋅d−b⋅c

Contoh: Jika A=[ 2 −7

4 3 ] , maka det A=|2 −7

4 3|=2⋅3−4⋅(−7 )=6+28=34

b) Determinan matriks ordo 3×3

Jika

A=[ a b cd e fg h i ] , maka

det A=a⋅e⋅i+b⋅f⋅g+c⋅d⋅h−c⋅e⋅g−a⋅f⋅h−b⋅d⋅i

Contoh:

Diketahui

A=[1 2 03 −4 25 6 −1 ]

, tentukan det A .Pembahasan:

|A|=|1 2 03 −4 25 6 −1

|1 23 −45 6

|

=1⋅−4⋅−1+2⋅2⋅5+0⋅3⋅6−0⋅−4⋅5−1⋅2⋅6−2⋅3⋅−1=4+20+0−0−12+6=18

c) Invers matriks ordo 2×2

Jika A=[a b

c d ] , maka A−1= 1

det A⋅[ d −b−c a ]

Contoh:

Jika A=[−2 7

−1 4 ], maka A−1= 1

−2⋅4−7⋅(−1 )⋅[4 −7

1 −2 ]= 1

−8+7⋅[4 −7

1 −2 ]= 1

−1⋅[ 4 −7

1 2 ]=[−4 7

−1 −2 ]d) Invers matriks ordo 3×3

Jika

A=[ a b cd e fg h i ] , maka

A−1= 1det A

⋅Adj ( A )

Adj(A) adalah adjoin dari matriks A, yang elemen – elemennya berupa kofaktor – kofaktor.

i. Minor dari matriks A (M ij) adalah determinan matrik yang diperoleh dengan menghapus baris ke – I dan kolom ke – j.

Jika

A=[ a b cd e fg h i ] , maka

M 11=|a b cd e fg h i

|=|e fh i

|=e⋅i− f⋅h

M 12=|a b cd e fg h i

|=|d fg i

|=d⋅i−f⋅g

M 13=|a b cd e fg h i

|=|d eg h

|=d⋅h−e⋅g

dan seterusnya sampai M 33

ii. Kofaktor dari matriks AK ij=(−1)i+ j⋅M ij

K11=(−1)2⋅M 11=1⋅M 11

K12=(−1 )3⋅M 12=−1⋅M 12

K13=(−1 )4⋅M 13=1⋅M 13

dan seterusnya sampai K33

Adj (A)

=[K11 K21 K31

K12 K22 K32

K13 K23 K 33]

Contoh:

Diketahui

A=[ 1 1 −26 9 −10

−3 −2 7 ], tentukan A

−1.

Pembahasan:i) Determinan

det A=|1 1 −26 9 −10−3 −2 7

|1 16 9−3 −2

|

=1⋅9⋅7+1⋅(−10 )⋅(−3 )+(−2)⋅6⋅(−2 ) −(−2 )⋅9⋅(−3)−1⋅(−10)⋅(−2)−1⋅6⋅7 =63+30+24−54−20−42 =117−116 =1

ii) Minor

M 11=| 9 −10−2 7

|=9⋅7−(−10)⋅(−2)=63−20=43

M 12=| 6 −10−3 7

|=6⋅7−(−10 )⋅(−3 )=42−30=12

M 13=| 6 9−3 −2

|=6⋅−2−9⋅(−3 )=−12+27=15

M 21=| 1 −2−2 7

|=1⋅7−(−2)⋅(−2 )=7−4=3

M 22=| 1 −2−3 7

|=1⋅7−(−2)⋅(−3)=7−6=1

M 23=| 1 1−3 −2

|=1⋅−2−1⋅(−3 )=−2+3=1

M 31=|1 −29 −10

|=1⋅(−10 )−(−2 )⋅9=−10+18=8

M 32=|1 −26 −10

|=1⋅(−10 )−(−2 )⋅6=−10+12=2

M 33=|1 16 9

|=1⋅9−1⋅6=9−6=3

iii) KofaktorK11=(−1)2⋅43=1⋅43=43K12=(−1 )3⋅12=−1⋅12=−12K13=(−1 )4⋅15=1⋅15=15K21=(−1 )3⋅3=−1⋅3=−3K22=(−1 )4⋅1=1⋅1=1K23=(−1)5⋅1=−1⋅1=−1K31=(−1 )4⋅8=1⋅8=8K32=(−1 )5⋅43=−1⋅2=−2K33=(−1 )6⋅3=1⋅3=3

Adj (A)

=[43 −3 8−12 1 −215 −1 3 ]

A−1= 1det A

⋅Adj ( A )

A−1=11⋅[43 −3 8

−12 1 −215 −1 3 ]=[43 −3 8

−12 1 −215 −1 3 ]

Alternatif lain mencari adjoin matriks A:

Adj( A )=[+|e fh i

| −|b ch i

| +|b ce f

|

−|d fg i

| +|a cg i

| −|a cd f

|

+|d eg h

| −|a bg h

| +|a bd e

| ]Contoh:

Diketahui

A=[ 1 1 −26 9 −10

−3 −2 7 ], tentukan A

−1.

Pembahasan:

det A=|1 1 −26 9 −10−3 −2 7

|1 16 9−3 −2

|

=1⋅9⋅7+1⋅(−10 )⋅(−3 )+(−2)⋅6⋅(−2 ) −(−2 )⋅9⋅(−3)−1⋅(−10)⋅(−2)−1⋅6⋅7 =63+30+24−54−20−42 =117−116 =1

Adj( A )=[+| 9 −10−2 7

| −| 1 −2−2 7

| +|1 −29 −10

|

−| 6 −10−3 7

| +| 1 −2−3 7

| −|1 −26 −10

|

+| 6 9−3 −2

| −| 1 1−3 −2

| +|1 16 9

| ]Adj( A )=[ +(63−20 ) −(7−4 ) +(−10+18 )

−(42−30 ) +(7−6 ) −(−10+12)+(−12+27) −(−2+3) +(9−6 ) ]

Adj( A )=[+(43 ) −(3) +(8)−(12) +(1) −(2)+(15) −(1) +(3) ]=[43 −3 8

−12 1 −215 −1 3 ]

A−1=11⋅[43 −3 8

−12 1 −215 −1 3 ]=[43 −3 8

−12 1 −215 −1 3 ]

F. MATRIKS SINGULAR DAN NON-SINGULARa) Matriks singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak punya invers.Contoh matriks singular:

S=[ 2 −3−2 3 ] karena |S|=2⋅3−(−2)⋅(−3)=6−6=0

b) Matriks non-singular Matriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers.Contoh matriks nonsingular:

A=[ 2 −74 3 ] , maka

det A=|2 −74 3

|=2⋅3−4⋅(−7 )=6+28=34

G. DUA MATRIKS SALING INVERSDua matriks A dan B saling invers jika A⋅B=I dan B⋅A=I . Matriks I adalah matriks identitas.Contoh:

Diketahui A=[7 2

3 1 ] dan B=[ 1 −2−3 7 ] , tunjukkan bahwa A dan B saling invers!

Pembahasan:

A⋅B=[7 23 1 ]⋅[1 −2

−3 7 ] =[7⋅1+2⋅(−3 ) 7⋅(−2 )+2⋅7

3⋅1+1⋅(−3 ) 3⋅(−2 )+1⋅7 ] =[7−6 −14+14

3−3 −6+7 ] =[1 0

0 1 ]=IB⋅A=[1 −2

−3 7 ]⋅[7 23 1 ]

=[1⋅7+(−2)⋅3 1⋅2+(−2)⋅1−3⋅7+7⋅3 −3⋅2+7⋅1 ]

=[7−6 2−2−21+21 −6+7 ]

=[1 00 1 ]=I

Jadi matriks A dan B saling invers.H. PENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKS

i. Persamaan yang berbentuk A⋅X=B

Penyelesaiannya adalah X=A−1⋅BContoh:Tentukan X dari persamaan matriks berikut.

[−2 13 −2 ]⋅X=[ 0 −10

−7 2 ]Penyelesaian:

[−2 13 −2 ]⋅X=[ 0 −10

−7 2 ]

X=[−2 13 −2 ]−1

⋅[0 −10−7 2 ]

=1−2⋅(−2)−1⋅3

⋅[−2 −1−3 −2 ]⋅[0 −10

−7 2 ] =1

4−3⋅[−2 −1

−3 −2 ]⋅[0 −10−7 2 ]

=11⋅[−2 −1

−3 −2 ]⋅[0 −10−7 2 ]

Î =[−2 −1−3 −2 ]⋅[0 −10

−7 2 ] =[−2⋅0+(−1 )⋅(−7 ) −2⋅(−10 )+(−1)⋅2

−3⋅0+(−2 )⋅(−7 ) −3⋅(−10 )+(−2 )⋅2 ] =[0+7 20−2

0+14 30−4 ] =[7 18

14 16 ]ii. Persamaan yang berbentuk X⋅A=B

Penyelesaiannya adalah X=B⋅A−1

Contoh:Tentukan X dari persamaan matriks berikut.

X⋅[ 5 2−2 −1 ]=[ 6 −2

−3 11 ]Penyelesaian:

X⋅[ 5 2−2 −1 ]=[ 6 −2

−3 11 ]X=[ 6 −2

−3 11 ]⋅[ 5 2−2 −1 ]

−1

=[6 −2−3 11 ]⋅1

5⋅(−1 )−2⋅(−2)⋅[−1 −2

2 5 ] =[6 −2

−3 11 ]⋅1−5+4

⋅[−1 −22 5 ]

=[6 −2−3 11 ]⋅1

−1⋅[−1 −2

2 5 ] =[6 −2

−3 11 ]⋅[1 2−2 −5 ]

=[6⋅1+(−2 )⋅(−2) 6⋅2+(−2)⋅(−5)−3⋅1+11⋅(−2) −3⋅2+11⋅(−5 ) ]

=[6+4 12+10−3−22 −6−55 ]

=[10 12−25 −61 ]

I. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MATRIKSDiketahui sistem persamaan linear dua variabel

{ax+by=cpx+qy=r , maka nilai x dan y dapat dicari dengan metode matriks sebagai berikut.Sistem persamaan linear dapat diubah dalam bentuk perkalian matriks.

[ a bp q ]⋅[ xy ]=[cr ]

Cara I:

D=|a bp q

|=a⋅q−b⋅p

D x=|c br q

|=c⋅q−b⋅r

D y=|a cp r

|=a⋅r−c⋅p

x=DxD, y=

D yD

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari:

{3 x−2 y=13x+4 y=−5

Penyelesaian:

D=|3 −21 4

|=3⋅4−(−2 )⋅1=12+2=14

Dx=|13 −2−5 4

|=13⋅4−(−2 )⋅−5=52−10=42

D y=|3 131 −5

|=3⋅−5−13⋅1=−15−13=−28

x=4214

=3 , y=−2814

=−2

Cara II:

[ a bp q ]⋅[ xy ]=[cr ]

[ xy ]=[ a bp q ]

−1⋅[cr ]

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari:

{3 x−2 y=13x+4 y=−5

Penyelesaian:

{3 x−2 y=13x+4 y=−5

[3 −21 4 ]⋅[xy ]=[13

−5]

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)

[ xy ]=[3 −21 4 ]−1

⋅[13−5]

=13⋅4−(−2)⋅1

⋅[4 2−1 3 ]⋅[13

−5] =1

14 [ 4 2−1 3 ]⋅[13

−5] =[414

214

−114

314 ]⋅[13

−5]

=[27 17

−114

314 ]⋅[13

−5]

=[267

+(−5 )7

−1314 +

(−5 )14 ]

=[217−2814 ]

=[3−2]

c. Rangkuman Kegiatan Pembelajaran 4.2

1) Determinan matriks ordo 2×2

Jika A=[a b

c d ] , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut.

det A=|A|=|a bc d

|=a⋅d−b⋅c

2) Determinan matriks ordo 3×3

Jika

A=[ a b cd e fg h i ] , maka

det A=a⋅e⋅i+b⋅f⋅g+c⋅d⋅h−c⋅e⋅g−a⋅f⋅h−b⋅d⋅i

3) Invers matriks ordo 2×2

Jika A=[a b

c d ] , maka A−1= 1

det A⋅[ d −b−c a ]

4) Invers matriks ordo 3×3

Jika

A=[ a b cd e fg h i ] , maka

A−1= 1det A

⋅Adj ( A )

Adj(A) adalah adjoin dari matriks A, yang elemen – elemennya berupa kofaktor – kofaktor.

5) Matriks singularMatriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak punya invers

6) Matriks non-singularMatriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers

7) Dua matriks A dan B saling invers jika A⋅B=I dan B⋅A=I . Matriks I adalah matriks identitas

8) Persamaan yang berbentuk A⋅X=B ,maka penyelesaiannya X=A−1⋅B

9) Persamaan yang berbentuk X⋅A=B , maka penyelesaiannya X=B⋅A−1

10)Diketahui sistem persamaan linear dua variabel

{ax+by=cpx+qy=r , maka nilai x dan y dapat dicari dengan metode matriks sebagai berikut.

[a bp q ]⋅[ xy ]=[cr ]

d. Lembar Kerja Siswa 4.2

1. Tentukan nilai x dan y dari matriks dibawah ini!

[2x−3 y 68 2 ]=[7 6

8 x− y ]

2. Diketahui A =(2 34 7 )

B = (−12 3

6 −17 ) tentukan nilai matriks-matriks dibawah ini!

a. A + B b. B –A

3. Tentukan nilai dari determinan matriks dibawah ini!

A=[6 −92 4 ]

4. Tentukan invers dibawah ini !

D=(−2 53 4 )

2.

e. Tes Kompetensi Dasar 4.2

1.Diketahui matriks A=( 2

1 -1

4 ), B=( x+ y3 2y ), dan

C=( 73

21 ). Apabila B – A = Ct,

dan Ct = transpose matriks C, Tentukan nilai x.y = ….( Soal Ujian Nasional tahun 2007)

2.Diketahui matriks A=( 3

2 0

5 ), B=( xy -11 ) , dan

C=( 0-15

-15 ), At adalah transpose

dari A. Jika At . B = C Tentukan nilai 2x + y = …. (Soal Ujian Nasional tahun

2006)

3.Tentukan matriks G2x2 yang memenuhi persamaan berikut !

a.G×(−7 −5

4 3 )=( 9 −10−2 0 )

b. (−2 −3−3 4 ) ×G=(4 −3

6 −5 )4.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan

menggunakan matriks

a. {2 x−3 y=6 ¿ ¿¿¿

b. {3 x+ y=6 ¿ ¿¿¿

a. Kunci Jawaban Tes Kegiatan Pembelajaran 4.2Terlampir pada himpunan kunci jawaban